人教版八年级上册数学分式方程知识点复习总结大全
八年级上册分式方程知识点总结.doc
八年级上册分式方程知识点总结
八年级上册分式方程知识点复习总结大全重点：1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。
2理解分式的基本性质.
3会用分式乘除的法则进行运算.
4熟练地进行分式乘除法的混合运算.
5熟练地进行分式乘方的运算.
6熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
7熟练地进行分式的混合运算.
8掌握整数指数幂的运算性质.
9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
10利用分式方程组解决实际问题.
难点：1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
2灵活应用分式的基本性质将分式变形.
3灵活运用分式乘除的法则进行运算
4熟练地进行分式乘除法的混合运算.
5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.
6熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
7熟练地进行分式的混合运算.
8会用科学计数法表示小于1的数.
9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
10会列分式方程表示实际问题中的等量关系.。
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结(带答案)
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值正确的是（）A．a<6且a≠2B．a>6且a≠1C．a<6D．a>6答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，去分母得：2−a＝4x−4，解得：x＝6−a4，由分式方程的解为正数，得到6−a4>0，且6−a4≠1，解得：a<6且a≠2．故选：A．小提示：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．4D．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，∴x=3，去分母，得m+4=3x+2(x−3)，将x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故选：D．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变 答案：D分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、计算x x+1+1x+1的结果是（ ）A ．x x+1B ．1x+1C ．1D ．−1答案：C分析：根据同分母分式的加法法则，即可求解．解：原式=x+1x+1=1， 故选C ．小提示：本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．5、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5， 故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．6、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（ ）A ．x =−3B ．x =−2C ．x =13D ．x =−13答案：A分析：先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13，正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6， 去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．9、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答． 解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．10、下列分式中是最简分式的是（ ）A ．2x 2B ．42xC ．x−1x 2−1D ．x−1(x−1)2答案：A分析：一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1，都不是最简分式．选项A不能约分，是最简分式；选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)，分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；选项D中分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；故选：A．小提示：本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断．填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____．答案：−1分析：根据分式的减法法则即可得．解：原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1，所以答案是：−1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x <m +1得：x <m+13， ∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m ≤2；y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ，解得y =4−m 2，∵m ≤2，∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1，又∵y −1≠0，∴y >1，∴y 的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________．答案：x ＝1分析：原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．解：22x−1+x 1−2x =1， 22x−1﹣x 2x−1＝1， 方程两边都乘2x ﹣1，得2﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，2x ﹣1≠0，所以x ＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，所以答案是：x＝1．小提示：本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．14、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．##0.25答案：14分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4所以答案是：1．4小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____．答案：﹣3.9×10﹣2分析：先根据科学记数法表示该数，再保留两个有效数字即可．解：﹣0.03896＝﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2，所以答案是：﹣3.9×10﹣2．小提示：此题考查了科学记数法的表示方法，有效数字的概念，正确理解各知识点是解题的关键．解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？答案：每个篮球的原价是120元．分析：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据题意，得12000x ＝10000x−20．解得x ＝120．经检验x ＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17、若a ，b 为实数，且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，求3a ﹣b 的值． 答案：2分析：根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解方程组可得a,b,再代入求值.解：∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解得{a =2b =4， ∴3a ﹣b=6﹣4=2．故3a ﹣b 的值是2．小提示：本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零，则解得x 1＝a ，x 2＝b ．又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣（a +b ），所以关于x 的方程x +ab x ＝a +b 的解为x 1＝a ，x 2＝b ． (1)理解应用：方程x 2+2x =3+23的解为：x 1＝ ，x 2＝ ；(2)知识迁移：若关于x 的方程x +3x ＝5的解为x 1＝a ，x 2＝b ，求a 2+b 2的值；(3)拓展提升：若关于x 的方程4x−1＝k ﹣x 的解为x 1＝t +1，x 2＝t 2+2，求k 2﹣4k +2t 3的值． 答案：(1)3，23；(2)19；(3)12． 分析：（1）根据题意可得x =3或x =23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5，∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19； （3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3=t4+4t3+t2-4=t（t3+t）+4t3-4=4t+4t3-4=4（t3+t）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．。
人教版八年级数学 15.3 分式方程(学习、上课课件)
感悟新知
(2)2x－－x3＝3－1 x－2； 解：方程两边乘(x－3)，得2－x＝－1－2(x－3). 解得x＝3. 检验：当x＝3 时，x－3＝0， 因此 x＝3不是原分式方程的解. 所以原分式方程无解.
知2－练
感悟新知
(3)43xx＋－63－5xx－－14＝1； 解：方程两边乘3(x－1)， 得4x＋6－3(5x－4)＝3(x－1). 解得x＝32. 检验：当x＝32时，3(x－1)≠ 0. ∴原分式方程的解为x＝32.
知1－练
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有 未知数进行识别.
感悟新知
知1－练
解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数. (2)是分式方程，因为分母中含有未知数. (3)是分式方程，因为分母中含有未知数. (4)是分式方程，因为分母中含有未知数. (5)不是分式方程，因为分母中虽然含有字母a，但a为 非零常数，不是未知数.
感悟新知
知1－讲
2. 判断一个方程是分式方程的条件
(1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可.
特别提醒 1. 识别分式方程时，不能对方程进
行约分或通分变形，更不能用等 式的性质变形. 2.分母中有字母，但字母不是未知
数的方程也不是分式方程.
感悟新知
例 1 判断下列方程是不是分式方程，并说明理由. (1)2x＋2 3＝8； (2)4－3 x＝x＋4 2；(3)xx2＝1； (4)x＋1 2＝y－1 3；(5)xa－2＝x(a为非零常数).
知2－讲
4. 一般情况下，解关于哪个字母的分式方程，则哪个字母表示 未知数，其余字母都作为常数存在.
感悟新知
例 2 解下列方程：
知2－练
八年级分式方程数学知识点
八年级分式方程数学知识点一、基本概念分式方程是指未知量中包含分数表达式的方程，可用一组数值解求出未知量的值。
如：\frac{x+1}{2}=3，其中x为未知量。
二、分式方程的解法1. 化简分式，使其成为整式方程。
如：\frac{x+1}{2}=3化简为x+1=6。
2. 通分，消去分母。
如：\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x+1}通分后为3(x+1)=x-2。
3. 变形化简后求解。
如：\frac{2}{2x+3}-\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x^2-x-3}变形化简后得到x=-1或x=\frac{5}{2}。
三、分式方程的注意事项1. 化简前应检查分母是否有值为0的情况。
如：\frac{x}{x^2-4x+4}=1化简前需考虑x^2-4x+4=0的情况，即x=2。
2. 通分时应注意分母因式分解。
如：\frac{x}{2x-4}-\frac{2}{x+1}=\frac{3x}{x^2-3x+2}通分前需分解(x-1)(x-2)。
3. 将解代回原分式方程检验。
如：\frac{4}{x+3}-\frac{5}{x-1}=\frac{1}{x-2}解得x=5/2，代入原式验证是否成立。
四、分式方程的应用例题1. 甲、乙两地的距离为480km，两地之间有一辆车和一辆自行车相向而行，行至中途时，车停下了，自行车继续前进，最后到达乙地时，车和自行车的距离为40km。
已知车行驶的速度比自行车快20km/h，求车和自行车的速度各是多少。
设自行车的速度为x km/h，车的速度为x+20 km/h，时间为t，车行驶的距离为(x+20)×t，自行车行驶的距离为x×(t+2)。
由题意可得(x+20)t+x(t+2)=480及(x+20)t-x(t+2)=40，解得x=20，车速为40km/h，自行车速度为20km/h。
2. 一条河流的宽度为200m，在河岸的A、B两处浅滩的位置分别离河口12km、18km处。
数学八年级上册【分式方程】知识点梳理
数学八年级上册【分式方程】知识点梳理知识点汇总一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
三、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.今日练习1.校运动会上，初二（3）班啦啦队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为：A．B．C． D .2.以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是：A．B．C． D .【参考答案】1.B若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解解：设甲种雪糕的价格为x元，则甲种雪糕的根数：；乙种雪糕的根数：．可得方程：故选B考点：由实际问题抽象出分式方程2.B。
人教版八年级上册数学《分式方程》分式说课复习(分式方程及其解法)
x+5=10．
解得
x=5．
x=5是原分式方 程的解吗？
将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母 x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义．因 此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式 方程的解，实际上，这个分式方程无解.
巩固练习
练习3 解方程并检验.
1 2 . 2x x 3
解：最简公分母为
巩固练习
练习4
解关于x 的方程
x
a
a
b
1（ b ≠ 1）.
解：方程两边同乘x-a，得
a+b（x-a）= x-a
去括号，得 a+bx-ab =x-a
移项、合并同类项，得
（b-1）x = ab-2a
∴x
ab 2a b 1
检验：当 x
ab b
2a 1
时，∵
b
≠
1，∴b-1
≠0，
x ab 2a
方程① 当v=6时，（30+v）（30-v）≠0，这就是说，去分
母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子，因此
方程② 所当得x=整5时式，方（程x的-5）解（与x①+的5）解=相0，同这. 就是说，去分母
时，方程②两边乘了同一个等于0的式子，这时所 得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这 样的解不是②的解.
解：设该厂原来每天加工x个零件，则采用新技 术后，每天加工2x个零件，
根据完成时间的等量关系，得
100 600 100 7
x
2x
去分母，得200 + 500 =14x，
解得
x = 50.
检验：x = 50时，2x ≠ 0.
所以x = 50是原方程的根.
八年级上册数学15.3第1课时分式方程及其解法
方法
如何把它转化为整式方程呢？
去分母
怎样去分母？
把方程的两边乘各分母的最简公分母
在方程两边乘什么样的式子才 能把每一个分母都约去？
(30+v)(30-v)
探索新知
知识点2 分式方程的解法
90 60 30 v 30 v
解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得
90(30-v)=60(30+v).
一元一次方程：
指只含有一个未知数，未知数的最高次数
为1且两边都为整式的等式.
二元一次方程：
指含有两个未知数，并且含有未知数的项
的次数都是1的整式方程.
两者都是整式方程. 方程里面所有的未知数都出现在分子上，分 母只是常数而没有未知数.
复习导入
练一练
解方程: x 2 2x 3 1.
4
6
解：去分母，得3(x+2)-2(2x-3)=12.
a
x x 1
.
探索新知
判断一个式子是否为分式方程的注意事项 （1）分式方程必须满足的条件：①是方程；②含有分母；③分 母中含有未知数.三者缺一不可. （2）分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程 x 2 x(m为非0常数）, 分母中虽然含有字母m，但m不是未知数，
m
所以该方程是整式方程.
课堂练习
1.下列关于x的方程，是分式方程的是（ B ）
4
A．
3
x
x
2
5
x
B．
3
1
x
1Leabharlann 2 xC．πx 1 8
x
D． 2x 1 x 75
2．方程 1 1 x 1去分母后的结果正确的是( C )
人教版八年级上册数学《分式方程》分式研讨复习说课教学课件
x=5
解分式方程时，不要忘记检验哦.
）
1
5
3.解分式方程
.
x x+3
解：方程两边乘x(x+3)，得x+3=5x，
3
4
解得x= ，
3
4
检验：将x= 代入原方程，左边=
4
3
3
因此x= 是原分式方程的解.
4
=右边，
课堂小结
概念
分母中含未知数的方程.
分式
方程
解分式方程
分式
方程
去分母
转化
整式
分式方程的解
解分式方程
1．怎么解分式方程？
2．为什么解分式方程一定要检验？
练习
解下列方程：
练习
解下列方程：
练习
解下列方程：
练习
解下列方程：
练习
解分式方程：
【答案】x=3是增根，原分式方程无解
练习
解方程：
【答案】x=0
易错点
解分式方程时容易犯的错误：
①去分母时，原方程的整式部分漏乘．
②约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号．
去分母
转化
整式方程
分式方程①中各分母的最简公分母是 (30+v)(30-v).把方
程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，解这个整
式方程可得方程①的解.
解：方程①两边乘(30+v)(30-v)，得90(30-v)= 60(30+v).
解得v=6.
5
2
检验：将v=6代入①中，左边= =右边，因此v= 6是分
k+3（x-2）=-（1-x）
解得
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分式方程知识点复习总结大全 重点：1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。
2理解分式的基本性质.3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算.6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质.9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.10利用分式方程组解决实际问题.难点： 1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数.9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.10会列分式方程表示实际问题中的等量关系.16.1 分式及其基本性质1.分式的概念：形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式。
其中 A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。
分母0 B ，分式BA才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式.分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可） 例1： （ 2011重庆江津）下列式子是分式的是( )A.2x B.1+x x C. y x +2 D. 3x 【答案】B.注意：1π 不是分式例2：已知242x x -+ ，当x 为何值时，分式无意义? 当x 为何值时，分式有意义?例3：（2011四川南充市） 当分式21+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0（B ）1 （C ）－1 （D ）－2 【答案】B2.分式的基本性质(1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.MB M A M B M A B A ÷÷=••=，0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式。
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
符号法则：A -A -A AB -B B -B A A A A B B B B --==-=-=-==--或-A ，B 或BA同时改变其中两个的符号，分式的值不变 例：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号。
25(1)y x-- (2)2a b - 4(3)3mn- (4)2x y --（3）分式约分与通分：与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.①分式的约分：即要求把分子与分母的公因式约去.，是一个恒等变形。
为此，首先要找出分子与分母的公因式.找公因式的方法：（1）分子分母是单项式时，先找分子分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式（2）分子分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按（1）中的方法找公因式例：确定公因式并约分：343(1)312ca ba b-2244(2)224aba ba b-+-②分式的通分：把几个异分母分式分别化为与原分式相等的同分母分式的变形过程叫通分。
通分前后分式的值不变；找最简公分母是通分的关键找最简公分母到方法（分母均为单项式）1、各分母系数的最小公倍数。
2、各分母所含所有因式或字母的最高次幂。
3、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）找最简公分母到方法（分母均为多项式）1、先把分母因式分解。
2、各分母系数的最小公倍数。
3、各分母所含所有因式的最高次幂。
4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）例：15(1),2123xyx1(2),224(2)xx x--§16.2 分式的运算1分式的乘除法分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。
a c acb d bd ⨯=分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
a c a d adb d bc bc ÷=⨯=2.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；;cb ac b c a ±=± 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. bdbcad dcb a±=± 3.分式的乘方：分式的乘方需要把分子、分母分别乘方。
()nn n a a b b =，（n 为正整数）4.正整数指数幂、零指数幂与负整数指数幂（1）同底数的幂的乘法：nm n m a a a +=⋅(m,n 是正整数)；（2）幂的乘方：mnn m aa =)((m,n 是正整数)；（3）积的乘方：nnnb a ab =)((n 是正整数)； （4）同底数的幂的除法：nm nmaa a -=÷( a ≠0，m,n 是正整数，m ＞n)；（5）商的乘方：n nn ba b a =)((n 是正整数)；（6）01,(0)a a =≠由分式的约分可知，当0a ≠,333553221aaa a aaaa÷===•。
又35352aa aa --÷==一般地，当n 是正整数时，1(0)nna aa-=≠这就是说，(0)n a a -≠是na 的倒数。
像上面这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数。
5.科学计数法由于引进了零指数幂与负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示. （1）小于1的正数可以用科学计数法表示为10n a -⨯的形式，其中a 是整数数位只有一位的正数，n 是正整数，n=原数中左起第一个非零数字前0的个数（含整数位上的0）。
这种形式更便于比较数的大小。
例：50.0000110-=⨯（2）大于1的正数可以用科学计数法表示为10n a ⨯的形式，其中a 是整数数位只有一位的正数，n 是正整数，n=原数的正数位数减1。
例：33251.8 3.251810=⨯。
繁分式：①定义：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式．②化简方法（两种）通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法则进行化简．例：1.（2010湖北孝感）化简x y x yy x x ⎛⎫--÷⎪⎝⎭的结果是（ ） A.1yB. x y y +C. x yy - D. y【答案】B2. （2011广东湛江11,3分）化简22a b a b a b---的结果是 A a b + B a b - C 22a b - D 1【答案】A3. （2011福建福州，14，4分）化简1(1)(1)1m m -++的结果是 .【答案】m4. （2011安徽，15，8分）先化简，再求值：12112---x x ，其中x =－2． 【答案】解:原式=112111)1)(1(1)1)(1(21-=+-=+=-+-=-+-+x x x x x x x .5. （2011湖南邵阳，18，8分）已知111x =-，求211x x +--的值。
【答案】解：∵111x =-，∴x -1=1. 故原式=2+1=36、（2011广西来宾，10，3分）计算11x x y--的结果是（ ）A.()y x x y -- B.2()x y x x y -+ C.2()x y x x y -- D.()yx x y -【答案】A7、2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 .【答案】11-a 与分式有关的变形求值题1. （2011江苏苏州，7,3分）已知2111=-b a ，则ba ab-的值是 A.21 B.－21C.2D.－2 【答案】D2. （2011江苏南通，10，3分）设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn-的值等于A.D. 3【答案】A3. （2011四川乐山15，3分）若m 为正实数，且13m m -=，221m m-则= 【答案】133§16.3分式方程1分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 2解分式方程：基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
理解分式方程的有关概念例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）①21123x x -=5 ②223x x -=5 x 2-5x=0 5x x -+3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数． 掌握分式方程的解法步骤例2 解方程：730100-=x x. 解 方程两边同乘以x(x-7)，约去分母，得 100（x-7）=30x. 解这个整式方程，得 x=10.检验：把x=10代入x(x-7)，得 10×（10-7）≠0 所以，x=10是原方程的解.【点评】注意分式方程最后要验根。
（易错点） 例3． （2011安徽芜湖，5，4分） 分式方程25322x x x-=--的解是（ ）. A ．2x =-B ．2x =C ．1x =D ．12x x ==或【答案】C例4. （2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数a 、b ，规定ab b a 11-=⊗，若1)1(1=+⊗x ，则x 的值为A ．23 B ．31 C ． 21 D ． 21- 【答案】D例5. （2011四川成都，13,4分） 已知1=x 是分式方程xkx 311=+的根，则实数k =___________.【答案】61. 分式方程的增根问题1. （2011黑龙江绥化，18，3分）分式方程()()2111+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ）A 、0和1B 、1C 、1和－2D 、3 【答案】D2. （2011湖北襄阳，16，3分）关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解为正数，则m 的取值范围是 .【答案】m ＞2且m ≠3 分式方程的应用例1 （2006年长春市）某服装厂装备加工300套演出服，在加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务，•求该厂原来每天加工多少套演出服．【点评】要用到关系式：工作效率＝工作量工作时间。
例2. （2011山东济宁，21，8分）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.【答案】（1）设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设（20x -）米.根据题意得：35025020x x=-. ··················································································· 2分解得70x=.检验:70x=是原分式方程的解.答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米. ··················································· 4分（2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000y-）米.由题意，得10,70100010.50yy⎧≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩解得500700y≤≤．·················································· 6分所以分配方案有3种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．………………8分小结一、知识结构二、注意事项1.分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，要注意不断地与分数情形进行类比，以加深对新知识的理解.2.解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验.学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验.3.由于引进了零指数幂与负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示.。