邻补角与对顶角
知识点246 对顶角、邻补角(解答题)
246 对顶角、邻补角〔解答题〕1、如下列图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．2、如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外．如何测量〔运用本章知识〕？3、如图，直线AB与CD相交于点O，那么∠1=∠2吗？请说明你的理由．4、如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？5、如图，∠1=∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数．6、如图，AB，CD交于O点．〔1〕如果∠AOD=3∠BOD，那么∠BOD= _________ 度，∠COB= _________ 度；〔2〕如果∠AOC=2x°，∠BOC=〔x+90〕°，∠BOD=〔y+4〕°，求x，y的值．7、如图，直线AB、CD相交于点O，：∠AOC=70°，OE把∠BOD分成两局部，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．8、如图〔1〕两条直线相交于一点，有_________ 对对顶角；如图〔2〕三条直线相交于一点，请写出所有对顶角；如图〔3〕n条直线相交于一点，有_________ 对对顶角．9、如图，直线AB、CD、EF相交于一点O，∠AOD=3∠AOF，∠AOC=120°，求∠BOE．10、如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1=20°，∠BOC=80°，求∠2的度数．11、如图，直线AB与CD相交于点O，OD恰为∠BOE的角平分线．〔1〕图中∠AOD的补角是_________ 〔把符合条件的角都填出来〕；〔2〕假如∠AOD=140°，求∠AOE的度数．12、〔动手操作实验题〕如下列图是小明自制对顶角的“小仪器〞示意图：〔1〕将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；〔2〕另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；〔3〕延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，∠1=30°，∠ACF为多少？13、如图，直线a，b，c两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．14、如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量请你写出两种不同的测量方法，并说明几何道理．15、如图，直线AB、CD相交于点0，OE平分∠AOC，∠AOD比∠AOE大75°，求∠AOD的度数．16、如图，要测量两堆围墙所形成的∠AOB的度数，但人既不能进入围墙内，又不能站在围墙上，只能站在墙外，如何测量？〔要求用两种方法〕17、附加题：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．〔1〕计算：〔﹣2〕×〔﹣3〕= _________ ．〔2〕直线AB与直线CD相交于O点，∠1=70°，如此∠2= _________ 度．18、如图，把∠AOE绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得∠COD，且使射线OC平分∠AOE的邻补角，∠DOE=30°，问∠AOE按顺时针方向旋转了多少度．19、如图，直线a，b，c相交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．20、如下列图，〔1〕是某城市古建筑群中一座古塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计如何测量出古塔外墙底部的∠ABC大小的方案，并说明理由．注：〔2〕，〔3〕图备用．21、如图，三条直线AB、CD、EF相交于同一点O，假如∠AOE=2∠AOC，∠COF=60°，求∠BOD的度数．22、如图∠AOD=90°，OD为∠BOC的平分线，OE为BO的延长线，假如∠AOB=40°，求∠COE的度数．23、如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD，∠COE=28°．求∠AOC和∠DOF的度数．24、如图，直线AB，CD，EF交于点O，∠BOC=46°．射线OE平分∠BOC，求：〔1〕∠2和∠3的度数；〔2〕射线OF平分∠AOD吗？请说明理由．25、：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠DOE=4：1．求∠AOF的度数．26、如图，一条光线AO射到墙上的镜子CD后沿OB方向反射出去，OM⊥CD，∠1=∠2．求证：∠2+∠3=90°．27、：直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC=45°，〔1〕如图1，假如EO⊥AB，求∠DOE的度数；〔2〕如图2，假如EO平分∠AOC，求∠DOE的度数．28、直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE的度数．29、如图，直线AB、CD交于点O，且∠1：∠2=2：3，∠AOC=60°，求∠2的度数．30、如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE=80°，求∠BOD的度数．31、如图：AB、CD、EF相交于点O，∠1=50°，∠2=50°．求∠3的度数．32、如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．〔1〕求∠2和∠3的度数；〔2〕OF平分∠AOD吗？为什么？33、如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，∠AOC=37°，求∠BOC，∠BOE的度数．34、小明同学认为对顶角可以这样定义：顶点公共，而且相等的角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确请举一个反例，并对“对顶角〞正确定义．答案与评分标准1、如下列图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义。
2020-2021学年七年级数学下册教材配套教学课件之邻补角、对顶角的定义及性质
1 2
6.如图,直线AB,CD相交于点O， ∠EOC=70°， OA平分∠EOC，求 ∠BOD的度数.
解：∵OA平分∠EOC,
∴∠AOC=
1 2
∠EOC=35°,
∴∠BOD=∠AOC=35°.
E
D
A
B
O
C
拓展题：观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)
思考 :剪刀剪东西的过程中,你能说说∠AOC与∠AOD,∠AOC与∠BOD这两 对角的位置保持怎样的关系吗？
A
C
O
∠AOC和∠AOD有一条公共边AO，且∠AOC的
另一边是∠AOD另一边的反向延长线.
∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边 分别是∠BOD两边的反向延长线.
DB
一、邻补角的概念 邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为__反__向__延__长__线__，那 么这两个角互为邻补角.图中∠1的邻补角有__∠__2_,_∠__3___.
解:(1)∠AOC的邻补角是∠AOD和 ∠COB;∠BOE的邻补角是 ∠EOA和∠BOF.
(2)∠DOA的对顶角是∠COB; ∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD=∠AOC= 50°; ∠COB=180°-∠AOC=130°.
D E
A
O
B
F
C
5. 在下图中，花坛转角（红色标注的角）按图纸要求为135°；施工结束 后，要求你检测它是否合格？请你设计检测的方法.
不是
12
是
1( )2
不是
12
不是
3.找出图中∠AOE的邻补角及对顶角,若没有请画出.
七下数学“相交线与平行线”的知识点
七下数学“相交线与平⾏线”的知识点开学已经有⼏天了，新的第⼀章知识掌握的怎么样了呢？这⼀单元主要是概念和性质定理⼀定要理解清楚，可以在这篇⽂章梳理⼀下，⼀定能帮到你！⼀、相交线1.邻补⾓与对顶⾓两直线相交所成的四个⾓中存在⼏种不同关系的⾓，它们的概念及性质如下表：注意点：⑴对顶⾓是成对出现的，对顶⾓是具有特殊位置关系的两个⾓；⑵如果∠α与∠β是对顶⾓，那么⼀定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不⼀定是对顶⾓⑶如果∠α与∠β互为邻补⾓，则⼀定有∠α∠β=180°；反之如果∠α∠β=180°，则∠α与∠β不⼀定是邻补⾓。
⑶两直线相交形成的四个⾓中，每⼀个⾓的邻补⾓有两个，⽽对顶⾓只有⼀个。
2.垂线⑴定义：当两条直线相交所成的四个⾓中，有⼀个⾓是直⾓时，就说这两条直线互相垂直，其中的⼀条直线叫做另⼀条直线的垂线，它们的交点叫做垂⾜。
符号语⾔记作：如图所⽰：AB⊥CD，垂⾜为 O⑵垂线性质 1：过⼀点有且只有⼀条直线与已知直线垂直 (与平⾏公理相⽐较记)⑶垂线性质 2：连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
3.垂线的画法：⑴过直线上⼀点画已知直线的垂线；⑵过直线外⼀点画已知直线的垂线。
注意：①画⼀条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过⼀点作线段的垂线，垂⾜可在线段上，也可以在线段的延长线上。
画法：⑴⼀靠：⽤三⾓尺⼀条直⾓边靠在已知直线上，⑵⼆移：移动三⾓尺使⼀点落在它的另⼀边直⾓边上，⑶三画：沿着这条直⾓边画线，不要画成给⼈的印象是线段的线。
4.点到直线的距离直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
应该结合图形进⾏记忆。
如图，PO⊥AB，同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。
PO 是垂线段。
PO 是点 P 到直线 AB所有线段中最短的⼀条。
现实⽣活中开沟引⽔，牵⽜喝⽔都是“垂线段最短”性质的应⽤。
5.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近⽽⼜相异的概念。
知识点246 对顶角、邻补角(解答题)
246 对顶角、邻补角（解答题）1、如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．2、如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外．如何测量（运用本章知识）？3、如图，直线AB与CD相交于点O，那么∠1=∠2吗？请说明你的理由．4、如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？5、如图，∠1=∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数．6、如图，AB，CD交于O点．（1）如果∠AOD=3∠BOD，那么∠BOD= _________ 度，∠COB= _________ 度；（2）如果∠AOC=2x°，∠BOC=（x+90）°，∠BOD=（y+4）°，求x，y的值．7、如图，直线AB、CD相交于点O，已知：∠AOC=70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．8、如图（1）两条直线相交于一点，有_________ 对对顶角；如图（2）三条直线相交于一点，请写出所有对顶角；如图（3）n条直线相交于一点，有_________ 对对顶角．9、如图，直线AB、CD、EF相交于一点O，∠AOD=3∠AOF，∠AOC=120°，求∠BOE．10、如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1=20°，∠BOC=80°，求∠2的度数．11、如图，直线AB与CD相交于点O，OD恰为∠BOE的角平分线．（1）图中∠AOD的补角是_________ （把符合条件的角都填出来）；（2）若∠AOD=140°，求∠AOE的度数．12、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？13、如图，直线a，b，c两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．14、如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量请你写出两种不同的测量方法，并说明几何道理．15、如图，直线AB、CD相交于点0，OE平分∠AOC，∠AOD比∠AOE大75°，求∠AOD的度数．16、如图，要测量两堆围墙所形成的∠AOB的度数，但人既不能进入围墙内，又不能站在围墙上，只能站在墙外，如何测量？（要求用两种方法）17、附加题：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．（1）计算：（﹣2）×（﹣3）= _________ ．（2）已知直线AB与直线CD相交于O点，∠1=70°，则∠2= _________ 度．18、如图，把∠AOE绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得∠COD，且使射线OC平分∠AOE的邻补角，已知∠DOE=30°，问∠AOE按顺时针方向旋转了多少度．19、如图，直线a，b，c相交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．20、如图所示，（1）是某城市古建筑群中一座古塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计如何测量出古塔外墙底部的∠ABC大小的方案，并说明理由．注：（2），（3）图备用．21、如图，三条直线AB、CD、EF相交于同一点O，若∠AOE=2∠AOC，∠COF=60°，求∠BOD的度数．22、如图∠AOD=90°，OD为∠BOC的平分线，OE为BO的延长线，若∠AOB=40°，求∠COE的度数．23、如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD，∠COE=28°．求∠AOC和∠DOF的度数．24、如图，直线AB，CD，EF交于点O，∠BOC=46°．射线OE平分∠BOC，求：（1）∠2和∠3的度数；（2）射线OF平分∠AOD吗？请说明理由．25、已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠DOE=4：1．求∠AOF 的度数．26、如图，一条光线AO射到墙上的镜子CD后沿OB方向反射出去，已知OM⊥CD，∠1=∠2．求证：∠2+∠3=90°．27、已知：直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC=45°，（1）如图1，若EO⊥AB，求∠DOE的度数；（2）如图2，若EO平分∠AOC，求∠DOE的度数．28、已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE的度数．29、如图，已知直线AB、CD交于点O，且∠1：∠2=2：3，∠AOC=60°，求∠2的度数．30、如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE=80°，求∠BOD的度数．31、如图：AB、CD、EF相交于点O，∠1=50°，∠2=50°．求∠3的度数．32、如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．（1）求∠2和∠3的度数；（2）OF平分∠AOD吗？为什么？33、如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，∠AOC=37°，求∠BOC，∠BOE的度数．34、小明同学认为对顶角可以这样定义：顶点公共，而且相等的角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确请举一个反例，并对“对顶角”正确定义．答案与评分标准1、如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义。
沪教版(上海)数学七年级第二教学设计：13.1邻补角、对顶角
-设想情境：利用学校操场或教室内的布局，设计实际问题，如测量角度、计算距离等。
5.教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动探索，鼓励学生提出问题和解决问题，培养学生的创新思维。
-设想策略：采用提问、讨论、展示等多种方式，激发学生的思考，教师适时给予指导和反馈。
4.教育学生学会尊重他人，善于倾听他人的意见，培养学生的合作精神和社会责任感。
在教学过程中，教师应充分关注学生的学习需求，结合学生的实际情况，灵活运用多种教学方法和策略，以确保教学目标的达成。同时，注重培养学生的几何思维能力和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
二、学情分析
七年级的学生已经在之前的数学学习中，掌握了基本的几何概念和性质，具备了一定的几何直观和逻辑推理能力。在此基础上，学生对邻补角和对顶角的学习将更加深入地理解几何图形之间的关系。然而，由于邻补角和对顶角的概念较为抽象，学生可能在学习过程中遇到理解上的困难，需要教师在教学过程中给予关注和引导。
4.能够运用邻补角和对顶角的知识，解决一些基本的几何问题，如角度的计算、线段长度的求解等。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、讨论等教学活动，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力。
2.引导学生运用直观感知和逻辑推理相结合的方法，探索邻补角和对顶角的性质，提高学生的几何直观和逻辑思维能力。
3.设计丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高学生的解题技巧和策略。
2.学生分组讨论，分享自己的观察和发现。在此过程中，教师巡回指导，引导学生用几何语言进行准确表述，培养学生的表达能力和逻辑思维。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。通过讨论，使学生加深对邻补角和对顶角性质的理解，为解决实际问题奠定基础。
人教版七年级数学下册相交线,垂线(基础)知识讲解
相交线，垂线（基础）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.【高清课堂：相交线两条直线垂直】知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？【答案与解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．举一反三：【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON为∠BOD平分线，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4．下列语句中，正确的有 ( )①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C5.（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．6.（2016春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．【答案】A．【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。
对顶角、邻补角概念性质考察
邻补角、对顶角概念性质考察邻补角、对顶角的概念 【典型例题】1、下面各图中，∠1与∠2是邻补角的是（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】 对顶角、邻补角 【解析】根据对顶角的定义进行解答即可．难度：2【解答】解：A ．不是两条直线相交组成的角，故A 错误； B ．是对顶角而不是邻补角；C ．不是两条直线相交组成的角，故C 错误；D ．符合题意，故D 正确． 故选：D ．2、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A.B. C.D.【答案】 B 【考点】 对顶角、邻补角难度：2【解析】根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A 、∠1与∠2不是对顶角，故A 选项错误； B 、∠1与∠2是对顶角，故B 选项正确； C 、∠1与∠2不是对顶角，故C 选项错误； D 、∠1与∠2不是对顶角，故D 选项错误． 故选：B ．【巩固练习】1. 下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（）A.B.C.D.【答案】D【考点】对顶角、邻补角难度：2【解析】根据邻补角的定义，相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断．【解答】解：A、B选项，∠1与∠2没有公共顶点且不相邻，不是邻补角；C选项∠1与∠2不互补，不是邻补角；D选项互补且相邻，是邻补角．故选D ．2、下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】 对顶角、邻补角难度：3【解析】根据邻补角的定义作出判断即可． 【解答】根据邻补角的定义可知：只有D 图中的是邻补角，其它都不是．3、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A.B.C.D.【答案】C【考点】对顶角、邻补角难度：2【解析】根据对顶角的定义作出判断即可．【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有丙图中的是对顶角，其它都不是．故选：C．4、如图，∠1和∠2是对顶角的图形个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 A 【考点】 对顶角、邻补角难度：3【解析】一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．据此作答即可． 【解答】解：只有丙图中的两个角是对顶角， 故选：A ．5、如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】 对顶角、邻补角【解析】根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断．【解答】解：图形中从左向右A，B，D个图形中的∠1和∠2的两边都不互为反向延长线，故不是对顶角，只有C个图中的∠1和∠2的两边互为反向延长线，是对顶角．故选：C．6、下列图形中∠1和∠2是对顶角的是（）A.B.C.D.【答案】D对顶角、邻补角难度：2【解析】一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线，这两个角是对顶角．依据定义即可判断．【解答】解：互为对顶角的两个角：一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线．满足条件的只有D．故选D．7、下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（）A.1个B.2个C.3个D.0个【答案】C【考点】对顶角、邻补角难度：2根据对顶角的定义进行判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．【解答】解：根据对顶角的定义可知：图中只有第二个是对顶角，其它都不是．故选C8、下列说法中正确的有（）个．①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】对顶角、邻补角难度：3【解析】根据对顶角的定义和性质判断．【解答】解：②对顶角要符合两直线相交构成的没有公共边的两个相对的角是对顶角，但相等的角不一定是对顶角；④例如30∘与30∘的角不一定是对顶角，但这两个角一定相等，故②④错误；正确的有①③两个．故选：B．【课后作业】1、如图，∠1与∠2是对顶角的是（）A.B.C.D.【答案】C【考点】对顶角、邻补角难度：2【解析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．【解答】解：A 、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边不在同一条直线上，不是对顶角，故A 选项错误；B 、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故B 选项错误；C 、∠1与∠2的两边互为反向延长线，是对顶角，故C 选项正确；D 、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边不在同一条直线上，不是对顶角，故D 选项错误．故选：C ．2、在下图中，∠1，∠2是对顶角的图形是（ ）A.B.C.D.【答案】C【考点】对顶角、邻补角难度：2【解析】此题在于考查对顶角的定义，作为对顶角，首先是由两条直线相交形成的，其次才是对顶角相等．【解答】解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A、B、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误；C是由两条直线相交构成的图形，正确．故选C．3、如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（）个．A.1B.2C.3D.4【答案】A【考点】对顶角、邻补角难度：3【解析】根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断．【解答】解：图形中从左向右第1，2，4个图形中的∠1和∠2的两边都不互为反向延长线，故不是对顶角，只有第3个图中的∠1和∠2的两边互为反向延长线，是对顶角．故选：A．邻补角、对顶角的性质【典型例题】1、如图，直线a、b相交于点O，若∠1等于40∘，则∠2等于（）A.50∘B.60∘C.140∘D.160∘【答案】C【考点】对顶角、邻补角【解析】因∠1和∠2是邻补角，且∠1=40∘，由邻补角的定义可得∠2= 180∘−∠1=180∘−40∘=140∘．难度：1【解答】解：∵∠1+∠2=180∘又∠1=40∘∴∠2=140∘．故选C．2、如图，直线a和直线b相交于点O，∠1=50∘，则∠2=________．【答案】50∘【考点】对顶角、邻补角难度：1【解析】根据对顶角相等即可求解．【解答】解：∵∠2与∠1是对顶角，∴∠2=∠1=50∘．故答案为50∘．3、如图，∠1=∠2是对顶角，∠1=180∘−α，∠2=35∘，则α的度数是（）A. 155∘B. 35∘C. 135∘D. 145∘[答案]D[知识点]对顶角、邻补角难度：2[解答]解：∵∠1与∠2是对顶角，∠2=35∘，∴∠1=∠2=35∘，∵∠1=180∘−α，∴35∘=180∘−α，∴α=145∘．故选D．4、如图，已知AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC=28∘，则∠AOD=________度．[答案]62[知识点]角的计算对顶角、邻补角[解答]难度：3解：∵OE⊥AB，∠EOC=28∘，∴∠COB=90∘−∠EOC=62∘，∴∠AOD=62∘（对顶角相等）．故答案为：62．【巩固练习】1、如图，图中∠α的度数等于（）A.135∘B.125∘C.115∘D.105∘【答案】A【考点】对顶角、邻补角【解析】根据邻补角互补解答即可．难度：2【解答】解：∠α的度数=180∘−45∘=135∘．故选A．2、如图，直线AB和OC相交于点O，∠AOC=100∘，则∠1=________度．【答案】80【考点】对顶角、邻补角难度：1【解析】根据邻补角互补，可得答案．【解答】解：由邻补角互补，得∠1=180∘−∠AOC=180∘−100∘=80∘，故答案为：80．3、已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3=________度．【答案】180【考点】对顶角、邻补角难度：3【解析】根据对顶角、邻补角的性质，可得∠1=∠2，∠1+∠3=180∘，则∠2+∠3=∠1+∠3=180∘．【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，又∵∠1与∠3是邻补角，∴∠1+∠3=180∘，等角代换得∠2+∠3=180∘．4、若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3=45∘，则∠1的度数为________．【答案】135∘【考点】对顶角、邻补角难度：3【解析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解．【解答】解：∵∠2的邻补角是∠3，∠3=45∘，∴∠2=180∘−∠3=135∘．∵∠1的对顶角是∠2，∴∠1=∠2=135∘．5、如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若α=44∘，则β=( )A.56∘B.46∘C.45∘D.44∘【答案】B【考点】垂线对顶角、邻补角难度：2【解析】由题意可得α+β=90∘，把α=44∘代入求解即可．【解答】解：∵OM⊥l1，∴β+90∘+α=180∘，把α=44∘代入，得β=46∘．故选：B．6、如图，∠1=15∘，∠AOC=90∘，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（）A.75∘B.15∘C.105∘D.165∘【答案】C【考点】垂线对顶角、邻补角难度：2【解析】由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可求出∠2．【解答】解：∵∠1=15∘，∠AOC=90∘，∴∠BOC=75∘，∵∠2+∠BOC=180∘，∴∠2=105∘．故选：C．7、如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70∘，则∠BOD的度数等于（）A.40∘B.35∘C.30∘D.20∘【答案】B【考点】对顶角、邻补角角平分线的定义难度：3【解析】根据角平分线的定义求出∠AOC，再根据对顶角相等解答即可．【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=70∘，∴∠AOC=12∠EOC=12×70∘=35∘，∴∠BOD=∠AOC=35∘．故选B．8、如图，CD⊥AB，垂足为C，∠1=130∘，则∠2=________度．【答案】40【考点】垂线对顶角、邻补角难度：2【解析】利用相交线寻找已知角∠1的对顶角，可以建立已知角∠1与所求角∠2之间的等量关系，可求∠2．【解答】解：由图知，∠1和∠ACE是对顶角，∴∠1=∠ACE=130∘，即∠ACD+∠2=130∘，∵CD⊥AB，∴∠ACD=90∘，∴130∘=90∘+∠2，解得∠2=40∘．9、如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20∘，则∠COE等于________度．【答案】70【考点】垂线对顶角、邻补角难度：2【解析】根据对顶角相等求出∠AOC，根据垂直求出∠AOE，相减即可求出答案．【解答】解：∵∠BOD=20∘，∴∠AOC=∠BOD=20∘，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90∘，∴∠COE=90∘−20∘=70∘，故答案为：70．【课后作业】1、. 若∠1与∠2是对顶角，且∠1+∠2=130°，则∠1=________，∠2=________.考点：对顶角难度：2分析：题目已知∠1+∠2=130°，要求∠1和∠2的度数，首先需要确定∠1与∠2之间的大小关系；通过回想对顶角的定义，根据∠1与∠2是对顶角可得∠1=∠2，想想看接下来该怎么做？接下来根据∠1+∠2=130°以及∠1=∠2，即可求出∠1和∠2的大小.解答：答案：65°，65°.因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2.又因为∠1+∠2=130°，所以∠1=∠2=65°.故答案为65°，65°.2、如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE的对顶角是，∠COF的邻补角是，若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD=130°，则∠BOC= 。
相交线垂线(基础)知识讲解
相交线，垂线(基础)知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位宜和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质：2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的左义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到宜线的距离：4.能依据对顶角、邻补角及垂直的槪念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.要点诠释：⑴邻补角的泄义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位宜相邻，"补”指的是两个角的和为180° .(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角.(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角.(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点：②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：(1)定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角.(2)性质：对顶角相等.要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角.(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角：②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3.知识点二、垂线1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，英中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.(1)记法：直线a与b垂直，记作：d丄方：直线AB和CD垂直于点0,记作：AB丄CD于点0.(2)垂直的泄义具有二重性，既可以作垂直的判泄，又可以作垂直的性质，即有：ZAOC =90° M性CD丄AB.、性质2.垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知宜线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点, 沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示).要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上.(2)过宜线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段.3.垂线的性质：(1)在同一平而内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 要点诠释：(1)性质(1)成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.(2)性质(2)是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线的距离：定义：直线外一点到这条宜线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.要点诠释：(1)点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离：(2)求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后汁算或度量垂线段的长度.【典型例题】类型一、邻补角与对顶角▼ 1.如图所示，M. N是直线AB上两点，Z1 = Z2,问Z1与Z2, Z3与Z4是对顶角吗？Z1与Z5, Z3与Z6是邻补角吗？【答案与解析】解：Z1和Z2, Z3和Z4都不是对顶角.Z1与Z5, Z3与Z6也都不是邻补角.【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角.举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角.（）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）（3）有一条公共边的两个角是邻补角.（）（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补.（）（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】⑴ X （2） X （3） X （4）J（5） X,反例：ZAOC 为120° , 射线OB为ZAOC的角平分线，ZAOB与ZA0C互补，且有边公共为AO,公共顶点为0,但它们不是邻补角..如图所示，直线AB、CD相交于点O, Zl=65a ,求Z2、Z3、Z4的度数A【答案与解析】解：•・• Z1是Z2的邻补角，Zl=65° ,・•.Z2=180° -65° =115° .又•・• Z1和Z3是对顶角，Z2与Z4是对顶角Z3 = Z1=65° , Z4=Z2=115° .【总结升华】（1）两条直线相交所成的四个角中，只要已知苴中一个角，就可以求出另外三角：（2）求出Z2后用'‘对顶角相等”，求Z3和Z4.举一反三：【变式】（2015・梧州）如图,已知直线AB与CD交于点O, ON平分Z DOB,若Z BOC=110\ 则Z AON的度数为度.【答案】145.解:VZBOC=110°,・•・ z BOD=70%V ON为Z BOD平分线.・・・ z BON=z DON=35%•・・zBOC=z AOD=llO\・・・ z AON=Z AOD+Z DON=145°.aV 3.任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类.【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线：②有公共顶点，角的两边互为反向延长线.这6对角为Z1与Z2, Z1与Z3, Z1与Z4, Z2与Z3, Z2与Z4, Z3与Z4,其中Z1 = Z3, Z2=Z4, Zl+Z2=180a , Z3+Z4=180° , Zl+Z4=180° , Z2+Z3= 180° .在位宜上Z1与Z3, Z2与Z4是对顶角，Z1与Z2, Z3与Z4, Z1与Z4, Z2 与Z3是邻补角.【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线^^4.下列语句中，正确的有()①一条直线的垂线只有一条：②在同一平而内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直：③两直线相交，则交点叫垂足：④互相垂直的两条直线形成的四个角一宦都是直角.A.0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.C. 55°D ・65°举一反三：【变式1】直线/外有一点P,则点P 到直线/的距离是（）.A. 点P 到直线/的垂线的长度.B. 点P 到直线/的垂线段.C. 点P 到直线/的垂线段的长度.D.点P 到直线/的垂线.【答案】CWF 5. （2015＞河北模拟）如图,已知点O 在直线AB 上,CO 丄DO 于点6若Z 1=145% 则z 3的度数为（）【答案】C ・【解析】解：TZ 1 = 145。
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