八年级数学第3课时 分式方程的实际应用——行程问题
人教版八年级数学上册分式方程的应用——行程问题教学课件
八年级数学上册人教版分式方程的应用—— 行程问题1.会用不同分析方法审题，列分式方程解行程问题中的常见类型.2.能根据实际问题检验所得结果是否合理.温馨提示：“尝试完成、独立完成”等提示语，请暂停视频，有效把握节奏效果更佳哦珍爱生命敬畏自然敬畏自然和谐共生一则动物新闻惹人注目动物新闻蚂蚁给乌龟的挑战书乌龟先生：我想与你进行比赛，由兔子 先生做裁判，从小柳树跑到相距12米的大柳树下。
比赛枪声响后，先 到者为胜。
蚂蚁先生赛程12米，乌龟的速度是蚂蚁速度的2倍，结果：乌龟比蚂蚁提前了1分钟到终点，所以蚂蚁输了。
v乌龟和蚂蚁两者的速度各多少？v 分析:请从故事中找出相关的数量关系。
路程=速度×时间解:设蚂蚁的速度为x 米/分，则乌龟速度为2x 米/分。
蚂蚁时间 乌龟时间—=1解得x=6 经检验是原方程的解。
答：蚂蚁速度为6米/分，乌龟速度为12米/分。
列分式方程解应用题的一般步骤:1.审清题意，找出数量关系及等量关系,;2.设未知数（要有单位）;3 列方程;4. 解方程（认准未知数）;5. 验根;6. 答（要有单位）.试用列表法解行程问题从2004年5月起某列车平均提速v千米/小时，用相同时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？等量关系：时间相等路程km速度km/h时间h提速前提速后解设列车提速前行使 的速度为 x 千米/时，根据行使的时间的等量关系，得 例４；从２００４年５月起某列车平均提速v 千米／时，用相同的时间，列车提速前行使s 千米，提速后比提速前多行使５０千米，提速前列车的平均速度为多少？解得经 检验：x= 是原方程的解答：提速前列车的速度为 千米/时例题赏析相遇问题例2 甲步行先出发，乙骑自行车， 从相距19千米的两地相向而行，甲行至7千米时两人相遇，此时两人共用了2小时，已知骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.图示法：总路程 （ ）千米19甲乙步行（ ）小时骑行（ ）小时步行时+骑行时=（）小时2由此可列出方程：步行（ ）千米7则骑行（ ）千米12设步行速度为x 千米/小时，那么骑自行车速度为（ ）千米/小时4x规范形式：解：设甲步行的速度为x千米/小时，根据题意得整理得：解得：x＝5把x＝5代入原方程，成立∴ x＝5是原方程的解．答：这个人步行速度为5千米/小时.追及问题：到距15千米的村庄检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两种车的速度。
分式方程的应用——行程问题
安县沙汀实验中学八年级下数学导学案之十六——分式方程的应用
知识点一：行程问题的应用题
例1：A、B两地相距40千米，甲从A地到B地，如果走的速度为x千米/时，那么需要走小时；如果速度加快2千米/时，那么需要走小时，这样可以比原来
少用小时，如果比原来少用1小时，那么列方程为
例2：、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
例3：从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？（解含字母系数的方程）
对应练习：
八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度。
课堂过关测试
1、甲、乙两人分别从距目的6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，
结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度。
2、一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1、5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度。
3、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
15.3.2分式方程的实际应用——工程、行程问题+课件+2024-2025学年人教版数学八年级上册
拓展应用
解：设规定日期为x天，根据题意，得
1
x 3
1
3
1
x x4
x4
解得：x=12.
经检验：x=12是原方程的解且符合题意.
答：规定日期为12天.
回顾反思
1. 本节课探究了分式的哪些问题？
2. 在探寻分式方程的应用时，你经历了哪些数学活动？在
(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
(3)工程问题：基本公式： 工作量=工时×工效以及它的两个变式 ；
回顾复习
(4)顺水逆水问题：顺水速度＝ 轮船速度+水流速度 ，
逆水速度＝ 轮船速度-水流速度 ；
(5)利润问题：基本公式： 利润=售价-进价，利润率=利润÷进价.
探究新知
学生活动一 【一起探究】
的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计
划每天铺设x米,下面所列方程正确的是( A )
720
720
2
x
( x 20%) x
720
720
C.
2
(1 20%) x
x
A.
720
720
2
(1 20%) x
x
720
720
D.
x 2 (1 20%) x
B.
拓展应用
x
x 2x
解得x=30,
经检验x=30为原方程的根且符合题意.
∴2x=60.
答:甲队单独完成这项工程需30天,乙队单独完成这项工程
需60天.
课后作业
1.课本P154 习题15.3第3,5题.
列分式方程解决行程实际问题-人教版八年级数学上册教案
列分式方程解决行程实际问题-人教版八年级数学上册教案一、知识点概述本文主要介绍如何应用列分式方程解决行程实际问题。
这是在人教版八年级数学上册中比较重要的一个知识点，需要我们掌握相关的概念和方法，才能顺利地完成相应的题目。
所谓“列分式方程”，就是指我们把问题中给出的数量关系用代数式的形式表达出来，一般情况下是利用比例关系或者速度=路程÷时间的公式来建立方程。
这样，我们就能够通过解方程的方式求出问题中所需要的未知量，例如距离、速度、时间等。
下面我们将结合一些例题来深入理解这一知识点。
二、解题方法1. 情境分析在解决行程实际问题时，首先需要做的就是分析清楚问题中的情境。
我们需要明确哪些量是已知的、哪些量是需要求解的未知量，以及它们之间的数量关系。
这需要我们对应的物理常识和数学知识。
例如，如果题目中提到了速度和时间，那么我们就可以运用“路程=速度×时间”的公式，进一步转化为一个列分式方程，从而解决问题。
2. 建立方程根据问题中给出的情境分析，我们可以列出一个或者多个方程式，具体的形式取决于情境和要求。
值得注意的是，我们需要根据实际情况判断方程中的未知量的数量和已知量的数量，并采用合适的数学符号表示它们之间的关系。
3. 解方程求解当我们建立好方程之后，就需要对其进行求解，以得到未知量的具体值。
解方程的方法有多种，包括化简、代入等等。
我们需要在实际问题中根据情况选用合适的方法，获得最终的解答。
三、例题解析例题1某辆汽车以每小时70公里的速度行驶了两个小时后停车，这辆汽车在这段时间内行驶的距离是多少公里？分析：该问题中已知速度和时间，需要求距离，可以利用速度和时间的关系列出方程，即路程=速度×时间。
解题步骤：1.设汽车行驶的距离为x公里，则原方程可以表示为x=70×2；2.输入计算器中，得到x=140；3.该辆汽车在这段时间内行驶的距离是140公里。
例题2某火车由甲地开往乙地全程800公里，已知该火车前80公里的路程是以每小时60公里的速度行驶，中间500公里的路程是以每小时80公里的速度行驶，最后剩下的路程是以每小时40公里的速度行驶，这列火车全程行驶了10个小时，问该火车最后一段路程的长度是多少公里？分析：该问题中，前80公里、中间500公里和总路程是已知的，最后的40公里是需要求解的未知量。
八年级数学人教版(上册)第3课时分式方程的实际应用——行程问题
解：设小刚跑步的平均速度为 x 米/分，则小刚骑自行车的平均 速度为 1.6x 米50. 经检验，x＝150 是原方程的解，且符合题意． 答：小刚跑步的平均速度为 150 米/分．
(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3 分钟，他能否在
第十五章 分式
15．3 分式方程 第3课时 分式方程的实际应用——行程问题
1．(2021·黔西南)高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距
360 km 的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用 3 h．已
知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的 3 倍，设普通列车的
平均速度为 x km/h，依题意，下面所列方程正确的是( B )
解：设大巴车的平均速度为 x 千米/时，则小轿车的平均速度为 1.5x 千米/时，根据题意，得
9x0＝19.50x＋3600＋1650， 解得 x＝40. 经检验，x＝40 是原方程的解，且符合题意． ∴1.5x＝60. 答：大巴车的平均速度为 40 千米/时，小轿车的平均速度为 60 千米/时．
9．(教材 P155 习题 T8 变式)某班组织同学乘大巴车前往“研学 旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有 90 千米，队伍 8：00 从学校出发．苏老师因有事情，8：30 从学校自驾小轿车以大巴车 1.5 倍的速度追赶大巴，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前 15 分钟到达基地．问：
(1)大巴车与小轿车的平均速度各是多少？
答：B 车的行驶时间为 2.5 h，A 车的行驶时间为 3.5 h.
6．(2021·山西)太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省 开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场， 有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是 25 千米， 但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是 30 千米，平均速 度是路线一的53倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用 7 分钟， 求走路线一到达太原机场需要多长时间．
八年级数学上册《列分式方程解应用题行程问题》教案、教学设计
1.注重培养学生的抽象思维能力，引导学生从实际问题中提炼出数学模型；
2.教授解题策略和方法，鼓励学生尝试不同的解题思路，提高解题灵活性；
3.加强对行程问题的讲解，通过生动的实例和图示，帮助学生深入理解速度、时间、路程的关系；
4.关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的学习兴趣和自信心。
3.教师在批改作业时，要及时给予反馈，指导学生改进学习方法，提高学习效果。
2.学生分享学习心得，讨论在解决行程问题时遇到的困难和解决方法。
设计意图：培养学生的反思能力，激发学生的学习兴趣。
3.教师对学生的表现进行评价，强调合作学习的重要性，鼓励学生在课后继续探索行程问题。
设计意图：提高学生的自信心，培养学生的自主学习能力。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，培养学生的独立思考和解决问题的能力，特布置以下作业：
（三）学生小组讨论
1.教学活动：将学生分成小组，每组选择一个行程问题进行讨论，共同探讨解决方法。
设计意图：培养学生的合作意识和交流能力，提高学生解决问题的能力。
2.教师巡回指导，针对学生在讨论过程中遇到的问题，给予适当的提示和引导。
设计意图：帮助学生克服困难，提高解题效果。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的行程问题，让学生独立解答。
-采用案例教学法，通过具体行程问题的分析，逐步引导学生学会构建分式方程。
-对行程问题进行分类，总结出不同类型问题的解题步骤，帮助学生掌握解题方法。
3.探究活动：
-设计小组合作任务，让学生在小组内共同探讨行程问题的解决方法，培养学生的合作意识和交流能力。
-鼓励学生进行变式练习，通过解答不同类型的行程问题，巩固所学知识。
人教部初二八年级数学上册 分式方程与实际问题(行程问题) 名师教学PPT课件
6.答: 注意单位和语言完整，
且答案要生活化.
例2：某列车平均提速v千米/小时，用相同的时 间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多 行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
思考：这是_行_程__问题
等量关系：时间相等
路程km 速度km/h
s 提速前
x
提速后 s 50 x v
时间h
s
s x 50
7 19 7 2 x 4x
路程 速度 时间
步行 7 骑车 19－7
x7 x
19 7 4x
4x
根据分式方程你会编一道行程问题的应用题吗？
4800 5000 x x 20
1、通过对以上问题的探讨,你觉得本节课你 学到了什么？
2、你存在什么疑惑？
1、6个步骤：审—设—列—解—验—答
2、分析应用题时常用的辅助手段是：
xv
等量关系：时间相等
注意：
s、v表示已知的 量
路程km 速度km/h 时间h
s 提速前
x
s x
x v 提速后 s 50
s 50
xv
解：设提速前列车的平均速度为x千米/时
由题意，得 s s 50
x xv
在方程两边同乘以x(x+v)得:s(x+v)=x(s+50)
解得x= sv
检验:由于s，v都是正数，当x=sv50时，x(x+v)≠0
列分式方程解应用题的一般步骤
审 1. : 分析题意，找出数量关系和相等关系.
设 2. : 选择恰当的未知数，注意单位和语言完整.
列 3. : 根据数量和相等关系，正确列出方程.
解 4. : 解方程，认真仔细. 5.验: 有两次检验.
分式方程的实际应用——行程问题人教版八年级数学上册作业ppt课件
解得 x＝50. 经检验，x＝50 是原方程的解，且符合题意． ∴3x＝150. 答：小明步行的速度是 50 米/分钟，小刚骑自行车的速度是 150 米 /分钟．
9．(菏泽中考)列方程(组)解应用题： 德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计 2019 年 8 月竣 工．届时，如果汽车行驶在高速公路上的平均速度比在普通公路上的 平均速度提高 80%，那么行驶 81 千米的高速公路比行驶同等长度的普 通公路所用时间将会缩短 36 分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
4．(湘西中考)列方程解应用题： 某列车平均提速 80 km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶 300 km，提速 后比提速前多行驶 200 km，求该列车提速前的平均速度． 解：设该列车提速前的平均速度为 x km/h，则提速后的平均速度为(x＋ 80)km/h，依题意，得 30x0＝30x0＋＋82000. 解得 x＝120. 经检验，x＝120 是原方程的解，且符合题意． 答：该列车提速前的平均速度为 120 km/h.
庆庆用的等量关系是：公共汽车的速度＝9×小红步行的速度．
(上述等量关系式，任选一个即可)．
(3)例如选冰冰的方程：389－x 2＋2x＝1. 去分母，得 36＋18＝9x. 解得 x＝6. 经检验，x＝6 是原分式方程的解，且符合题意． 答：小红步行的速度是 6 km/h.
02 中档题
6．(绥化中考)甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发，开往相距 200 km 的 B 地，甲、乙两车的速度之比是 4∶5，结果乙车比甲车早 30 分钟到 达 B 地，则甲车的速度为 80 km/h.
7．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以 计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现，小琼步行 12 000 步与小博步行 9 000 步消耗的能量相同．若每消耗 1 千卡能量小琼 行走的步数比小博多 10 步，则小博每消耗 1 千卡能量需要行走 30 步．
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解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是 x 千米/分钟，则汽车 行驶在高速公路上的平均速度是(1＋80%)x 千米/分钟，由题意，得
（1＋8801%）x＋36＝8x1. 解得 x＝1. 经检验，x＝1 是所列方程的根，且符合题意． ∴(1＋80%)x＝1.8. 答：汽车在高速公路上行驶的平均速度是 1.8 千米/分钟．
MING XIAO KE TANG
8．(威海中考)列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球，他们两家到体育公
园的距离分别是 1 200 米，3 000 米，小刚骑自行车的速度是小明步行
速度的 3 倍．若二人想同时到达，则小明需比小刚提前 4 分钟出发，
求小明和小刚两人的速度． 解：设小明步行的速度是 x 米/分钟，则小刚骑自行车的速度是 3x
车的行驶时间多 40%，两车的行驶时间分别为多少？
解：设 B 车的行驶时间为 x 小时，则 A 车的行驶时间为(1＋40%)x
700
700
小时，B 车的平均速度为 x km/h，A 车的平均速度为 （1＋40%）x
km/h.
MING XIAO KE TANG
根据题意列方程，得7x00－（1＋74000%）x＝80．
MING XIAO KE TANG
4．(湘西中考)列方程解应用题： 某列车平均提速 80 km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶 300 km，提速 后比提速前多行驶 200 km，求该列车提速前的平均速度． 解：设该列车提速前的平均速度为 x km/h，则提速后的平均速度为(x＋ 80)km/h，依题意，得 30x0＝30x0＋＋82000. 解得 x＝120. 经检验，x＝120 是原方程的解，且符合题意． 答：该列车提速前的平均速度为 120 km/h.
3．(江西中考)斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命 的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段 A －B－C 横穿双向行驶车道，其中 AB＝BC＝6 米，在绿灯亮时，小明 共用 11 秒通过 AC，其中通过 BC 的速度是通过 AB 的速度的 1.2 倍， 求小明通过 AB 时的速度．设小明通过 AB 时的速度是 x 米/秒，根据 题意列方程得 6x＋1.62x＝11 ．
MING XIAO KE TANG
5．如图是学习分式方程时，老师板书的问题和两名同学所列的方 程：
15．3 分式方程 小红家到学校的路程是 38 km，小红从家去学校总是先乘公共汽 车，下车后步行 2 km，才能到校，路途所用的时间是 1 h，已知公共汽 车的速度是小红步行速度的 9 倍，求小红步行的速度． 冰冰：389－x 2＋2x＝1 庆庆：318－－y2＝9×2y
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？ (2)苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远为 x 公里/小时，则小车的平均速度为 1.5x
公里/小时，根据题意，得
9x0＝19.50x＋21＋14，
解得 x＝40.
经检验，x＝40 是原方程的解，且符合题意．
米/分钟，根据题意，得
1 2x00－4＝3 30x00，
MING XIAO KE TANG
解得 x＝50. 经检验，x＝50 是原方程的解，且符合题意． ∴3x＝150. 答：小明步行的速度是 50 米/分钟，小刚骑自行车的速度是 150 米 /分钟．
MING XIAO KE TANG
9．(菏泽中考)列方程(组)解应用题： 德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计 2019 年 8 月竣 工．届时，如果汽车行驶在高速公路上的平均速度比在普通公路上的 平均速度提高 80%，那么行驶 81 千米的高速公路比行驶同等长度的普 通公路所用时间将会缩短 36 分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
的时间＝小红上学路上的时间．
庆庆用的等量关系是：公共汽车的速度＝9×小红步行的速度．
(上述等量关系式，任选一个即可)．
MING XIAO KE TANG
(3)例如选冰冰的方程：389－x 2＋2x＝1. 去分母，得 36＋18＝9x. 解得 x＝6. 经检验，x＝6 是原分式方程的解，且符合题意． 答：小红步行的速度是 6 km/h.
MING XIAO KE TANG
解得 x＝2.5 ．
检验：当 x＝
2.5 时， (1＋40%)x≠0 ．
所以原分式方程的解为 x＝2.5 ．
所以(1＋40%)x＝ 3.5 ．
答：B 车的行驶时间为2.5 小时，A 车的行驶时间为 3.5 小时．
MING XIAO KE TANG
2．(怀化中考)一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大
数学
第十五章 分式
15.3 分式方程
第3课时 分式方程的实际应用——行程问题
MING XIAO KE TANG
01 基础题
1．(徐州中考)徐州至北京的高铁里程约为 700 km，甲、乙两人从
徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁 A 与“复兴号”高铁 B 前往北京．已
知 A 车的平均速度比 B 车的平均速度慢 80 km/h，A 车的行驶时间比 B
所以 1.5x＝60.
答：大巴的平均速度为 40 公里/小时，小车的平均速度为 60 公里/
小时．
MING XIAO KE TANG
(2)设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有 y 公里，根据题意， 得
12＋906－0 y＝904－0 y， 解得 y＝30. 答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有 30 公里．
航速沿江顺流航行 100 km 所用时间与以最大航速逆流航行 80 km 所用
时间相等．设江水的流速为 v km/h，则可列方程为( C )
A.v1＋0030＝v＋8030
B.310－00v＝308＋0 v
C.3100＋0v＝308－0 v
D.v1－0030＝v＋8030
MING XIAO KE TANG
MING XIAO KE TANG
根据以上信息，解答下列问题．
(1)冰冰同学所列方程中的 x 表示 小红步行的速度 ，庆庆同学所
列方程中的 y 表示 小红步行的时间 ；
(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；
(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 解：(2)冰冰用的等量关系是：小红乘公共汽车的时间＋小红步行
MING XIAO KE TANG
02 中档题
6．(绥化中考)甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发，开往相距 200 km 的 B 地，甲、乙两车的速度之比是 4∶5，结果乙车比甲车早 30 分钟到 达 B 地，则甲车的速度为 80 km/h.
MING XIAO KE TANG
7．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以 计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现，小琼步行 12 000 步与小博步行 9 000 步消耗的能量相同．若每消耗 1 千卡能量小琼 行走的步数比小博多 10 步，则小博每消耗 1 千卡能量需要行走 30 步．
MING XIAO KE TANG
10．(教材 P155 习题 T8 变式)(百色中考)班级组织同学乘大巴车前 往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有 90 公里，队伍 8：00 从学校出发．苏老师因有事情，8：30 从学校自驾小车以大巴 1.5 倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前 15 分钟到达基 地．问：