邻补角、对顶角练习题
苏科版七年级数学上册阶段综合练(角、余角、补角、对顶角)【含答案】
苏科版七年级数学上册阶段综合练（角、余角、补角、对顶角）一、选择题1、如图，下列各个图形中，能用∠1，∠AOB ，∠O 三种方法表示同一角的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．3、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，下列描述：①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2，④，其中正确的是（ ）13∠=∠A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④(3题) (4题) (6题)4、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，分别作∠AOD ，∠BOD 的平分线OE ，OF ． 将直线CD 绕点O 旋转，下列数据与∠BOD 大小变化无关的是（ ）A ．∠AOD 的度数B ．∠AOC 的度数 C ．∠EOF 的度数D ．∠DOF 的度数5、对于题目：“如图1，已知A ，B 为两个海岛，点B 在点A 的正东方向，若灯塔C 在海岛A 北偏东65°的方向上，在海岛B 北偏西35°的方向上，请画出灯塔C 的位置．”甲、乙两人分别作出了如下解答：甲：先以A 为参照点，作南偏东25°，再以B 为参照点，作南偏西65°，画出图形如图2．乙：先以A 为参照点，作东偏北25°，再以B 为参照点，作西偏北55°，画出图形如图3．下列判断正确的是（ ）A ．甲的说法和画图都正确B ．乙的说法正确，画图错误C ．乙的说法和画图都正确D ．甲乙的说法都错误6、如图，射线平分，以为一边作，60AOB ∠=︒OC AOB ∠OC 15COP ∠=︒则 (BOP ∠=)A ． B ． C ．或 D ．或15︒45︒15︒30︒15︒45︒7、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，如果∠BOD ＝75°，OE 把∠AOC 分成两个角，且∠AOE ：∠EOC ＝2：3．那么∠AOE 的度数是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．35°8、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OF 平分∠BOD ，OE 平分∠COF ，∠AOD ：∠BOF ＝4：1，则∠AOE ＝ ．(8题) (9题) (10题)9、如图，直线、相交于点，．下列说法不正确的是 AB CD O 90EOD ∠=︒()A ．B ．AOD BOC ∠=∠AOC AOE∠=∠C ．D ．90AOE BOD ∠+∠=︒180AOD BOD ∠+∠=︒10、如图，直线，相交于点，平分，且，则的度数是 AB CD O OA EOC ∠:2:9EOC EOB ∠∠=BOD ∠()A ．B ．C ．D ．15︒16︒18︒20︒二、填空题11、已知和，画一个角使它等于，画法如下：1∠2∠12∠+∠（1）画______________．AOB ∠=（2）以点O 为顶点，为始边，在的__________作；则．OB AOB ∠2BOC ∠=∠12AOC ∠=∠+∠12、若与是对顶角，的补角是，则的余角的度为 ．α∠β∠α∠100︒β∠13、如图，钟表上显示的时间是，此时，时针与分针的夹角是_________12:20(13题) (14题) (16题)14、如图所示：直线与相交于O ，已知，是的平分线，AB CD 130∠=︒OE BOC ∠则的度数为________．2∠15、平面内，已知，，平分，平分，则 ．90AOB ∠=︒20BOC ∠=︒OE AOB ∠OF BOC ∠EOF ∠=16、如图，直线、相交于点，射线平分，．若，AB CD O OM AOC ∠90MON ∠=︒50BON ∠=︒则的度数为 ．BOD ∠17、如图，∠AOB ＝∠AOC ＝90°，∠DOE ＝90°，OF 平分∠AOD ，∠AOE ＝36°，则∠BOF 的度数＝______．(17题) (18题)18、如图，，相交于点，，有以下结论：AB CD O 90BOE ∠=︒①与互为余角； ②与互为余角； ③；AOC ∠COE ∠BOD ∠COE ∠AOC BOD ∠=∠④与互为补角； ⑤与互为补角； ⑥COE ∠DOE ∠AOC ∠DOE ∠AOC COE∠=∠其中错误的有 （填序号）．三、解答题19、计算：（1）； （2）； （3）； （4）．32175342427︒'''+︒'''90361215︒-︒'''2512355︒'''⨯536︒÷20、完成推理填空：如图，直线AB 、CD 相交于O ，∠EOC ＝90°，OF 是∠AOE 的角平分线，∠COF ＝34°，求∠BOD 的度数．其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．解：∵∠EOC ＝90°，∠COF ＝34° （ ）∴∠EOF ＝ °又∵OF 是∠AOE 的角平分线 （ ）∴∠AOF ═ ＝56° （ ）∴∠AOC ＝∠ ﹣∠ ＝ °∴∠BOD ＝∠AOC ＝ °（ ）21、如图，已知直线，相交于点，平分，平分．若，AB CD O OE BOD ∠OF COE ∠100AOD ∠=︒求：（1）的度数；EOD ∠（2）的度数．AOF ∠22、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝120°，OE 平分∠BOC ．（1）求∠BOE 的度数；（2）若OF 把∠AOE 分成两个角，且∠AOF ：∠EOF ＝2：3，判断OA 是否平分∠DOF ？并说明理由．23、如图，为直线上一点，，平分．O AB 90DOE ∠=︒OF BOD ∠（1）若，则 ；20AOE ∠=︒BOF ∠=（2）若是的5倍，求度数．BOF ∠AOE ∠AOE ∠24、已知点是直线上一点，，是的平分线．O AB 60COE ∠=︒OF AOE ∠（1）如图1，当时，求的度数；80BOE ∠=︒COF ∠（2）当和射线在如图2所示的位置，且题目条件不变时．COE ∠OF ①求与之间的数量关系；COF ∠AOE ∠②直接写出的值．2BOE COF ∠-∠25、如图①，直角三角板的直角顶点在直线上，，是三角板的两条直角边，射线是O AB OC OD OE 的平分线．AOD ∠（1）当时，求的度数；50AOE ∠=︒BOD ∠（2）当时，求的度数；30COE ∠=︒BOD ∠（3）当时，则 （用含的式子表示）；COE α∠=BOD ∠=α（4）当三角板绕点逆时针旋转到图②位置时，，其它条件不变，则 O COE α∠=BOD ∠=（用含 的式子表示）．α26、已知直线和相交于，为锐角．AB CD O AOC ∠（1）填空：如图1图中有___________对相等的角（平角除外）分别是_____________________，判断的依据是_____________________（2）如图2，作，平分，求的度数．90COE ∠=︒OF COB ∠AOF EOF ∠-∠（3）在（2）的条件下，，计算的度数．:2:5AOC COF ∠∠=DOF ∠答案一、选择题1、如图，下列各个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一角的图形是（ ）A．B．C．D．【解题思路】根据角的表示方法判断即可．【解答过程】解：A、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；B、图形中的∠1，能用∠AOB，∠O表示，本选项符合题意；C、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；D、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；故选：B．2、如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据对顶角的定义，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可求解．【详解】解：对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，满足条件的只有B ．故选：B ．3、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，下列描述：①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2，④，其中正确的是（ ）13∠=∠A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④【答案】B【分析】根据对顶角和邻补角的定义逐个判断即可得．【详解】解：和不是对顶角，互为邻补角，则①错误，②正确；1∠2∠，但和不一定相等，则③错误；12180∠+∠=︒1∠2∠由对顶角相等得：，则④正确；13∠=∠综上，正确的是②④，故选：B ．4、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，分别作∠AOD ，∠BOD 的平分线OE ，OF ． 将直线CD 绕点O 旋转，下列数据与∠BOD 大小变化无关的是（ ）A ．∠AOD 的度数B ．∠AOC 的度数 C ．∠EOF 的度数D ．∠DOF 的度数【答案】C【分析】由角平分线性质解得，根据对角线性质、平角性质解得，90EOF ∠=︒180AOD BOD ∠=︒-∠，据此解题．1,2AOC BOD DOF BOD∠=∠∠=∠【详解】解： OE ，OF 平分∠AOD ，∠BOD 11,22AOE EOD AOD DOF FOB BOD∴∠=∠=∠∠=∠=∠180AOD BOD ∠+∠=︒ 111()90222EOD DOF AOD BOD AOD BOD ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒90EOF ∴∠=︒180AOD BOD∴∠=︒-∠1,2AOC BOD DOF BOD∴∠=∠∠=∠都与∠BOD 大小变化有关，只有∠EOF 的度数与∠BOD 大小变化无关，故选：C ．5、对于题目：“如图1，已知A ，B 为两个海岛，点B 在点A 的正东方向，若灯塔C 在海岛A 北偏东65°的方向上，在海岛B 北偏西35°的方向上，请画出灯塔C 的位置．”甲、乙两人分别作出了如下解答：甲：先以A 为参照点，作南偏东25°，再以B 为参照点，作南偏西65°，画出图形如图2．乙：先以A 为参照点，作东偏北25°，再以B 为参照点，作西偏北55°，画出图形如图3．下列判断正确的是（ ）A ．甲的说法和画图都正确B ．乙的说法正确，画图错误C ．乙的说法和画图都正确D ．甲乙的说法都错误【解题思路】根据方向角定义即可进行判断．【解答过程】解：根据方向角定义可知：灯塔C 在海岛A 北偏东65°的方向上，在海岛B 北偏西35°的方向上，画出灯塔C 的位置如图3．故选：D ．6、如图，射线平分，以为一边作，则 60AOB ∠=︒OC AOB ∠OC 15COP ∠=︒(BOP ∠=)A ．B ．C ．或D ．或15︒45︒15︒30︒15︒45︒【分析】根据，射线平分，可得，分在内，在60AOB ∠=︒OC AOB ∠30BOC ∠=︒OP BOC ∠OP 内，两种情况讨论求解即可．AOC ∠【解析】，射线平分，60AOB ∠=︒ OC AOB ∠，1302AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒又15COP ∠=︒①当在内，OP BOC ∠，301515BOP BOC COP ∠=∠-∠=︒-︒=︒②当在内，OP AOC ∠，301545BOP BOC COP ∠=∠+∠=︒+︒=︒综上所述：或．15BOP ∠=︒45︒故选：．D7、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，如果∠BOD ＝75°，OE 把∠AOC 分成两个角，且∠AOE ：∠EOC ＝2：3．那么∠AOE 的度数是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．35°【解析】∵∠BOD ＝75°，∴∠AOC ＝75°，∵∠AOE ：∠EOC ＝2：3，∴设∠AOE ＝2x °，∠EOC ＝3x °，则2x +3x ＝75，解得：x ＝15，∴∠AOE ＝30°，故选：B ．8、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OF 平分∠BOD ，OE 平分∠COF ，∠AOD ：∠BOF ＝4：1，则∠AOE ＝ ．【分析】根据角平分线的定义得出∠BOD ＝2∠BOF ，∠BOF ＝∠DOF ，根据∠AOD ：∠BOF ＝4：1求出∠AOD ：∠BOD ＝4：2，根据邻补角互补求出∠AOD ＝120°，∠BOD ＝60°，求出∠AOC ＝60°，根据角平分线定义求出∠COE ，再求出答案即可．【解析】∵OF 平分∠BOD ，∴∠BOD ＝2∠BOF ，∠BOF ＝∠DOF ，∵∠AOD ：∠BOF ＝4：1，∴∠AOD ：∠BOD ＝4：2，∵∠AOD +∠BOD ＝180°，∴∠AOD ＝120°，∠BOD ＝60°，∴∠AOC ＝∠BOD ＝60°，∴∠BOF ＝∠DOF==30°， 6021∴∠COF ＝180°﹣∠DOF ＝150°，∵OE 平分∠COF ，∴∠COE=COF=，∠21 7515021=⨯∴∠AOE ＝∠AOC +∠COE ＝60°+75°＝135°，故答案为：135°．9、如图，直线、相交于点，．下列说法不正确的是 AB CD O 90EOD ∠=︒()A ．B ．AOD BOC∠=∠AOC AOE ∠=∠C ．D ．90AOE BOD ∠+∠=︒180AOD BOD ∠+∠=︒【分析】根据对顶角相等可得，不是的角平分线，因此和不一AOD BOC ∠=∠AO COE ∠AOC ∠AOE ∠定相等，根据，利用平角定义可得，根据邻补角互补可得90EOD ∠=︒90AOE BOD ∠+∠=︒180AOD BOD ∠+∠=︒【解析】、，说法正确；A AOD BOC ∠=∠、，说法错误；B AOC AOE ∠=∠、，说法正确；C 90AOE BOD ∠+∠=︒、，说法正确；D 180AOD BOD ∠+∠=︒故选：．B 10、如图，直线，相交于点，平分，且，则的度数是 AB CD O OA EOC ∠:2:9EOC EOB ∠∠=BOD ∠()A ．B ．C ．D ．15︒16︒18︒20︒【分析】根据角平分线的定义和对顶角的性质即可得到结论．【解析】设，，2EOC x ∠=9EOB x ∠=平分，OA EOC ∠，12AOE EOC x ∴∠=∠=根据题意得，解得，9180x x +=︒18x =︒，18EOA AOC x ∴∠=∠==︒，18BOD AOC ∴∠=∠=︒故选：．C 二、填空题11、已知和，画一个角使它等于，画法如下：1∠2∠12∠+∠（1）画______________．AOB ∠=（2）以点O 为顶点，为始边，在的__________作；则．OB AOB ∠2BOC ∠=∠12AOC ∠=∠+∠【答案】 外部1∠【分析】根据角的画法步骤，先画出∠AOB=∠1，再在∠AOB 的外部画出∠2，即可得到∠AOC【解析】画法详解:（1）画∠AOB=∠1．（2）以点O 为顶点，OB 为始边，在∠AOB 的外部作∠BOC=∠2；则∠AOC=∠1+∠2．故答案: （1）∠1 （2）外部12、若与是对顶角，的补角是，则的余角的度为 ．α∠β∠α∠100︒β∠【分析】根据补角定义可得的度数，再根据对顶角相等可得答案．α∠【解析】的补角为，α∠ 100︒，18010080α∴∠=︒-︒=︒与是对顶角，α∠ β∠，80βα∴∠=∠=︒的余角的度为，β∴∠10︒故答案为：．10︒13、如图，钟表上显示的时间是，此时，时针与分针的夹角是_________12:20【答案】110︒【分析】根据时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，然后分别求出时针、分针转过的角度，即可得到答0.5 6案．【详解】解：∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，0.5 6 ∴钟表上12时20分钟时，时针转过的角度为，分针转过的角度为，0.52010⨯= 620120⨯=所以时分针与时针的夹角为．12:2012010110-= 14、如图所示：直线与相交于O ，已知，是的平分线，AB CD 130∠=︒OE BOC ∠则的度数为________．2∠【答案】75°．【分析】由邻补角的定义可求得∠COB ＝150°，然后根据角平分线的定义可求得∠2．【详解】解：∵∠1+∠COB ＝180°，∠1＝30°，∴∠COB ＝180°﹣30°＝150°．∵OE 是∠BOC 的平分线，∴∠2＝ ∠COB ＝75°．12故答案为：75°．15、平面内，已知，，平分，平分，则 ．90AOB ∠=︒20BOC ∠=︒OE AOB ∠OF BOC ∠EOF ∠=【分析】分两种情况：当在内时；当在外时．根据角平分线的定义，角的和差进行OC AOB ∠OC AOB ∠解答便可．【解析】当在内时，如图1，OC AOB ∠；11119020352222EOF BOE BOF AOB BOC ∠=∠-∠=∠-∠=⨯︒-⨯︒=︒当在外时，如图2，OC AOB ∠，11119020552222EOF BOE BOF AOB BOC ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒+⨯︒=︒故答案为：或．35︒55︒16、如图，直线、相交于点，射线平分，．若，AB CD O OM AOC ∠90MON ∠=︒50BON ∠=︒则的度数为 ．BOD ∠【分析】首先根据余角的性质可得，再根据角平分线的性质可算出905040AOM ∠=︒-︒'=︒，再根据对顶角相等可得的度数，40280AOC ∠=︒⨯=︒BOD ∠【解析】．，90MON ∠=︒ 50BON ∠=︒，905040AOM ∴∠=︒-︒'=︒射线平分，OM AOC ∠，40280AOC ∴∠=︒⨯=︒．80BOD AOC ∴∠=∠=︒故答案为：．80︒17、如图，∠AOB ＝∠AOC ＝90°，∠DOE ＝90°，OF 平分∠AOD ，∠AOE ＝36°，则∠BOF 的度数＝______．【答案】63°【分析】先求出∠AOD ＝54°，再求出∠BOD 和∠DOF ，即可求出∠BOF ．【详解】解：∵∠DOE ＝90°，∠AOE ＝36°，∴∠AOD ＝90°﹣36°＝54°，∵∠AOB ＝90°，∴∠BOD ＝90°﹣54°＝36°，∵OF 平分∠AOD ，∴∠DOF ∠AOD ＝27°，12=∴∠BOF ＝36°+27°＝63°．18、如图，，相交于点，，有以下结论：AB CD O 90BOE ∠=︒①与互为余角； ②与互为余角；③；AOC ∠COE ∠BOD ∠COE ∠AOC BOD ∠=∠④与互为补角； ⑤与互为补角； ⑥COE ∠DOE ∠AOC ∠DOE ∠AOC COE∠=∠其中错误的有 （填序号）．【分析】根据垂线的定义、对顶角、邻补角的性质解答即可．【解析】，相交于点，，AB CD O 90BOE ∠=︒①与互为余角，正确；∴AOC ∠COE ∠②与互为余角，正确；BOD ∠COE ∠③，正确；AOC BOD ∠=∠④与互为补角，正确；COE ∠DOE ∠⑤设，则，，故与互为补角错误；30AOC ∠=︒120DOE ∠=︒180AOC DOE ∠+∠≠︒AOC ∠BOC DOE ∠=∠⑥，错误；AOC BOD COE ∠=∠≠∠故答案为：⑤⑥．三、解答题19、计算：（1）； （2）； （3）； （4）．32175342427︒'''+︒'''90361215︒-︒'''2512355︒'''⨯536︒÷【分析】（1）1度分，即，1分秒，即，依此计算加法；60=160︒='60=160'=''（2）1度分，即，1分秒，即，依此计算减法；60=160︒='60=160'=''（3）1度分，即，1分秒，即，依此计算乘法；60=160︒='60=160'=''（4）1度分，即，1分秒，即，依此计算除法．60=160︒='60=160'=''【解析】（1）原式；=︒'''=︒74596075（2）原式；=︒'''534745（3）原式；=︒'''=︒'''12560175126255（4）原式．850=︒'20、完成推理填空：如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（ ）∴∠EOF＝ °又∵OF是∠AOE的角平分线（ ）∴∠AOF═ ＝56°（ ）∴∠AOC＝∠ ﹣∠ ＝ °∴∠BOD＝∠AOC＝ °（ ）【分析】利用角的和差关系和角平分线定义可得∠AOF的度数，然后利用垂垂线定义计算出∠AOC的度数，再根据对顶角相等可得∠BOD的度数．【解析】∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（已知），∴∠EOF＝56°，又∵OF是∠AOE的角平分线（已知），∴∠AOF ═∠EOF ＝56° （角平分线定义），∴∠AOC ＝∠AOF ﹣∠COF ＝22°，∴∠BOD ＝∠AOC ＝22°（对顶角相等）．故答案为：已知；56；已知；∠EOF ；角平分线定义；AOF ；COF ；22；22；对顶角相等．21、如图，已知直线，相交于点，平分，平分．若，AB CD O OE BOD ∠OF COE ∠100AOD ∠=︒求：（1）的度数；EOD ∠（2）的度数．AOF ∠【答案】（1）40°；（2）150°【分析】（1）根据邻补角的性质，可求出的度数，再根据角平分线的性质即可求出的度数，DOB ∠DOE ∠（2）根据邻补角的性质，可求出的度数，再根据角平分线的性质，求出，在根据对顶角COE ∠COF ∠的性质求出，即可求出的度数．AOC ∠AOF ∠【详解】（1）∵直线，相交于点，AB CD O ∴，180AOD BOD ∠+∠=︒∵，100AOD ∠=︒∴，18080BOD AOD ∠=-∠=°°∵平分，OE BOD ∠∴．1402DOE BOD ∠=∠=°（2）∵，180COE DOE ∠+∠=°∴，180140COE DOE ∠=-∠=°°∵平分，OF COE ∠∴，1702COF COE ∠=∠=°∵，80AOC BOD ∠=∠=︒∴．150AOF AOC COF ∠=∠+∠=°22、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝120°，OE 平分∠BOC ．（1）求∠BOE 的度数；（2）若OF 把∠AOE 分成两个角，且∠AOF ：∠EOF ＝2：3，判断OA 是否平分∠DOF？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）平分，理由见解析．【分析】（1）根据邻补角的概念求出，根据角平分线的定义计算，得到答案；BOC ∠（2）求出，根据题意分别求出，根据角平分线的定义证明即可．AOE ∠AOF EOF ∠∠、【详解】解：（1）∵∠AOC ＝120°，∴∠BOC ＝180°﹣120°＝60°，∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOE ＝∠BOC ＝×60°＝30°；1212（2）OA 平分∠DOF ，理由如下：∵∠BOE ＝30°，∴∠AOE ＝180°﹣30°＝150°，∵∠AOF ：∠EOF ＝2：3，∴∠AOF ＝60°，∠EOF ＝90°，∵∠AOD ＝∠BOC ＝60°，∴∠AOD ＝∠AOF ，∴OA 平分∠DOF ．23、如图，为直线上一点，，平分．O AB 90DOE ∠=︒OF BOD ∠（1）若，则 ；20AOE ∠=︒BOF ∠=（2）若是的5倍，求度数．BOF ∠AOE ∠AOE ∠【分析】（1）根据互余、互补以及角平分线的定义可得答案；（2）由（1）的方法列出方程可求出答案．【解析】（1），，90DOE ∠=︒ 20AOE ∠=︒．902070AOD DOE AOE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．180********BOD AOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒平分．OF BOD ∠．∴111105522BOF BOD ∠=∠=⨯︒=︒故答案为：．55︒（2）设，AOE x ∠=则．5BOF x ∠=．90AOD x ∴∠=︒-．180(90)90BOD x x ∠=︒-︒-=︒+平分，OF BOD ∠．∴11(90)4522BOF x x ∠=︒+=︒+，∴14552x x ︒+=即9452x =︒，∴245109x =︒⨯=︒．10AOE ∴∠=︒24、已知点是直线上一点，，是的平分线．O AB 60COE ∠=︒OF AOE ∠（1）如图1，当时，求的度数；80BOE ∠=︒COF ∠（2）当和射线在如图2所示的位置，且题目条件不变时．COE ∠OF ①求与之间的数量关系；COF ∠AOE ∠②直接写出的值．2BOE COF ∠-∠【答案】（1）10°；（2）①；②60°1602COF AOE∠=︒-∠【分析】（1）利用角平分线的定义以及角的和差计算即可求解；（2）利用角平分线的定义以及角的和差列式即可；（3）利用邻补角的定义结合（2）的结论即可求解．【详解】解：（1）∵，，∴，．80BOE ∠=︒60COE ∠=︒40AOC ∠=︒100AOE ∠=︒∵是的平分线，∴，OF AOE ∠1502AOF AOE ∠=∠=︒∴；10COF AOF AOC ∠=∠-∠=︒（2）①∵是的平分线，∴，OF AOE ∠12EOF AOE∠=∠∴；1602COF COE EOF AOE∠=∠-∠=︒-∠②∵∠BOE=180-∠AOE ，︒∴∠BOE-2∠COF=180-∠AOE-2(60-∠AOE)=180-∠AOE-120+∠AOE ．︒︒12︒︒60=︒25、如图①，直角三角板的直角顶点在直线上，，是三角板的两条直角边，射线是O AB OC OD OE 的平分线．AOD ∠（1）当时，求的度数；50AOE ∠=︒BOD ∠（2）当时，求的度数；30COE ∠=︒BOD ∠（3）当时，则 （用含的式子表示）；COE α∠=BOD ∠=α（4）当三角板绕点逆时针旋转到图②位置时，，其它条件不变，则 O COE α∠=BOD ∠=（用含 的式子表示）．α【分析】（1）根据角平分线的定义先求出，再根据互补求出即可；AOD ∠BOD ∠（2）根据互余求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据互补求出的答案；DOE ∠AOD ∠（3）由（2）的解题过程可得答案；（4）根据互余、互补、角平分线的定义可求出答案．【解析】（1）射线平分，，OE AOD ∠22250100AOD AOE DOE ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒；180********BOD AOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒（2），，，90COD ∠=︒ 30COE ∠=︒903060DOE ∴∠=︒-︒=︒又平分，，OE AOD ∠2260120AOD DOE ∴∠=∠=⨯︒=︒；180********BOD AOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒（3），，，90COD ∠=︒ COE α∠=90DOE α∴∠=︒-又平分，，OE AOD ∠22(90)1802AOD DOE αα∴∠=∠=⨯︒-=︒-，180********BOD AOD αα∴∠=︒-∠=︒-︒+=故答案为：；2α（4）由图②得，，90DOE α∠=-︒平分，，OE AOD ∠22180AOD DOE α∴∠=∠=-︒，18018021803602BOD AOD αα∴∠=︒-∠=︒-+︒=︒-故答案为：．3602α︒-26、已知直线和相交于，为锐角．AB CD O AOC ∠（1）填空：如图1图中有___________对相等的角（平角除外）分别是_____________________，判断的依据是_____________________（2）如图2，作，平分，求的度数．90COE ∠=︒OF COB ∠AOF EOF ∠-∠（3）在（2）的条件下，，计算的度数．:2:5AOC COF ∠∠=DOF ∠【答案】（1）2，、，对顶角相等；（2）90°；（3）105°=COB AOD ∠∠=AOC BOD ∠∠【分析】（1）根据对顶角相等证明即可；（2）设，表示已知条件中的角推理计算即可；=AOC x ∠（3）结合（2）中的关系列方程即可求出x 的值，再由和互补求AOC COF ∠∠、DOF ∠COF ∠出．DOF ∠【详解】（1）根据对顶角相等可得图1中有2对相等的角（平角除外）分别是:，．=COB AOD ∠∠=AOC BOD ∠∠故答案为：2，、，对顶角相等；=COB AOD ∠∠=AOC BOD ∠∠（2）设°，则=AOC x ∠180BOC x ∠=︒-︒∵平分∴OF COB ∠11=9022COF BOC x ∠∠=︒-︒∴1==90+2AOF AOC COF x ∠∠+∠︒︒∵∴90COE ∠=︒1=2EOF COE COF x ∠∠-∠=︒∴；11=90+=9022AOF EOF x x ∠-∠-︒（3）∵:2:5AOC COF ∠∠=∴5=2AOC COF∠∠由（2）可知：，=AOC x ∠1=902COF x ∠︒-︒∴解得15=2(90)2x x ︒︒-︒30x =︒∴, ∴190=752COF x ∠=-︒180105DOF COF ∠=-∠=︒27。
邻补角-对顶角-垂线练习
邻补角,对顶角,垂线习题1、若点O就是直线AB上得一点,AB⊥OD,OC⊥OE,则图中互余得角有 ( )A、3对B、4对C、5对D、6对2、下列说法中错误得个数就是 ( )(1)一个角得邻补角只有一个(2)一个角得邻补角一定大于这个角(3)如果两个角互为邻补角,则两个角必定一个就是锐角,一个就是钝角(4)钝角得邻补角一定为锐角A、1个B、2个C、3个D、4个3、下列说法中正确得就是 ( )A.因为对顶角相等,所以相等得角就是对顶角B.互为对顶角得两个角度数之与不会超过1800C.有着公共顶点得两个角不一定就是对顶角D.有一条公共边得两个角就是邻补角4、画一条线段得垂线,垂足在 ( )A、线段上B、线段得端点C、线段得延长线上D、以上都有可能5、点到直线得距离就是指这点到这条直线得 ( )A、垂线段B、垂线得长C、长度D、垂线段得长6、下列语句正确得就是 ( )A.直线外一点到这条直线得垂线段叫做点到直线得距离B.直线外一点与直线上得各点连接得所有线段中,垂线最短C.平分线段得直线只有一条D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线7、下列作图语句正确得就是 ( )A.作直线MN得中垂线B.过点P作线段AB得垂直平分线C.过点O 作OC⊥直线AB,点C为垂足D.过点P作直线PQ,使它平分线段AB8、若点A在直线l外,点B在直线l上,AB两点之间得距离记作a, 点A到直线l得距离记作b,则a与b之间大小关系就是 ( )A、 a＜bB、a＞bC、a≤bD、a≥b9、若点P到直线l得距离为3,则直线l上到点P 距离为4得点得个数为 ( )A、0个B、1个C、2个D、3个10、若点A,B分别位于直线l得两侧,点A到直线l得距离为5cm,点B到直线l得距离为8cm,则AB两点间得距离( )A、等于13cmB、大于13cmC、不小于13cmD、小于13cm11、两条直线相交所成得四个角中,下列条件中能判定两条直线垂直得就是 ( )A、有两个角相等B、有两对角相等C、有三个角相等D、有四对角相等12、两个角得角平分线互相垂直,则 ( )A、这两角互补B、这两角互为对顶角C、这两角都就是直角D、这两角为邻补角13、点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上得三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m得距离为 ( )A、4cmB、2cmC、小于2cmD、不大于2cm14、如图所示,能表示点到直线(线段)得距离得线段有 ( )A、2条B、3条C、4条D、5条15、两条直线相交,有对对顶角, 对邻补角;三条直线相交,有对对顶角, 对邻补角;四条直线相交,有对对顶角, 对邻补角;由此可见,n条直线相交,有对对顶角, 对邻补角、16、如图,∠ACB=900,CD⊥AB,垂足为D,那么点A到线段BC得距离就是线段得长度,线段CD得长度就是点到得距离、17、自钝角得顶点引它得一边得垂线,把这两个角分成两个角,它们得度数比就是1:2,则这个钝角得度数就是18、如图,直线MN,PQ交于点O,OE⊥PQ于点O,OQ平分∠MOF,若∠MOE=450,则∠NOE= ,∠NOF= , ∠PON=【精解名题】一、简答题:1、如图,已知直线AB,CD,EF相交于点0,∠1=950,∠2=320,则∠BOE得度数2、如图,已知:∠AOC=900,∠BOD=900, ∠BOC比∠AOB少100,求∠COD得补角得度数3、如图,已知:∠AOC=900,∠BOD=900, ∠AOD=3∠BOC,求∠BOC得度数4、如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,且∠DOE=3∠COE,求∠AOD得度数5、如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF, ∠AOE=700,求∠DOG得度数二、作图题:,画出BC边上得高与AB边上得中垂线1、(1)如图,已知ABC(2)如图,分别过点M,N画出OA,OB得垂线2、如图,一辆汽车在笔直得公路AB上由A向B行驶,M,N分别就是位于公路AB两侧得村庄(1)设汽车行驶到公路AB上点P得位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q位置时,距离村庄N最近,请在图中得AB上分别画出点P,Q得位置(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB得哪一段上距离M,N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近,而离村庄M越来越远？三、简答计算:1、如图所示,射线OA,OB,OC,OD 有公共端点O,且OA ⊥OB,OC ⊥OD, ∠AOD=45∠BOC,求∠BOC 得度数、 2、如图,已知直线AB,CD 交于点O,OE 平分∠BOD, ∠3:∠2=8:1,求∠AOC 得度数 3、如图,直线AB,CD,EF 与GH 相交于点P,且∠APC=250,∠EPG=250 ,∠BPF=650 ,问哪些直线互相垂直？4、如图,两直线AB,CD 相交于点O,OE 平分∠BOD,如果∠AOC: ∠AOD=7:11、 (1)求∠COE(2)若OF ⊥OE, ∠AOC=700,求∠COF5、如果∠1与∠2有公共顶点,且∠1得两边分别垂直于∠2得两边,则∠1与∠2得关系就是什么？。
2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第5讲邻补角、对顶角及垂直(练习)解析版
第5讲邻补角、对顶角及垂直（练习）夯实基础1.下列语句中正确的是（）A．有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角B．互为邻补角的两个角不等C．两边互为反向延长线的两个角是对顶角D．交于一点的三条直线形成3对对顶角【难度】★【答案】C【解析】A错误，另一边互为反向延长线；B错误，不一定，有可能相等；D错误，6对．【总结】考察邻补角，对顶角的内容．2.直线AB上有一点P和此直线外的一点Q的距离为3cm，则Q到直线AB的距离（）A．等于3cm B．大于或等于3cmC．小于或等于3cm D．都不对【难度】★【答案】C【解析】考察点到直线的距离的知识点及其运用．⊥，垂足为O．若3．（2018·上海松江区·七年级期中）如图，已知BO DE∠=︒，则AODBOC42∠=_______︒．【答案】48【分析】先根据垂直求得BOC ∠的余角EOC ∠的度数，再根据对顶角相等即可得出答案．【详解】,42BO DE BOC ⊥∠=︒90904248EOC BOC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒48AOD EOC ∴∠=∠=︒故答案为：48．【点睛】本题考查了余角、对顶角的计算，熟练掌握余角和对顶角的定义是解题的关键．4．（2018·上海松江区·七年级期中）如图，已知直线,a b 相交，12280∠+∠=︒，则1∠=_______︒．【答案】140【分析】根据对顶角相等可得12∠=∠，然后求解即可．【详解】12280,12∠+∠=︒∠=∠112801402∴∠=⨯︒=︒ 故答案为：140．【点睛】本题考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．5．（2018·上海杨浦区·七年级期末）已知直线AB 和直线CD 相交于点O ，200AOC BOD ∠+∠=︒，那么这两条直线的夹角等于___________度．【答案】80【分析】如下图，先根据对顶角相等求得∠AOC 的大小，再根据邻补角互补可得∠AOD 的大小，两直线的夹角用小于90°的那个角表示，据此可得夹角大小．【详解】如下图∵200AOC BOD ∠+∠=︒∴∠AOC=∠BOD=100°∴∠AOD=80°故答案为：80【点睛】本题考查对顶角和邻补角的性质，解题关键是绘制出图形，然后才好方便分析求解．6．（2016·上海奉贤区·七年级期中）如图，已知直线AB 、CD 相交于O 点，∠AOC ＋∠BOD ＝80°，那么∠BOC=_____度.【答案】140【分析】本题考查的是对顶角知识，根据∠AOC与∠BOD是对顶角，相等且和为80°解答即可【详解】∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC=∠BOD；又∵∠AOC＋∠BOD＝80°，∴∠AOC=∠BOD=40°，∴∠BOC=180°-∠BOD=180°-40°=140°【点睛】本题的关键是掌握对顶角相等的知识7.直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB于O，则图中∠1和∠2的关系是__________．【难度】★【答案】互余．【解析】考察对顶角的性质以及互余的意义及运用．8．（2019·上海七年级单元测试）如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，若∠1+∠2＝90°，∠3＝40°，求∠1的度数，并说明理由．【答案】50°【分析】根据题意已知了∠1与∠2的关系,要求∠1的角度,只要求出∠2的度数即可.观察图形,可得知∠2与∠3是对顶角,而题目中又已知了∠3的角度,计算即可得到∠1的度数. 【详解】解：因为∠2＝∠3(对顶角相等)，∠3＝40°(已知)，所以∠2＝40°(等量代换)．又因为∠1+∠2＝90°(已知)，所以∠1＝90°-∠2＝50°．【点睛】此题考查对顶角、邻补角，解题关键在于掌握其性质定义.能力提升1．（2018·上海金山区·七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠=︒，则直线AB与直线CD的夹角是______︒．BOC135【答案】45【分析】先根据邻补角的定义求出∠AOC，再根据直线的夹角为锐角解答．【详解】解：∵∠BOC=135°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-135°=45°，∴直线AB与直线CD的夹角是45°．故答案为：45．【点睛】本题考查了邻补角的定义，要注意直线的夹角是锐角．2．（2017·上海长宁区·七年级期末）如图，直线AC与直线BD交于点O，∠=∠，那么AOD2AOB BOC∠=______度．【答案】60【分析】直接利用已知结合邻补角的定义得出答案．【详解】∵直线AC 与直线BD 交于点O ，∠AOB=2∠BOC ，∴∠AOB+∠BOC=180°，∴2∠BOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°．故答案为：60．【点睛】此题考查邻补角以及对顶角，正确得出∠BOC 的度数是解题关键．3．（2018·上海嘉定区·七年级期中）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，135BOC ∠=︒，那么它们的夹角的度数是____.【答案】45︒【分析】根据邻补角和夹角的定义，结合题意即可得到答案.【详解】因为135BOC ∠=︒，BOC ∠和AOC ∠是邻补角，则18013545AOC ∠=︒-︒=︒，则夹角的度数是45︒.【点睛】本题考查邻补角和夹角的定义，解题的关键是掌握邻补角和夹角的定义.4．（2018·上海浦东新区·七年级期中）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，∠AOE=90°,且∠EOD=14∠COE ，∠BOD=__________°.【答案】54°【解析】解：设∠EOD=x，则∠COE=4x，∴x+4x=180°，解得：x=36°．∵∠AOE=90°，∴∠EOB=90°，∴∠BOD=90°－36°=54°．故答案为54．5．（2018·上海普陀区·七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，COE∠=___________°.∠=︒，则BOE∠=︒，20140AOD【答案】120分析：观察图形可知∠AOD与∠COB是一对对顶角，根据对顶角相等可得∠COB的度数；结合图中的隐含条件∠BOE=∠COB-∠COE，即可求出∠BOE的度数.详解：∵直线AB、CD相交于点O.∴∠AOD=∠COB=140°.∵∠COE=20°，∠COB=140°，∴∠BOE=∠COB-∠COE=140°-20°=120°.点睛：本题考查了角的运算，关键是观察图形中各角之间的关系.6.从钝角∠AOB的顶点O在∠AOB内引射线OC使OC⊥OA，若∠AOC：∠COB=3：1，求∠AOB的度数．【难度】★★【答案】120︒．【解析】因为OC OA⊥（已知），所以90∠=︒（垂线的意义）AOC因为∠AOC：∠COB=3：1（已知）所以30∠=︒（等式性质）COB所以120∠=︒（等式性质）AOB【总结】考查学生画图能力，并且学会分析题目．7.如图：AO⊥BC于点O，OA平分∠DOE，∠COE=64°，求∠AOD的度数．【难度】★★【答案】26︒．【解析】因为AO BC⊥（已知）所以90∠=︒（垂直的意义）AOC因为64COE∠=︒（已知）所以26∠=︒（等式性质）AOE因为OA平分∠DOE（已知）所以26∠=∠=︒（角平分线的意义）AOD AOEQ P Q P B OAB O A 【总结】考察学生对简单几何题的分析，注意互余，角平分线等概念的理解及运用．8.作图：已知线段AB 上一点Q 及线段外一点P ．（1） 过点Q 作线段AB 的垂线；（2） 过点P 作线段AB 的垂线．【难度】★★【答案】如下图．【解析】注意标注垂直符号，以及字母的标注．【总结】画图一定要写结论．9.（1）用三角尺画一个30°的∠AOB ，在边OA 上任取一点P ，过P 作PQ ⊥OB ，垂足为Q ，量一量OP 的长，你发现点P 到OB 的距离与OP 长的关系吗?（2）若所画的∠AOB 为60°，重复上面的测量，你会发现什么?【难度】★★【答案】（1）12PQ OP =； （2）12PQ OP ≠，12OQ OP =．【解析】画图，测量，猜想结论．【总结】考察学生的作图能力，并且量出相应的长度，从而得出结论．10.如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=70°，求∠DOG的度数．【难度】★★【答案】55︒．【解析】因为BOF AOE∠=∠（对顶角相等）又70AOE∠=︒（已知）所以70BOF∠=︒（等量代换）因为OG平分∠BOF（已知）所以35FOG BOG∠=∠=︒（角平分线的意义）因为CD EF⊥（已知）所以90EOD FOD∠=∠=︒（垂线的意义）所以903555DOG∠=︒-︒=︒（互余的意义）【总结】考察角平分线，垂线的意义，对顶角的内容等等．11.如图所示，O为直线AB上一点，∠AOC=13∠BOC，OC是∠AOD的平分线（1）求∠DOC的度数；（2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由．【难度】★★【答案】（1）45︒；（2）垂直．【解析】（1）因为180AOC BOC∠+∠=︒（邻补角的意义）又∠AOC=13∠BOC（已知），所以11803BOC BOC∠+∠=︒（等量代换），所以135BOC∠=︒（等式性质），所以45AOC∠=︒（等式性质）因为OC是∠AOD的平分线（已知），所以45AOC DOC∠=∠=︒（角平分线的意义）（2）垂直．因为45AOC DOC∠=∠=︒（已知），所以90AOD∠=︒（等式性质）所以OD AB⊥（垂直的意义）．【总结】本题主要考查邻补角的意义及角平分线的意义的理解及运用．12.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥EF，OG平分∠FOC，OH平分∠DOG，（1）若∠AOC：∠COG=4:7，求∠DOF的度数；（2）若∠AOC：∠DOH=8:29，求∠COH的度数．【难度】★★★【答案】（1）110︒；（2）107.5︒．【解析】（1）因为OG平分∠FOC（已知）所以COG GOF∠=∠（角平分线的意义）因为∠AOC：∠COG=4:7（已知）所以设4COG x∠=，∠=，7AOC x因为AB⊥EF（已知），所以90∠=︒（垂直的意义）AOF即47790x=︒，x x x++=︒，解得：5所以20∠=︒（等式性质）COG∠=︒，35AOC因为180∠+∠=︒（邻补角的意义）COF DOF所以1803535110∠=︒-︒-︒=︒（等式性质）DOF（2）因为OG平分∠FOC（已知）所以COG GOF∠=∠（角平分线的意义）因为∠AOC：∠DOH=8:29（已知）所以设8∠=．∠=，COG xAOC kDOH k∠=，29因为AB⊥EF（已知），所以90AOF ∠=︒（垂直的意义）， 即890k x x ++=︒①因为180DOH GOH COG ∠+∠+∠=︒（平角的意义），即2929180k k x ++=︒②联立①、②，解得：35x =︒，52k =． 所以35GOC ∠=︒，52972.52HOG ∠=⨯=（等式性质） 因为COH COG GOH ∠=∠+∠（角的和差）所以3572.5107.5COH ∠=︒+︒=︒（等式性质）【总结】本题综合性较强，主要考查角平分线意义与邻补角意义的综合运用，解题时注意对题目中的条件认真分析．13.如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，DOB ∠是它的余角的2倍，2AOE DOF ∠=∠，且有OG OA ⊥，求EOG ∠的度数．【难度】★★★【答案】50︒．【解析】因为DOB ∠是它的余角的2倍所以设DOB x ∠=， 则2(90)x x =-， 解得：60x =︒因为AOC BOD ∠=∠（对顶角相等），所以60AOC ∠=︒（等量代换）设DOF y ∠=，则由2AOE DOF ∠=∠，得2AOE y ∠=，因为DOF EOC ∠=∠（对顶角相等）， 所以EOC y ∠=， 即360y =︒．解得：20y =︒， 所以40AOE ∠=︒（等式性质）因为OG OA ⊥（已知）， 所以90AOG ∠=︒（垂直的意义）所以50EOG ∠=︒（等式性质）【总结】主要考察学生对基本知识点的掌握，以及对题目的分析，包括垂线的意义，对顶角的意义，设未知数解方程等等．。
第2课时 对顶角邻补角作业
2题图12121221《邻补角对顶角》作业1、判断题。
①对顶角相等 ( ) ②相等的角是对顶角 ( ) ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角 ( ) ④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等 ( ) （判断题做法：一般是找出一个反例来否定结论）归纳：若以①作为原命题，则②是它的 命题，③是它的 命题，④是它的 命题。
2、如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）个。
A 、1B 、2C 、3D 、4（本题考的是：对顶角的概念，方法：可以在每个图中分别画出∠1的对顶角，看能不能得到∠2）5、如图，直线AB 与CD 相交所成的四个角中，∠1的邻补角是 ，∠1的对顶角是 。
（本题主要考邻补角概念，要注意的是 邻补角的个数）6、如图，若∠1=25°，则∠2= ，∠3= ，∠4= 。
8、如图，直线AB 、CD ，EF 相交于点O ，则∠AOD 的对顶角是 ，∠AOC 的邻补角 是 ；若∠AOC=50°，则∠BOD= ，∠COB= 。
（本题考复杂图形中寻找邻补角、对顶角） 9、下列说法正确的是（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角。
（2）两条直线相交所成的四个角都相等。
（3）两条直线相交，有一组邻补角相等。
（4）两条直线相交，对顶角相等。
10、三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m 对；交于不同三点时，对顶角有n 对，则m 与n 的关系是（ ）（A ）m=n (B)m>n (C)m<n (D)m+n=10(本题考多条直线相交于一点时对顶角、邻补角个数规律) 第5、6题图4321D C B A A B C D E F 8题图Ol 3l2l 14题图60°30°43213题图FE D C B A O 9题图O A B C D E 12题图21OF E D C B A 13题图4312c b a邻补角与对顶角之推理计算3、如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于（ ）A 、150°B 、180°C 、210°D 、120°4、如图，直线1l ，2l ，3l 相交于一点，则下列答案中，全对的一组是（ ）A 、∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°B 、∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30°C 、∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°D 、∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°9、如图，直线AB 、CD 相交于点O ， OA 平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD= .10、已知∠α，∠β互为补角，且∠α=∠β，则∠α= 。
邻补角、对顶角
∠1=∠3
O
D
例一：如图，已知直线AB、CD相交 于点O，∠AOC＝50°，求∠BOD、 ∠AOD、∠BOC的度数。
A
O
50
解：因为直线AB、CD相交于点O，（C已知）
B
所以∠BOD与∠AOC是对顶角，得： ∠BOD＝∠AOC＝50° （对顶角相等）
因为直线AB、CD相交于点O， （已知）
所以∠AOD与∠AOC是邻补角，得： ∠AOD＝180°－∠AOC＝ 180°－50°＝130°
的度数。
C
OB
A
D
课堂小结 :
角的 名称
特征
性质
邻补 角
①两条直线相交 而成的角
②有一个公共顶 点
邻补 角互 补
③有一条公共边
对顶 角
①两条直线相交 而成的角
②有一个公共顶 点
对顶 角相 等
③没有公共边
相同点
不同点
都是两直 对顶角没有 线相交而 公共边而邻 成的角， 补角有一条 都有一个 公共边； 公共顶点， 两条直线相 它们都是 交时，一个 成对出现。 角的对顶角
有一个，而
一个角的邻
补角有两个。
作业:第7页习题5.1 第1、2题（抄题）
一、创设情境
观察：取两根木条， 将它们用一枚钉子钉 在一起。
A
D 把这两根木条看作两条
O
直线，用一枚钉子钉起
来就相当于两条直线相
C
B 交。
思考：两条直线相交是不是只有一个交点呢？
两条直线相交，只有一个交点， 不可能有2个交点.
动手操作并思考
请在纸上画出两条相交的直线，得到四个 角，给这四个角编上∠1， ∠2， ∠3， ∠4.
邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角经典习题-一对一专用
邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角一、学习目标1、了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握邻补角、对顶角的概念和性质；2、理解并掌握垂线的概念和性质；3、了解同位角、内错角、同旁内角的概念并会辨别二、主要内容1、邻补角：两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。
2、对顶角：两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角；对顶角的性质：对顶角相等。
注意：1、对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；2、如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角3、如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
4、两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
习题巩固1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3121212122、下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．3、下列语句正确的是（）.A、相等的角是对顶角B、相等的两个角是邻补角C、对顶角相等D、邻补角不一定互补，但可能相等4、下列语句错误的有（）个.（1）两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角（2）有公共顶点并且相等的两个角是对顶角（3）如果两个角相等，那么这两个角互补（4）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角A、1B、2C、3D、45、已知∠1与∠2是邻补角，∠2是∠3的邻补角，那么∠1与∠3的关系是（）.A、对顶角B、相等但不是对顶角C、邻补角D、互补但不是邻补角6、下列说法正确的是（）.A、有公共顶点的两个角是对顶角B、两条直线相交所成的两个角是对顶角C、有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角D、两条直线相交所成的无公共边的两个角是对顶角7、已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O•的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角8、下列判断正确的个数是_____个。
相交线--邻补角、对顶角及性质
5.1.1(1)相交线--邻补角、对顶角及性质一．【知识要点】1.两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。
我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角。
邻补角互补，对顶角相等。
二．【经典例题】1．下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是 （ ）2.如图，当剪子口∠AOB 增大15°时，∠COD 增大 ，其根据是：_______________.3.对两条直线相交所得的四个角中,下面说法正确的是（ ）①没有公共边的两个角是对顶角 ②有公共边的两个角是对顶角 ③没有公共边的两个角是邻补角 ④有公共边的两个角是邻补角A.①②B.①③C.①④D.以上都不对4.∠１的对顶角是∠２,∠２的邻补角是∠３,若∠3＝45º,则∠１的度数是（ ）A.45ºB.135ºC.45º和135ºD.90º三．【题库】【A 】1.如图,∠1与∠2是对顶角的是 ( )2.如下图所示,∠1与∠2是对顶角的是（）A BOC D【B】1.下列说法正确的是（）A.如果两个角相等,那么这两个角是对顶角B.有公共顶点的两个角是对顶角C.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角D.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等2.以下说法正确的是( )A.有公共顶点,并且相等的两个角是对顶角B.两条直线相交,任意两个角都是对顶角C.两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角D.两角的两边分别在同一直线上,这两个角互为对顶角3．下列说法中，正确的是（）（A）相等的角是对顶角（B）有公共顶点，并且相等的角是对顶角（C）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2（D）两条直线相交所成的两个角是对顶角【C】1.如图AB、CD、EF相交于一点，∠1=50°，∠2=65°，则∠EOD=_____________度。
对顶角、邻补角、同位角、内错角练习
O F E D C B A 34D C B A 12O D C B A 12O D C B A（一）邻补角、对顶角的内容一、邻补角、对顶角的定义1、（1）∠AOC 和∠BOC 有一条公共边．．．．．OC ，它们的另一边互为 ，称这两个角互为 。
用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是（2）∠AOC 和∠BOD （有或没有）公共边，但∠AOC 的两边分别是∠BOD两边的 ，称这两个角互为2.如图3所示,AB 与CD 相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___.(3) (4) (5)3.如图3所示,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______.4.如图4所示,直线AB,CD,EF 相交于点O,则∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______.5.如图5所示,直线AB,CD 相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____.二、邻补角、对顶角的性质1、邻补角的性质：邻补角 。
注意：邻补角是互补的一种特殊的情况，数量上 ，位置上有一条 。
2、对顶角 。
3、 如图，已知直线a 、b 相交。
∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数解：∠3＝∠1＝40°（ ）。
∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°（ ）。
∠4＝∠2＝140°（ ）。
4、如图,直线AB 、CD 相交于点O (1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数. (2)若∠BOC 比∠AOC 的2倍多33°,求各角的度数（二）同位角、内错角、同旁内角（一）如图,直线AB、CD与EF相交（或两条直线AB、CD被第三条直线EF所截）构成个角。
我们来研究其中没有公共顶点．．．．．．的两个角的关系。
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246 对顶角、邻补角（解答题）
1、如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．
2、如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？
3、如图，∠1=∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数．
4、如图，AB，CD交于O点．
（1）如果∠AOD=3∠BOD，那么∠BOD=_________度，∠COB=_________度；（2）如果∠AOC=2x°，∠BOC=（x+90）°，∠BOD=（y+4）°，求x，y的值．
5、如图，直线AB、CD相交于点O，已知：∠AOC=70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．
6、如图（1）两条直线相交于一点，有_________对对顶角；
如图（2）三条直线相交于一点，请写出所有对顶角；
如图（3）n条直线相交于一点，有_________对对顶角．
7、如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1=20°，∠BOC=80°，求∠2的度数．
8、如图，直线AB与CD相交于点O，OD恰为∠BOE的角平分线．
（1）图中∠AOD的补角是_________（把符合条件的角都填出来）；
（2）若∠AOD=140°，求∠AOE的度数．
9、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：
（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；
（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；
（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？
10、如图，直线a，b，c两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．
11、如图，直线AB、CD相交于点0，OE平分∠AOC，∠AOD比∠AOE大75°，求∠AOD的度数．
12、如图，要测量两堆围墙所形成的∠AOB的度数，但人既不能进入围墙内，又不能站在围墙上，只能站在墙外，如何测量？（要求用两种方法）
13、已知直线AB与直线CD相交于O点，∠1=70°，则∠2=_________度．
14、如图，把∠AOE绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得∠COD，且使射线OC平分∠AOE 的邻补角，已知∠DOE=30°，问∠AOE按顺时针方向旋转了多少度．
15、如图，直线a，b，c相交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．
16、如图，三条直线AB、CD、EF相交于同一点O，若∠AOE=2∠AOC，∠COF=60°，求∠BOD 的度数．
17、如图∠AOD=90°，OD为∠BOC的平分线，OE为BO的延长线，若∠AOB=40°，
求∠COE的度数．
18、如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD，∠COE=28°．
求∠AOC和∠DOF的度数．
19、如图，直线AB，CD，EF交于点O，∠BOC=46°．射线OE平分∠BOC，求：
（1）∠2和∠3的度数；
（2）射线OF平分∠AOD吗？请说明理由．
20、已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠DOE=4：1．求∠AOF的度数．
21、已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE的度数．
22、如图，已知直线AB、CD交于点O，且∠1：∠2=2：3，∠AOC=60°，求∠2的度
数．
23、如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE=80°，求∠BOD的度数．
24、如图：AB、CD、EF相交于点O，∠1=50°，∠2=50°．求∠3的度数．
25、如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．（1）求∠2和∠3的度数；
（2）OF平分∠AOD吗？为什么？
26、如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，∠AOC=37°，求∠BOC，∠BOE的度数．。