对顶角与邻补角讲练稿
§13.1邻补角、对顶角（教案）
§13.1邻补⾓、对顶⾓（教案）§13.1 邻补⾓、对顶⾓上海市实验学校东校吴其胜【教学⽬标】1.理解对顶⾓和邻补⾓的概念，能在图形中辨认．2.掌握对顶⾓相等的性质和它的推证过程．3.进⾏说理和表达的基本训练，初步感知形式推理的规则和过程．【教学重点】在较复杂的图形中准确辨认对顶⾓和邻补⾓．【教学难点】对顶⾓性质的证明．【教学流程】⼀、引⼊1.展⽰⼀张浦东新区局部地图.请同学们找⼀找：罗⼭路和张杨路在哪？（我们分别⽤两条直线AB、CD表⽰罗⼭路和张杨路，很显然他们是相交直线）2.两直线相交，有⼏个交点？3.为什么两条直线相交，只有⼀个交点？理由（反证法）：假如两条直线相交有两个交点，那么经过这两个交点就有了两条直线，这与“经过两点只有⼀条直线”相⽭盾.所以两条直线相交，只有⼀个交点，不可能有两个交点.于是我们⽤点O表⽰它们的交点.⼆、思考1.如图，直线AB与CD相交于点O，形成了哪⼏个⼩于平⾓的⾓？（答：形成了4个⼩于平⾓的⾓：∠1 、∠2 、∠3、∠4 ）2.四个⾓两两相配能组成⼏对⾓？各对⾓存在怎样的位置关系？（答：能组成六对⾓：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4 与∠1、∠1与∠3 、∠2与∠4）下⾯我们⼀起来探索各对⾓存在怎样的位置关系？三、探索1.∠1与∠2的位置关系.⑴填空：∠1的顶点是，边是，∠2的顶点是，边是，它们有⼀个公共顶点是，⼀条公共边是，另⼀条边和互为反向延长线.我们把具有这种位置关系的两个⾓∠1、∠2叫做互为邻补⾓.⑵邻补⾓定义：①有⼀条公共边，它们的另⼀边互为反向延长线，具有这样位置关系的两个⾓叫做互为邻补⾓.②两条直线相交所得的四个⾓中，不仅有⼀个公共顶点，还有⼀条公共边的两个⾓叫做互为邻补⾓.问题1：图中还有没有其他的邻补⾓？答：有，它们是∠2与∠3 、∠3与∠4、∠4 与∠1 .注意1：邻补⾓是成对存在的，它们互为邻补⾓.⑶∠1与∠2的数量关系.问题2：∠1与∠2有什么数量关系呢？答：∠1+∠2=180° .类似的可以得到：∠2+∠3= ∠3+∠4= ∠4+∠1= 180°邻补⾓的性质：邻补⾓互补⑷互为邻补⾓与互为补⾓的区别与联系.答：互为邻补⾓包括两⾓之间的位置关系与数量关系，即：互为邻补⾓的两个⾓既“相邻”⼜“互补”；⽽互为补⾓仅指两⾓之间的数量关系，即：互为邻补⾓的两个⾓“互补”. 互为邻补⾓的两个⾓⼀定是互为补⾓，互为补⾓的两个⾓不⼀定是互为邻补⾓.2.∠1与∠3的位置关系.⑴填空：∠1的顶点是，边是，∠3的顶点是，边是，它们有⼀个公共顶点是，公共边，∠1的两边和∠3的两边都互为反向延长线.我们把具有这种位置关系的两个⾓∠1、∠3叫做互为对顶⾓.⑵对顶⾓定义：①有⼀个公共顶点，并且⼀个⾓的两边分别是另⼀个⾓的两边的反向延长线，具有这样位置关系的两个⾓叫做互为对顶⾓.②两条直线相交所得的四个⾓中，有⼀个公共顶点，没有公共边的两个⾓叫做互为对顶⾓.问题3：图中还有没有其他的对顶⾓？答：有，它们是∠2与∠4 .注意2：对顶⾓是成对存在的，它们互为对顶⾓.⑶∠1与∠3的数量关系.（猜想：∠1=∠3）已知：如图，直线AB、CD相交于点O.说明：∠1=∠3.说理：∵∠1与∠2、∠2与∠3分别是邻补⾓（已知）∴∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°（邻补⾓意义）∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3（等量代换）∴∠1＝∠3 （等量减等量，差相等）类似的可以说明：∠2＝∠4对顶⾓的性质：对顶⾓相等四、应⽤例1 如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝50°.求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数．解：因为直线AB、CD相交于点O，所以∠BOD与∠AOC是对顶⾓，得：∠BOD＝∠AOC＝50°因为直线AB、CD相交于点O，所以∠AOD与∠AOC是邻补⾓，得：∠AOD＝180°－∠AOD＝180°－50°＝130°因为∠BOC与∠AOD是对顶⾓所以∠BOC＝∠AOD＝130°．例2 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．已知∠BOE=65°，求∠AOD、∠AOC的度数．解：因为OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠COE＝65°得：∠BOC＝130°．因为直线AB、CD相交于点O，所以∠BOC与∠AOD是对顶⾓所以∠AOD＝∠BOC＝130°E65?OAD CB50?OAD CB⼜因为∠BOC与∠AOC是邻补⾓，所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－130°＝50°五、反馈课本第40页，练习1、2、3六、⼩结1.今天你有何收获？2.总结邻补⾓和对顶⾓的特征、性质、相同点和不同点.七、作业1.《练习册》13.12.预习13.2.⼋、教学设计说明1．本节课的重点是对顶⾓的概念和性质，这些是重要的基础知识，在以后的学习中常常要⽤到，要求学⽣掌握．对顶⾓的概念是结合图形描述的.这样描述，便于学⽣在图形中辨认.教学中不必让学⽣背这些词句，⽽是让学⽣抓住概念的本质，教给学⽣在图形中如何辨认它们.辨认对顶⾓的要领是：⾸先要有两条直线相交构成四个⾓的前提条件，再找其中有公共顶点但没有公共边（或不相邻）的两个⾓，就是对顶⾓.2．因为本节是由相交线的模型——⽤罗⼭路与张杨路交叉来引⼊的.所以要事先准备好地图，先让学⽣观察地图，对相交线建⽴感性认识，然后再从提供的课件模型来引⼊本节课，激发学⽣的学习兴趣.3．本节课的内容适合启发式教学，教师先拿出相交线的模型，抽象出两条相交直线，再让学⽣观察四个⾓的特征，这四个⾓根据位置关系可以分⼏类，这两类⾓各有什么特征？这些问题都要由⽼师设问、启发，学⽣经过观察、分析、归纳总结出来，让学⽣⾃⼰亲历⼀次发现的过程，有利于学⽣对对顶⾓、邻补⾓的概念和性质的理解.。
教学目标：1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认.
教学目标：1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．教学反思教学过程一、创设情境，引入课题先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题．我（1（21的对∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．注意：∠l与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．或写成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义），∴∠1＝∠3（等量代换）．学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演。
解：∠3＝∠1＝40°（对顶角相等）．∠2＝180°－40°＝140°（邻补角定义）．∠4＝∠2＝140°（对顶角相等）．三、范例学习学生活动：让学生把例题中∠1＝40°这个条件换成其他条件，而结论不变，自编几道题．变式1：把∠l＝40°变为∠2－∠1＝40°变式2：把∠1＝40°变为∠2是∠l的3倍变式3：把∠1＝40°变为∠1：∠2＝2：9四、课堂小结学生表格中的结论均由学生自己口答2.线”,重点1.印象2.3.师生共同给出垂直定义.师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。
如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。
4.垂直的表示法.垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB⊥CD,垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.5.简单应用(1)学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条,并再举出生活中其他实例.(2)判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交,有一组邻补角相等;④两条直线相交,对顶角互补.二、画图实践,探究垂线的性质1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?通过师生交流,使学生明确直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的垂线位置?在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.(2)2.(1)过点(2)过点(3)过点,,并会度1.教师展示课本图5.1-8,提出问题:要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?学生看图、思考.2.教师以问题串形式,启发学生思考.(1)问题1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗?学生说出:两点间线段最短.(2)问题2,如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢?把江河看成直线L,那么原问题就是怎么的数学问题.问题2使学生能用数学眼光思考:在连接直线L外一点P与直线L上各点的线段中,哪一条最短? 3.教师演示教具,给学生直观的感受.教具如图:在硬纸板上固定木条L,L 外一点P,转动的木条a 一端固定在点P.使木条L 与a 相交,左右摆动木条a,L 与a 的交点A 随之变化,线段PA 长度也随之变化.PA 最短时,a 与L 的位置关系如何?用三角尺检验.4.学生画图操作,得出结论.(1)画出直线L,L 外一点P;(2)过P 点出PO⊥L,垂足为O;(3)点A 1,A 2,A 3……在L 上,连接PA 、PA 2、PA 3……;(4)用叠合法或度量法比较PO 、PA 1、PA 2、PA 3……长短.5.师生交流,得出垂线的另一条性质.教师板书:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.(1)(2)1.他线段在图的距离.2.我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。
【初中数学】相交线(1)邻补角与对顶角讲练课件 2023—2024学年人教版数学七年级下册
4. 如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1＋∠2＝140°， 则∠1＝_7_0__°，∠4＝_1_1_0__°.
利用邻补角与对顶角的性质求角度 5. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOD＝40°，
OA平分∠COE，求∠DOE的度数． 解：∵∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°， ∵OA平分∠COE， ∴∠COE＝2∠AOC＝80°，
同学们，再见！
பைடு நூலகம்
∴∠DOE＝180°－∠COE＝100°.
6. (2023·湛江霞山区一模)如图，直线AB，CD相交于点 O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝26°，求∠AOE 的度数．
解：∵∠AOC＝26°， ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝154°. 又∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠AOE＝ 12∠AOD＝77°.
新人教版初中七年级数学下学期
第五章 相交线与平行线
第1课 相交线(1) 邻补角与对顶角
邻补角与对顶角的定义及性质
定义
图例 性质 几何语言
邻 有一条公共边，另一 补 边互为反向延长线的 角 两个角
∵∠1与∠2 邻补角 是邻补角， 互__补___ ∴∠__1_＋__∠__2__
＝__1_8_0_°______
对 有公共顶点，一角的 顶 两边与另一角的两边 角 互为反向延长线
对顶角 _相__等__
∵∠1与∠2 是对顶角， ∴∠__1_＝__∠__2__
1. 下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是
( D)
2. (2023·东莞月考)下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角
的是
( B)
3. 如图，直线a，b相交于点O. (1)∠1的对顶角是_∠__3_，∠1的邻补角是_∠__2_，__∠__4___； (2)(2023·东莞月考)∠2＝140°，则∠1＝___4_0_°_，∠3 ＝__4_0_°__．
知识点246 对顶角、邻补角(解答题)
246 对顶角、邻补角（解答题）1、如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．2、如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外．如何测量（运用本章知识）？3、如图，直线AB与CD相交于点O，那么∠1=∠2吗？请说明你的理由．4、如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？5、如图，∠1=∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数．6、如图，AB，CD交于O点．（1）如果∠AOD=3∠BOD，那么∠BOD= _________ 度，∠COB= _________ 度；（2）如果∠AOC=2x°，∠BOC=（x+90）°，∠BOD=（y+4）°，求x，y的值．7、如图，直线AB、CD相交于点O，已知：∠AOC=70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．8、如图（1）两条直线相交于一点，有_________ 对对顶角；如图（2）三条直线相交于一点，请写出所有对顶角；如图（3）n条直线相交于一点，有_________ 对对顶角．9、如图，直线AB、CD、EF相交于一点O，∠AOD=3∠AOF，∠AOC=120°，求∠BOE．10、如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1=20°，∠BOC=80°，求∠2的度数．11、如图，直线AB与CD相交于点O，OD恰为∠BOE的角平分线．（1）图中∠AOD的补角是_________ （把符合条件的角都填出来）；（2）若∠AOD=140°，求∠AOE的度数．12、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？13、如图，直线a，b，c两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．14、如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量请你写出两种不同的测量方法，并说明几何道理．15、如图，直线AB、CD相交于点0，OE平分∠AOC，∠AOD比∠AOE大75°，求∠AOD的度数．16、如图，要测量两堆围墙所形成的∠AOB的度数，但人既不能进入围墙内，又不能站在围墙上，只能站在墙外，如何测量？（要求用两种方法）17、附加题：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．（1）计算：（﹣2）×（﹣3）= _________ ．（2）已知直线AB与直线CD相交于O点，∠1=70°，则∠2= _________ 度．18、如图，把∠AOE绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得∠COD，且使射线OC平分∠AOE的邻补角，已知∠DOE=30°，问∠AOE按顺时针方向旋转了多少度．19、如图，直线a，b，c相交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．20、如图所示，（1）是某城市古建筑群中一座古塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计如何测量出古塔外墙底部的∠ABC大小的方案，并说明理由．注：（2），（3）图备用．21、如图，三条直线AB、CD、EF相交于同一点O，若∠AOE=2∠AOC，∠COF=60°，求∠BOD的度数．22、如图∠AOD=90°，OD为∠BOC的平分线，OE为BO的延长线，若∠AOB=40°，求∠COE的度数．23、如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD，∠COE=28°．求∠AOC和∠DOF的度数．24、如图，直线AB，CD，EF交于点O，∠BOC=46°．射线OE平分∠BOC，求：（1）∠2和∠3的度数；（2）射线OF平分∠AOD吗？请说明理由．25、已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠DOE=4：1．求∠AOF 的度数．26、如图，一条光线AO射到墙上的镜子CD后沿OB方向反射出去，已知OM⊥CD，∠1=∠2．求证：∠2+∠3=90°．27、已知：直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC=45°，（1）如图1，若EO⊥AB，求∠DOE的度数；（2）如图2，若EO平分∠AOC，求∠DOE的度数．28、已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE的度数．29、如图，已知直线AB、CD交于点O，且∠1：∠2=2：3，∠AOC=60°，求∠2的度数．30、如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE=80°，求∠BOD的度数．31、如图：AB、CD、EF相交于点O，∠1=50°，∠2=50°．求∠3的度数．32、如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．（1）求∠2和∠3的度数；（2）OF平分∠AOD吗？为什么？33、如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，∠AOC=37°，求∠BOC，∠BOE的度数．34、小明同学认为对顶角可以这样定义：顶点公共，而且相等的角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确请举一个反例，并对“对顶角”正确定义．答案与评分标准1、如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义。
沪教版(上海)数学七年级第二教学设计：13.1邻补角、对顶角
-设想情境：利用学校操场或教室内的布局，设计实际问题，如测量角度、计算距离等。
5.教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动探索，鼓励学生提出问题和解决问题，培养学生的创新思维。
-设想策略：采用提问、讨论、展示等多种方式，激发学生的思考，教师适时给予指导和反馈。
4.教育学生学会尊重他人，善于倾听他人的意见，培养学生的合作精神和社会责任感。
在教学过程中，教师应充分关注学生的学习需求，结合学生的实际情况，灵活运用多种教学方法和策略，以确保教学目标的达成。同时，注重培养学生的几何思维能力和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
二、学情分析
七年级的学生已经在之前的数学学习中，掌握了基本的几何概念和性质，具备了一定的几何直观和逻辑推理能力。在此基础上，学生对邻补角和对顶角的学习将更加深入地理解几何图形之间的关系。然而，由于邻补角和对顶角的概念较为抽象，学生可能在学习过程中遇到理解上的困难，需要教师在教学过程中给予关注和引导。
4.能够运用邻补角和对顶角的知识，解决一些基本的几何问题，如角度的计算、线段长度的求解等。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、讨论等教学活动，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力。
2.引导学生运用直观感知和逻辑推理相结合的方法，探索邻补角和对顶角的性质，提高学生的几何直观和逻辑思维能力。
3.设计丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高学生的解题技巧和策略。
2.学生分组讨论，分享自己的观察和发现。在此过程中，教师巡回指导，引导学生用几何语言进行准确表述，培养学生的表达能力和逻辑思维。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。通过讨论，使学生加深对邻补角和对顶角性质的理解，为解决实际问题奠定基础。
第2课时 对顶角邻补角之学案
第2课时 对顶角邻补角一、知识回顾1、如果两角之和为_________，则称这两个角互为余角；如果两角之和为_________，则称这两个角互为补角。
2、如图（1）所示，直线AB 和CD 相交形成了______个角（不包含平角），它们分别是_______________________ 3、思考一下：上题中的几个角有什么关系？二、学习过程（一）、邻补角概念引入1、如右图示，∠1+∠2=_________，∠3+∠_____=180°，它们有什么关系____________________。
类似的，你还能找到哪些角有这样的关系？请写出来：__________________________像这样，两条直线相交形成的角中，一组边公共，另一组边与为反向延长线的两个角，称为邻补角 练习：1、判断：（1）邻补角一定是补角（ ）（2）补角一定是邻补角（ ）2、 如图，∠1的邻补角是__________，∠2的的邻补角是_________，∠3的邻补角是__________，∠4的邻补角是__________.3、一个角的邻补角最多有_______个，一个角的补角可以有_______个。
4、作图题：请画出∠ABC 的邻补角（二）、对顶角概念引入1、因为∠1+∠2=_________，∠2+∠3=________，所以∠1___∠3（填<、>、=）你还能找出有类似关系的角吗？_________________ 像这样，两条直线相交形成的角中，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，则这样两个角互为对顶角。
由上题可知，对顶角的性质：_______________________________ 练习：判断下列各图中是否存在对顶角.(1)OD C B A 4321O D C BA214321O D C B AB作图题：请画出∠ABC 的对顶角（三）、对顶角性质的证明 1、“对顶角相等”是命题吗？写成“如果……，那么……”的形式是：____________________________________ 2、请证明：对顶角相等 已知： 求证： 证明：（四）、邻补角对顶角应用于计算例 如图直线a 、b 相交，∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数． 解:（五）、根据邻补角、对顶角的概念性质做以下习题1、图中∠1与∠2是对顶角的图是( )．2121B2、如上面右图，∠1的邻补角是( )．(A)∠BOC (B)∠BOC和∠AOF(C)∠AOF (D)∠BOE和∠AOF3、如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°．(1)∠1和∠2互为______角；∠1和∠4互为______角；∠2和∠3互为_______角；∠1和∠3互为______角；∠2和∠4互为______角．(2)若∠1＝20°，那么∠2＝______；∠3＝∠BOE－∠______＝______°－______°＝______°；∠4＝∠______－∠1＝______°－______°＝______°．判断正误1．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．( ) 2．如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角． ( ) 3．有一条公共边的两个角是邻补角．( ) 4．如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．( ) 5．对顶角的角平分线在同一直线上．( ) 6．有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．( )邻补角对顶角之归纳法回答下列问题：(1)、二条直线AB，CD相交，所得图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?(2)、三条直线AB，CD，EF两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?(3)、四条直线AB，CD，EF，GH两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?(4)、m条直线a1，a2，a3，…，a m－1，a m相交于点O，则图中一共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?邻补角对顶角之实际应用如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量?邻补角与对顶角之分类思想已知点O是直线AB上一点，OC，OD是两条射线，且∠AOC=∠BOD，则∠AOC与∠BOD是对顶角吗？为什么？。
对顶角、邻补角概念性质考察
邻补角、对顶角概念性质考察邻补角、对顶角的概念 【典型例题】1、下面各图中，∠1与∠2是邻补角的是（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】 对顶角、邻补角 【解析】根据对顶角的定义进行解答即可．难度：2【解答】解：A ．不是两条直线相交组成的角，故A 错误； B ．是对顶角而不是邻补角；C ．不是两条直线相交组成的角，故C 错误；D ．符合题意，故D 正确． 故选：D ．2、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A.B. C.D.【答案】 B 【考点】 对顶角、邻补角难度：2【解析】根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A 、∠1与∠2不是对顶角，故A 选项错误； B 、∠1与∠2是对顶角，故B 选项正确； C 、∠1与∠2不是对顶角，故C 选项错误； D 、∠1与∠2不是对顶角，故D 选项错误． 故选：B ．【巩固练习】1. 下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（）A.B.C.D.【答案】D【考点】对顶角、邻补角难度：2【解析】根据邻补角的定义，相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断．【解答】解：A、B选项，∠1与∠2没有公共顶点且不相邻，不是邻补角；C选项∠1与∠2不互补，不是邻补角；D选项互补且相邻，是邻补角．故选D ．2、下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】 对顶角、邻补角难度：3【解析】根据邻补角的定义作出判断即可． 【解答】根据邻补角的定义可知：只有D 图中的是邻补角，其它都不是．3、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A.B.C.D.【答案】C【考点】对顶角、邻补角难度：2【解析】根据对顶角的定义作出判断即可．【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有丙图中的是对顶角，其它都不是．故选：C．4、如图，∠1和∠2是对顶角的图形个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 A 【考点】 对顶角、邻补角难度：3【解析】一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．据此作答即可． 【解答】解：只有丙图中的两个角是对顶角， 故选：A ．5、如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】 对顶角、邻补角【解析】根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断．【解答】解：图形中从左向右A，B，D个图形中的∠1和∠2的两边都不互为反向延长线，故不是对顶角，只有C个图中的∠1和∠2的两边互为反向延长线，是对顶角．故选：C．6、下列图形中∠1和∠2是对顶角的是（）A.B.C.D.【答案】D对顶角、邻补角难度：2【解析】一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线，这两个角是对顶角．依据定义即可判断．【解答】解：互为对顶角的两个角：一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线．满足条件的只有D．故选D．7、下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（）A.1个B.2个C.3个D.0个【答案】C【考点】对顶角、邻补角难度：2根据对顶角的定义进行判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．【解答】解：根据对顶角的定义可知：图中只有第二个是对顶角，其它都不是．故选C8、下列说法中正确的有（）个．①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】对顶角、邻补角难度：3【解析】根据对顶角的定义和性质判断．【解答】解：②对顶角要符合两直线相交构成的没有公共边的两个相对的角是对顶角，但相等的角不一定是对顶角；④例如30∘与30∘的角不一定是对顶角，但这两个角一定相等，故②④错误；正确的有①③两个．故选：B．【课后作业】1、如图，∠1与∠2是对顶角的是（）A.B.C.D.【答案】C【考点】对顶角、邻补角难度：2【解析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．【解答】解：A 、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边不在同一条直线上，不是对顶角，故A 选项错误；B 、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故B 选项错误；C 、∠1与∠2的两边互为反向延长线，是对顶角，故C 选项正确；D 、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边不在同一条直线上，不是对顶角，故D 选项错误．故选：C ．2、在下图中，∠1，∠2是对顶角的图形是（ ）A.B.C.D.【答案】C【考点】对顶角、邻补角难度：2【解析】此题在于考查对顶角的定义，作为对顶角，首先是由两条直线相交形成的，其次才是对顶角相等．【解答】解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A、B、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误；C是由两条直线相交构成的图形，正确．故选C．3、如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（）个．A.1B.2C.3D.4【答案】A【考点】对顶角、邻补角难度：3【解析】根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断．【解答】解：图形中从左向右第1，2，4个图形中的∠1和∠2的两边都不互为反向延长线，故不是对顶角，只有第3个图中的∠1和∠2的两边互为反向延长线，是对顶角．故选：A．邻补角、对顶角的性质【典型例题】1、如图，直线a、b相交于点O，若∠1等于40∘，则∠2等于（）A.50∘B.60∘C.140∘D.160∘【答案】C【考点】对顶角、邻补角【解析】因∠1和∠2是邻补角，且∠1=40∘，由邻补角的定义可得∠2= 180∘−∠1=180∘−40∘=140∘．难度：1【解答】解：∵∠1+∠2=180∘又∠1=40∘∴∠2=140∘．故选C．2、如图，直线a和直线b相交于点O，∠1=50∘，则∠2=________．【答案】50∘【考点】对顶角、邻补角难度：1【解析】根据对顶角相等即可求解．【解答】解：∵∠2与∠1是对顶角，∴∠2=∠1=50∘．故答案为50∘．3、如图，∠1=∠2是对顶角，∠1=180∘−α，∠2=35∘，则α的度数是（）A. 155∘B. 35∘C. 135∘D. 145∘[答案]D[知识点]对顶角、邻补角难度：2[解答]解：∵∠1与∠2是对顶角，∠2=35∘，∴∠1=∠2=35∘，∵∠1=180∘−α，∴35∘=180∘−α，∴α=145∘．故选D．4、如图，已知AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC=28∘，则∠AOD=________度．[答案]62[知识点]角的计算对顶角、邻补角[解答]难度：3解：∵OE⊥AB，∠EOC=28∘，∴∠COB=90∘−∠EOC=62∘，∴∠AOD=62∘（对顶角相等）．故答案为：62．【巩固练习】1、如图，图中∠α的度数等于（）A.135∘B.125∘C.115∘D.105∘【答案】A【考点】对顶角、邻补角【解析】根据邻补角互补解答即可．难度：2【解答】解：∠α的度数=180∘−45∘=135∘．故选A．2、如图，直线AB和OC相交于点O，∠AOC=100∘，则∠1=________度．【答案】80【考点】对顶角、邻补角难度：1【解析】根据邻补角互补，可得答案．【解答】解：由邻补角互补，得∠1=180∘−∠AOC=180∘−100∘=80∘，故答案为：80．3、已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3=________度．【答案】180【考点】对顶角、邻补角难度：3【解析】根据对顶角、邻补角的性质，可得∠1=∠2，∠1+∠3=180∘，则∠2+∠3=∠1+∠3=180∘．【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，又∵∠1与∠3是邻补角，∴∠1+∠3=180∘，等角代换得∠2+∠3=180∘．4、若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3=45∘，则∠1的度数为________．【答案】135∘【考点】对顶角、邻补角难度：3【解析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解．【解答】解：∵∠2的邻补角是∠3，∠3=45∘，∴∠2=180∘−∠3=135∘．∵∠1的对顶角是∠2，∴∠1=∠2=135∘．5、如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若α=44∘，则β=( )A.56∘B.46∘C.45∘D.44∘【答案】B【考点】垂线对顶角、邻补角难度：2【解析】由题意可得α+β=90∘，把α=44∘代入求解即可．【解答】解：∵OM⊥l1，∴β+90∘+α=180∘，把α=44∘代入，得β=46∘．故选：B．6、如图，∠1=15∘，∠AOC=90∘，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（）A.75∘B.15∘C.105∘D.165∘【答案】C【考点】垂线对顶角、邻补角难度：2【解析】由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可求出∠2．【解答】解：∵∠1=15∘，∠AOC=90∘，∴∠BOC=75∘，∵∠2+∠BOC=180∘，∴∠2=105∘．故选：C．7、如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70∘，则∠BOD的度数等于（）A.40∘B.35∘C.30∘D.20∘【答案】B【考点】对顶角、邻补角角平分线的定义难度：3【解析】根据角平分线的定义求出∠AOC，再根据对顶角相等解答即可．【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=70∘，∴∠AOC=12∠EOC=12×70∘=35∘，∴∠BOD=∠AOC=35∘．故选B．8、如图，CD⊥AB，垂足为C，∠1=130∘，则∠2=________度．【答案】40【考点】垂线对顶角、邻补角难度：2【解析】利用相交线寻找已知角∠1的对顶角，可以建立已知角∠1与所求角∠2之间的等量关系，可求∠2．【解答】解：由图知，∠1和∠ACE是对顶角，∴∠1=∠ACE=130∘，即∠ACD+∠2=130∘，∵CD⊥AB，∴∠ACD=90∘，∴130∘=90∘+∠2，解得∠2=40∘．9、如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20∘，则∠COE等于________度．【答案】70【考点】垂线对顶角、邻补角难度：2【解析】根据对顶角相等求出∠AOC，根据垂直求出∠AOE，相减即可求出答案．【解答】解：∵∠BOD=20∘，∴∠AOC=∠BOD=20∘，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90∘，∴∠COE=90∘−20∘=70∘，故答案为：70．【课后作业】1、. 若∠1与∠2是对顶角，且∠1+∠2=130°，则∠1=________，∠2=________.考点：对顶角难度：2分析：题目已知∠1+∠2=130°，要求∠1和∠2的度数，首先需要确定∠1与∠2之间的大小关系；通过回想对顶角的定义，根据∠1与∠2是对顶角可得∠1=∠2，想想看接下来该怎么做？接下来根据∠1+∠2=130°以及∠1=∠2，即可求出∠1和∠2的大小.解答：答案：65°，65°.因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2.又因为∠1+∠2=130°，所以∠1=∠2=65°.故答案为65°，65°.2、如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE的对顶角是，∠COF的邻补角是，若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD=130°，则∠BOC= 。
(完整word版)邻补角、对顶角(1)
O 4321D CB AO 4321D C B A 邻补角、对顶角 姓名：一、探究新知，讲授新课1、邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做互为邻补角。
图中，∠AOC 有两个邻补角：∠AOD 和∠COB 。
（注：补角只注重数量关系两角之和是180°，即无论是否有公共边均可，但邻补角还要注重位置上的关系)。
2、邻补角的性质：一个角与它的邻补角的和等于180°。
3、对顶角的概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
如图，两条直线相交，构成两对对顶角。
∠1与∠3为一对对顶角，∠2与∠4为一对对顶 注意：1。
对顶角一定相等，但是相等的角不一定是对顶角。
2．.对顶角必须有共同顶点。
3．对顶角是成对出现的。
4、对顶角的性质：对顶角相等。
∵直线AB,CD 相交于点O ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4(对顶角相等)。
4、证明对顶角性质：对顶角相等。
因为∠1＋∠_____＝180°（ ）∠2＋∠_____＝180°（ ） 所以∠1＝∠3 （ ） 二、基础练习：1、判断下列图中是否存在对顶角.2、作图题：请画出∠ABC 的对顶角3、一个角的邻补角最多有_______个，一个角的补角可以有_______个。
4、作图题：请画出∠ABC 的邻补角212121CA BCA B三、例题讲解例一：如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC ＝50°，求∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 的度数. 解：例二：如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC.已知 ∠BOE=65°,求∠AOD 、∠AOC 的度数. 解：四、巩固练习1、图中是对顶角的是( )．2如图，∠1的邻补角是( )． 2题图 (A)∠BOC(B)∠BOC 和∠AOF (C)∠AOF(D)∠BOE 和∠AOF3.下列说法中，正确的个数为 （ ）⑴有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；⑵相等的两个角是对顶角； ⑶如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；⑷如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角互为对顶角； ⑸如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角； A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4.下列四个说法中，正确的说法有 （ ）⑴相等且互补的两个角都是直角； ⑷一个角的两个邻补角是对顶角； ⑵两个角互补，则它们的角平分线的夹角为直角； ⑶两个角互为邻补角，则它们角平分线的夹角为直角； A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个50︒OADCBE65︒O ADCBF 134A BCDOE5265、平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（ ）.A 、7B 、6C 、5D 、46、已知∠1与∠2是邻补角，∠2是∠3的邻补角，那么∠1与∠3的关系是（ ）.A 、对顶角B 、相等但不是对顶角C 、邻补角D 、互补但不是邻补角 7、如图，直线AB 、CD 相交于O 点，∠AOE ＝90°．∠1和∠2互为______角；∠1和∠4互为______角；∠2和∠3互为_______角； 8、邻补角的平分线构成 ° 角，对顶角的平分线构成 °角。
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相交线导学案（20150105）
一、自主预习：1、问题1：两条相交直线.形成的小于平角的角有哪几个? 问题2：将所得到的角两两相配共能组成几对角？（每两个角组成一对） 问题3：根据各对角不同的位置怎么将它们分类?
问题4：以∠1和∠2为例分析各对角存在怎样的位置关系？
问题5：类似∠1和∠2，分析∠1和∠3存在怎样的位置关系？ 2、
巩固概念练习：1.下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？为什么？
（1） （2） （3）
2.下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
3、对顶角性质：对顶角相等。
注意：1、如果两个角互为邻补角，那么它们一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角。
2、只有当两条直线相交时，才会产生对顶角。
对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角。
巩固练习： 例1．如图，直线a ， b 相交， ∠ 1=40°，求∠2， ∠3， ∠4的度数. 解：∵∠1+∠2=180 ( ) ∴∠2=180-∠1=
∴∠3=∠1= ∠4=∠2= ( ) 变式一：若∠1=32°20′，求∠2， ∠3， ∠4的度数.
变式二：若∠1+∠3=50°，则∠3= ，∠2= 。
变式三：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数。
（二）合作探究
1、如图，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，(1)右图中∠AOC 的对顶角是 , ∠1邻补角是 。
(2)如图，直线AB 、CD 相交于O ，∠AOC=80°，∠1=30°，求∠2的度数。
解：∵∠DOB=∠ ，（对顶角相等 ）
=80°（已知） ∴∠DOB= °（等量代换）
又∵∠1=30° （已知）
∴∠2 = ∠ - ∠ = - =
2、如图,直线AB 、CD 相交于点O (1)若∠AOC+∠BOD=100°,求∠BOC 、∠AOD 的度数； (2)若∠BOC 比∠AOC 的2倍多33°,求∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 、∠BOD 的度数。
3、如图，直线AB 、CD 交于点O ，∠BOD=40°，
OA 平分∠COE ，求∠DOE 的度数
4、如图，两堵墙围一个角∠AOB,但人不能进入围墙， 我们如何去测量这个角的大小呢？请画图加以说明。
5、 如图，已知OA OB ⊥，OC OD ⊥，试说明180AOD BOC ∠+∠=. 证明：∵OA OB ⊥，OC OD ⊥，
∴90AOB COD ∠=∠=( )
∴∠AO D ＋∠BOC=（∠AOB ＋∠BOD ）＋（∠COD －∠ ） = .
1
2
1
1 2
2
邻补角：有一条（ ）,而且另一边（ ）的两个角叫做邻补角. 对顶角：如果两个角有一个（ ）, 而且一个角的两边分别是另一角两边的（ ）,那么这两个角叫对顶角 已知：直线a 与直线b 相交 求证：∠1=∠2 证明：∵ ∠1+∠3=180°（邻补角定义） ∠2+∠3= （ ） ∴ ∠1=∠2 （ ） 括号内填根据
A
E 1
2 ) ) O
C
B D
F
A
D
O
C
B
43
21O
D
C B
A
1 2 （2） （3） （4） 2 1 （1） 1 2 （5） 1 2 1 2 4b a
3
2
1
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3
2
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D C
B
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A
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C B
D。