数学建模 最优化方法建模及实现共65页
数学建模的最优化方法
充要条件 : 若f (x*) 0,2 f (x*)正定,则x*是极小点
唯一极小 (全局极小)
f 0.298
f 0
f (x1 x2) 2x12 2x1x2 x22 3x1 x2
多局部极小
f 0.298
求解方法:搜索算法(数值迭代)
在迭代的每一步,确定一个搜索方向和一个步长,使沿此方向和 此步长走一步到达下一点时,函数f(X)的值下降.
3．拟牛顿法
为克服牛顿法的缺点，同时保持较快收敛速度的优点，利用第 k 步 和第 k+1 步得到的X k ，X k1 ，f ( X k ) ，f ( X k1 ) ，构造一个正定
矩阵 G k1 近似代替 2 f ( X k ) ,或用H k1 近似代替( 2 f ( X k )) 1 ，将
牛顿方向改为：
产销量的最佳安排 某厂生产一种产品有
甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何 确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡 指工厂的产量等于市场上的销量.
总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2
符号说明
z(x1,x2)表示总利润；
p1，q1，x1 分别表示甲的价格、成本、销量； p2，q2，x2 分别表示乙的价格、成本、销量； aij，bi，λi,ci（i，j =1，2）是待定系数.
0.9997 0.9998 1E-8
最优点 (1 1) 初始点 (-1 1)
1．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：
无 约
⑴ 给定初始点 X 0 E n ，允许误差 0 ,令 k=0；
束
⑵ 计算f X k ；
优
⑶ 检验是否满足收敛性的判别准则：
化
f X k ，
数学模型最优化方法实现
数学模型最优化方法实现数学建模最优化方法是将数学建模问题转化为数学模型，并通过数学方法求解最优解的过程。
最优化方法在数学建模中起着非常重要的作用，可以帮助我们解决各种复杂的实际问题。
本文将介绍最优化方法的实现过程，并详细讨论最优化方法的几种常见算法。
最优化方法的实现过程主要分为以下几个步骤：建立数学模型、寻找最优解算法、编写程序实现、求解并分析结果。
首先，我们需要根据实际问题建立数学模型。
数学模型是问题的抽象表示，通常包括目标函数、约束条件和变量等要素。
通过合理地选择目标函数和约束条件，可以将问题转化为数学形式，便于后续的分析和求解。
其次，我们需要根据模型选择适当的最优解算法。
最优化方法有很多种，根据具体问题的特点和求解要求，我们可以选择不同的算法来求解最优解。
然后，我们需要编写程序将数学模型和求解算法实现。
编写程序是最优化方法实现的核心步骤，通过编写程序，我们可以自动化地求解最优化问题，并得到最优解。
最后，我们需要进行求解和结果分析。
通过求解模型并分析结果，可以验证模型的合理性，并根据结果调整模型或改进算法，以得到更好的最优解。
在实际应用中，根据问题的特点和求解需求，我们可以选择不同的最优化方法。
常见的最优化方法有：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、遗传算法等。
下面将分别介绍这几种方法的原理和实现过程。
线性规划是最常用的最优化方法之一，适用于目标函数和约束条件都是线性的情况。
线性规划的基本思想是将问题转化为求解一个线性函数在约束条件下的最大值或最小值。
线性规划的求解算法有很多，例如单纯形法、内点法和对偶法等。
这些算法都是基于线性规划的特点和数学性质，通过迭代求解来逼近最优解。
实现线性规划方法的主要步骤包括：建立数学模型、选择适当的算法、编写相应的程序、求解并分析结果。
非线性规划是另一种常见的最优化方法，适用于目标函数或约束条件中包含非线性项的情况。
非线性规划的求解相对复杂，通常需要使用迭代算法来逼近最优解。
最优化问题的建模与解法
最优化问题的建模与解法最优化问题（optimization problem）是指在一组可能的解中寻找最优解的问题。
最优化问题在实际生活中有广泛的应用，例如在工程、经济学、物流等领域中，我们经常需要通过数学模型来描述问题，并利用优化算法来求解最优解。
本文将介绍最优化问题的建模和解法，并通过几个实例来说明具体的应用。
一、最优化问题的数学建模最优化问题的数学建模包括目标函数的定义、约束条件的确定以及变量范围的设定。
1. 目标函数的定义目标函数是一个表达式，用来衡量问题的解的优劣。
例如，对于一个最大化问题，我们可以定义目标函数为：max f(x)其中，f(x)是一个关于变量x的函数，表示问题的解与x的关系。
类似地，对于最小化问题，我们可以定义目标函数为：min f(x)2. 约束条件的确定约束条件是对变量x的一组限制条件，用来定义问题的可行解集合。
约束条件可以是等式或不等式，通常表示为：g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束。
最优化问题的解必须满足所有的约束条件，即：g(x) ≤ 0, h(x) = 03. 变量范围的设定对于某些变量，可能需要限定其取值的范围。
例如，对于一个实数变量x，可能需要设定其上下界限。
变量范围的设定可以通过添加额外的不等式约束来实现。
二、最优化问题的解法最优化问题的解法包括数学方法和计算方法两种，常见的数学方法有最优性条件、拉格朗日乘子法等，而计算方法主要是通过计算机来求解。
1. 数学方法数学方法是通过数学分析来求解最优化问题。
其中，常见的数学方法包括：（1）最优性条件：例如，对于一些特殊的最优化问题，可以通过最优性条件来判断最优解的存在性和性质。
最优性条件包括可导条件、凸性条件等。
（2）拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将原问题转化为无约束最优化问题，从而求解最优解。
2. 计算方法计算方法是通过计算机来求解最优化问题。
数学建模最优化模型
火被t1 扑灭的时刻为 。 时t刻2 森t 林烧毁的面
积为 ， 为b(t烧) 毁c1单位面积森林的损失费，
则火灾造成的损失费为
。
w1 c1 * b(t2 )
•
易见
db dt
表示单位时间内烧毁的森林面积
当t
0,
t
2时，
db dt
0；设当
t
t1
时，db
dt
得其最大值 h。db
为 a设在0；a0,称t1为中火，d势t 为蔓延t的速线度性；函在数t，1,t2其 中斜，率ddbt
x* a v
c1vh2 2c2ah 2c3v 2
一般优化模型的总结
说明：
确定目标
建立目标函数；
分析因素
对影响目标函数变化的各个因素
进行定性或定量分析，而对那些随机性大、影响度很小的 因素可以假设掉。
确定决定性因素
确定影响问题变化的主要因素
（利用相关度），同时达到简化问题的作用，为模型的建 立和求解奠定基础。
为 t 的线性函数，其斜率为 a v * x 0，其
中 x 为救火队员人数，v 为每个队员的平均
灭火速度。
• 每个救火队员单位时间的费用为c2 ，一次性 支出的费用为c3 ，于是得到救火费用为
w2 c3 * x c2 (t2 t1) * x
• 不考虑森林地形分布的差异，人员都正常工作。
谢 谢！！！
在森林失火时，应派多少消防队员去救火最 合适？派的队员越多，灭火的速度越快，火灾 造成的损失越小，但救援的开支会增大。我们 的问题是：派出多少队员救火，才能使火灾损 失费与救火费用之和最小？
模型的假设
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
最优化建模方法及matlab实现
功能：与fsolve()中的参数控制形式类似。
2013-7-11
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已知二元函数 z f ( x, y ) ( x 2 x )e 例：
2
x 2 y 2 xy
, 试求其最小值.
>>f=inline('(x(1)^2-2*x(1))*exp(-x(1)^2-x(2)^2-x(1)*x(2))','x');
例：求解 min
2 x1 x2 4 x3 3x4 x5
2 x2 x3 4 x4 2 x5 54 s.t. 3x1 4 x2 5 x3 x4 x5 62 x , x 0, x 3.32, x 0.678, x 2.57 3 4 5 1 2
初值得出其最小值.
>>f=inline('exp(-2*t)*cos(10*t)+exp(-3*(t+2))*sin(2*t)','t'); t0=1;[t1,f1]=fminsearch(f,t0) t1=0.92275390625000,f1=-0.15473299821860 >>t0=0.1;[t2,f2]=fminsearch(f,t0) t2=0.29445312500000,f2=-0.54362463738706
x0=[0,0]; ff=optimset;ff.Display='iter'; x=fminsearch(f,x0,ff)
>>x=fminunc(f,x0,ff)
2013-7-11
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3、全局最优解和局部最优解
例： 已知函数 y (t ) e 2t cos10t e 3t 6 sin 2t , t 0, 试观察不同的
数学建模最优化模型
分析各因素之间的作用 分析各因素之间的相互作
用，从而可以确定各因素是相互独立的、或是相关的。 （统计回归中的交互项的引入）
把影响化为表达式
即模型的建立，即文字数字化。
改进结果，找最优解
不断根据事实，改进模型，
从而实现真正意义上的优化。
常用模型：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规 划、多目标规划等。
最优化方法的应用
许多生产计划与管理分配问题都可以归纳为 最优化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛 的模型之一,其内容包括线性规划、非线性规划、 整数线性规划、动态规划、多目标规划、决策规 划等.
一般在实际生活中，我们总是利用 最优化方 法解决两方面的问题：成本最小化和利润最大化
例：森林救火费用最小问题
火被t1 扑灭的时刻为 。 时t刻2 森t 林烧毁的面
积为 ， 为b(t烧) 毁c1单位面积森林的损失费，
则火灾造成的损失费为
。
w1 c1 * b(t2 )
•
易见
db dt
表示单位时间内烧毁的森林面积
当t
0,
t
2时，
db dt
0；设当
t
Hale Waihona Puke t1时，dbdt
得其最大值 h。db
为 a设在0；a0,称t1为中火，d势t 为蔓延t的速线度性；函在数t，1,t2其 中斜，率ddbt
x* a v
c1vh2 2c2ah 2c3v 2
一般优化模型的总结
说明：
确定目标
建立目标函数；
分析因素
对影响目标函数变化的各个因素
进行定性或定量分析，而对那些随机性大、影响度很小的 因素可以假设掉。
数学建模最优化模型PPT学习教案
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最优化方法主要内容
根据目标函数，约束条件的特点将最优化方法包含的主要内容大致 如下划分： 线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划
对策论
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两个引例
问题一：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗，如下表所示
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例 用fminsearch函数求解 输入命令:
f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'; [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.2 2])
运行结果:
x =1.0000 1.0000 fval =1.9151e-010 exitflag = 1
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这是一个典型的最优化问题，属线性规划。
假设：产品合格且能及时销售出去；工作无等待情况等
变量说明：
xj：第j种产品的生产量（j=1,2,……,6） aij：第i车间生产单位第j种产品所需工作小时数
（i=1,2,3,4;j=1,2,……,6）
则：
bi：第i车间的最大工作上限 cj：第j种产品的单位利润 cjxj为第j种产品的利润总额； aijxj表示第i车间生产第j种产品所花时间总数；
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于是，我们可建立如下数学模型：
6
max z c j x j j 1
s.t.
6
aij x j bi
j 1
0
xj
bi ,且为整数
max
1i4
{aij
}
计算结果：
i 1,2,3,4 j 1,2,3,4,5,6