第十章-对策分析

分析:
❖用(W2,G2)表示局中人甲的策略，由
G2当 两示能G{步所，11，2组猜即，30，成 的 为4}数:0W、G字221表当 和、{示G。201，中乙2第，任31所一，4意写}步G一数有2当 个字三G{，，0种1，第1G，可322二，表4} G2当 步{G01的，1，可23，4能}性G2可当 表G{01示，1,2为4，3：}
对策树:
游戏者甲的赢得矩阵:
乙 甲
猜红
掷硬币 ¼(p-1+2r) 让B猜 ½(-r+t)
猜黑
¼(p-q-2u) ½(s-u)
例4:
❖甲、乙两人分别在纸上写下0,1，2三 个数字中的一个，在互不知道的情 况下猜双方所写数字之和，先让甲 猜，猜完之后让乙猜，但乙猜的数 字必须不同于甲。若有一方猜中， 赢得1分，均猜不中为和局。试确定 双方各自的策略集，并建立相应的 支付矩阵。
二人有限零和对策（two-person zero score game）
❖对策中存在有2个局中人; ❖每个局中人的策略集的策略数是有限
的； ❖每一局势的对策都有确定的损益值,且
对同一局势的两个局中人的损益值之 和为零。 ❖例:齐王赛马
赢得矩阵:
❖将二人有限零和对策双方的得失用矩阵表示, 称为赢得矩阵，又叫支付矩阵。
对策论
对策论
§1 对策论的基本概念（掌握） §2 矩阵对策的最优纯策略（掌握） §3 矩阵对策的混合策略（掌握）
❖对策也叫博弈,是自古以来的政治家 和军事家都很注意研究的问题。
❖作为一门正式学科，是在20世纪40 年代形成并发展起来的。
❖对策论亦称为竞赛论或博弈论,是研究具 有斗争或竞争性质的数学理论和方法．
❖一般认为，它是现代数学的一个新分支， 是运筹学的一个重要学科。
❖对策论发展的历史并不长，但由于它研 究的问题与政治、经济、军事活动乃至 一般的日常生活等有着密切联系，并且 处理问题的方法具有明显特色，所以日 益引起广泛注意。
❖ 在日常生活中,经常会看到一些相互具有斗争或 竞争性质的行为，如下棋、打牌、体育比赛等。
❖也就是说要研究采取对抗其他竞争 者的策略，这就是对策问题。
❖对策就是决策者在竞争场合下作出 的决策。
❖在我国古代,“齐王赛马”就是一个 典型的对策论研究的例子。
齐王与田忌赛马:
比赛规定:比赛三场,每场各出赛马一匹， 三赛二胜为赢。
背景：在相同等级的马中，齐王的都 比田忌的好一些。
孙膑给田忌出的比赛策略： 用你的下马对齐王的上马; 用你的中马对齐王的下马
3 -4
5
-4 5
6
例3:
❖从一张红牌和一张黑牌中随机抽取一张, 让A看，但对B保密。若A看到的是红牌， 他可选择或掷硬币，或让B猜。若选择 掷硬币，当出现正面，A赢得p元，出现 反面，输q元;若让B猜，当B猜中是红牌， A输r元，反之B猜是黑牌，A赢得s元。 若A看到的是黑牌，他只能让B猜。当B 猜中是黑牌，A输u元，反之B猜是红牌， A赢t元，试确定A、B各自的策略，建 立赢得矩阵。
儿童甲的赢得矩阵:
乙 甲
石头 布 剪刀
石头 布
0 -1 10 -1 1
剪刀
1 -1 0
例2:
甲、乙两个游戏者在互不知道的情况 下,同时伸出一、二或三个指头。用k 表示两人伸出指头总和，如k为偶数， 甲付给乙k元，若k为奇数，乙付给 甲k元。列出甲的赢得矩阵。
游戏者甲的赢得矩阵:
乙 甲
1 2 3
§1 对策论的基本概念
1. 局中人（player） 2. 指参与对抗的各方。 3. 如“齐王赛马”例中有两个局中
人,一位是齐王，另一位是田忌。 ❖ 局中人的数目可以多个; ❖ 局中人的“人”可以是个人，也可
以是某个集体，如球队、企业、公 司等，也可是大自然。
2. 策略集
策略（strategy）:指可供局中人选择对付 其他局中人的行动方案。
❖二人有限零和对策又叫矩阵策略（matrix game），记作: G={S1，S2，A}
S1—局中人甲的策略集; S2—局中人乙的策略集； A—局中人甲的赢得矩阵
“齐王赛马”齐王在各局势中的损益值表 （单位:千金）
其中:齐王的策略集: S1={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 田忌的策略集：S2={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }。
策略集：指一个局中人拥有的策略全体。 如“齐王赛马”例中,三匹马出赛的次序就
是一个策略。 齐王和田忌都有6个策略，分别为： （上中下）（上下中）（中上下）（中下
上）（下上中）（下中上）
3. 一局对策的损益值（payoff）
★各局中人使用一定的对策形成一个局 势时,一个局势就决定了各局中人的对 策的结果也称为对策的损益值。 ★一般而然，当以上三个基本因素确定 后一个对策模型也就确定了。 ★在众多对策模型中，占有重要地位的 是二人有限零和对策。
下面矩阵称齐王的赢得矩阵： 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 -1
A= 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 1 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3
例1:
甲、乙两名儿童玩猜拳游戏。游戏中 双方可分别出拳头（代表石头）、 手掌（代表布）,两个手指（代表剪 刀）。规则是剪刀赢布，布赢石头， 石头赢剪刀，赢者得一分。若双方 所出相同，算和局，均不得分。试 列出游戏中儿童甲的赢得矩阵。
❖ 还比如战争活动中的双方，都力图选取对自己 有利的策略，千方百计去战胜对手。
❖ 在政治方面，国际间的谈判，各种政治力量之 间的斗争，各国际集团之间的斗争等无一不具 有斗争的性质。
❖ 在经济活动中，各国之间、各公司企业之间的 经济谈判，企业之间为争夺市场而进行的竞争 等，举不胜举。
❖在竞争过程的各方为了达到自己的 目标和利益,必须考虑对手的各种可 能的行动方案，并力图选取对自己 最为有利可最为合理的方案，
分析:
❖用(W1,G1)表示局中人甲的策略，由 两步组成:W1表示甲所写数字，G1表 示所猜的数字和。共15个策略 （0,0）、（0,1）、 （0,2）、 （0,3）、 （0,4）、 （1,0）、 （1,1）、 （1,2）、 （1,3）、 （1,4）、 （2,0）、 （2,1）、 （2,2）、 （2,3）、 （2,4）。