2018年河南省高考数学一模试卷(理科)-(含解析)
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题1.已知集合，，则集合中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 52.若复数i为虚数单位是纯虚数，则实数a的值为A. B. 13 C. D.3.已知，命题p：，，则A. p是假命题，￢：，B. p是假命题，￢：，C. p是真命题，￢：，D. p是真命题，￢：，4.已知程序框图如图，则输出i的值为A. 7B. 9C. 11D. 135.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中班、班，班、班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学乘同一辆车的4名同学不考虑位置，其中班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种6.《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为A.B.C.D.7.设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为A. B.C. D.8.若等边三角形ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为A. B. C. 2 D.9.关于函数，下列命题正确的是A. 由可得是的整数倍B. 的表达式可改写成C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称10.设函数，若对于，恒成立，则实数m的取值范围为A. B. C. D.11.设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆M：所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于A. B. C. D.12.已知定义在R上的函数和分别满足，，，则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.13.设，则二项式的展开式中含项的系数为______．14.若函数为奇函数，则的值为______．15.已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为______．16.如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区区域I和区域Ⅱ，点C在上，，，其中，半径OC 及线段CD需要用渔网制成若，，则所需渔网的最大长度为______．三、解答题17.已知为数列的前n项和，且，，，．求数列的通项公式；若对，，求数列的前2n项的和．18.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且求证：；线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19.某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩均为整数的频率分布直方图如图所示．估计这次考试数学成绩的平均分和众数；假设在段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为，求的分布列及数学期望．20.已知椭圆：的离心率为，右焦点F是抛物线：的焦点，点在抛物线上求椭圆的方程；已知斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，，直线AM与BM的斜率乘积为，若在椭圆上存在点N，使，求的面积的最小值．21.已知函数，其导函数为当时，若函数在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．22.在直角坐标系xOy中，已知直线：为参数，：为参数，其中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出，的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；设，分别与曲线C交于点A，非坐标原点，求的值．23.设函数．当时，解不等式；已知的最小值为3，且，求的最小值．答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. D5. B6. C7. A8. B9. D10. D11. C12. C13. 19214.15.16.17. 解：，．时，，化为：，，，时，，且，解得．数列是等差数列，首项为1，公差为3．．．．数列的前2n项的和．18. 证明：，，，，E为AD的中点，，≌ ，，，，，又平面ABCD，平面ABCD，，又，且PH，平面PEC，平面PEC，又平面PEC，．解：由可知 ∽ ，由题意得，，，，，，，、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，0，，0，，4，，0，，0，，假设线段PC上存在一点F满足题意，与共线，存在唯一实数，，满足，解得，设向量y，为平面CPD的一个法向量，且，，，取，得，二面角的余弦值是，，由，解得，，，线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．19. 解：分，众数为75分．分以上的人数为人．的可能取值为2，3，4，，，．的数学期望是．20. 解：点在抛物线上，，解得，椭圆的右焦点为，，椭圆：的离心率为，，，，椭圆的方程为，设直线l的方程为，设，，由，消y可得，，，，直线AM与BM的斜率乘积为，，解得，直线l的方程为，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得，，垂直平分线段AB，当时，设直线ON的方程为，同理可得，，当时，的面积也适合上式，令，，，则，当时，即时，的最小值为．21. 解：当时，，，，，由题意得，即，令，则，解得，当时，，单调弟增，当时，，单调递减，，当时，，当时，，由题意得当或时，在R上有且只有一个零点．由，得，假设存在，则有，即，，，即，，，令，则，两边同时除以，得，即，令，，令在上单调递增，且，对于恒成立，即对于恒成立，在上单调递增，，对于恒成立，不成立，同理，时，bngidnuu，不存在实数使得成立．22. 解：，的极坐标方程为，．曲线C的极坐标方程方程为即得，利用，得曲线C的直角坐标方程为．因为，，所以，所以的值为．23. 解：当时，，得，故，当时，，得，故，综上，不等式的解集是；的最小值是3，，故，，当且仅当即，时取“”．【解析】1. 解：，或；；1，2，．可先求出集合，或，然后进行交集、补集的运算即可．考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算．2. 解：由复数是纯虚数，则，解得．故选：A．利用复数的除法运算化简为的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3. 解：，，当时，，命题p：，，是真命题，命题p：，，则￢：，．故选：C．利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4. 解：当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，满足退出循环的条件，故输出的，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5. 解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为，故有种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为，这时共有种，根据分类计数原理得，共有种不同的乘车方式，故选：B．分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．6. 解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱底面ABCD，且侧棱，四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且，四棱锥的表面积为．底面故选：C．由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7. 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，圆C：表示以为圆心，半径为r的圆，由图可得，当半径满足或时，圆C不经过区域D上的点，，当或时，圆C不经过区域D上的点，故选：A．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，而圆C表示以为圆心且半径为r的圆观察图形，可得半径或时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．8. 解：等边三角形ABC的边长为3；；；；，；．故选：B．根据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，然后进行数量积的运算即可．考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9. 解：函数，周期，对于A：由，可能与关于其中一条对称轴是对称的，此时不是的整数倍；不对．对于B：由诱导公式，不对．对于C：令，可得，不对，对于D：当时，可得，的图象关于直线对称．故选：D．根据函数，结合三角函数的性质即可判断各选项．本题主要考查利用的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10. 解：由题意，，可得．当时，，不等式等价于．当时，的最小值为，若要不等式恒成立，则必须，因此，实数m的取值范围为，故选：D．利用分离参数法，再求出对应函数在上的最大值，即可求m的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11. 解：双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的渐近线被圆M：，即所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则，，即，即，，，由正弦定理可得，，，，，故选：C．根据垂径定理求出圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可得，得到，即可求出，根据正弦定理可得本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12. 解：，令，则．，令，则，解得．．，．令，，，函数在R上单调递减，，，可得：．．故选：C．，令，则由，令，可得进而得出，，令，及其已知，可得，利用函数在R上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13. 解：由于，的通项公式为，令，求得，故含项的系数为．故答案为：192根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：函数为奇函数，故恒成立，故即，，，故答案为：．由已知中函数为奇函数，恒成立，可得a，b的值，进而可得的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．15. 解：由题意，的外接圆即为球的大圆，，设底面外接圆圆心G，即，从而正三角形ABC边长，设球心O，由题意，E、F在球面上，，F为DE中点，则，，在中，，，，，．故答案为：．由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出的长度．本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．16. 解：由，，，得，，；在中，由正弦定理，得，，设渔网的长度为，可得，所以，因为，所以，令，得，所以，所以．所以故所需渔网长度的最大值为．确定，在中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题．17. ，时，，化为，由，可得，时，，且，解得利用等差数列的通项公式可得．利用分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 推导出 ≌ ，，从而，由平面ABCD，得，由此能证明平面PEC，从而．推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19. 把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算；根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．20. 先求出p的值，即可求出c的值，根据离心率求出a的值，即可得到椭圆方程，设直线l的方程为，设，，由，根据直线AM与BM的斜率乘积为，求出，再根据弦长公式求出和，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题．21. 当时，，，，，由题意，令，则，解得，由此能求出当或时，在R上有且只有一个零点．由，得，假设存在，则，利用导数性质推导出不存在实数使得成立．本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．22. 考查直线，参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化重点都是消去参数t．利用，极坐标方程，结合余弦定理，计算出的长度．考查极坐标方程与参数方程，普通方程的互化记准互化公式和原则是关键，属于中档题目．23. 通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．。
河南省平顶山市2018年高考数学一模试卷(理科)
2018年河南省平顶山市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x ||x |＜1 }，B={x |≥1}，则A ∪B=（ ） A ．（﹣1，1] B ．[﹣1，1]C ．（0，1）D ．（﹣∞，1]2．若复数（1+2i ）（1+ai ）是纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ）A ．﹣2B ．C ．﹣D ．23．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（ ）A ．66πB ．51πC ．48πD ．33π 4．下列说法正确的是（ ）A ．“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，使e x ＞0”B ．若x +y ≠3（x ，y ∈R ），则x ≠2或y ≠1C ．“x 2+2x ≥ax （1≤x ≤2）恒成立”等价于“（x 2+2x ）min ≥（ax ）max （1≤x ≤2）”D ．“若a=﹣1，则函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a ≥B ．a ＞C ．a ＜D ．a ≤7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A．B．C．D．8．若执行如图所示程序框图，则输出的s值为（）A．﹣2018 B．2018 C．﹣2018 D．20189．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（）A．B．2 C．D．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有个零点．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．18．（12分）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．=19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，CB ⊥平面PAB ，AD ∥BC ，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC ⊥平面BPC ； （Ⅱ）求二面角C ﹣PD ﹣B 的余弦值．20．（12分）如图，点P 为圆E ：（x ﹣1）2+y 2=r 2（r ＞1）与x 轴的左交点，过点P 作弦PQ ，使PQ 与y 轴交于PQ 的中点D ．（Ⅰ）当r 在（1，+∞）内变化时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A （﹣1，1），设直线AQ ，EQ 分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q 1，Q 2，求证：当Q 在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q 1，Q 2都存在，且Q 1，Q 2不重合，则直线Q 1Q 2恒过定点，并求该定点坐标．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．2018年河南省平顶山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合A、B的范围，取并集即可．【解答】解：集合A={x||x|＜1 }=（﹣1，1），B={x|≥1}=（0，1]，则A∪B=（﹣1，1]，故选：A．【点评】本题考查了集合的并集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数（1+2i）（1+ai）=1﹣2a+（2+a）i是纯虚数，则1﹣2a=0，2+a≠0，解得a=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66π B．51π C．48π D．33π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥，分别求面积，再相加即可．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥．半球表面积为2π×32=18π圆锥的侧面积为π×3×5=15π所以所求的表面积为π+15π=33π故选D．【点评】本题考查由三视图考查由三视图还原几何体直观图，求几何体的表面积，属于基础题．4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”；B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题；C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4；D ，a=0时，函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点；【解答】解：对于A ，“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，使e x ≤0”，故错； 对于B ，命题“若x +y ≠3（x ，y ∈R ），则x ≠2或y ≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x +y=3“为真命题，故原命题为真命题，故正确；对于C ，例a=2时，x 2+2x ≥2x 在x ∈[1，2]上恒成立，而（x 2+2x ）min =3＜2x max =4，故错；对于D ，原命题的逆命题为：若函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，则a=﹣1“，∵a=0时，函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，故错； 故选：B【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，，再由⊥，利用向量垂直的条件能求出实数λ．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，∴→m =（0，﹣3），=（1+λ，﹣2+λ）， ∵→→⊥n m ，∴=0﹣3（﹣2+λ）=0，解得λ=2． 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．6．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a ≥B ．a ＞C ．a ＜D ．a ≤【考点】基本不等式．【分析】由x ＞0，不等式=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a 的范围．【解答】解：由x ＞0， =，令t=x +，则t ≥2=2当且仅当x=1时，t 取得最小值2．取得最大值，所以对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则a ≥， 故选：A ．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率为=，故选C．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．8．若执行如图所示程序框图，则输出的s值为（）A．﹣2018 B．2018 C．﹣2018 D．2018【考点】程序框图．【分析】由程序框图求出前几次运行结果，观察规律可知，得到的S的结果与n 的值的关系，由程序框图可得当n=2018时，退出循环，由此能求出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，s=0满足条件n＜2018，执行循环体，s=﹣1，n=2满足条件n＜2018，执行循环体，s=﹣1+3=2，n=3满足条件n＜2018，执行循环体，s=﹣1+3﹣5=﹣3，n=4满足条件n＜2018，执行循环体，s=﹣1+3﹣5+7=4，n=5满足条件n＜2018，执行循环体，s=﹣5，n=6满足条件n＜2018，执行循环体，s=6，n=7…满足条件n＜2018，执行循环体，s=﹣2018，n=2018满足条件n＜2018，执行循环体，s=2018，n=2018不满足条件n＜2018，退出循环，输出s的值为2018．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．9．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（）A．B．2 C．D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题中条件知高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径，即为底面正三角形的内切圆的半径，然后解答即可．【解答】解：由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为rr即为底面正三角形的内切圆半径，∵底面边长为4的r=2故选B．【点评】本题考查棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的大圆沟通条件之间的联系．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0时P到圆心的距离最小，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin =， =此时cosα=， •=••=．故选：D ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．11．过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点D 作直线y=﹣x 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若=2，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意直线AB 的方程为y=（x ﹣c ）代入双曲线渐近线方程，求出A 的坐标，进而求得B 的表达式，代入双曲线方程整理求得a 和c 的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F （c ，0），则直线AB 的方程为y=（x ﹣c ）代入双曲线渐近线方程y=﹣x 得A （，﹣），由=2，可得B （﹣，﹣），把B 点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数是（0，+∞）上的增函数，比较大小可得0.32＜30.2＜log25，故可得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，∴函数是（0，+∞）上的增函数，∵1＜30.2＜3，0＜0.32＜1，log25＞2，∴0.32＜30.2＜log25，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查学生对指数函数、对数函数性质的运用能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可．【解答】解：由题意可知随机变量ξ～N（2，4），满足正态分布，对称轴为μ=2，P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则：a+2+2a﹣3=4，解得a=．故答案为．【点评】本题考查正态分布的基本性质的应用，考查计算能力．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．【考点】二项式系数的性质．【分析】求出展开式的通项，令r=2求出展开式第3项的二项式系数，列出方程求出n；令二项式中的x=1求出展开式的所有项的系数和．【解答】解：展开式的通项为当r=2时是展开式中第3项的二项式系数为C n2=15解得n=6令二项式中的x=1得展开式中所有项的系数之和为．故答案为：．【点评】本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展开式的系数和问题．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=5．【考点】余弦定理．【分析】由∠B=2∠A，得到sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简将a与b的值代入求出cosA的值，利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosA的值代入即可求出c的值．【解答】解：∵∠B=2∠A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简得：b=2acosA，把a=3，b=2代入得：2=6cosA，即cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=24+c2﹣8c，解得：c=5或c=3，当c=3时，a=c，即∠A=∠C，∠B=2∠A=2∠C，∴∠A+∠C=∠B，即∠B=90°，而32+32≠（2）2，矛盾，舍去；则c=5．故答案为：5【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有3个零点．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=f（f（x））﹣1=0，求出f（x）的值，然后利用分段函数的表达式求解x的值，推出结果．【解答】解：函数y=f（f（x））﹣1，令f（f（x））﹣1=0，当f（x）＞0时，可得log2f（x）=1，解得f（x）=2，则log2x=2，解得x=4，ax+1=2，解得x=（舍去）．当f（x）＜0，可得af（x）+1=1，解得f（x）=0，则log2x=0，解得x=1，ax+1=0，解得x=﹣．所以函数的零点3个．故答案为：3．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2018•平顶山一模）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n ﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由2S n=3a n﹣2可求得a1=2；当n≥2时，a n=3a n﹣1，从而可知数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，继而可得a n和S n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知S n=3n﹣1，从而可得b n=n，b2n=2n，利用等差数列的求和公式即可求得数列{b2n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=3a n﹣2，∴n=1时，2S1=3a1﹣2，解得a1=2；当n≥2时，2S n﹣1=3a n﹣1﹣2，∴2S n﹣2S n﹣1=3a n﹣3a n﹣1，∴2a n=3a n﹣3a n﹣1，∴a n=3a n﹣1，∴数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n=2•3n﹣1，S n==3n﹣1，（Ⅱ）∵a n=2•3n﹣1，S n=3n﹣1，∴b n=log3（S n+1）=log33n=n，∴b2n=2n，∴T n=2+4+6+…+2n==n2+n．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比数列的判定与通项公式、求和公式的应用，突出考查等差数列的求和，属于中档题．18．（12分）（2018•平顶山一模）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．=【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用频率分布表，求出前四组学生的视力在4.8以下的人数，然后求解视力在4.8以上的人数．（Ⅱ）求出k2，即可说明校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．（Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2．求出概率，顶点分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，前四组学生的视力在4.8以下，第一组有0.15×0.2×100=3人，第二组有0.35×0.2×100=7人，第三组1.35×0.2×100=27人，第四组有24人．…（2分）所以视力在4.8以上的人数为人．…（Ⅱ），因此校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．…（8分）（Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2.，，，ξ的分布列为…（10分）ξ的数学期望．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2018•平顶山一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，证明AF⊥EF，AF⊥PB．推出AF⊥平面BPC，然后证明DE⊥平面BPC，即可证明平面DPC ⊥平面BPC．…．（Ⅱ）解法1：连结BE，说明BE⊥CP，推出BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，说明∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．在△PDE中，求解即可．解法2：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PDC和面PBC的法向量，由空间向量的数量积求解二面角C﹣PD﹣B的余弦值即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：如图，分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，由题意知，四边形ADEF为矩形，∴AF⊥EF．…（2分）又∵△PAB为等边三角形，∴AF⊥PB．又∵EF∩PB=F，∴AF⊥平面BPC．…又DE∥AF．∴DE⊥平面BPC，又DE⊂平面DPC，∴平面DPC⊥平面BPC．…（Ⅱ）解法1：连结BE，则BE⊥CP，由（Ⅰ）知，BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，则∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．…（7分）由题意知，DP=DC=，PC=，∴，∴，∴在△PDE中，．…（10分）又，∴，∴．…（12分）（Ⅱ）解法2：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，A（0，0，0），B（0，2，0），，C（0，2，2），D（0，0，1）．，，．…（8分）设平面PDC和面PBC的法向量分别为，，由，得，令y=﹣1得；由，得，令a=1得．…（10分）∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2018•平顶山一模）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）设Q（x，y），则PQ的中点，由题意DE⊥DQ，得，代入坐标得答案；（Ⅱ）分别设出Q、Q1、Q2的坐标，结合A，Q，Q1共线，E，Q，Q2共线可把Q1、Q2的坐标用Q的坐标表示，得到线Q1Q2的方程，再由直线系方程可得直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【解答】（Ⅰ）解：设Q（x，y），则PQ的中点，∵E（1，0），∴，．在圆E中，∵DE⊥DQ，∴，则．∴点Q的轨迹方程y2=4x（x≠0）；（Ⅱ）证明：设Q（t2，2t），，，则直线Q1Q2的方程为（t1+t2）y﹣2x﹣2t1t2=0．由A，Q，Q1共线，得，从而（，否则Q1不存在），由E，Q，Q2共线，得，从而（t≠0，否则Q2不存在），∴，，∴直线Q1Q2的方程化为t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，令，得x=﹣1，y=﹣4．∴直线Q1Q2恒过定点（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属中档题．21．（12分）（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）（2018•平顶山一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2化为普通方程，再转化为参数方程即可．（Ⅱ）设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，令，则，利用三角函数的有界限求解最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的普通方程为，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．（Ⅱ）方法一：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，所以d取最小值时，|MQ|最小．令，则，当时，d最小．∴点M的坐标为．（Ⅱ）方法二：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，∴d取最小值时，|MQ|最小．∴，M是过圆心垂直于l的直线与圆（靠近直线l端）的交点．由，得或（舍去）．∴点M的坐标为．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，直线参数方程的几何意义的运用．属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018•平顶山一模）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，求出f（x）的最小值，利用恒成立，转化不等式求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）原不等式可化为：或或…（3分）解得：x＜﹣2或x＞3，所以解集为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．…（Ⅱ）因为|x﹣2|+|x+1|≥|x﹣2﹣（x+1）|=3，…（7分）所以f（x）≥3，当x≤﹣1时等号成立．所以f（x）min=3．又，故．…（10分）【点评】本题考查函数的恒成立，函数的最值的求法，绝对值不等式的几何意义的应用，考查转化思想以及计算能力．。
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科)
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]2．（5分）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx 4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．14．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径，点P为直线y=x﹣1上任意一点，则|PA|2+|PB|2的最小值为．16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100）内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．19．（12分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A，B，C分别在x轴，y轴，z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．故选：D．2．（5分）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴，则在复平面内所对应的点的坐标为（﹣，﹣），位于第三象限角．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，对于A，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+x+1，f′（x）=2x+1＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，故函数f（x）不是偶函数，不合题意；对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；故选：A．4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若，则1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，∴s inα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=﹣，故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，∴a3+a5=q2+q4=6，得q4+q2﹣6=0，即（q2﹣2）（q2+3）=0，则q2=2，则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算S=+++…的值．由题意，S=+++…==1﹣≥0.99，可得：2k≥100，解得：k≥7，即当n=8时，S的值不满足条件，退出循环．故选：C．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a，=•a2•sin=a2；其中正三角形ABC的面积S三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域，如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆，=•π•=，∴S阴影∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+7=2a5，∴a1+2d+7=2（a1+4d），化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象，故选：D．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，∴2=+，=，∴+=，∵，∴•=0，∴⊥，∵，不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，∴m=a=2（﹣1）a，∵|F1F2|=2c，∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2），∴=9﹣6=（﹣）2，∴e=﹣，故选：A12．（5分）已知函数，（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3【解答】解：令f（x）=t可得f（t）=t+1．作出f（x）的函数图象如图所示：设直线y=kx+1与y=e x相切，切点为（x0，y0），则，解得x0=0，k=1．设直线y=kx+1与y=lnx相切，切点为（x1，y1），则，解得x1=e2，k=．∴直线y=t+1与f（t）的图象有4个交点，不妨设4个交点横坐标为t1，t2，t3，t4，且t1＜t2＜t3＜t4，由图象可知t1＜0，t2=0，0＜t3＜1，t4=e2．由f（x）的函数图象可知f（x）=t1无解，f（x）=t2有1解，f（x）=t3有3解，f （x）=t4有2解．∴F（x）有6个零点．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．【解答】解：二项式展开式的通项公式为T r+1=•x6﹣r•=••，令6﹣=0，解得r=4；∴展开式中的常数项为•=．故答案为：．14．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），∵=（2，3），=（x，y），∴z=•=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径，点P为直线y=x﹣1上任意一点，则|PA|2+|PB|2的最小值为6．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0，转化为：x2+（y﹣1）2=1，则：圆心（0，1）到直线y=x﹣1的距离d=，由于AB为圆的直径，则：点A到直线的最小距离为：．点B到直线的距离为．则：|PA|2+|PB|2==6，故答案为：616．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为．【解答】解：∵在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，∴小球可以经过的空间的体积：V==．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A，B∈（0，π），所以B﹣A∈（﹣π，π），且A+（B﹣A）=B∈（0，π），所以A+（B﹣A）≠π，所以A=B﹣A，B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．由△ABC为锐角三角形得，得，则0＜cosB＜，由a+2acosB=2得，又由0＜cosB＜，则．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100）内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知，解得5≤n≤9n，n可取5，6，7，8，9，代入中，得，a=0.15．销售量在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）内的频率分别是0.1，0.1，0.2，0.3，0.3，销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81．（Ⅱ）销售量在[70，80），[80，90），[90，100）内的频率之比为2：3：3，所以各组抽取的天数分别为2，3，3．X的所有可能值为1，2，3，，，．X的分布列为：数学期望．19．（12分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A，B，C分别在x轴，y轴，z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由AB=BC=CA，可得OA=OB=OC．设OA=a，则，A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，0，a），设D点的坐标为（x，y，z），则由，可得（x﹣a）2+y2+z2=x2+（y﹣a）2+z2=x2+y2+（z﹣a）2=2a2，解得x=y=z=a，∴．又平面OAB的一个法向量为，∴，∴CD∥平面OAB；（Ⅱ）解：设F为AB的中点，连接CF，DF，则CF⊥AB，DF⊥AB，∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．由（Ⅰ）知，在△CFD中，，，则由余弦定理知，即二面角C﹣AB﹣D的余弦值为．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2，即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则，把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0，由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0，得m2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1．设A（x1，y2），B（x2，y2），由得，同理，得．所以=．综上，△OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数，，令f'（x）=0得．当且x≠0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）根据题意，注意到f（e）=g（e）=3e，则ae+b=3e，b=3e﹣ae①．于是，ax+b≥g（x）即a（x﹣e）﹣3e（1﹣lnx）≥0，则记h（x）=a（x﹣e）+3e（1﹣lnx），，若a≤0，则h'（x）＜0，得h（x）在（0，+∞）上单调递减，则当x＞e时，有h（x）＜h（e）=0，不合题意；若a＞0，易知h（x）在上单调递减，在上单调递增，得h（x）在（0，+∞）上的最小值．记，则，得m（a）有最大值m（3）=0，即m（a）≤m（3）=0，又m（a）≥0，故a=3，代入①得b=0．当a=3，b=0时，f（x）≥ax+b即⇔2x3﹣3ex2+e3≥0．记φ（x）=2x3﹣3ex2+e3，则φ'（x）=6x（x﹣e），得φ（x）在（0，+∞）上有最小值φ（e）=0，即φ（x）≥0，符合题意．综上，存在a=3，b=0，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ，所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ），化为普通方程为y=2x﹣1，代入y2=4x，并整理得4x2﹣8x+1=0，所以，=，=．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，∴，∴．∴，∴，当且仅当m=n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，当时，a（1﹣2x）≥1﹣2x，∴a≥1；当时，a（2x﹣1）≥1﹣2x，∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1，+∞）．。
2018年河南省开封市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞a}，且（∁U A）∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．（5分）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1﹣2i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量＝（m﹣1，1），＝（m，﹣2），则“m＝2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若，则sin2α的值为（）A．B．C．1或D．5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且9S3＝S6，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．26．（5分）已知曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．x2﹣y2＝1C．D．x2﹣y2＝2 7．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）抛物线M：y2＝4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足P A⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若函数F（x）＝f （x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝（）A．B．445πC．455πD．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z＝3x+5y的最大值为．15．（5分）设f（x）＝，且f（f（a））＝2，则满足条件的a的值有个．16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos B （a cos C+c cos A）+b＝0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD＝，求c．18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点．将△ABE 沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差．附：（，其中n＝a+b+c+d）20．（12分）给定椭圆C：+＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2＝4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝（t﹣1）xe x，g（x）＝tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10分）系统找不到该试题选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c＝n﹣m，求++的最小值．2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞a}，且（∁U A）∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵U＝R，集合A＝{x|x≥1}＝[1，+∞），B＝{x|x＞a}＝（a，+∞），∴∁U A＝（﹣∞，1），又（∁U A）∪B＝R，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：A．2．（5分）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1﹣2i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1＝1﹣2i，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，∴z2＝﹣1﹣2i，则＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），在第四象限．故选：D．3．（5分）已知向量＝（m﹣1，1），＝（m，﹣2），则“m＝2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵＝（m﹣1，1），＝（m，﹣2），∴⇔m（m﹣1）﹣2＝0．由m（m﹣1）﹣2＝0，解得m＝﹣1或m＝2．∴“m＝2”是“⊥”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）若，则sin2α的值为（）A．B．C．1或D．【解答】解：若，即2（cos2α﹣sin2α）＝cosα﹣sinα，显然，cosα＝sinα时，满足条件，此时，tanα＝1，sin2α＝1．cosα≠sinα，则2（cosα+sinα）＝，即cosα+sinα＝，∴1+2sinαcosα＝，即sin2α＝2sinαcosα＝﹣．综上可得，sin2α＝1或﹣，故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且9S3＝S6，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．2【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵9S3＝S6，a2＝1，∴＝，a1q＝1．则q＝2，a1＝．故选：A．6．（5分）已知曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．x2﹣y2＝1C．D．x2﹣y2＝2【解答】解：根据题意，若曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，则a2＝b2，c＝＝a，即焦点的坐标为（±a，0）；其渐近线方程为x±y＝0，若焦点到渐近线的距离为，则有＝a＝，则双曲线的标准方程为﹣＝1，即x2﹣y2＝2；故选：D．7．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第7次剩下，可得①为i≤7？②s＝③i＝i+1故选：D．8．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A；B正确；故选：B．9．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，∴最近的行走路线共有：n＝A＝5040，∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列，接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53，则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m＝＝1440种，∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p＝＝＝．故选：B．10．（5分）函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，y＝xlnx，y′＝1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．11．（5分）抛物线M：y2＝4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足P A⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，A（﹣1，0），F（1，0），点P在以AF为直径的圆x2+y2＝1上．设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1＝0，∵m＞0，∴m＝﹣2+，∴点P的横坐标为﹣2+，∴|PF|＝m+1＝﹣1+，∴圆F的方程为（x﹣1）2+y2＝（﹣1）2，令x＝0，可得y＝±，∴|EF|＝2＝2＝，故选：D．12．（5分）已知函数，若函数F（x）＝f （x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝（）A．B．445πC．455πD．【解答】解：函数，令2x﹣＝+kπ得x＝+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T＝π，0≤x≤，当k＝0时，可得第一根对称轴x＝，当k＝30时，可得x＝，∴f（x）在[0，]上有30条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数与y＝3的交点有30个点，即x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，…，即x1+x2＝×2，x2+x3＝×2，…，x30+x31＝2×将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x28+2x29+2x30+x31＝2（++…+）＝（2+5+8+…+89）×＝455π故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3＝﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7＝﹣C107x3y7．由C103＝C107＝120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．14．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z＝3x+5y的最大值为13．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，作出直线3x+5y＝0，∵x，y∈Z，∴平移直线3x+5y＝0至（1，2）时，目标函数z＝3x+5y的最大值为13．故答案为：13．15．（5分）设f（x）＝，且f（f（a））＝2，则满足条件的a的值有4个．【解答】解：f（x）＝，且f（f（a））＝2∴当a＜2时，f（a）＝2e a﹣1，若2e a﹣1＜2，则f（f（a））＝﹣1＝2，解得a＝1﹣ln2；若2e a﹣1≥2，则f（f（a））＝＝2，解得a＝ln+1，成立；当a≥2时，f（a）＝log3（a2﹣1），若log3（a2﹣1）＜2，则f（f（a））＝﹣1＝2，解得a＝2，或a＝﹣2，与a≥2不符，若log3（a2﹣1）≥2，则f（f（a））＝log3[（log3（a2﹣1）]＝2，解得a2＝310+1，∴a＝或a＝﹣与a≥2不符．由此得到满足条件的a的值有1﹣ln2和ln+1和2和，共4个．故答案为：4．16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．【解答】解：∵在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为a，外接球的半径是a，∴纸盒的内切球半径是＝，设小正四面体的棱长是x，则＝x，解得x＝，∴小正四面体的棱长的最大值为，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos B （a cos C+c cos A）+b＝0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD＝，求c．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos B（a cos C+c cos A）+b＝0．则：2cos B（sin A cos C+sin C cos A）+sin B＝0，整理得：2cos B sin（A+C）＝﹣sin B，由于：0＜B＜π，则：sin B≠0，解得：，所以：B＝．（Ⅱ）点D在AC边上且BD⊥AC，在直角△BCD中，若a＝3，BD＝，解得：，解得：，则：，，所以：cos∠ABD＝＝＝，则：在Rt△ABD中，，＝．故：c＝5．18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点．将△ABE 沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD＝2AB，E为线段AD的中点，∴AB＝AE，取BE中点O，连接PO，则PO⊥BE，又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE＝BE，∴PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，在矩形ABCD中，∴AD＝2AB，E为AD的中点，∴BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，∴EC⊥PB，又PB⊥PE，且PE∩EC＝E，∴PB⊥平面PEC，而PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵PB＝PE＝2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），∴，，＝（，，﹣）．设平面PED的一个法向量为，由，令z＝﹣1，则，又平面PBE的一个法向量为，则cos＜＞＝＝．∴二面角B﹣PE﹣D 的余弦值为﹣．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差．附：（，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：K2＝≈11.111＞6.635，故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关．（Ⅱ）（1）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．其中P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝＝，X的分布列为：（2）∵X～B（3，），∴E（X）＝，D（X）＝3×＝．20．（12分）给定椭圆C：+＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2＝4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．（I）由准圆方程为x2+y2＝4，则a2+b2＝4，椭圆的离心率e＝＝【解答】解：＝，解得：a＝，b＝1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：（1）∵准圆x2+y2＝4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y＝kx+2，联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9＝0．∵直线y＝kx+2与椭圆相切，∴△＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝0，解得k＝±1，，l2方程为y＝x+2，y＝﹣x+2．∵＝1，＝﹣1，∴l∴•＝﹣1，则l 1⊥l2．（2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x＝±，当l1：x＝时，l1与准圆交于点（，1）（，﹣1），此时l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x＝时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02＝4．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，∴由得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3＝0．由△＝0化简整理得（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02＝0，∵x02+y02＝4．，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，∴t1•t2＝﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2＝4的直径，|MN|＝4，∴线段MN的长为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝（t﹣1）xe x，g（x）＝tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝（t﹣1）xe x，得f′（x）＝（t﹣1）（x+1）e x，若t＞1，则x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞﹣1时，f′（x）＞0，f （x）递增，若t＜1，则x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞﹣1时，f′（x）＜0，f （x）递减，故t＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，t＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，+∞）递减；（2）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，即（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x≤0对∀x≥0成立，设h（x）＝（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x，h（0）＝0，h′（x）＝（t﹣1）（x+1）e x﹣t+e x，h′（0）＝0，h″（x）＝e x[（t﹣1）x+2t﹣1]，t＝1时，h″（x）＝e x≥0，h′（x）在[0，+∞）递增，∴h′（x）≥h′（0）＝0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）＝0，显然不成立，∴t≠1，则h″（x）＝e x（x+）（t﹣1），令h″（x）＝0，则x＝﹣，①当﹣≤0即t＜或t＞1时，若t≤，则h″（x）在[0，+∞）为负，h′（x）递减，故有h′（x）≤h′（0）＝0，h（x）在[0，+∞）递减，∴h（x）≤h（0）＝0成立，若t≥1，则h″（x）在[0，+∞）上为正，h′（x）递增，故有h′（x）≥h′（0）＝0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）＝0，不成立，②﹣≥0即≤t≤1时，h″（x）在[0，﹣）内有h′（x）≥h′（0）＝0，h（x）递增，故h（x）在[0，﹣）内有h（x）≥h（0）＝0不成立，综上，t的范围是（﹣∞，]．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10分）系统找不到该试题选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c＝n﹣m，求++的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，∴或或，解得：﹣1≤x≤1，故m＝﹣1，n＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c＝2，则++＝（++）（a+b+c）＝[1+1+1+（+）+（+）+（+）]≥+（2+2+2）＝+3＝，当且仅当a＝b＝c＝时“＝”成立．。
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科)
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]2．（5分）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx 4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．14．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径，点P为直线y=x﹣1上任意一点，则|PA|2+|PB|2的最小值为．16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100）内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．19．（12分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A，B，C分别在x轴，y轴，z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．故选：D．2．（5分）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴，则在复平面内所对应的点的坐标为（﹣，﹣），位于第三象限角．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，对于A，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+x+1，f′（x）=2x+1＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，故函数f（x）不是偶函数，不合题意；对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；故选：A．4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若，则1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，∴s inα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=﹣，故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，∴a3+a5=q2+q4=6，得q4+q2﹣6=0，即（q2﹣2）（q2+3）=0，则q2=2，则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算S=+++…的值．由题意，S=+++…==1﹣≥0.99，可得：2k≥100，解得：k≥7，即当n=8时，S的值不满足条件，退出循环．故选：C．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a，=•a2•sin=a2；其中正三角形ABC的面积S三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域，如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆，=•π•=，∴S阴影∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+7=2a5，∴a1+2d+7=2（a1+4d），化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象，故选：D．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，∴2=+，=，∴+=，∵，∴•=0，∴⊥，∵，不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，∴m=a=2（﹣1）a，∵|F1F2|=2c，∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2），∴=9﹣6=（﹣）2，∴e=﹣，故选：A12．（5分）已知函数，（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3【解答】解：令f（x）=t可得f（t）=t+1．作出f（x）的函数图象如图所示：设直线y=kx+1与y=e x相切，切点为（x0，y0），则，解得x0=0，k=1．设直线y=kx+1与y=lnx相切，切点为（x1，y1），则，解得x1=e2，k=．∴直线y=t+1与f（t）的图象有4个交点，不妨设4个交点横坐标为t1，t2，t3，t4，且t1＜t2＜t3＜t4，由图象可知t1＜0，t2=0，0＜t3＜1，t4=e2．由f（x）的函数图象可知f（x）=t1无解，f（x）=t2有1解，f（x）=t3有3解，f （x）=t4有2解．∴F（x）有6个零点．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．【解答】解：二项式展开式的通项公式为T r+1=•x6﹣r•=••，令6﹣=0，解得r=4；∴展开式中的常数项为•=．故答案为：．14．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），∵=（2，3），=（x，y），∴z=•=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径，点P为直线y=x﹣1上任意一点，则|PA|2+|PB|2的最小值为6．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0，转化为：x2+（y﹣1）2=1，则：圆心（0，1）到直线y=x﹣1的距离d=，由于AB为圆的直径，则：点A到直线的最小距离为：．点B到直线的距离为．则：|PA|2+|PB|2==6，故答案为：616．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为．【解答】解：∵在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，∴小球可以经过的空间的体积：V==．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A，B∈（0，π），所以B﹣A∈（﹣π，π），且A+（B﹣A）=B∈（0，π），所以A+（B﹣A）≠π，所以A=B﹣A，B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．由△ABC为锐角三角形得，得，则0＜cosB＜，由a+2acosB=2得，又由0＜cosB＜，则．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100）内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知，解得5≤n≤9n，n可取5，6，7，8，9，代入中，得，a=0.15．销售量在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）内的频率分别是0.1，0.1，0.2，0.3，0.3，销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81．（Ⅱ）销售量在[70，80），[80，90），[90，100）内的频率之比为2：3：3，所以各组抽取的天数分别为2，3，3．X的所有可能值为1，2，3，，，．X的分布列为：数学期望．19．（12分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A，B，C分别在x轴，y轴，z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由AB=BC=CA，可得OA=OB=OC．设OA=a，则，A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，0，a），设D点的坐标为（x，y，z），则由，可得（x﹣a）2+y2+z2=x2+（y﹣a）2+z2=x2+y2+（z﹣a）2=2a2，解得x=y=z=a，∴．又平面OAB的一个法向量为，∴，∴CD∥平面OAB；（Ⅱ）解：设F为AB的中点，连接CF，DF，则CF⊥AB，DF⊥AB，∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．由（Ⅰ）知，在△CFD中，，，则由余弦定理知，即二面角C﹣AB﹣D的余弦值为．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2，即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则，把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0，由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0，得m2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1．设A（x1，y2），B（x2，y2），由得，同理，得．所以=．综上，△OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数，，令f'（x）=0得．当且x≠0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）根据题意，注意到f（e）=g（e）=3e，则ae+b=3e，b=3e﹣ae①．于是，ax+b≥g（x）即a（x﹣e）﹣3e（1﹣lnx）≥0，则记h（x）=a（x﹣e）+3e（1﹣lnx），，若a≤0，则h'（x）＜0，得h（x）在（0，+∞）上单调递减，则当x＞e时，有h（x）＜h（e）=0，不合题意；若a＞0，易知h（x）在上单调递减，在上单调递增，得h（x）在（0，+∞）上的最小值．记，则，得m（a）有最大值m（3）=0，即m（a）≤m（3）=0，又m（a）≥0，故a=3，代入①得b=0．当a=3，b=0时，f（x）≥ax+b即⇔2x3﹣3ex2+e3≥0．记φ（x）=2x3﹣3ex2+e3，则φ'（x）=6x（x﹣e），得φ（x）在（0，+∞）上有最小值φ（e）=0，即φ（x）≥0，符合题意．综上，存在a=3，b=0，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ，所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ），化为普通方程为y=2x﹣1，代入y2=4x，并整理得4x2﹣8x+1=0，所以，=，=．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，∴，∴．∴，∴，当且仅当m=n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，当时，a（1﹣2x）≥1﹣2x，∴a≥1；当时，a（2x﹣1）≥1﹣2x，∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1，+∞）．努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！。
2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）
2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={x|2*t V1},B={y|y=Jx+1},则A A B=（）0）1） C.[0,1] D.[O,1）2.设z=1+i（i是虚数单位），则复数^+z2在复平面内对应的点位于（）zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（）A3-4一5r6A,— B.— C.— D.—181818184.已知等比数列{%},a2=P。
5=土，则数列（log2a n）的前10项之和是（）A.45B.-35C.55D.-555.若X>m是/一 3%+2<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A.[1,4-oo）B.（—8,2]C,（—8,1] D.[2,+8）6.阅读如图所示的程序框图，若输入a=土，则输出的k值是（）C.11D.127.一个几何体的侧视图如图所示，若该几何体的体积为则它的正视图为（）O8.函数y = f (%)与y = g(x)的图象如图所示，则函数y = f (%) - g(x)的图象可能是({(X — a)2 (x < 0)2]0] C.[l, 2] D.[0, 2]I - 的最小值为/(0)，则实数a 的取值范围()I I CLf A U j4% — y — 10 < 010,设实数x, y 满足条件・x - 2y + 8 > 0.% > 0, y > 0,若目标函数z = ax + by(a > 0, h > 0)的最大值为12,则f +j 的最小值为()A 25A —6B iD.411.在封闭的直三棱柱ABC-A r B r C r 内有一个体积为，的球，若AB1BC, AB = 6, BC = 8, AA t = 3,贝W 的最大值是()A.4ttB,—2r 3271D.—3C.6tt2?112.若椭圆彳+彳=1的焦点在x轴上，过点(1,：)作圆x2+y2=l的切线，切点分别为4、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是()A.^+^=l b Y+H=19445C,-+^=1D,-+^=15495二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)已知3-《)8展开式中常数项为1120,其中实数Q是常数，则展开式中各项系数的和是.如图，已知正三棱柱4BC-&B1C1的底面边长为2cm,高为5cm,一质点自4点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达，点的最短路线的长为cm.h17i c iT^ZCR22双曲线C:M-m=l(a>0M>0)的左焦点为F,若F关于直线+y=0的对称点4是双曲线C上的点，则双曲线C的离心率为.已知函数/(%)=x-(a+l)lnx-(a e/?,且a<1),g(x)=|x2+e x-xe x,若存在%】G[e,e2],使得对任意%2G[-2,0],/'(x】)<gg)恒成立，则a的取值范围是三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或以暗算步骤△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c依次成等差数列.(1)若向量m=(3,sinB)与n=(2,sinC)共线，求cosA的值；(2)若ac=8,求AABC的面积S的最大值.某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0,10), [10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200(1)请根据直方图中的数据填写下面的2X2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？(2)现按照"课外体育达标”与"课外体育不达标"进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记"课外体育不达标"的人数为&求加勺分布列和数学期望.K 2 =(2) 求二面角A-PB- C 的余弦值.附参考公式与:n(ad-dc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(" > 00.150.050.0250.0100.0050.001*02.7023.841 5.024 6.6357.87910.8285208 o5 ?2221 1 o co o o o o (x o.o.o.o.0.0.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，平面PAD _L 平面4BCD , BC//AD, PA 1 PD, AB 1 AD, /.PDA = 60°, E 为侧棱PD 的中点，且AB = BC = 2, AD = 4.(1) 求证：C£〃平面/MB ；设。
2018年河南省高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)
2018年河南省高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝+2i，则|z|＝（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•＝（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科)
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]2．（5分）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．14．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径，点P为直线y=x﹣1上任意一点，则|PA|2+|PB|2的最小值为．16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100）内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．19．（12分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD 的顶点A，B，C分别在x轴，y轴，z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．故选：D．2．（5分）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴，则在复平面内所对应的点的坐标为（﹣，﹣），位于第三象限角．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，对于A，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+x+1，f′（x）=2x+1＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，高考数学模拟精选试题故函数f（x）不是偶函数，不合题意；对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；故选：A．4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若，则1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，∴s inα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=﹣，故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，∴a3+a5=q2+q4=6，得q4+q2﹣6=0，即（q2﹣2）（q2+3）=0，则q2=2，则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算S=+++…的值．由题意，S=+++…==1﹣≥0.99，可得：2k≥100，解得：k≥7，即当n=8时，S的值不满足条件，退出循环．故选：C．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a，=•a2•sin=a2；其中正三角形ABC的面积S三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域，如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆，=•π•=，∴S阴影∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+7=2a5，∴a1+2d+7=2（a1+4d），化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象，故选：D．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，∴2=+，=，∴+=，∵，∴•=0，∴⊥，∵，不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，∴m=a=2（﹣1）a，∵|F1F2|=2c，∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2），∴=9﹣6=（﹣）2，∴e=﹣，故选：A12．（5分）已知函数，（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3【解答】解：令f（x）=t可得f（t）=t+1．作出f（x）的函数图象如图所示：设直线y=kx+1与y=e x相切，切点为（x0，y0），则，解得x0=0，k=1．设直线y=kx+1与y=lnx相切，切点为（x1，y1），则，解得x1=e2，k=．∴直线y=t+1与f（t）的图象有4个交点，不妨设4个交点横坐标为t1，t2，t3，t4，且t1＜t2＜t3＜t4，由图象可知t1＜0，t2=0，0＜t3＜1，t4=e2．由f（x）的函数图象可知f（x）=t1无解，f（x）=t2有1解，f（x）=t3有3解，f（x）=t4有2解．∴F（x）有6个零点．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）展开式中的常数项为．【解答】解：二项式展开式的通项公式为T r+1=•x6﹣r•=••，令6﹣=0，解得r=4；∴展开式中的常数项为•=．故答案为：．14．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），∵=（2，3），=（x，y），∴z=•=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径，点P为直线y=x﹣1上任意一点，则|PA|2+|PB|2的最小值为6．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0，转化为：x2+（y﹣1）2=1，则：圆心（0，1）到直线y=x﹣1的距离d=，由于AB为圆的直径，则：点A到直线的最小距离为：．点B到直线的距离为．则：|PA|2+|PB|2==6，故答案为：616．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积为．【解答】解：∵在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，∴小球可以经过的空间的体积：V==．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A，B∈（0，π），所以B﹣A∈（﹣π，π），且A+（B﹣A）=B∈（0，π），所以A+（B﹣A）≠π，所以A=B﹣A，B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．由△ABC为锐角三角形得，得，则0＜cosB＜，由a+2acosB=2得，又由0＜cosB＜，则．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100）内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；（Ⅱ）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知，解得5≤n≤9n，n可取5，6，7，8，9，代入中，得，a=0.15．销售量在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）内的频率分别是0.1，0.1，0.2，0.3，0.3，销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81．（Ⅱ）销售量在[70，80），[80，90），[90，100）内的频率之比为2：3：3，所以各组抽取的天数分别为2，3，3．X的所有可能值为1，2，3，，，．X的分布列为：X123P数学期望．19．（12分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD 的顶点A，B，C分别在x轴，y轴，z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由AB=BC=CA，可得OA=OB=OC．设OA=a，则，A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，0，a），设D点的坐标为（x，y，z），则由，可得（x﹣a）2+y2+z2=x2+（y﹣a）2+z2=x2+y2+（z﹣a）2=2a2，解得x=y=z=a，∴．又平面OAB的一个法向量为，∴，∴CD∥平面OAB；（Ⅱ）解：设F为AB的中点，连接CF，DF，则CF⊥AB，DF⊥AB，∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．由（Ⅰ）知，在△CFD中，，，则由余弦定理知，即二面角C﹣AB﹣D的余弦值为．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2，即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则，把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0，由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0，得m2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1．设A（x1，y2），B（x2，y2），由得，同理，得．所以=．综上，△OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数，，令f'（x）=0得．当且x≠0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）根据题意，注意到f（e）=g（e）=3e，则ae+b=3e，b=3e﹣ae①．于是，ax+b≥g（x）即a（x﹣e）﹣3e（1﹣lnx）≥0，则记h（x）=a（x﹣e）+3e（1﹣lnx），，若a≤0，则h'（x）＜0，得h（x）在（0，+∞）上单调递减，则当x＞e时，有h（x）＜h （e）=0，不合题意；若a＞0，易知h（x）在上单调递减，在上单调递增，得h（x）在（0，+∞）上的最小值．记，则，得m（a）有最大值m（3）=0，即m（a）≤m （3）=0，又m（a）≥0，故a=3，代入①得b=0．当a=3，b=0时，f（x）≥ax+b即⇔2x3﹣3ex2+e3≥0．记φ（x）=2x3﹣3ex2+e3，则φ'（x）=6x（x﹣e），得φ（x）在（0，+∞）上有最小值φ（e）=0，即φ（x）≥0，符合题意．综上，存在a=3，b=0，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ，所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ），化为普通方程为y=2x﹣1，代入y2=4x，并整理得4x2﹣8x+1=0，所以，=，=．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，∴，∴．∴，∴，当且仅当m=n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，当时，a（1﹣2x）≥1﹣2x，∴a≥1；当时，a（2x﹣1）≥1﹣2x，∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1，+∞）．。
河南省六市2018届高三第一次联考(一模)理数试题(解析版)
1．C【解析】(){|lg 21}A x x =-< (){|0210}2,12x x =<-<=, 2{|230}B x x x =--< ()1,3=-, 所以A B ⋃= ()1,12-,选C ． 2．B 【解析】因为11ia bi i+=+-,所以0,1,1,i a bi a b a b =+∴==+=选B ． 3．C【解析】试题分析：将张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法，若获恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有种取法，所以概率为，故选C ．考点：古典概型及其概率的计算．5．B【解析】由A 、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知： 药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果． 故选B ． 6．B【解析】几何体如图， SA AB SB ===，所以最大面ＳＡＢ的面积为12⨯=7．D【解析】因为2212n n a a -+= ,所以()()()100123499100250100,S a a a a a a =++++++=⨯= 选D ．9．D 【解析】试题分析：此题的程序框图的功能就是先求这2017个数的最大值，然后进行计算,2sinπb b F +=，因为2017}2017,,2,1max{== b ，所以201822017sin2017=+=πF ，故选D ． 考点：程序框图．【方法点睛】本题考查的是程序框图．对于算法与流程图的考查，一般会侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 10．C【解析】取SC 中点O ，则OA=OB=OC=OS,即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r,则2123,342r r r ⨯⨯==选C ． 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 12．A【解析】令1x xt e =-，则方程0x x xx e m e x e ++=-化为()2110t m t +++=有两个不等的实根12,t t ，所以312312121,11x x x x x xt t e e e=-=-=-∴3122312111x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22121t t ==，选A ． 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 13．5【解析】b()()()0,23,23,45b =--=-∴=14．10 【解析】试题分析：由题意可得：5322=⇒=n n，所以()()rr rrr rrrr xC x x C x xC T 3105525525111---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，令31310=⇒=-r r ，所以展开式中含x 项的系数是10．考点：二项式定理． 15．1+【解析】212222 1.F l PF PQ a PF PQ a d a b -+=++≥+=+=点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围． 17．（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求出的通项公式，利用放缩法进行证明不等式．试题解析：（1）当2n ≥时， 21221nn n n S S S S --=-， 112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列． -------6分 （2）由（1）可知，()1111221n n n S S =+-⨯=-， 121n S n ∴=-∴当2n ≥时，()()()1111111121222121n S n n n n n n n n n ⎛⎫=<=⋅=- ⎪----⎝⎭从而123111*********...112322231222n S S S S n n n n ⎛⎫++++<+-+-++-<-< ⎪-⎝⎭ ．考点：1．裂项求和；2．放缩法；3．推理能力．【方法点睛】本题主要考查的是裂项求和，放缩法，等差数列的通项公式，考查了变形能力，推理能力与计算能力，属于中档题，首先根据2221n n n S a S =-可求出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，（2）问中根据（1）中条件进行裂项求和，可发现中间部分项被消掉，因此可适当利用放缩的方法对前项和进行放大或缩小，即可证明结论，因此根据数列的递推关系结合等差数列的定义是解决问题的关键．18．(1)80岁及以上应抽取： 3人，80岁以下应抽取： 5人；(2) 2.75%；(3)2．22亿元．【解析】试题分析：（Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为．（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X 元，则Xr 可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列、EX ，从而能估计政府执行此计划的年度预算．(2)在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：152045201,6006+++=用样本估计总体， 80岁及以上长者共有166116⨯=万， 80岁及以上长者占户籍人口的百分比为11100400⨯％=2.75％，求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布()~,B n p ，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 19．（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键；（3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．设,,OB m OE h ==则OA =，)()(),0,0,0,,0,0,0,AB m E h向量()10,1,0n =为平面AEC 的一个法向量 ．8分设平面ABE 的一个法向量()2,,n x y z =，则20n AB ⋅= 且20n BE ⋅=，即00my my hz +=-=且，取1x =，则y z ==，则2n ⎛= ⎝⎭12分121212·cos45cos ,2·n n n n n n ∴====解得h m =故:2:2: 2.PD AD h m h m ===14分考点：1、平面与平面垂直的判定；2、平面与平面所成角余弦值的应用． 20．（1）2p =（2）3π【解析】试题分析：（1）设出直线l 的方程为2py x =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出AB 中点坐标，推出中垂线方程，结合AB 的中垂线交y 轴于点()0,5Q ，求出p 即可；（2）设l 方程为1y kx =+，代入24x y =，求出AB 的距离以及AB 中点为()22,21D k k +，令2MDN α∠=，求出S 的表达式，推出关系式SABα=，利用D 到x 轴的距离221DE k =+，求出2221cos 1222DE k k AB α+==+，分离常数即可求得S AB 的最大值．（2）设l 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=()212122444AB y y k x x k =++=++=+ AB 中点为()22,21D k k +令2MDN α∠= 122S A B A B αα=⋅=⋅ SABα∴= D 到x 轴的距离221DE k =+222211cos 1122222DE k k k AB α+===-++ 当20k =时cos α取最小值12α的最大值为3π故S AB的最大值为3π．21．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求导数，再研究二次方程2210x kx -+=：无根以及两个等根或两个负根时导函数不变号，为单调递增；当两个不等正根时，有三个单调区间，（2）由极值定义得122x x k +=， 121x x ⋅=，则化简()222221ln 22f x x x kx =+-为一元函数： 2221ln 12x x --，最后根据导数确定其单调性，得其最大值小于32-．当2440k ∆=->，即1k >时，2210x kx -+=，两根1,2x k =±所以(0,x k ∈， ()'0f x >(x k k ∈， ()'0f x <()x k ∈+∞, ()'0f x >故当(),1k ∈-∞时， ()f x 在()0,+∞上单调递增当()1,k ∈+∞时， ()f x 在(0,k 和()k +∞上单调递增()f x 在(k k 上单调递减．（2）()21ln 2(0)2f x x x kx x =+-> ()1'2f x x k x=+- 由（1）知1k ≤时， ()f x ()0,+∞上单调递增，此时()f x 无极值当1k >时， ()2121'2x kx f x x k x x-+=+-=由()'0f x =得2210x kx -+=2440k ∆=->，设两根12,x x ，则122x x k +=， 121x x ⋅=点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．22．（1）1y x =-， 22440x y x y +--=（2）PA PB -=【解析】试题分析：（１）根据加减消元法将直线l 的参数方程化为普通方程，根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，（２）先化直线参数方程标准形式，代入圆C 的直角坐标方程，根据参数几何意义得12PA PB t t -=+，再根据韦达定理求值．（2）点()2,1P 在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l的参数方程是2{ 1x y =+=+（t 为参数） 代入22440x y x y +--=，得270t -=，设两个实根为12,t t，则121270t t t t +=-<，即12,t t 异号所以1212PA PB t t t t -=-=+=点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00{ x x tcos y y tsin αα=+=+．(t 是参数，t 可正、可负、可为0) 若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)．(2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|．(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +． (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0．23．（I ）1m ≥；（II ）详见解析．【解析】试题分析：(Ⅰ)原问题等价于()max 221m x x ≥++，结合绝对值三角不等式的性质可得1m ≥；(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可得1a b +≥，由柯西不等式可得()()2222222a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎝⎭，即221223a b a b a b +≥++．。
【高三数学试题精选】郑州市2018年高考数学一模试卷(理科有解析)
郑州市2018年高考数学一模试卷（理科有解析）5 c 4坐标系与参数方程23．已知曲线c1的参数方程为曲线c2的极坐标方程为ρ=2 cs （θ﹣），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线c2的直角坐标方程；（2）求曲线c2上的动点到直线c1的距离的最大值．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞1．（2）当x＞0时，函数g（x）= （a＞0）的最小值总大于函数f （x），试求实数a的取值范围．4坐标系与参数方程23．已知曲线c1的参数方程为曲线c2的极坐标方程为ρ=2 cs （θ﹣），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线c2的直角坐标方程；（2）求曲线c2上的动点到直线c1的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+2，=ρsinθ，x=ρcsθ，能求出c2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线c1消去参数，得c1的直角坐标方程为，求出圆心到直线c1的距离，由此能求出动点到曲线c1的距离的最大值．【解答】解（Ⅰ），…即ρ2=2（ρcsθ+ρsinθ），∴x2+2﹣2x﹣2=0，故c2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（﹣1）2=2．…（Ⅱ）∵曲线c1的参数方程为，∴c1的直角坐标方程为，由（Ⅰ）知曲线c2是以（1，1）为圆心的圆，且圆心到直线c1的距离，…∴动点到曲线c1的距离的最大值为．…选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞1．（2）当x＞0时，函数g（x）= （a＞0）的最小值总大于函数f （x），试求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；分段函数的应用．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集．（2）由条利用基本不等式求得，f（x）∈[﹣3，1），再由，求得a的范围．【解答】（1）解当x＞2时，原不等式可化为x﹣2﹣x﹣1＞1，此时不成立；当﹣1≤x≤2时，原不等式可化为2﹣x﹣x﹣1＞1，即﹣1≤x＜0，当x＜﹣1时，原不等式可化为2﹣x+x+1＞1，即x＜﹣1，综上，原不等式的解集是{x|x＜0}．（2）解因为当x＞0时，，当且仅当时“=”成立，所以，，所以f（x）∈[﹣3，1），∴ ，即a≥1为所求．2018年8月15日5 c。
【市级检测】2018年河南省开封市高考数学一模试卷(理科)
2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=1﹣2i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若，则sin2α的值为（）A．B．C．1或D．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且9S3=S6，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．26．已知曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．x2﹣y2=1 C．D．x2﹣y2=27．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．B．C．D．8．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A．B．C．D．10．函数y=的图象大致是（）A．B． C．D．11．抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．12．已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n+x n=（）﹣1A．B．445πC．455πD．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z=3x+5y的最大值为．15．设f（x）=，且f（f（a））=2，则满足条件的a的值有个．16．一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12.00分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB （acosC+ccosA）+b=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．18．（12.00分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE 沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．19．（12.00分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差．附：（，其中n=a+b+c+d）20．（12.00分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．21．（12.00分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10.00分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．2018年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【分析】根据集合的定义与运算性质，进行化简、运算即可．【解答】解：∵U=R，集合A={x|x≥1}=[1，+∞），B={x|x＞a}=（a，+∞），∴∁U A=（﹣∞，1），又（∁U A）∪B=R，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：A．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=1﹣2i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由已知求得z2，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=1﹣2i，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，∴z2=﹣1﹣2i，则=，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由向量垂直的坐标表示求得m值，结合充分必要条件的判定方法得答案．【解答】解：∵=（m﹣1，1），=（m，﹣2），∴⇔m（m﹣1）﹣2=0．由m（m﹣1）﹣2=0，解得m=﹣1或m=2．∴“m=2”是“⊥”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．4．若，则sin2α的值为（）A．B．C．1或D．【分析】利用二倍角的余弦公式求得cosα+sinα 的值，再利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：若，即2（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，显然，cosα=sinα时，满足条件，此时，tanα=1，sin2α=1．cosα≠sinα，则2（cosα+sinα）=，即cosα+sinα=，∴1+2sinαcosα=，即sin2α=2sinαcosα=﹣．综上可得，sin2α=1或﹣，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且9S3=S6，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．2【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，由9S3=S6，a2=1，可得=，a1q=1．联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵9S3=S6，a2=1，∴=，a1q=1．则q=2，a1=．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．x2﹣y2=1 C．D．x2﹣y2=2【分析】根据题意，由等轴双曲线的定义可得a2=b2，由双曲线的几何性质可得其焦点坐标，求出双曲线的渐进性方程，由点到直线的距离公式可得=a=，将a的值代入双曲线的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，若曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，则a2=b2，c==a，即焦点的坐标为（±a，0）；其渐近线方程为x±y=0，若焦点到渐近线的距离为，则有=a=，则双曲线的标准方程为﹣=1，即x2﹣y2=2；故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及等轴双曲线的性质，注意等轴双曲线的标准方程的形式．7．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．B．C．D．【分析】由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第7次剩下，结合程序框图即可得出答案．【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第7次剩下，可得①为i≤7？②s=③i=i+1故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键，属于基础题．8．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．【分析】由题意可以判断出两球在正方体的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，排除A；得到正确选项．【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A；B正确；故选：B．【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图知识，本题的解答采用排除法，无限思想的应用，考查空间想象能力．9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，最近的行走路线共有：n=A=5040，先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列，接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53，求出最近的行走路线中不连续向上攀登的次数m==1440种，由此能法语出其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率．【解答】解：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，∴最近的行走路线共有：n=A=5040，∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列，接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53，则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m==1440种，∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p===．故选：B．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的难点在于将原问题转化为排列、组合问题，特别要注意题干中“不连续向上攀登”的限制．10．函数y=的图象大致是（）A．B． C．D．【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．11．抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．【分析】由题意，点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上，联立圆与抛物线的方程，求出点P的横坐标，利用抛物线的定义求出|PF|，可得圆F的方程，再令x=0，即可求出答案．【解答】解：由题意，A（﹣1，0），F（1，0），点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上．设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1=0，∵m＞0，∴m=﹣2+，∴点P的横坐标为﹣2+，∴|PF|=m+1=﹣1+，∴圆F的方程为（x﹣1）2+y2=（﹣1）2，令x=0，可得y=±，∴|EF|=2=2=，故选：D．【点评】本题考查抛物线与圆的方程，考查抛物线的定义，确定点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上是关键．12．已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n+x n=（）﹣1A．B．445πC．455πD．【分析】函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点，转化为函数与y=3的交点问题，求出函数f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．【解答】解：函数，令2x﹣=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，0≤x≤，当k=0时，可得第一根对称轴x=，当k=30时，可得x=，∴f （x ）在[0，]上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数与y=3的交点有31个点，即x 1，x 2关于对称，x 2，x 3关于对称，…，即x 1+x 2=×2，x 2+x 3=×2，…，x n ﹣1+x n =2×将以上各式相加得：x 1+2x 2+2x 3+…+2x 28+2x 29+2x 30++x 31=2（++…+）=（2+5+8+…+89）×=455π则x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n =（x 1+x 2）+（x 2+x 3）+x 3+…+x n ﹣1+（x n ﹣1+x n ）=2（）=455π，故选：C ．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． （x ﹣y ）10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于 ﹣240 ． 【分析】首先要了解二项式定理：（a +b ）n =C n 0a n b 0+C n 1a n ﹣1b 1+C n 2a n ﹣2b 2++C n r a n ﹣r b r++C n n a 0b n ，各项的通项公式为：T r +1=C n r a n ﹣r b r ．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（x ﹣y ）10的展开式中含x 7y 3的项为C 103x 10﹣3y 3（﹣1）3=﹣C 103x 7y 3，含x 3y 7的项为C 107x 10﹣7y 7（﹣1）7=﹣C 107x 3y 7． 由C 103=C 107=120知，x 7y 3与x 3y 7的系数之和为﹣240． 故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a +b ）n =C n 0a n b 0+C n 1a n﹣1b 1+C n 2a n ﹣2b 2++C n r a n ﹣r b r ++C n n a 0b n ，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14． 设x ，y 满足约束条件，且x ，y ∈Z ，则z=3x +5y 的最大值为 13 ．【分析】由约束条件作出可行域，作出直线3x +5y=0，由x ，y ∈Z ，可知平移直线3x+5y=0至（1，2）时，目标函数z=3x+5y的最大值，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，作出直线3x+5y=0，∵x，y∈Z，∴平移直线3x+5y=0至（1，2）时，目标函数z=3x+5y的最大值为13．故答案为：13．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15．设f（x）=，且f（f（a））=2，则满足条件的a的值有4个．【分析】当a＜2时，f（a）=2e a﹣1，若2e a﹣1＜2，则f（f（a））==2，若2e a﹣1﹣1≥2，则f（f（a））=f（f（a））==2；当a≥2时，f（a）=log3（a2﹣1），若log3（a2﹣1）＜2，则f（f（a））==2，若log3（a2﹣1）≥2，则f（f（a））=log3[（log3（a2﹣1）]=2，由此能求出满足条件的a的值．【解答】解：f（x）=，且f（f（a））=2∴当a＜2时，f（a）=2e a﹣1，若2e a﹣1＜2，则f（f（a））=﹣1=2，解得a=1﹣ln2；若2e a﹣1≥2，则f（f（a））==2，解得a=ln+1，成立；当a≥2时，f（a）=log3（a2﹣1），若log3（a2﹣1）＜2，则f（f（a））=﹣1=2，解得a=2，或a=﹣2，与a≥2不符，若log3（a2﹣1）≥2，则f（f（a））=log3[（log3（a2﹣1）]=2，解得a2=310+1，∴a=或a=﹣与a≥2不符．由此得到满足条件的a的值有1﹣ln2和ln+1和2和，共4个．故答案为：4．【点评】本题考查函数值的求法及应用，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．16．一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．【分析】由三视图得纸盒是正四面体，由正视图和俯视图得求出正四面体的棱长，由题意得小正四面体的外接球是纸盒的内切球，利用“设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为a，外接球的半径是a，列出方程求出小正四面体的棱长的最大值．【解答】解：∵在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为a，外接球的半径是a，∴纸盒的内切球半径是=，设小正四面体的棱长是x，则=x，解得x=，∴小正四面体的棱长的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查正四面体的三视图，正四面体的棱长与内切球的半径、外接球的半径关系式的应用，牢记结论是解题的关键，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12.00分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB （acosC+ccosA）+b=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值．（Ⅱ）进一步利用解直角三角形的方法求出结果．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．则：2cosB（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，整理得：2cosBsin（A+C）=﹣sinB，由于：0＜B＜π，则：sinB≠0，解得：，所以：B=．（Ⅱ）点D在AC边上且BD⊥AC，在直角△BCD中，若a=3，BD=，解得：，解得：，则：，，所以：cos∠ABD===，则：在Rt△ABD中，，=．故：c=5．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，直角三角形的解法，三角函数关系式的恒等变换．18．（12.00分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE 沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明：由AD=2AB，E为线段AD的中点，可得AB=AE，由面面垂直的性质可得PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，在矩形ABCD中，由已知可得BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，得到EC⊥PB，又PB⊥PE，由面面垂直的判定可得PB⊥平面PEC，进一步得到平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PED与平面PBE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣PE﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=2AB，E为线段AD的中点，∴AB=AE，取BE中点O，连接PO，则PO⊥BE，又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE=BE，∴PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，在矩形ABCD中，∴AD=2AB，E为AD的中点，∴BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，∴EC⊥PB，又PB⊥PE，且PE∩EC=E，∴PB⊥平面PEC，而PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEC；（Ⅱ）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵PB=PE=2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），∴，，=（，，﹣）．设平面PED的一个法向量为，由，令z=﹣1，则，又平面PBE的一个法向量为，则cos＜＞==．∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．19．（12.00分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；（2）求X的数学期望和方差．附：（，其中n=a+b+c+d）【分析】（Ⅰ）对商品的好评率为0.6，故对商品的好评120次，因此对商品好评但对服务不满意40次；剩下对服务好评但对商品不满意70次，代入卡方公式得K2≈11.111＞10.828，比较表格数据得结论．（Ⅱ）（1）先确定随机变量取法可以是0，1，2，3．再分别求对应概率，而每次对商品和服务全为好评的概率为，所以符合独立重复试验，二项分布X～B （3，），利用公式求得分布列．（2）利用X的分布列能求出X的数学期望及方差．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：K2=≈11.111＞6.635，故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关．（Ⅱ）（1）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．其中P（X=0）=（）3=，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）==，X的分布列为：（2）∵X～B（3，），∴E（X）=，D（X）=3×=．【点评】本题考查卡方公式，概率分布与数学期望、方差的求法，考查卡方公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12.00分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式及a2+b2=4，解得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）（1）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x的一元二次方程，利用直线与椭圆相切⇔△=0，即可解得k的值，进而利用垂直与斜率的关系即可证明；（2）分类讨论：l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，无论两条直线中的斜率是否存在，都有l1，l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4的直径．【解答】解：（I）由准圆方程为x2+y2=4，则a2+b2=4，椭圆的离心率e===，解得：a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：（1）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，∴l 1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵=1，=﹣1，∴•=﹣1，则l 1⊥l2．（2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x=±，当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1）（，﹣1），此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，∴由得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0．由△=0化简整理得（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，∵x02+y02=4．，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、新定义、直线与椭圆相切⇔△=0、直线垂直与斜率的关系、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．（12.00分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论t的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x≤0对∀x≥0成立，设h（x）=（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x，根据函数的单调性求出t的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（t﹣1）xe x，得f′（x）=（t﹣1）（x+1）e x，若t＞1，则x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，若t＜1，则x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，故t＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，t＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，+∞）递减；（2）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，即（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x≤0对∀x≥0成立，设h（x）=（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x，h（0）=0，h′（x）=（t﹣1）（x+1）e x﹣t+e x，h′（0）=0，h″（x）=e x[（t﹣1）x+2t﹣1]，t=1时，h″（x）=e x≥0，h′（x）在[0，+∞）递增，∴h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）=0，显然不成立，∴t≠1，则h″（x）=e x（x+）（t﹣1），令h″（x）=0，则x=﹣，①当﹣≤0即t＜或t＞1时，若t≤，则h″（x）在[0，+∞）为负，h′（x）递减，故有h′（x）≤h′（0）=0，h（x）在[0，+∞）递减，∴h（x）≤h（0）=0成立，若t≥1，则h″（x）在[0，+∞）上为正，h′（x）递增，故有h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）=0，不成立，②﹣≥0即≤t≤1时，h″（x）在[0，﹣）内有h′（x）≥h′（0）=0，h（x）递增，故h（x）在[0，﹣）内有h（x）≥h（0）=0不成立，综上，t的范围是（﹣∞，]．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10.00分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．【分析】（Ⅰ）首先把直线的直角坐标方程转化为参数方程，进一步把极坐标方程转化为直角坐标方程．（Ⅱ）首先求出经过圆心倾斜角为30°的直线方程，进一步求出两直线的交点坐标，进一步利用两点间的距离公式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）直线l：3x﹣y﹣6=0，转化为参数方程为：（t为参数），曲线C：ρ﹣4sinθ=0．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0．（Ⅱ）首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为：x2+（y﹣2）2=4，所以经过圆心，且倾斜角为30°的直线方程为：，则：，解得：，则：=，则：|AP|的最大值为：，|AP|的最小值为：．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，两点间的距离公式的应用．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．【分析】（Ⅰ）解不等式求出m，n的值即可；（Ⅱ）求出a+b+c=2，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，∴或或，解得：﹣1≤x≤1，故m=﹣1，n=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=2，则++=（++）（a+b+c）=[1+1+1+（+）+（+）+（+）]≥+（2+2+2）=+3=，当且仅当a=b=c=时“=”成立．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及基本不等式的性质，是一道中档题．。