第二章 静电场 镜像法
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大学电磁场与电磁波第二章2.8镜像法
(x
−
K K
2 2
+ −
1 1
b)2
+
y2
=
(
2bK K2 −
)2 1
圆心坐标
h(
=
K2 K2
+1b), −1
0,
圆半径
a=
2bK K2 −1
ϕP
=
τ 2πε0
ln
ρ2 ρ1
= τ ln (x + b)2 + y2 2πε0 (x − b)2 + y2
当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。
a、h、b三者之间的关系满足
4πε r20XX
r1 = d 2 + R2 − 2Rd cosθ r2 = b2 + R2 − 2Rb cosθ
图2.8.3 点电荷对接地导体球面的镜像 [q2 (b2 + R2 ) − q'2 (d 2 + R2 )] + 2R(q'2 d − q2b) cosθ = 0
q2 (b2 + R2 ) − q'2 (d 2 + R2 ) = 0 q'2 d − q2b = 0
a2
+ b2
=
(
2bK K2 −
)2 1
+ b2
=
(
K K
2 2
+ 1 b)2 −1
=
h2
令：ϕP = 常数
(x + b)2 (x − b)2
+ +
y2 y2
=
K2
应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即
a2 = h2 − b2 = (h + b)(h − b)
2.8 镜像法
分界面为一无限大平面位于介质1中距分界面的距离为求介质1及介质导体平面位于点电荷产生的电场中时会在其上产生感应电荷其面电荷密利用镜像电荷可代替其感应电荷的作用从而将导体平面去2018414第二章2818那么电介质平面位于点电荷产生的电场中时会在其上产生则我们是否也可以利电荷多少个
第二章 2.8
2.8
Z
0
q
P( x y z)
导体
h
z 0 平面为导体平面，其参考电位为零。
点电荷 q 与导体平面之间的电位满足：
电位 给定
z ＞0
2 0
q所在点除外
4
z0
2014-6-14
0
第二章 2.8
镜像电荷 q 的设置： 将无限大导体平面去 h 掉，整个空间充满介 电常数为 0 的介质， 在 q的镜像位置上置 一电荷 q ，则
2
q
2
第二章 2.8
三、球面导体与点电荷：
1、接地导体球与点电荷如图所示：求球外 ?
a
o
q
P 1
r2
a
P
d1
镜像电荷 ：
0 d 2 q
P2
r 1
q
P1
d1
1
q P2 点
2014-6-14
P点在导体球面上
23
第二章 2.8
26
r2
边界条件： 方法一：
球面： r 如图 1
边界
像电荷
2014-6-14 2
第二章 2.8
镜像法最后将求解有限区域 的边值问题转换为无边界的无限 大均匀媒质中的求解问题。
原电荷
像电荷
镜
如何求镜 像电荷
3
第二章 2.8
2.8
Z
0
q
P( x y z)
导体
h
z 0 平面为导体平面，其参考电位为零。
点电荷 q 与导体平面之间的电位满足：
电位 给定
z ＞0
2 0
q所在点除外
4
z0
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0
第二章 2.8
镜像电荷 q 的设置： 将无限大导体平面去 h 掉，整个空间充满介 电常数为 0 的介质， 在 q的镜像位置上置 一电荷 q ，则
2
q
2
第二章 2.8
三、球面导体与点电荷：
1、接地导体球与点电荷如图所示：求球外 ?
a
o
q
P 1
r2
a
P
d1
镜像电荷 ：
0 d 2 q
P2
r 1
q
P1
d1
1
q P2 点
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P点在导体球面上
23
第二章 2.8
26
r2
边界条件： 方法一：
球面： r 如图 1
边界
像电荷
2014-6-14 2
第二章 2.8
镜像法最后将求解有限区域 的边值问题转换为无边界的无限 大均匀媒质中的求解问题。
原电荷
像电荷
镜
如何求镜 像电荷
3
镜像法2
q x2 y2 (z d)2
1 1
2 1
n
2
2
n
z0
1 2
1
1
z
2
2
z
z0
q q
1 2 1 2
2 2
q q
1 2
(适用 1 区) (适用2 区)
本节要点
本节的研究目的
电磁场的一种间接分析方法 — 镜像法
镜像法的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法的实质是用研究区域之外的虚设镜像电荷替代 边界未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质； 镜像法的原则是电荷分布不变，介质分布不变，边界 条件不变； 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置； 要注意镜像法的结果，所适用的场的区域。
R2
a q o
R1
q
z
(0, 0,b) (0,0, d)
1 ra 0
b ? q ?
三、点电荷对导体球表面的镜像
分析：1
ra
1
4 0
q r1
1
4 0
q r2
r1 a2 d 2 2ad cos
M
r2 a2 b2 2ab cos
由边界条件可得
a o r2
r1
q
z
(0, 0, b)q
1 ra 0
分界面上：z 0
1 2
1
1
n
2
2
n
四、点电荷对无限大电介质分界面的镜像
分析：
1
1
41
q R1
1
41
q R2
R1 x2 y2 (z d )2 R2 x2 y2 (z d )2
1 12
M (x, y, z)
电磁场镜像法
§1-8 镜像法一、镜像法1. 定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来棘手的问题很容易地得到解决。
该方法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域用闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进行计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过程大为简化。
2. 应用镜像法应主意的问题应主意适用的区域，不要弄错。
在所求电场区域内： ① 不能引入镜像电荷；② 不能改变它的边界条件；③ 不能改变电介质的分布情况；④ 在研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起产生的电荷满足所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。
3. 镜像法的求解范围应用于电场E 和电位ϕ的求解；也可应用于计算静电力F ；确定感应电荷的分布(),,ρστ等。
二、镜像法应用解决的问题一般是边界为平面和球面的情况1. 设与一个无限大导电平板（置于地面）相距h 远处有一点电荷q ，周围介质的介电常数为ε，求解其中的电场E 。
解：在电介质ε中的场E ，除点电荷q 所引起的场外，还应考虑无限大导电平板上的感应电荷的作用，但其分布不知（σ未知），因此无法直接求解。
用镜像法求解该问题。
对于ε区域，除q 所在点外，都有20ϕ∇=以无限远处为参考点()0θϕ= 在边界上有：044q qrrϕϕϕπεπε+--=+=+= 即边界条件未变。
由唯一性定理有11444q q q r r r r ϕπεπεπε+-+-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于大场E 不存在()0E =推广到线电荷τ的情况，对于无限长线电荷也适合上述方法求解。
例1-15. P54求空气中一个点电荷q 在地面上引起的感应电荷分布情况。
镜像法求解静电场
镜像法求解静电场
镜像法是求解静电场问题的一种常用方法，它可以将问题简化为一些已知边界条件的部分。
我们可以通过将电荷和导体的形状映射到空间中的另一侧来获得镜像电荷和镜像导体。
这样，我们就可以将问题转化为在一定边界条件下求解单个电荷或导体所产生的电场问题。
具体来说，对于一个导体，镜像法可以将其映射到空间中的另一侧，并将它的电势设为零。
这样，它在空间中的影像就成为了一条等势线。
通过这样的操作，我们可以将一个有限的导体问题转化为无限大空间中的等势面问题，大大简化了求解难度。
同样地，对于一个点电荷，我们也可以利用镜像法求解其产生的电场。
我们将其映射到空间中的另一侧，并计算出镜像电荷。
这样，我们可以将原问题转化为一个在有限空间中求解两个点电荷所产生
的电场问题。
镜像法的一个优点是它能够将问题简化为一些边界条件已知的
问题，从而减少了求解难度。
此外，它也可以应用于复杂问题的求解，如球形和柱形状的导体等。
- 1 -。
电动力学 第2章 2-4
q ⎡1 1 1 1⎤ ϕ= − + ⎥ ⎢ − 4πε 0 ⎣ R R1 R2 R3 ⎦
3、线电荷对无限大导体平面的镜像
位于无限大接地导体平面附近的无限长直线电荷问题也可由镜像 法求解。设线电荷距导体平面为h，单位长度带电荷ρl ，则其像 电荷仍是无限长线电荷，其中像电荷的线密度为 ρl ’=- ρl ，像 电荷的位置为z’=-h 在z>0的上电Q，则还需要在球心放置一个点电荷Q。
3、球内点电荷的镜像
在半径为a的接地导体球壳内，有一点电荷q，它与球心相距为d (d<a),如图所示。求球内的电位分布和球面上总感应电荷。 解：与点电荷位于导体球外的情况做类似的 处理。这里像电荷q’应位于导体球壳 外 且在球心与点电荷q的连线的延长线上， 如图所示。设像电荷距球心为d，同样 有 球壳内任一点的电位则为
§2.4
镜像法(电象法)
在许多静电场问题中，电荷位于导体表面附近、或位于电介质 分界面附近。对这类问题，直接求解泊松方程（或拉普拉斯方 程）会遇到很大困难，这时可采用镜像法间接求解。 镜像法是一种间接求解方法，它是在所求解的场区域以外的空 间中某些适当的位置上设置适当的等效电荷（称为像电荷）， 在保持场域边界面上所给定的边界条件下，用像电荷替代导体 面上或介质面上的复杂电荷分布，把求解边值问题转换为求解 无界空间的问题。 根据唯一性定理，只要由源电荷与像电荷共同产生的位函数既 满足场域内的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足边界上所 给定的边界条件，则这个位函数就是唯一正确的解。
在介质分界面z＝0处，电位满足边界条件
总
结：
（１）点电荷对导体平面的镜象 一个点电荷Q，若距无限大的电位为零的导体平面为d， 则其镜象电荷为在平面另一侧，距平面为d处的点电荷-Q。 （２）点电荷对导体球的镜象 一个点电荷Q，若离半径为a的接地导体球球心为d，则其 镜象电荷Q’位于球心及Q所在点的联线上，距球心为b， a 并且 a2 Q Q ' = − b= d d （３）点电荷对电介质平面的镜像 其中：q’位于点电荷的异侧， q’’位于点电荷的同侧。
3、线电荷对无限大导体平面的镜像
位于无限大接地导体平面附近的无限长直线电荷问题也可由镜像 法求解。设线电荷距导体平面为h，单位长度带电荷ρl ，则其像 电荷仍是无限长线电荷，其中像电荷的线密度为 ρl ’=- ρl ，像 电荷的位置为z’=-h 在z>0的上电Q，则还需要在球心放置一个点电荷Q。
3、球内点电荷的镜像
在半径为a的接地导体球壳内，有一点电荷q，它与球心相距为d (d<a),如图所示。求球内的电位分布和球面上总感应电荷。 解：与点电荷位于导体球外的情况做类似的 处理。这里像电荷q’应位于导体球壳 外 且在球心与点电荷q的连线的延长线上， 如图所示。设像电荷距球心为d，同样 有 球壳内任一点的电位则为
§2.4
镜像法(电象法)
在许多静电场问题中，电荷位于导体表面附近、或位于电介质 分界面附近。对这类问题，直接求解泊松方程（或拉普拉斯方 程）会遇到很大困难，这时可采用镜像法间接求解。 镜像法是一种间接求解方法，它是在所求解的场区域以外的空 间中某些适当的位置上设置适当的等效电荷（称为像电荷）， 在保持场域边界面上所给定的边界条件下，用像电荷替代导体 面上或介质面上的复杂电荷分布，把求解边值问题转换为求解 无界空间的问题。 根据唯一性定理，只要由源电荷与像电荷共同产生的位函数既 满足场域内的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足边界上所 给定的边界条件，则这个位函数就是唯一正确的解。
在介质分界面z＝0处，电位满足边界条件
总
结：
（１）点电荷对导体平面的镜象 一个点电荷Q，若距无限大的电位为零的导体平面为d， 则其镜象电荷为在平面另一侧，距平面为d处的点电荷-Q。 （２）点电荷对导体球的镜象 一个点电荷Q，若离半径为a的接地导体球球心为d，则其 镜象电荷Q’位于球心及Q所在点的联线上，距球心为b， a 并且 a2 Q Q ' = − b= d d （３）点电荷对电介质平面的镜像 其中：q’位于点电荷的异侧， q’’位于点电荷的同侧。
镜像法与电轴法(静电场)
置于电轴上的等效线电荷，来代替圆柱 导体面上分布电荷，从而求得电场的方法， 称为电轴法。
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
解：采用电轴法
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
EP
2π0
(1
1
e1
1
2
e2
)
p
2π0
ln
2 1
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
c) 场中任一点电位为
P
U0 2lnb(ha)
ln
2 1
b(ha)
U0
20 2lnb(ha)
b(ha)
分裂导线
在高压电力传输中，为了降低电晕 损耗，减弱对通信的干扰，常采用分裂
导线的方法，即将每一根导线分成几股 排列成圆柱形表面，以减弱传输线周围 的电场。（原理P50）
镜像法（电轴法）小结
2d
d
2
)2
a
2 1
已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线 之间电压为U0，试求圆柱导体间电位的分布。
a)确定电轴的位置
b2h2a2
b
d2h
(d)2a2 2
b) 场中任一点电位为
ln 2 2π0 1
由 U0AB解出
b (h a ) b (h a ) U 02 π0ln b (h a ) 2 π0ln b (h a )
谢谢大家聆听！！！
35
镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一 性定理；
镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电 荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为 无限大均匀介质；
镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷 （电轴）的个数（根数），大小及位置；
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
解：采用电轴法
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
EP
2π0
(1
1
e1
1
2
e2
)
p
2π0
ln
2 1
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
c) 场中任一点电位为
P
U0 2lnb(ha)
ln
2 1
b(ha)
U0
20 2lnb(ha)
b(ha)
分裂导线
在高压电力传输中，为了降低电晕 损耗，减弱对通信的干扰，常采用分裂
导线的方法，即将每一根导线分成几股 排列成圆柱形表面，以减弱传输线周围 的电场。（原理P50）
镜像法（电轴法）小结
2d
d
2
)2
a
2 1
已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线 之间电压为U0，试求圆柱导体间电位的分布。
a)确定电轴的位置
b2h2a2
b
d2h
(d)2a2 2
b) 场中任一点电位为
ln 2 2π0 1
由 U0AB解出
b (h a ) b (h a ) U 02 π0ln b (h a ) 2 π0ln b (h a )
谢谢大家聆听！！！
35
镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一 性定理；
镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电 荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为 无限大均匀介质；
镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷 （电轴）的个数（根数），大小及位置；
第二章 静电场 镜像法
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson’s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
2 0 (r 2 a 2 )3/ 2
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。
（c）Q与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力
F
Q2
40r 2
(R2
R04 a2
R0 a 2R R02
a
1
cos ) 2
R0 R
a
(R R0 )
再由
内 RR0
外 RR0
得到
内
Q
4 0R0
Q
4 0a
b)导体球不接地其电势为U0 这种情况与例3的差别仍然在边界条件，这里
内 RR0 U0
U0 是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心 处放置了电量为 4 0U0R0 的点电荷，显然，其解为
解：先考虑介质1 中的电势，设想将下半空间换成 与上半空间一样，并在z=-a处有Q的像电荷Q' 来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。 则在Z>0的区域，空间一点的电势为
`1
1
4 1
(Q r
Q) r
(1)
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson’s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
2 0 (r 2 a 2 )3/ 2
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。
（c）Q与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力
F
Q2
40r 2
(R2
R04 a2
R0 a 2R R02
a
1
cos ) 2
R0 R
a
(R R0 )
再由
内 RR0
外 RR0
得到
内
Q
4 0R0
Q
4 0a
b)导体球不接地其电势为U0 这种情况与例3的差别仍然在边界条件，这里
内 RR0 U0
U0 是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心 处放置了电量为 4 0U0R0 的点电荷，显然，其解为
解：先考虑介质1 中的电势，设想将下半空间换成 与上半空间一样，并在z=-a处有Q的像电荷Q' 来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。 则在Z>0的区域，空间一点的电势为
`1
1
4 1
(Q r
Q) r
(1)
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1
z
z0
( 2
0
)
2
z
z0
(1 2 ) 0Qa
2 1 (1 2 ) x 2 y 2 a 2
3 2
Q所受的库仑力等于
它的像电荷Q'对它的
作用力，即
F
4 1 2a2
2
ez
(1 2 )Q2 16 1(1 2 )a2
Q x2 y2 (z a)2
1 2
再考虑介质ε2中的电势φ2，这时我们不能用上面的像电 荷Q'来计算ε2区域内的电势。这是因为，按照电像法， 像电荷必须在所考虑的区域之外。所以，我们现在把在ε2 区域外的电荷Q及其引起的极化电荷合起来，用ε2区域外 的一个像电荷Q''来统一考虑。设z>0上半空间的介质ε1全 部换为介质ε2 ，并在z=b处有一电荷Q'' ，则z<0下半空间 里任一点的电势为
P
Oθ
Q/
R
r′
r
QZ
球坐标系
（2）由边界条件确定 Q 和 r
设 OQ b
r R2 a2 2Ra cos r R2 b2 2Rb cos
0 R0
Q Q
0
r r RR0
Q2
Q2
r2
r2
R R0
R R0
P
R0 O
r r
Q
Q
Q2 (R02 b2 ) 2Q2R0b cos Q2 (R02 a2 ) 2Q2R0a cos
x2
y2
(z
a)2
交界面上 极化电荷 面密度
p
p1 p2
n1
P1
n2
P2
ez
( 1
(01)ez0) E11
ez
(
2
(
2
0
0 )ez
)E2
2
( 1
0
)
ez
Q
40
1 (2a) 2
ez
Q
16 0 a 2
ez
导体板上的 感应电荷确 实可以用板 下方一个假 想电荷Q’代 替。
P r
导体板上部空
Q
间的电场可以
看作原电荷与
r’
镜象电荷共同
激发的电场。
场点P的电势
Q’
P 1 Q Q
4 0 r r
解：先考虑介质1 中的电势，设想将下半空间换成 与上半空间一样，并在z=-a处有Q的像电荷Q' 来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。 则在Z>0的区域，空间一点的电势为
`1
1
4 1
(Q r
Q) r
(1)
1
4 1 x2y2Q (z
a)2
1 2
2
1
4 2
Q r
1
4 2
Q
x2
y2
(z b)2
1 2
(2)
下面由边界条件定Q'Q''和b，边界条件为：
1 z0 2 z0
(3)
1
1
z
z0
2
2
z
z0
(4)
E1t E2t 即 1 2
(5)
x z0 x z0
镜象法的理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域 外的适当地方，用实际上不存在的 “象电荷” 来代替真实的导体 感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须 保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的 位置由Poisson's equation or Laplace's equation 和边界条件决定。
设电量为 Q，位置为（0，0，a ）
1 [
Q
Q
]
40 x2 y2 (z a)2 x2 y2 (z a)2
由边界条件确定 Q、a和
0 z0
Q
x2 y2 a2
Q x2 y2 a2
唯一解是
Q [ 40
Q Q, a a
(R R0 )
（3）讨论：
R2
R04
R0 / a / a2 2RR02
cos
] /a
(R
R0 )
1
(Ra / R0 )2 R02 2Ra cos
① Q Q ，Q发出的电
力线一部分会聚到导体球
面上，剩余传到无穷远。
Q 4
0
[
1
R2 a2 2Ra cos
镜象法的具体应用
用镜象法解题大致可按以下步骤进行 ： a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件； （坐标系选择仍然根据边界形状来定） b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置； c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式； d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、 电容等。
镜像法往往比分离变量法简单，但它只 能用于一些特殊的边界情况。
a=b
由以上三式解得
所以
Q 1 2 Q 1 2
Q 2 2 Q 1 2
1
Q
4 1
1
1 2
x2 y2 (z a)2 1 2
2 2 (1 2 )
Q x2 y2 (z a)2
(8)
1
点电荷的镜像 点电荷与平面导体
Q
Q
Q
(a)
(b)
(c)
点电荷与球形导体
Q
o
oQ
(d)
(e)
各种简单边界的组合作为边界
Q Q
(a)
(b)
Q
(c)
线电荷的镜像
线电荷与平面导体
λ
λ
λ
(a)
(b)
(c)
线电荷与圆柱形导体
λ
o
oλ
(a)
(b)
平面与圆柱形边界的组合作为边界
λ λ λ
(a)
(b)
1
x2 y2 (z a)2
因为象电荷在左半空 间，所以舍去正号 解
1
]
x2 y2 (z a)2
讨论：（a）导体面上感应电荷分布
0
z
z0
2 (x2
Qa y2 a2 )3/2
Q dS Qa 2rdr Q Q
§2.4 镜 象 法 Method of images
根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有 自由电荷分布时，可用Laplace's equation求解场分 布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用 Poisson's equation 求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电 荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何 求解？这就是本节主要研究的：解决这类问题的一 种特殊方法— 称为镜象法。
导体球不带电，即要求满足电中性条件
0
S
n
ds
0
显然，例3的解不满足电中性的条件，如果在球内再
添置一个象电荷 Q R0 Q ，则满足电中性条 a
件，为了不破坏导体是等位体的条件，由对称性知道， Q"必须放在球心处，于是
外
Q
4 0
(R2
a2
1
1
2R cos ) 2
b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此 放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也 就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所 研究场域的介电常数。（实际是通过边界条件来确定假想电荷的 大小和位置）。
c)一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。
将(1) (2)两式带入 (3)并取x=y=0,可得到
Q Q Q
(6)
1a 2b
将(1) (2)两式带入 (4)并取x=y=0,可得到
Q Q Q
(7)
a2
b2
将(1) (2)两式带入 (5)，消去分子中的x后，再取x=y=0,
Q Q
1a3
Q
2b3
外
Q
4 0
(R2
a2
1
1
2R cos ) 2
(R2
(Ra
/
R0 )2
1 R02
2Ra
cos
]
(R
R0 )
0
(R R0)
② 球面感应 电荷分布
感
0
R
R R0
Q
4R0a
1
(1
R02 a2
2
R02 a2
)
3
R0 a
c
os
2
Q 4R0
(a2 R02 )
a2
R02
Q感
b Q'
a
Q
S
E
ds