15.3.2分式方程的应用(行程问题)
只列分式方程，不求解
1、已知甲车行驶45千米的时间与乙车行驶30 千米的时间相同，如果甲车每小时比乙车快3千 米，问两车的速度各为多少？ 2、A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽 车从A地开往B地，大汽车和小汽车同时出发， 结果小汽车比大汽车早到3小时.已知大、小汽 车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.
5、某人骑自行车比步行每小时多走8千米， 如果他步行12千米所用时间与骑车行36千 米所用的时间相等，求他步行40千米用多 少小时?
教师寄语
15.3
分式方程
（行程问题）
成功只亲睐有准备的人!
1、在行程问题中，主要是有三个量---路程、速度、时 间。它们的关系是---路程 路程 路程= 速度×时间 、速度= 时间 、时间= 速度 。 2、在水流行程中:已知静水速度和水流速度 静水速度 + 水流速度 顺水速度= ,
逆水速度= 静水速度－水流速度
只列分式方程，不求解
3、一个圆柱形容器的容积为 V立方米，开始用 一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器 高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水 管注水，想容器中注满水的全过程共用时间 t分。 求两根水管各自的注水速度。
（要考虑大水管的进水速度是小水管进水速度的多少 倍。）
精选作业（求解） 4、小明和小亮进行百米比赛。当小明到 达终点时，小亮距离终点还有5米，如果 小明比小亮每秒多跑0.35米，你知道小明 百米跑的平均速度是多少吗？
等量关系：时间相等
提速前
提速后 s 50
s
xv
x
s 50 xv
s x
解：设提速前列车的平均速度为x千米/时由题意，得 s s 50 x xv 在方程两边同乘以x(x+v)得 s(x+v)=x(s+50) sv 解得 x= 50 sv 检验:当x= 时，x(x+v)≠0
sv 答：提速前列车的平均速度为 50 千米/时。 sv 50 ∴x= 50是原方程的解
。
例4：某次列车平均提速v千米/小时，用相同的时 间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多 行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
思考：这是行程 ____问题
等量关系：时间相等
路程km 提速前 提速后
s
速度km/h
s 50
x xv
时间h
s 50 xv
s x
路程km 速度km/h 时间h
试一试： 轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水 航行60千米所用的时间相同。已知水流的 速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
补充例题：
A，B两地相距100千米，两辆汽车从A地 开往B地，让大汽车比小汽车早出发5小时， 结果小汽车和大汽车同时到达B地.已知两 车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的 速度.
15.3分式方程的实际应用(行程问题)
X X–3
45/x
30/x-3
所得方程为
30 X 3
我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌军离 桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军 速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达， 求我部队急行军的速度。
敌军 路程 24 30 速度 时间 24/x
我军
x 1.5 x
30/1.5x
解得x=4 经检验x=4是方程的解，并且符合题意。 40÷4=10(小时） 答：他步行40千米用10个小时。
2、一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学
校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从
学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进
速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千
聪明的人，今天做明天的 事；懒惰的人，今天做昨天的 事；糊涂的人，把昨天的事也 推给明天。愿你做一个聪明的 孩子！愿你做一个时间的主人！
6、写出答案。
列分式方程解应用题与列一元一次方程 解应用题的方法与步骤基本相同， 不同点是，解分式方程必须要验根. 一方面要看原方程是否有增根， 另一方面还要看解出的根是否符合题 意. 原方程的增根和不符合题意的根都应 舍去.
常见题型及相等关系
行程问题 ： 基本量之间的关系：
路程=速度 速度，即s=vt
48 等量关系： 我军的时间？ = 敌军的时间 – 60
解：设敌军的速度为X千米/时,则我军为1.5X千米/时。
由题意得方程：
30 24 48 1.5X X 60
练习：（只设未知数列出方程） 八（1）班的学生到距学校15千米的地方 春游，一部分同学骑自行车先走，40 分钟 后，其余同学乘汽车去，结果同时到达， 已知汽车的速度是自行车的三倍， 求两种车的速度。
(部编)人教数学八年级上册《15.3.2分式方程应用列分式方程解决行程实际问题》教案4
初中数学人教版八年级上册?列分式方程解决行程实际问题?教案一、教学目标1、根据路程、速度、时间的关系,列分式方程解决实际问题。
2、理解列分式方程解应用题的步骤,特别注意“验〞这个步。
3、培养学生分析问题、解决问题的水平,提升学生应用数学的意识。
二、学情分析度、时间三者之间的关系是分析问题的依据。
理清题中的量(用字母表示的量与具体数据的量)和未知量。
初中学生解容许用题困难的原因主要表现在以下三个方面：第一：生活经验匮乏。
第二：阅读文字和理解文字的水平欠缺。
第三：分析问题的方法和技巧欠缺。
三、重点难点1.审明题意,寻找等量关系 ,将实际问题转化成分式方程的数学模型 .2.根据实际意义检验解的合理性.四、教学过程活动1【情境引入】观看视频，列出分式。
根据所添加的条件，列出分式方程，并求出方程的解。
活动2【探究新知】自主探究：在上面的问题中，使用了什么根本关系列方程？合作探究：回忆列方程解应用题的一般步骤是什么？活动3【实例演练】一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？分析：1、“两次航行时间相等〞是列方程的等量关系2、把顺流航行所用时间和逆流航行所用时间分别表示出来活动4【学生练习】〔益阳中考〕货车行驶25km与小车行驶35km所用时间相同，小车每小时比货车多行驶20km，求两车的速度各为多少？设货车的速度为xkm/h，依题意列方程准确的是？2.〔绵阳·中考〕在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为10km/h,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2km所用时间与以最大速度逆流航行km所用时间相等.那么该冲锋舟在静水中的最大航速为____.3.〔解答题〕八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一局部学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。
15.3.2分式方程的实际应用——工程、行程问题+课件+2024-2025学年人教版数学八年级上册
拓展应用
解：设规定日期为x天，根据题意，得
1
x 3
1
3
1
x x4
x4
解得：x=12.
经检验：x=12是原方程的解且符合题意.
答：规定日期为12天.
回顾反思
1. 本节课探究了分式的哪些问题？
2. 在探寻分式方程的应用时，你经历了哪些数学活动？在
(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
(3)工程问题：基本公式： 工作量=工时×工效以及它的两个变式 ；
回顾复习
(4)顺水逆水问题：顺水速度＝ 轮船速度+水流速度 ，
逆水速度＝ 轮船速度-水流速度 ；
(5)利润问题：基本公式： 利润=售价-进价，利润率=利润÷进价.
探究新知
学生活动一 【一起探究】
的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计
划每天铺设x米,下面所列方程正确的是( A )
720
720
2
x
( x 20%) x
720
720
C.
2
(1 20%) x
x
A.
720
720
2
(1 20%) x
x
720
720
D.
x 2 (1 20%) x
B.
拓展应用
x
x 2x
解得x=30,
经检验x=30为原方程的根且符合题意.
∴2x=60.
答:甲队单独完成这项工程需30天,乙队单独完成这项工程
需60天.
课后作业
1.课本P154 习题15.3第3,5题.
2019秋人教版八年级数学上册习题课件：第15章 15.3 第2课时 分式方程的应用
解：在不耽误工期的情况下只能选择方案(1)或(3)．设工期为 x 天，则甲队 单独完成需 x 天，乙队单独完成需(x＋5)天，由题意得：4x＋x＋x 5＝1，解得 x＝20，经检验 x＝20 是原方程的解，且符合题意，则方案(1)需工程款 1.5×20 ＝30(万元)，方案(3)需工程款 1.5×4＋1.1×20＝28(万元)，∵28＜30，∴在 不耽误工期的情况下，方案(3)最省工程款．
知识点三：百分率问题
3．(舟山中考)甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测 20 个，甲 检测 300 个比乙检测 200 个所用的时间少 10%，若设甲每小时检测 x 个， 则根据题意，可列出方程： 3x00＝x2－0020×(1－10%) ．
知识点四：商品销售问题 4．(广东中考)某公司购买了一批 A、B 型芯片，其中 A 型芯片的单价比 B 型芯片的单价少 9 元，已知该公司用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用 4200 元购买 B 型芯片的条数相等． (1)求该公司购买的 A、B 型芯片的单价各是多少元？ (2)若两种芯片共购买了 200 条，且购买的总费用为 6280 元，求购买了多少 条 A 型芯片？
【规范解答】(1)设 B 型机器人每小时搬运 x 千克材料，则 A 型机器人每小 时搬运(x＋30)千克材料．根据题意，得x1＋00300＝8x00.解得 x＝120.经检验，x ＝120 是原方程的解，且符合题意．当 x＝120 时，x＋30＝150.答：A 型机 器人每小时搬运 150 千克材料，B 型机器人每小时搬运 120 千克材料； (2)设购进 A 型机器人 a 台，则购进 B 型机器人(20－a)台．根据题意，得 150a ＋120(20－a)≥2800.解得 a≥430.∵a 是整数，∴a≥14.答：至少购进 A 型机 器人 14 台.
人教版八年级上册第十五章分式15.3.2分式方程实际应用教案
一、教学内容
人教版八年级上册第十五章分式15.3.2分式方程实际应用教案：
1.掌握分式方程在实际问题中的应用。
2.能够根据实际问题的情境列出分式方程，并求解。
3.举例说明分式方程在生活中的应用。
教学内容：
（1）行程问题：速度、时间和路程的关系，根据已知条件列出分式方程，求解未知数。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分式方程的建立和求解这两个重点。对于难点部分，比如去分母、移项等，我会通过具体的例题和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如调配溶液，这个操作将演示分式方程的基本原理。
-难点举例：在溶液问题中，学生可能不熟悉如何将分式方程简化并求解。
（3）求解结果的检验：学生往往忽视检验解的正确性，导致答案错误。
-难点举例：在几何问题中，学生求解出边长比例后，需要检验这个比例是否能满足题目中的具体条件。
（4）应用意识的培养：如何引导学生将分式方程与实际生活相结合，提高数学应用意识。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式方程实际应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要分配或计算比例的情况？”比如，如何分配时间进行学习和休息，或者如何按照一定的比例调配溶液。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式方程在生活中的奥秘。
-难点举例：教师需要通过具体案例，让学生体会分式方程在生活中的应用，从而培养学生的应用意识。
(部编)人教数学八年级上册《15.3.2分式方程应用列分式方程解决行程实际问题》5
分式方程教学目标知识技能：会解可化为一元一次方程的分式方程．会准确的实行检验．使用分式方程解决实际应用问题时，会合理设未知数，找出等量关系并列出方程．数学思考：在用分式方程解决实际应用问题的过程中，体验数学的应用性，进一步强化检验的必要性．问题解决：经历探索应用分式方程解决实际问题的过程，掌握分析问题、解决问题的水平，学会把所学知识应用到实际生活的方法．情感态度：通过师生活动、学生自我探究，让学生体验数学的应用性，激发学生学习数学的兴趣.教学重点：从实际问题中列出分式方程并准确解分式方程．教学难点：等量关系的提炼以及转化为方程的过程．教具：多媒体课件教学活动：一、回忆：x151.解分式方程：.2x552x2.〔1〕、在行程问题中，主要是有三个量---路程s、速度v、时间t。
它们的关系是----s=vt、v=s s。
、t=vt〔2〕、在水流行程中：静水速度v静和水流速度v水顺水速度v顺=v静+v水,逆水速度v逆=v静-v水。
二、新课讲授：(1)〔一〕：创设情境导入新课(2)【课堂引入】例2(教材153页例4)某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，(3)列车提速前行驶skm/h，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度(4)是多少？(5)师生探究分析：(6)思考：这是____问题，三个量为〔2〕等量关系：3〕设未知数4〕列表路程km 速度km/h提速前提速后〔5〕分析题目信息完成表格路程km 速度km/h提速前s x 提速后s50xv(6)根据等量关系：t提速前=t提速后，可列方程〔7〕以下是解题过程解：设提速前这次列车的平均速度为xkm/h，由题意得s s＋50＝.x x＋v方程两边乘x(x＋v)，得s(x＋v)＝x(s＋50).sv解得x＝50.sv检验：由v，s都是正数，得x＝50时x(x＋v)≠0.sv所以，原分式方程的解为x＝50.sv 答：提速前列车的平均速度为时间h时间hsx50xv〔二〕活动：实践探究交流新知【探究】.教师使用课件展示分式方程的解答过程.教师提出问题，学生答复，回忆分式方程的根本解法，并归纳具体步骤.1.审：分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.3.列：根据数量和相等关系,准确列出代数式和方程.4.解：认真仔细.5.验：有两次检验.6.答：注意单位和语言完整.且答案要生活化.〔三〕小组合作完成练习八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一局部同学骑自行车先走，过了20 分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达。
分式方程的应用(二)行程问题
中学八年级上册数学学科教学设计第周第单元第课时课题T15.3.4 分式方程的应用（二）行程问题课型讲授主备人授课时间课时执教者教学目标(1)会找出实际问题中的等量关系，熟练地列出相应的方程.（2）会解含字母系数的分式方程.（3）知道列方程解应用题为什么必须验根，掌握解题的基本步骤和要求.教学重难点重点：根据条件恰当设未知数列方程和解方程.难点：会从实际问题中获取有用的信息，准确找出相应的数量关系和等量关系.一、情境导入，初步认识行程问题1．注意关键词“提速了”与“提速到”的区别；2．明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；3．行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程．二、思考探究，获取新知1．小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200 km，小轿车行驶了180 km，小轿车为了追上面包车，就马上提速，他们约定好在300 km的地方碰头，正好同时到达，请问小轿车提速了多少？2．两车发现跟丢时，面包车行驶了200 km，小轿车行驶了180 km，小轿车为了追上面包车，就马上提速，他们约定好在s km的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速了多少？3．小轿车提速前的平均提速了v km/h，用相同的时间，小轿车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，请问小轿车提速了多少？三、运用新知，深化理解板书设计课堂小结教学反思本课时教学除了在一般意义上让学生经历“提出问题——构建模型——解决问题”的过程，还应让学生特别注意分式方程的“检验”.作业布置1、课堂作业：2、课外作业：。
(部编)人教数学八年级上册《15.3.2分式方程的应用 列分式方程解决行程实际问题》_2
16． 3分式方程的应用
思考：列分方程解决实际问题的方法和步骤是什么？
第二步：应用举例
P35例3
分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.
等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1
P36例4
分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=.这题用字母表示已知数（量）.等
量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间
总结：
解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意.
第三步：随堂练习
第四步：课后练习
1．某学校学生实行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来因为把速度加快，
结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
2．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成
各需多少天？
3．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？
答案：1. 10千米/时 2. 4天，6天 3. 20升。
15.3.2分式方程应用题
方法点拨
工作量问题解题思路: 1.工作量: (1)通常把总工作量看成单位“1”． (2)每一部分的工作量=工作效率×工作时间. 2.等量关系:每人完成的工作量之和＝总工作量.
知识运用
二.行程问题
例3 某校学生乘车到距学校60 km的景, 他们同时 出发,结果乘慢车的同学晚到20 min．已知快车速
车快54km/h,当动车到达B站时,特快列车恰好到
达距离A站135km处的C站.求动车和特快列车的
平均速度各是多少？
思维点拨
1.设特快列车的平均速度为xkm/h,则动车的
速度为(x+54)km/h. 2.等量关系:动车行驶360km与特快列车行 驶(360﹣135)km所用的时间相同. 3.列方程求解.
知识运用
例2.(2012∙临沂中考)某工厂加工某种产品.机器每
小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数 量的2 倍多 9 件 ,若加工 1800 件这样的产品 ,机器加
3 工所用的时间是手工加工所用时间的 倍,求手工 7
每小时加工产品的数量.
解:设手工每小时加工产品x件,则机器每小时加 工产品(2x+9)件, 1 800 3 1 800 根据题意可得: ， x 7 2x 9 解得x=27, 经检验x=27是原方程的解且符合题意. 答:手工每小时加工产品27件．
思维点拨
根据甲,乙的工作量的和等于工作总 量,列方程求解.
解:设乙单独做需要x天完成,由题意得. 30 1 1 ( ) 20 1, x 40 x 解得x=100． 经检验x=100是原方程的解,且满足题意. 答:乙单独做需要100天完成．
智能抢答
甲,乙合干一项工作,甲单独干需要x天,乙单独干 1 , 正确吗？ 需要y天,则甲,乙合干的工作效率为 xy 为什么？ 1 1 答:不正确.∵工作效率为 . x y
人教版八年级数学上册教案：15.3.2 列分式方程解决实际问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法.
(3)工程问题
基本公式：________________；
(4)顺水逆水问题
顺水速度＝____________；逆水速度＝____________．
温故知新，唤醒学生的已有知识体系，为本节课作知识的铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】问题：一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度.分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺水航行的速度为________千米/时，逆水航行的速度为________千米/时，顺水航行的时间为________时，逆水航行的时间为________时，根据题意，可得方程________________________________.1.利用课件提出实际应用问题：求出车速.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，6x≠0.所以，原分式方程的解为x＝1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的 ，可知乙队的施工速度快.
1.通过例题教学使学生掌握基础知识、基本的运算方法，掌握解决数学问题的基本技能，增强学生解决问题的能力.2.通过例题教学使学生掌握基本的数学语言、规范其解题书写格式.3.通过例题教学提高学生分析问题解决问题的能力.
(4)列车提速前行驶skm所用的时间与列车提速后行驶(s＋50)km所用的时间相同；(5) ， ；(6) ＝
解：设提速前这次列车的平均速度为xkm/h，则提速前它行驶skm所用时间为 h；提速后列车的平均速度为(x＋v)km/h，提速后它行驶(s＋50)km所用时间为 h.根据行驶时间的等量关系，得 ＝ .