2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 6 含解析
【课时训练】第6节 函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．(2018河南洛阳统考)下列函数为奇函数的是( )
A ．f (x )＝
B ．f (x )＝e x
x C ．f (x )＝cos x
D ．f (x )＝e x －e －x
【答案】D
【解析】对于A ，定义域不关于原点对称，故不是；对于B,
f (－x )＝e －x ＝≠－f (x )，故不是；对于C ，f (－x )＝cos(－x )＝cos x ≠－f (x )，故不1
e x 是；对于D ，
f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，是奇函数，故选D.
2．(2018江南十校联考)设函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )，则下列说法错误的是( )
A ．f (x )是奇函数
B ．f (x )在R 上单调递增
C ．f (x )的值域为R
D ．f (x )是周期函数【答案】D
【解析】因为f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故D 错误．
3．(2018兰州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )
A ．－
B ． 1
313C ．－D ．1
2
12【答案】B
【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴b ＝0.又a －1＝－2a ，∴a ＝，∴a ＋b ＝.故选B.131
34．(2018四川遂宁一模)已知函数f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)
＝f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( )
A ．－2
B ．2
C ．－98
D ．98
【答案】B
【解析】由f (x ＋4)＝f (x )知，函数f (x )的周期为4，则f (2
019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，
又f (3)＝f (－1)，且f (－1)＝2，∴f (2 019)＝2.
5．(2018安徽十大名校年联考)设e 是自然对数的底数，函数f (x )是周期
为4的奇函数，且当0<x <2时，f (x )＝－ln x ，则e f ()的值为( )
73A.B ．35
34C ．D ．43
53【答案】D
【解析】因为函数以4为周期，所以f ＝f ＝f ＝－f ＝ln
(73)(73－4)(－53)(53)，所以e f ()＝eln ＝.故选D.
537353536．(2018东北三校二模)已知偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x －1)为奇函数，且f (2)＝3，则f (5)＋f (6)的值为( )
A ．－3
B ．－2
C ．2
D ．3【答案】C
【解析】依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且在R 上是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (－2)＝－f (2)＝0，结合图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．故选C.
7．(2018福建泉州模拟)已知函数f (x )＝Error!若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(2，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【答案】B
【解析】由题意，偶函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，即不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1,2]恒成立，即不等式f (|a |)≥f (|x |)对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤|x |对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤1，则－1≤a ≤1.故选B.
8．(2018江西九江七校联考)已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )
A ．0
B ．－4
C ．－8
D ．－16
【答案】B
【解析】由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12.把
y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2
014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4.故选B.
二、填空题
9．(2018山东菏泽模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0<x <1时，f (x )＝9x ，则f ＋f (2)＝________.(－52)【答案】－3
【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，
∴f ＝f ＝f ＝－f .
(－52)(－12－2)(－12)(12)又当0<x <1时，f (x )＝9x ，∴f ＝－9＝－3.
(－52)12又f (2)＝f (0)＝0，∴f ＋f (2)＝－3.(－52)
10．(2018广东珠海二中、斗门一中联考)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定
义在[－1－a,2a]上的偶函数，则f(2a－b)＝________.
【答案】5
【解析】∵函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，
∴－1－a＋2a＝0，即a＝1.
∵f(x)＝f(－x)，
∴ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0，
即f(x)＝x2＋1.
则f(2a－b)＝f(2)＝5.
11．(2018山东泰安模拟)已知函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x) x
＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
－x
【答案】－－1
x
【解析】∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，∴当x<0时，即
－x－x
－x>0，有f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－x
－1.
12．(2018山东烟台模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x.若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－2,1)
【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x.做出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数．由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.
三、解答题
13．(2018云南民族中学月考)已知函数f(x)＝Error!是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a
的取值范围．
【解】(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，
f (x )
＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图象(如图所示)知Error!
所以1＜a ≤3，
故实数a 的取值范围是(1,3]．
14．(2018天津六校期中联考)已知函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．
(1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．
【解】(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.
(2)f (x )为偶函数．
证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，
∴f (－1)＝f (1)＝0.
12令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，
∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．
(3)依题意有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，
又由(2)知， f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．
∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
∴0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 9 Word版含解析
【课时训练】第9节 对数与对数函数一、选择题1．(2018天津模拟)已知a ＝log 25，b ＝log 5(log 25)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．b <a <c【答案】B【解析】a ＝log 25>log 24＝2，b ＝log 5(log 25)∈(0,1)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.52＝20.52∈(1,2)，可得b <c <a .故选B.2．(2018苏北四市联考)已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c【答案】B【解析】由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c .∵5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a ，∴dc ＝a .故选B.3．(2018江西赣州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，f (x ＋4)，x ≤0，则f (－2 018)＝( ) A ．0 B ．1 C ．log 2 3 D ．2【答案】B【解析】∵x ≤0时，f (x )＝f (x ＋4)， ∴x ≤0时函数是周期为4的周期函数． ∵－2 018＝－504×4－2，∴f (－2 018)＝f (－2)．又f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)＝log 22＝1.故选B.4．(2018长春模拟)函数y ＝log a x 与直线y ＝－x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )A B C D【答案】A【解析】当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图象为选项B ，D 中过点(1,0)的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图象与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，B ，D 中的图象都不符合要求；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图象为选项A ，C 中过点(1,0)的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图象与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图象符合要求，选项C 中的图象不符合要求．5．(2018福州质检)已知a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a【答案】B【解析】因为a ＝16ln 8，b ＝12ln 5，c ＝ln 6－ln 2，所以a ＝ln 2，b ＝ln 5，c ＝ln62＝ln 3.又对数函数y ＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，因为ln 2<ln 3<ln 5，所以a <c <b .故选B.6．(2018福建漳州期末调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )为减函数，则不等式f (log 13(2x －5))>f (log 38)的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪52<x <4116 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >132 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 52<x <4116或x >132 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x <52或4116<x <132【答案】C【解析】由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )为减函数，可知当x >0时，f (x )为增函数，所以不等式变为log 13(2x－5)>log 38或log 13(2x －5)<－log 38，即0<2x －5<18或2x －5>8，解得52<x <4116或x >132.故选C.7．(2018重庆第一中学月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2ax ＋3a ＋1，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－1,0)C ．[－1,0)D ．[－1,0]【答案】C【解析】∵y ＝ln x ，x ≥1，∴y ≥0，∴y ＝－2ax ＋3a ＋1在x ∈(－∞，1)时，满足⎩⎨⎧－2a >0，－2a ＋3a ＋1≥0，解得－1≤a <0.故选C.8．(2018河北邢台模拟)已知函数f (x )＝a ＋log 2 (x 2－2x ＋a )的最小值为8，则( )A ．a ∈(4,5)B ．a ∈(5,6)C ．a ∈(6,7)D ．a ∈(7,8)【答案】B【解析】因为y ＝x 2－2x ＋a 在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )m i n ＝f (1)＝a ＋log 2(a －1)．设g (x )＝x ＋log 2(x －1)，易知此函数为增函数，且g (5)＝7<8，g (6)＝6＋log 25>8.所以a ∈(5,6)．故选B.二、填空题9．(2018山西太原模拟)已知f (log 2 x )＝x ＋270，那么f (0)＋f (1)＋…＋f (6)＝________.【答案】2 017【解析】∵f (log 2x )＝x ＋270＝2log 2x ＋270，∴f (x )＝2x ＋270，由此得f (0)＋f (1)＋…＋f (6)＝20＋21＋…＋26＋270×7＝2 017.10．(2018广东佛山一模)函数f (x )＝log 2 x ·log 22x的最小值为________．【答案】－14【解析】依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.11．(2018河南中原名校质检)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．【答案】(0，＋∞)【解析】令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，因为 f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数．又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．12．(2018江西抚州七校联考)设平行于y 轴的直线分别与函数y 1＝log 2x 及函数y 2＝log 2x ＋2的图象交于B ，C 两点，点A (m ，n )位于函数y 2＝log 2x ＋2的图象上，如图．若△ABC 为正三角形，则m ·2n ＝________.【答案】12【解析】由题意知，n ＝log 2m ＋2，所以m ＝2n －2.又BC ＝y 2－y 1＝2，且△ABC 为正三角形，所以可知B (m ＋3，n －1)在y 1＝log 2x 的图象上，所以n －1＝log 2(m ＋3)，即m ＝2n －1－3，所以2n ＝4 3，所以m ＝3，所以m ·2n ＝3×43＝12.三、解答题13．(2018湖南衡阳八中月考)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．【解】(1)要使函数f (x )有意义，则需⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)f (x )为奇函数．证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时， f (x )在定义域(－1,1)内是增函数， 所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1)．。
2020届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.1函数的概念及其表示教师用书(PDF,含解析)
１－２
函数 ｆ(ｘ) 的定义域为(０ꎬ１]ꎬ则函数 ｆ
ｌｇ ｘ２ ＋ｘ ２
的定
义域为
( )
Ａ.[ －５ꎬ４]
Ｂ.[ －５ꎬ－２)
Ｃ.[ －５ꎬ－２] ∪[１ꎬ４]
Ｄ.[ －５ꎬ－２) ∪(１ꎬ４]Leabharlann １－２ 答案 Ｄ解析
∵
函数
ｆ( ｘ) 的定义域为(０ꎬ１] ꎬ∴
０<ｌｇ
ｘ２ ＋ｘ≤１ꎬ即 ２
对应学生用书起始页码 Ｐ１４
一、函数定义域的求解方法
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２.( １) 函数的定义域、值域 在函数 ｙ ＝ｆ(ｘ)ꎬｘ∈Ａ 中ꎬｘ 叫做自变量ꎬｘ 的取值范围 Ａ 叫做函 数的定义域ꎻ与 ｘ 的值相对应的 ｙ 值叫做函数值ꎬ函数值的集合
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对应学生用书起始页码 Ｐ１３
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１ ８ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版( 教师用书)
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高考数学(理)大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案
第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示 突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 10 Word版含解析
【课时训练】第10节 函数的图象一、选择题1．(2019广西柳州摸底联考)函数f (x )＝(1＋cos x )·sin x 在[－π，π]上的图象的大致形状是( )【答案】A【解析】因为f (－x )＝－(1＋cos x )sin x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故排除C ；当x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，故排除D ；当x ＝π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋22×22＝1＋22>1，故排除B.故选A.2．(2018广东潮州一模)已知定义在[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )【答案】B【解析】由y ＝f (x )的图象可知， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2. 3．(2018安徽蚌埠第二次质检)若变量x ，y 满足|x |－ln 1y ＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )【答案】B【解析】由|x |－ln 1y ＝0，得y ＝1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x ，x ≥0，e x ，x <0，利用指数函数图象可知选B.4．(2019山东安丘一中段考)已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )从原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (选项中阴影部分)．若函数y ＝f (t )的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是( )【答案】C【解析】观察函数图象可得函数y ＝f (t )在[0，a ]上是增函数，即说明随着直线l 的右移，扫过图形的面积不断增大．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是向上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C 项不符合．这是因为在C 项中直线l 扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．5．(2018安徽涡阳四中模拟)下列函数中，其图象可能为如图的是( )A ．f (x )＝1||x |－1|B ．f (x )＝1|x －1|C ．f (x )＝1|x ＋1|D ．f (x )＝1x 2－1【答案】A 【解析】由图可知x ≠±1，所以排除B ，C ；易知当x ∈(0,1)时，f (x )＝1x 2－1<0不满足题意．故选A. 6．(2018东北育才学校月考)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )【答案】C【解析】由题意得，x ≠0，排除A ；当x <0时，x 3<0,3x －1<0，∴x 33x －1>0，排除B ；又x →＋∞时，x 33x －1→ 0，排除D.故选C. 7．(2018绵阳模拟)已知函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象分别如图所示，方程f (g (x ))＝0和g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 和b ，则ab ＝( )A ．24B ．15C ．6D ．4【答案】A【解析】由图象知， f (x )＝0有3个根，分别为0，±m (m >0)，其中1<m <2.g (x )＝0有2个根n ，p ，其中－2<n <－1，0<p <1.由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或±m ，由图象可知当g (x )所对应的值为0，±m 时，其都有2个根，因而a ＝6；由g (f (x ))＝0，知f (x )＝n 或p ，由图象可以看出当f (x )＝n 时，有1个根，而当f (x )＝p 时，有3个根，即b ＝1＋3＝4.所以ab ＝24.8．(2018山东济南调研)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 c m ，BC ＝8 c m ，点P 以1 c m /s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 c m /s 的速度沿B →C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为s ＝f (t )，则f (t )的图象大致为( )【答案】A【解析】当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB＝6－t ，QC ＝8－2t ，则s ＝f (t )＝12QC ×BP ＝12(8－2t )×(6－t )＝t 2－10t＋24；当4≤t ≤6时，点P 在AB 上，点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P到AC 的距离为45t ，QC ＝2t －8，则s ＝f (t )＝12QC ×45t ＝12(2t －8)×45t＝45(t 2－4t )；当6≤t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，此时CP＝14－t ，QC ＝2t －8，则s ＝f (t )＝12QC ×CP ×sin ∠ACB ＝12(2t －8)·(14－t )×35＝35(t －4)·(14－t )．综上，函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A.二、填空题9．(2018四川凉山一诊)如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)＝________. 【答案】2【解析】∵f (3)＝1，∴1f (3)＝1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)＝f (1)＝2.10．(2018石家庄模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．【答案】(3,1)【解析】由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y 轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3,1)．11．(2018银川调研)给定m i n {a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝m i n {x ，x 2－4x ＋4}＋4.若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．【答案】(4,5)【解析】设g (x )＝m i n {x ，x 2－4x ＋4}，则f (x )＝g (x )＋4，故把g (x )的图象向上平移4个单位长度可得f (x )的图象，函数f (x )＝m i n {x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．12．(2018郑州七校联考)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．【答案】{x |－1<x ≤1}【解析】在原图中做出log 2(x ＋1)的图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．三、解答题13．(2018吉林长春模拟)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．【解】(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4.的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)由f (x )的图象可知，当a >4或a <0时， f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，即方程f (x )＝a 只有一个实数根，所以a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．14．(2018福建晋江模拟)设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)的对称图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数g (x )的解析式；(2)若直线y ＝b 与C 2有且仅有一个公共点，求b 的值，并求出交点的坐标．【解】(1)设C 2上的任意一点为P (x ，y )，则P 关于A (2,1)的对称点P ′(4－x ，2－y )在C 1上，所以2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4＝(x －3)2x －4， 所以g (x )＝(x －3)2x －4(x ≠4)． (2)由(x －3)2x －4＝b ，得(x －3)2＝b (x －4)(x ≠4)， 所以x 2－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0(x ≠4)(*)有唯一实根．由Δ＝[－(b ＋6)]2－4(4b ＋9)＝b 2－4b ＝0，得b ＝0或b ＝4.把b ＝0代入(*)式得x ＝3，所以g (3)＝(3－3)23－4＝0； 把b ＝4代入(*)式得x ＝5，所以g (5)＝(5－3)25－4＝4. 所以当b ＝0或b ＝4时，直线y ＝b 与C 2有且仅有一个公共点，且交点的坐标为分别(3,0)或(5,4)．。
数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6讲函数的图象试题1理
第二章函数的概念与基本初等函数I第六讲函数的图象练好题·考点自测1.下列说法正确的是(）A。
若函数y=f(x）满足f（1+x）=f(1-x），则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称B.若函数y=f(x)满足f（x+1)=f（x-1）,则函数y=f（x)的图象关于直线x=1对称C.当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|）的图象与y=｜f（x)|的图象相同D.函数y=f(1-x）的图象可由y=f(-x）的图象向左平移1个单位长度得到2。
［2020天津，3,5分］函数y=4x的图象大致为（）x2+13。
［2020石家庄市高三测试]已知函数f(x)={1,x>0,则函数g(x)=f0,x=0,-1,x<0,（x)·(e x—1)的大致图象是()A B C D4.[2018全国卷Ⅲ，7，5分］下列函数中,其图象与函数y=ln x 的图象关于直线x=1对称的是（）A.y=ln（1—x) B。
y=ln(2-x)C。
y=ln(1+x） D.y=ln(2+x）5.［新课标全国Ⅰ,5分］设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f（—2）+f（-4)=1,则a=（）A。
—1 B。
1 C。
2 D.46。
设f（x）=|lg(x—1）｜，若1<a<b且f(a)=f（b），则ab的取值范围是。
拓展变式1.(1)［2020河南开封4月模拟］函数y=cos x+ln｜x|的大致图象为（）x2-2x+1，x∈[1,4］。
(2）［2020山东临沂4月模拟]已知函数f(x）=12当x=a时,f（x）取得最大值b，则函数g（x)=a｜x+b｜的大致图象为（)(3）［2020广州阶段模拟][平面向量与函数图象综合]如图2—6-3所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O,O1，O2,动点P从点A出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A，O1,O，O2,B五点共线)，记点P运动的路程为x，设y=｜O1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2,y与x的函数解析式为y=f （x），则y=f(x)的图象大致是()2.（1）［2016全国卷Ⅱ，12,5分］[理］已知函数f(x)(x∈R)满足f（—x)=2-f(x)，若函数y=x+1x与y=f(x）图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m,y m),则∑i=1m(x i+y i）=()A。
2020届高考数学一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 6(含解析)
【课时训练】第6节 函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2018河南洛阳统考)下列函数为奇函数的是( ) A .f (x )=x B.f (x )=e x C .f (x )=cos x D.f (x )=e x －e －x答案为：D解析：对于A ，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f (－x )=e－x =1e x ≠－f (x )，故不是；对于C ，f (－x )=cos(－x )=cos x ≠－f (x )，故不是；对于D ，f (－x )=e －x －e x =－(e x －e －x )=－f (x )，是奇函数，故选D.2.(2018江南十校联考)设函数f (x )=x ＋sin x (x ∈R )，则下列说法错误的是( )A .f (x )是奇函数 B.f (x )在R 上单调递增 C .f (x )的值域为R D.f (x )是周期函数答案为：D解析：因为f (－x )=－x ＋sin(－x )=－(x ＋sin x )=－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )=1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故D 错误.3.(2018兰州模拟)已知函数f (x )=ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A .－13 B.13 C.－12 D.12答案为：B解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )=f (x )，∴b =0.又a －1=－2a ，∴a =13，∴a ＋b =13.故选B.4.(2018四川遂宁一模)已知函数f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)=f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )=2x 2，则f (2 019)=( )A .－2 B.2 C.－98 D.98答案为：B解析：由f (x ＋4)=f (x )知，函数f (x )的周期为4，则f (2 019)=f (504×4＋3)=f (3)，又f (3)=f (－1)，且f (－1)=2，∴f (2 019)=2.5.(2018安徽十大名校年联考)设e 是自然对数的底数，函数f (x )是周期为4的奇函数，且当0<x <2时，f (x )=－ln x ，则e f (73)的值为( )A.35 B.34 C.43 D.53答案为：D解析：因为函数以4为周期，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73－4=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53=－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53=ln53，所以e f (73)=eln 53=53.故选D.6.(2018东北三校二模)已知偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x －1)为奇函数，且f (2)=3，则f (5)＋f (6)的值为( )A .－3 B.－2 C.2 D.3答案为：C解析：依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且在R 上是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (－2)=－f (2)=0，结合图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2).故选C.7.(2018福建泉州模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围是( )A .(1，＋∞)B .(2，＋∞)C .(－∞，－1)∪(1，＋∞)D .(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案为：B解析：由题意，偶函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，即不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1,2]恒成立，即不等式f (|a |)≥f (|x |)对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤|x |对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤1，则－1≤a ≤1.故选B.8.(2018江西九江七校联考)已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )=0，y =f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)=4，则f (2 014)=( )A .0 B.－4 C.－8 D.－16答案为：B解析：由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)=－f (x )，∴f (x ＋12)=f [(x ＋6)＋6]=－f (x ＋6)=f (x )，∴函数f (x )的周期T =12.把y =f (x －1)的图象向左平移1个单位得y =f (x －1＋1)=f (x )的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2 014)=f (167×12＋10)=f (10)=f (10－12)=f (－2)=－f (2)=－4.故选B.二、填空题9.(2018山东菏泽模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0<x <1时，f (x )=9x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)=________.答案为：－3解析：∵函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12=－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 又当0<x <1时，f (x )=9x，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52=－912=－3. 又f (2)=f (0)=0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)=－3.10.(2018广东珠海二中、斗门一中联考)若函数f (x )=ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，则f (2a －b )=________.答案为：5解析：∵函数f (x )=ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，∴－1－a ＋2a =0，即a =1.∵f (x )=f (－x )，∴ax 2＋bx ＋1=ax 2－bx ＋1，∴b =0， 即f (x )=x 2＋1. 则f (2a －b )=f (2)=5.11.(2018山东泰安模拟)已知函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时， f (x )=x ＋1，则当x <0时， f (x )=________.答案为：－－x －1解析：∵f (x )为奇函数，且x >0时， f (x )=x ＋1，∴当x <0时，即－x >0，有 f (x )=－f (－x )=－(－x ＋1)，即x <0时， f (x )=－(－x ＋1)=－－x －1.12.(2018山东烟台模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2＋2x .若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________.答案为：(－2,1)解析：∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时， f (x )=－x 2＋2x .做出函数f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数.由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.三、解答题13.(2018云南民族中学月考)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.【解】(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )=－(－x )2＋2(－x )=－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )=－f (x )，于是x <0时， f (x )=x 2＋2x =x 2＋mx ，所以m =2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].14.(2018天津六校期中联考)已知函数f (x )的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)=f (x 1)＋f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)=1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围.【解】(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)=f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1=x 2=1，得f (1)=2f (1)，∴f (1)=0.(2)f (x )为偶函数.证明：令x 1=x 2=－1，有f (1)=f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)=12f (1)=0.令x 1=－1，x 2=x ，有f (－x )=f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )=f (x )，∴f (x )为偶函数. (3)依题意有f (4×4)=f (4)＋f (4)=2，又由(2)知， f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16). ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17).。
2020高考新课标数学(理)大一轮复习检测：第二章 函数的概念和基本初等函数(必修1)
第一节函数及其表示高考概览：1.了解构成函数的要素，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．(函数分段不超过三段)[知识梳理]1．函数与映射的概念2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．3．表示函数的常用方法列表法、图象法和解析法．4．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．[辨识巧记]1．一种优先意识函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则．2．两个关注点(1)分段函数是一个函数．(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( ) (2)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( ) (3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(必修1P 17例1(1)改编)函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析]由⎩⎨⎧2x －1≥0，x －2≠0得x ≥0且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．故选C.[答案] C3．(必修1P 23练习T 2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )[解析] 根据函数的定义，结合图象可知选项B 符合．故选B. [答案] B4．(2019·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3B ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0C ．f (x )＝2n ＋1x2n ＋1，g (x )＝(2n －1x )2n －1，n ∈N *D ．f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x (x ＋1)[解析] 对于A ，f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝3x 3＝x ，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g (x )的定义域为R ，所以不是同一函数；对于C ，当n ∈N *时，2n ±1为奇数，则f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1＝x ，g (x )＝(2n －1x )2n －1＝x ，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D ，f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故选C.[答案] C5．(2018·哈尔滨师大附中等校一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f [f (1)]的值为( ) A ．－10 B ．10 C ．－2 D ．2[解析] ∵f (1)＝21－4＝－2，∴f [f (1)]＝f (－2)＝－2.故选C. [答案] C考点一 函数与映射的概念【例1】 (1)下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？①A ＝N ，B ＝N ，f ：x →y ＝(x －1)2； ②A ＝N ，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； ③A ＝N ，B ＝Q ，f ：x →y ＝1x －1；④A ＝{衡中高三·一班的同学}，B ＝[0,150]，f ：每个同学与其高考数学的分数相对应．(2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝|x |，g (t )＝t 2[解析] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (2)在A中，由⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －1≥0，可知f (x )的定义域为[1，＋∞)；由x 2－1≥0，可知g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为它们的定义域不同，所以A 不成立．在B 中，f (x )＝x 2＝|x |，其定义域为R ；g (x )＝(x )2＝x ，其定义域为[0，＋∞)．它们的解析式和定义域都不同，所以B不成立．在C中，f(x)＝x2－1x－1＝x＋1，其定义域为{x|x≠1}；g(x)＝x＋1的定义域为R.因为它们的定义域不同，所以C不成立．在D中，g(t)＝t2＝|t|，与f(x)＝|x|的对应关系和定义域都相同，所以D成立．故选D.[答案](1)见解析(2)D映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数．(3)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．[对点训练]1．下列图象中不能作为函数图象的是()[解析]B中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义．故选B.[答案] B2．(2018·江西抚州月考)设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则映射gA．1 B．2 C．3 D．4[解析]由映射g的对应法则，可知g(1)＝4，由映射f的对应法则，知f(4)＝1，故f[g(1)]＝1.故选A.[答案] A考点二 函数的解析式函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对求解析式的考查，题目难度不大，以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)配凑法求函数解析式； (2)换元法求函数解析式； (3)待定系数法求函数解析式； (4)解方程组法求函数解析式． 角度1：配凑法求函数解析式【例2－1】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________； (2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )＝________.[思路引导] (1)观察x ＋1与x ＋2x 的关系→配方求得 →注意定义域(2)观察x ＋1x 与x 2＋1x 2的关系→配方求得 →注意定义域[解析] (1)∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， 又x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2. ∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．[答案] (1)x 2－1(x ≥1) (2)x 2－2(x ≥2或x ≤－2)角度2：换元法求函数解析式【例2－2】 已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f (x )的解析式为________． [思路引导] 令1－cos x ＝t →用t 表示sin 2x →求出f (x )，并写出t 的取值范围即f (x )[解析] ∵f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ， 设1－cos x ＝t (0≤t ≤2)，则cos x ＝1－t ， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t . 故f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)． [答案] f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2) 角度3：待定系数法求函数解析式【例2－3】 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－ 2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. [思路引导] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)→代入已知条件→解出a 、b →得f (x )[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.[答案] 2x ＋7角度4：解方程组法求函数解析式【例2－4】 已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x－1，则f (x )＝________.[解析] 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，用1x 代替x ， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )x －1，将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )x－1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，得f (x )＝23x ＋13.[答案] 23x ＋13求函数解析式的方法策略[对点训练]1．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________.[解析] 令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．[答案] lg 2x －1(x >1)2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________.[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 则2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2. [答案] 12x 2－32x ＋23．(2019·湖南模拟)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[解] 当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① －x ∈(－1,1)，以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．考点三 分段函数【例3】 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3(2)(2019·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．[思路引导] (1)根据已知f (0)，f (－1)的值列方程→求出a 与b 的值→进而求出f [f (－3)]的值(2)分段解f (x )≥－1→求并集[解析] (1)由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3， 解得a ＝12.故f (－3)＝(12)－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B. (2)当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1， 解之得－4≤x ≤0.当x >0时，由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0<x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}．[答案] (1)B (2){x |－4≤x ≤2}分段函数题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[对点训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋3)，x <6，log 2x ，x ≥6则f (－1)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] 当x <6时，f (x )＝f (x ＋3)， 则f (－1)＝f (2)＝f (5)＝f (8)， 当x ≥6时，f (x )＝log 2x ，所以f (－1)＝f (8)＝log 28＝3，故选C. [答案] C2．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－34 B.34 C ．－35 D.35[解析] 当a >0时，1－a <1<1＋a ，则f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a ，∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴2－a ＝－1－3a ，则a ＝－32(舍)， 当a <0时，1＋a <1<1－a ，则f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴－1－a ＝2＋3a ，即a ＝－34. 综上，可得a ＝－34.故选A. [答案] A解题方法系列②——解有关分段函数的不等式问题 素养解读：分段函数问题一直是高考考查的热点，纵观近几年的高考试卷，分段函数问题的考查逐渐成为重点．下面就分段函数不等式求解进行分析．【典例】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是________．[切入点] (1)写出f (x ＋1)的解析式；(2)f [f (a )]的解析式并不易求出，可考虑用图象求解．[关键点](1)每一段上x的取值范围是求交集，最后各段求并集；(2)结合图象将f[f(a)]<2转化为f(a)的取值范围问题．[规范解答](1)当x＋1<0，即x<－1时，f(x＋1)＝－(x＋1)＋1＝－x，不等式变为x－x(x＋1)≤1，即－x2≤1，解得x∈R，故x∈(－∞，－1)．当x＋1≥0，即x≥－1时，f(x＋1)＝x＋1－1＝x，不等式变为x ＋x(x＋1)≤1，即x2＋2x－1≤0，解得－1－2≤x≤－1＋2，故x ∈[－1，－1＋2]．综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋2]．(2)f(x)的图象如图，由图象知，满足f[f(a)]≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤ 2.[答案](1)(－∞，－1＋2](2)a≤ 2[解题反思](1)要解不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1，就要把f(x＋1)转变为具体的表达式，观察已知分段函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，易知需要对x ＋1的符号进行分类讨论，即分为x ＋1<0和x ＋1≥0两类．(2)本题实际上利用了换元法．令t ＝f (a )通过f (x )的图象得出f (t )≤2的解集t 的取值范围，再通过t ＝f (a )的范围，结合图象得出a 的取值范围，这种利用图象求解分段函数的关键是必须分清t 既在f (t )中是自变量，又在t ＝f (a )中成为函数值．解决有关分段函数的不等式问题通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，利用图象特点，数形结合解不等式．[感悟体验]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)[解析]f (x )≤2⇔⎩⎨⎧x ≤1，21－x≤2，或⎩⎨⎧x >1，1－log 2x ≤2，⇔0≤x ≤1或x >1，故选D.[答案] D2．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是________．[解析] 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3. 所以f (x )＝⎩⎨⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).其图象如右图实线所示，由图可知，当－2≤k <1时，函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点．故k 的取值范围是[－2,1)．[答案] [－2,1)课后跟踪训练(四)基础巩固练一、选择题1．(2019·长春模拟)下列对应关系：①A ＝{1,4,9}，B ＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f ：x →x 的平方根；②A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 的倒数；③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 2－2；④A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方．其中是A 到B 的映射的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③[解析] ①中对于A 中任一元素在B 中有两个元素与之对应，故①不是A 到B 的映射；②中A ＝R ，A 中元素0在f ：x →x 的倒数作用下在B 中没有唯一元素对应，故②不是A 到B 的映射；③④符合映射的定义，故选C.[答案] C2．(2019·山东滨州期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋1)，x <1，3x ，x ≥1，则f (－1＋log 35)＝( )A ．15 B.53 C ．5 D.15[解析] ∵1<log 35<2，∴－1＋log 35∈(0,1)，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋1)＝f (log 35)＝3log 35＝5，故选C.[答案] C3．(2019·山西太原一模)若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1e D ．－1[解析] 解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.故选B.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.故选B.[答案] B4．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.故选C.[答案] C5．(2019·新疆乌鲁木齐一诊)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3(x －1)，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，43 D ．[2，＋∞)[解析] 当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1， ∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1， ∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解． 综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A. [答案] A 二、填空题6．(2019·湖南衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.[解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. [答案] 97．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f (x －3)＋2，x >0，则f (9)＝________.[解析] f (9)＝f (6)＋2＝f (3)＋4＝f (0)＋6＝0＋2＋6＝8. [答案] 88．f (2sin x2－1)＝cos x ＋1，则f (x )的解析式为________． [解析] ∵f (2sin x 2－1)＝1－2sin 2x 2＋1＝2－2sin 2x 2 设2sin x2－1＝t ，则－3≤t ≤1，sin x 2＝t ＋12，∴f (t )＝2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ＋122＝－12t 2－t ＋32. 故f (x )＝－12x 2－x ＋32(－3≤x ≤1)． [答案] －12x 2－x ＋32(－3≤x ≤1) 三、解答题9．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．[解] ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10， ∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a ， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.10.如图，点M 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 的中点．当点P 在正方形的边上沿A —B —C 运动时，点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．[解] 利用分段函数建立关系式．当点P 在线段AB 上，即0<x ≤1时，y ＝12x ；当点P 在线段BC 上，即1<x ≤2时，y ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫12＋1×1－12(x －1)×1－12×(2－x )×12＝14(3－x )．所以所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0<x ≤1，14(3－x )，1<x ≤2.能力提升练11．(2019·西安调考)若函数f (x )满足关系式f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (2)的值为( )A ．1B ．－1C ．－32 D.32 [解析] 由f (x )＋2f (1x )＝3x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＋2f (12)＝6，f (12)＋2f (2)＝32.消去f (12)，得f (2)＝－1.故选B. [答案] B12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B.[]0，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[)1，＋∞[解析] 由f [f (a )]＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C. [答案] C13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．[解析] ①当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x －12＋1>1，得x >－14，∴－14<x ≤0；②当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋x －12＋1>1恒成立；③当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12>1恒成立． 综上所述，x >－14.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞[解]拓展延伸练15．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[解析]由已知可得x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，所以|x |＝x sgn x ，故选D. [答案] D16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12 [解析][答案] D第二节 函数的定义域与值域高考概览：1.会求一些简单函数的定义域；2.了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域．[知识梳理]1．函数的定义域 (1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (2)基本初等函数的定义域： ①整式函数的定义域为R . ②分式函数中分母不等于0.③偶次根式函数被开方式大于或等于0. ④一次函数、二次函数的定义域均为R . ⑤函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}． ⑥指数函数的定义域为R . ⑦对数函数的定义域为(0，＋∞)． 2．函数的值域 基本初等函数的值域： (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a }；当a <0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a }．(3)y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .[辨识巧记]两个注意点(1)当一个函数是由有限个基本初等函数通过和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，用区间表示时，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解析式相同定义域不同的两函数，其值域也不相同．( ) (2)函数y ＝log a (x －1)的值域为[0，＋∞)．( ) (3)函数y ＝x ＋1x 的值域为(0，＋∞)．( ) (4)函数y ＝4x ＋2x 的值域为[－14，＋∞)．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(必修1P 74T 7(2)改编)设函数y ＝9－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(3－x )的定义域为B ，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．{3}D ．[－3,3)[解析] 由9－x 2≥0解得－3≤x ≤3，可得A ＝[－3,3]，由3－x >0解得x <3，可得B ＝(－∞，3)，因此∁R B ＝[3，＋∞)．∴A ∩(∁R B )＝[－3,3]∩[3，＋∞)＝{3}．故选C. [答案] C3．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x ＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x ＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C4．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [解析] 因为函数f (x )的定义域为(－1,0)，所以－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12.故选B.[答案] B5．函数y ＝2x ＋1－2x 的值域为__________．[解析] (代数换元法)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t 22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54考点一 求函数的定义域函数的定义域是函数有意义的自变量的取值范围，高考中常以选择题形式出现，难度较低．常见的命题角度有： (1)具体函数的定义域； (2)抽象函数的定义域． 角度1：具体函数的定义域【例1－1】 (2019·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3][解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1⇒－1<x ≤3，且x ≠0，故选D.[答案] D角度2：抽象函数的定义域【例1－2】 已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，则f (x )的定义域是________．[思路引导]由已知得x ∈(0，1)→求2x ＋1的范围→得f (x )的定义域[解析] 令t ＝2x ＋1，由0<x <1，得1<t <3.∴f (x )的定义域为(1,3)． [答案] (1,3)[拓展探究] (1)本例改为f (x )的定义域为(0,1)，求f (2x ＋1)的定义域，又如何求呢？(2)本例的条件不变，求f (1－x )的定义域，如何求？ [解] (1)∵f (x )的定义域为(0,1)， ∴0<2x ＋1<1，得－12<x <0.故f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－12，0.(2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，即0<x <1， ∴1<2x ＋1<3，∴f (x )的定义域为(1,3)． 由1<1－x <3，得－2<x <0. ∴f (1－x )的定义域为(－2,0)．求函数定义域的策略[对点训练]1．(2019·广东深圳一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1][解析]由题意得⎩⎨⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0且ln x ≠0，解得0<x <1，故选C.[答案] C2．已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为________．[解析] ∵－1≤x ≤1， ∴12≤2x ≤2.∴在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2， 解得2≤x ≤4.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]． [答案] [2，4]考点二 求函数的值域【例2】 求下列函数的值域： (1)y ＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]；(2)y ＝2x ＋1－2x ； (3)y ＝x ＋4＋9－x 2； (4)y ＝2x 2＋4x －7x 2＋2x ＋3；(5)y ＝log 3x ＋log x 3－1.[解] (1)由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3.(2)(代数换元法)令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值， ∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.(3)(三角换元法)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则 y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋4.∵0≤θ≤π，∴π4≤θ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1. ∴1≤y ≤32＋4，∴函数的值域为[1,32＋4]．(4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为yx 2＋2yx ＋3y ＝2x 2＋4x －7，整理得(y －2)x 2＋2(y －2)x ＋3y ＋7＝0.显然y ≠2(运用判别式法之前，应先讨论x 2的系数)． 将上式看作关于x 的一元二次方程．易知原函数的定义域为R ，则上述关于x 的一元二次方程有实根，所以Δ＝[2(y －2)]2－4(y －2)(3y ＋7)≥0.解不等式得－92≤y ≤2.又y ≠2，∴原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，2. (5)y ＝log 3x ＋log x 3－1变形得y ＝log 3x ＋1log 3x －1.①当log 3x >0，即x >1时，y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2－1＝1，当且仅当log 3x ＝1，即x ＝3时取“＝”． ②当log 3x <0，即x <1时，y ≤－2－1＝－3. 当且仅当log 3x ＝－1，即x ＝13时取“＝”．综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(1)求函数值域，一定要注意到函数的定义域；(2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围，如本例(2)(3)． (3)本例中(4)用了判别式“Δ”法，此方法适用y ＝ax 2＋bx ＋c px 2＋qx ＋r (ap ≠0，x ∈R )类型(即f (x )是分式函数且分子或分母至少有一个二次式，且没有公因式．解此类问题一定要检验所求最值，在定义域内是否有对应的x 值，还要注意对二次项系数是否为零的讨论)，但若给定x 一个范围，则此方法不再适用，可考虑转化为其他方法求解．[对点训练]1．函数y ＝2－sin x2＋sin x的值域为________．[解析] 解法一：y ＝2－sin x 2＋sin x ＝－1＋42＋sin x ，因为－1≤sin x ≤1，所以1≤2＋sin x ≤3，所以43≤42＋sin x ≤4，所以13≤－1＋42＋sin x≤3，故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.解法二：由已知得sin x ＝2－2y 1＋y ，∵sin ∈[－1,1]，∴－1≤2－2y1＋y≤1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 1＋y 2≤1，解得13≤y ≤3. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． [解析] y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <－1，3，－1≤x ≤2，2x －1，x >2当x <－1时，y >3；当x >2时，y >3，故函数的值域为[3，＋∞)． [答案] [3，＋∞)考点三 函数定义域与值域的应用【例3】 (1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[思路引导] (1)函数的定义域为R →对∀x ∈R ，mx 2＋4mx ＋3≠0→对m 分类求解(2)求出y ＝－x ＋6(x ≤2)的值域→讨论y ＝3＋log a x (x >2)的值域→由集合的包含关系求出a 的范围[解析] (1)∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意； 当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0<m <34.综上，0≤m <34，即m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.故选D.(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域为函数f (x )＝－x ＋6(x ≤2)的值域与函数f (x )＝3＋log a x (x >2)的值域的并集．因为函数f (x )＝－x ＋6(x ≤2)的值域为[4，＋∞)，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域为[4，＋∞)，所以函数f (x )＝3＋log a x (x >2)的值域应为集合[4，＋∞)的子集． 当a >1时，y ＝log a x ＋3在(2，＋∞)上单调递增，所以只需log a 2＋3≥4，即log a 2≥1＝log a a ，解得1<a ≤2.当0<a <1时，x →＋∞时，y ＝log a x ＋3→－∞，不符合题意．综上，1<a ≤2.[答案] (1)D (2)(1,2](1)对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用．即在定义域内用相应方法求值域．(2)若解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论．(3)解题时要注意数形结合思想的应用，即借助图象确定函数的值域．[对点训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2][解析] 由函数f (x )的解析式，得f (0)＝a 2；当x ≤0时，f (x )≥a 2；当x >0时，f (x )≥2＋a .∵f (0)是f (x )的最小值，∴a 2≤a ＋2，且a ≥0.解得0≤a ≤2.故选D.[答案] D2．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.[解析] 当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.[答案] －32解题方法系列③——利用几何意义求函数的值域素养解读：函数的值域是函数在定义域内对应的函数值的取值范围，其求解关键是确定相应的最值．因此，求解函数的值域时要求出定义域内的所有极值和端点处的函数值，并进行比较，得到函数的最值．在高考中主要考查求解函数的值域问题，从而带动对函数的最值等相关问题的考查，其应用广泛，综合性强，且解法灵活多变．在实际求解中，各种方法往往可以相互渗透，也可以多法并举．【典例】 (1)函数f (x )＝sin x 2－cos x的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33B ．[－1,1]C ．[－2,2]D ．[－3，3](2)函数f (x )＝x 2－2x ＋2＋x 2－4x ＋8的值域为________． [切入点] 根据式子的结构特点联想其几何意义，数形结合求解．[关键点] 构造满足条件的几何图形．[规范解答] (1)可以看成过A (2,0)，B (cos x ，－sin x )两点直线的斜率，B 点在单位圆上运动．如图：易求得k 1＝33，k 2＝－33.∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.故选A.(2)f (x )＝(x －1)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0＋2)2表示x 轴上的动点P (x,0)与两定点A (1,1)和B (2，－2)的距离之和．由图可知，|P A |＋|PB |≥|AB |.|AB |＝10，故函数f (x )的值域为[10，＋∞)．[答案] (1)A (2)[10，＋∞)几何法求值域的步骤[感悟体验]定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝min{|x ＋1|，|x－2|}的值域为________．[解析] 根据题意，作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．由图象可知，函数f (x )＝min{|x ＋1|，|x －2|}的值域为[0，＋∞)． [答案] [0，＋∞)课后跟踪训练(五)基础巩固练一、选择题1．(2018·山东临沂月考)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( )A ．(－2,0)∪(1,2)B ．(－2,0]∪(1,2)C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析]要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，解得x ∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．故选C.[答案] C2．(2018·陕西宝鸡月考)若函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，则函数y ＝f (3x ＋2)的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[2,8][解析] 函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数，函数的值域都为[－1,1]，故函数y ＝f (3x ＋2)的值域为[－1,1]．故选A.[答案] A3．(2018·山东滨州期末)函数y ＝12x ＋log 12x ，x ∈[1,2)的值域为( )A ．[12，＋∞)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，－12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，12 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－34 [解析] ∵函数y ＝12x ＋log 12x 在[1,2)上是减函数，∴－34<y ≤12，即函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，12.故选C.[答案] C4．(2018·江西宜春月考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2] [解析] 函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2， 即实数a 的取值范围是[－2,2]，故选D. [答案] D5．(2018·西安联考)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5][解析] ∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴当x ＝2时，f (2)＝4，由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，∴结合图象可知，要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m ≤2.故选C.[答案] C 二、填空题6．函数y ＝1－x2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12，∴函数y ＝1－x2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12 7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.[答案] [0,1]8．(2018·山东省实验中学段考)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域是________． [解析] ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎨⎧x >－1，－4<x <1，即－1<x <1，∴所求函数的定义域是(－1,1)． [答案] (－1,1) 三、解答题9．求下列函数的值域： (1)y ＝x －3x ＋1；(2)y ＝x －1－2x ； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ＋1；(4)y ＝1－x 21＋x 2.[解] (1)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． (2)解法一：令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤12. 解法二：函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤12.(3)x ≠－1且由已知得x 2＋(1－y )x ＋1－y ＝0(*) 方程有解，∴Δ＝(1－y )2－4(1－y )≥0， 即y 2＋2y －3≥0 解得y ≥1或y ≤－3 由x ＝－1不满足(*)∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞) (4)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2. 由1＋x 2≥1，得0<21＋x2≤2，所以－1<－1＋21＋x 2≤1. 故函数的值域为(－1,1]．10．已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围． [解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎨⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≤0⇔⎩⎨⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0⇒－511≤a <1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数， ①当1－a 2≠0时有⎩⎨⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≥0⇔⎩⎨⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≥0⇒－1<a ≤－511.②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意．当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511.能力提升练11．(2019·湖南邵阳期末)设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4)[解析] ∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎨⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.[答案] B12．(2019·广东珠海质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a >0，且a ≥－1，解得－1≤a <12，故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析]由已知得1⊕x ＝⎩⎨⎧1－2≤x ≤1，x 21<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎨⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x . (2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1， ∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎨⎧ f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎨⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14，∴⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．拓展延伸练15．(2019·江西鄱阳月考)已知函数f (x )＝1－log 2x 的定义域为[1,4]，则函数y ＝f (x )·f (x 2)的值域是( )A ．[0,1]B ．[0,3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 [解析] 对于y ＝f (x )·f (x 2)，由函数f (x )的定义域是[1,4]，得1≤x ≤4，且1≤x 2≤4，解得1≤x ≤2，故函数y ＝f (x )·f (x 2)的定义域是[1,2]，易得y ＝f (x )·f (x 2)＝1－3log 2x ＋2log 22x ，令t ＝log 2x ，则t ∈[0,1]，y ＝1－3t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342－18，故t ＝34时，y 取最小值－18；t ＝0时，y 取最大值1，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1，故选C.[答案] C16．(2019·江苏南京、盐城一模)设函数y ＝e x ＋1e x －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[解析]∵e x＋1e x≥2e x·1e x＝2，∴函数y＝ex＋1e x－a的值域为[2－a，＋∞)．又∵A⊆[0，＋∞)，∴2－a≥0，即a≤2.[答案](－∞，2]第三节函数的单调性与最值高考概览：1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的最值．[知识梳理]1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值[辨识巧记]1．两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．单调性的两种等价形式。
【最新】2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第2章_函数的概念与基本初等函数ⅰ_5_word版含解析
【课时训练】第5节 函数的单调性与最值一、选择题1．(2018安徽淮北一中四模)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x【答案】A【解析】函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．(2018湖南邵阳第二次联考)如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在(－∞，1)上是减函数，则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2【答案】C【解析】二次函数f (x )的对称轴为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2.3．(2018重庆一中期中)给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在(0,1)上为减函数的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B【解析】①y ＝x 12在(0,1)上单调递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上单调递增，而y ＝log 12t 在(0,1)上单调递减，故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上单调递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上单调递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上单调递增，y ＝2u 在(0,1)上单调递增，故y ＝2x ＋1在(0,1)上单调递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.4．(2018湖北省级示范高中期中联考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1]【答案】D【解析】由于g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上是减函数，所以a＞0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有0＜a≤1.故选D.5．(2018四川名校第一次联考)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( ) A．f(－1)<f(3) B．f(0)>f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)【答案】A【解析】依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2.又函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，则f(－1)<f(1)＝f(3)．6．(2018湖北华大新联盟考试)若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]【答案】B【解析】易知，函数f(x)＝2|x－a|＋3的增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]．因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a>1.故选B.7．(2018九江模拟)已知函数f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0【答案】B【解析】∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时， f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0, f (x 2)>0.8．(2018山东潍坊四县联考)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23B ．(0，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，23D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞【答案】C【解析】∵f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23.故选C.二、填空题9．(2018山西太原模拟)已知函数f (x )＝x ＋1x －1，x ∈[2,5]，则f (x )的最大值是________．【答案】3【解析】函数f (x )＝1＋2x －1在[2,5]上为减函数，故其最大值为f (2)＝1＋2＝3.10．(2019四川成都外国语学校段考)函数f (x )＝log 2 (x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－4,4]【解析】因为函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，所以当x ∈[2，＋∞)时，x 2－ax ＋3a >0且函数g (x )＝x 2－ax ＋3a 为增函数，即a2≤2且f (2)＝4＋a >0，解得－4<a ≤4.11．(2018辽宁大连质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f (x )的最小值是________．【答案】22－3【解析】当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x－3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )m i n ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )m i n ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.三、解答题12．(2018河南信阳调研)已知函数f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． (1)【证明】任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)【解】任取1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a－x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a .∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．13．(2018广西名校联考)已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．【解】f (x )＝ax ＋1a(1－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a .当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时， f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取得最大值1.。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 7 含答案
【课时训练】第7节 幂函数与二次函数一、选择题1．(2018湖南长沙模拟)已知函数f (x )＝x12，则()A ．∃x 0∈R ，使得f (x )<0B ．∀x >0, f (x )>0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2) 【答案】B【解析】由题得，f (x )＝x ，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，并且函数是单调递增函数，所以A 不成立，根据单调性可知C 也不成立，而D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)，所以D 不成立．故选B.2．(2018黑龙江哈尔滨六中月考)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递减，可知α<0.又f (x )＝x α为奇函数，所以α只能取－1.3．(2018福建六校联考)若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1【答案】B【解析】由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝1或m ＝2.又函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2.∴m ＝1或m ＝2.4．(2018天津河东区模拟)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax －5)的图象关于直线x ＝0对称，则f (x )的最大值是( )A．－4 B．4C．4或－4 D．不存在【答案】B【解析】由题意知，函数f(x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故a＝0.则f(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4.故当x2＝3时，f(x)取最大值为4.5．(2018广东惠州一模)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是()A．f(m)<f(0) B．f(m)＝f(0)C．f(m)>f(0) D．f(m)与f(0)大小不确定【答案】A【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或m＝－1.当m＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m<0，所以f(m)<f(0)．6．(2018湖南岳阳一模)已知函数f(x)＝x2＋2|x|，若f(－a)＋f(a)≤2f(2)，则实数a的取值范围是()A．[－2,2]B．(－2,2]C．[－4,2]D．[－4,4]【答案】A【解析】由题意知f(2)＝8，则f(－a)＋f(a)＝2a2＋4|a|≤16，解得－2≤a≤2.7．(2018云南大理一模)设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝()A．56 B．112C．0 D．38【答案】B【解析】由二次函数图象的性质可知，当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝f(1)＋|f(1)|＋f(2)＋|f(2)|＝112.8．(2018河南南阳第一中学联考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0.若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，ab <0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.又由题易知函数f (x )在第一象限是增函数，当m ＝2时，指数为4×29－25－1＝2 015>0，满足题意，当m ＝－1时，指数为4×(－1)9－(－1)5－1＝－4<0，不满足题意．∴幂函数f (x )＝x 2 015，它是定义在R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＋f (b )>0.故选A.二、填空题9．(2018河南百校联盟质检)若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的取值范围为________．【答案】(－∞，－3]【解析】因为函数f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，所以当x ＝1时，f (x )m i n ＝1－4＝－3，所以m ≤－3.10．(2018四川遂宁零诊)已知点P 1(x 1,2 018)和P 2(x 2，2 018)在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋9的图象上，则f (x 1＋x 2)的值为________．【答案】9【解析】依题意得x 1＋x 2＝－ba ，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋9＝9.11．(2019福建泉州质检)．若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b 的最小值为0，则a ＋4b 的取值范围为________．【答案】[2，＋∞)【解析】由已知可得，a >0，且判别式Δ＝1－4ab ＝0，即ab ＝14，∴a ＋4b ≥24ab ＝2，即a ＋4b 的取值范围为[2，＋∞)．12．(2018江苏兴化三校联考)已知函数f (x )＝x |x －2|在[0，a ]上的值域为[0,1]，则实数a 的取值范围是________．【答案】[1,1＋2]【解析】函数f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >2，2x －x 2，x ≤2，则易知f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且过点(0,0)，(2,0)．因为由2x －x 2＝1(x ≤2)解得x ＝1，由x 2－2x ＝1(x >2)解得x ＝1＋2，且f (x )在[0，a ]上的值域为[0,1]，所以1≤a ≤1＋ 2.三、解答题13．(2018杭州模拟)已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的值域．【解】(1)∵函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，∴m 2－5m ＋1＝1，解得m ＝0或5.又h (x )为奇函数，∴m ＝0.(2)由(1)可知g (x )＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，令1－2x ＝t ，则x ＝－12t 2＋12，t ∈[0,1]，∴f (t )＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 故g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.14．(2018四川成都二诊)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．【解】(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0， 且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题意可知， f (x )＝x 2＋bx ，则原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2， 所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 12 Word版含解析
【课时训练】第12节 函数模型及其应用一、选择题1．(2018德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t m i n 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt ，假设过5 m i n 后甲桶和乙桶的水量相等．若再过m m i n 甲桶中的水只有a 4 L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10【答案】A【解析】∵5 m i n 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5 ，因此，当k m i n 后甲桶中的水只有a 4 L 时， f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5 ＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5 ＝14，∴k ＝10，则m ＝k －5＝5.2．(2018安徽淮南模拟)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是( )【答案】C【解析】由三视图可知，该容器上部分为圆台下部分是一个与上部分形状相同的倒放的圆台，所以水面高度随时间的变化为先慢后快再慢的情况．故选C.3．(2018北京西城模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知p H 值的定义为pH ＝－lg [H ＋]，健康人体血液的p H 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A.12B ．13C ．16D ．110【答案】C【解析】∵[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴[H ＋][OH －]＝[H ＋]2×1014，∵7.35<－lg [H ＋]<7.45，∴10－7.45<[H ＋]<10－7.35，∴10－0.9<[H ＋][OH －]＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9>110，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10－0.7<13<12，∴1 10<[H＋][OH－]<13.故选C.4．(2018四川内江模拟)某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝x4，Q＝a2x(a>0)．若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为()A. 5 B．5C． 2 D．2【答案】A【解析】设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝x4＋a2·20－x.令y≥5，则x4＋a2·20－x≥5对0≤x≤20恒成立．∴a20－x≥10－x2，∴a≥1220－x对0≤x<20恒成立．∵f(x)＝1220－x的最大值为5，且x＝20时，a20－x≥10－x2也成立，∴a m i n＝ 5.故选A.二、填空题5．(2018山东日照一模)某商店按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．【答案】190 元【解析】设售价提高x元，则依题意y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000＝－5(x－90)2＋60 500.故当x＝90时，y m a x＝60 500，此时售价为每件190元．6．(2018浙江台州一模)现有含盐7%的食盐水200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是________．【答案】(100,400)【解析】设y ＝200×7%＋x ·4%200＋x，令5%＜y ＜6%，即(200＋x )5%＜200×7%＋x ·4%＜(200＋x )6%，解得100＜x ＜400.7．(2019陕西宝鸡质检)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.【答案】9【解析】由已知可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋1，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9，0<x ≤3，2.15x －2.55，3＜x ≤8，2.85x －3.05，x >8.由y ＝22.6解得x ＝9.8．(2018湖南永州模拟)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．【答案】8【解析】设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8. 9．(2018湖北七州第一次联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．【答案】10【解析】由题设可得(1－0.1)P 0＝P 0e －5k ，即0.9＝e －5k ，故－5k ＝ln 0.9；又(1－0.19)P 0＝P 0e －kt ，即0.81＝e －kt ，故－kt ＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k ，故t ＝10，应填10.10．(2018四川南充模拟)渔场中鱼群的最大养殖量为m ，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)，则鱼群年增长量的最大值是________．【答案】km 4 【解析】由题意，空闲率为1－x m ，∴y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m ，定义域为(0，m )， y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m ＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4， ∵x ∈(0，m )，k ＞0，∴当x ＝m 2时，y m a x ＝km 4.三、解答题11．(2018江苏盐城中学期末)我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S (平方米)的AMPN 矩形健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上．已知∠ACB ＝60°，|AC |＝30米，|AM |＝x 米，x ∈[10,20]．设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为37k S元，再把矩形AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12k S元(k 为正常数)．(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围；(2)求总造价T 关于面积S 的函数T ＝f (S )；(3)如何选取|AM |，使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?【解】(1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |·tan ∠PCM ＝3(30－x )，∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝3x (30－x )，x ∈[10,20]，∴2003≤S ≤225 3.(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k S ，又∵△ABC 的面积为4503，∴草坪造价T 2＝12k S(4503－S )． ∴总造价T ＝T 1＋T 2＝25k ⎝⎛⎭⎪⎫S ＋2163S ， 2003≤S ≤225 3.(3)∵S ＋2163S≥1263， 当且仅当S ＝2163S，即S ＝2163时等号成立， 此时3x (30－x )＝2163，解得x ＝12或x ＝18.答：选取|AM |为12米或18米时总造价T 最低．12．(2018福建三明第一中学期中)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500)，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴． (1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【解】(1)当x ∈[200,300]时，该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12(x －400)2， ∴当x ∈[200,300]时，S <0，因此，该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．(2)由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：yx ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x －200＋80 000x ，x ∈[144，500).当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，y x 取得最小值240.当x ∈[144,500)时，y x ＝12x －200＋80 000x ≥2x 2·80 000x －200＝400－200＝200， 当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400时，y x 取得最小值200.∵240>200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。