七年级下数学规律探索类试题

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中考数学重难点突破专题一：规律探索型问题试题(含答案)

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。

七年级数学探索规律——图形规律(人教版)(专题)(含答案)

故选A．
试题难度：三颗星知识点：略
4.有一长条型链子，其外型由边长为1的正六边形排列而成．如图是此链子的任意一段示意图，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若此链子上共有35个黑色六边形，则共有( )个白色六边形．
A.140 B.142
C.210 D.212
答案：B
解题思路：
分析：按照分类的思想来考虑，第1个黑色六边形周围的6个白色六边形可以分成两类，左边的2个白色六边形是一类，剩余的4个白色六边形是一类．黑色六边形每增加1个，白色六边形就增加4个．
第3个图中三角形个数为；
将上述规律标序号，如下：
① ；
② ；
③ ；
…
所以第个图中三角形个数为；
当时，，
所以第20个图中三角形个数为77．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：略
7.下列图形是由同样大小的五角星按一定的规律排列组成，其中第1个图形共有2个五角星，第2个图形共有8个五角星，第3个图形共有18个五角星，…，则第10个图形中五角星的个数为( )
当时，，
即此链子上共有35个黑色六边形时，共有142个白色六边形．
故选B．
试题难度：三颗星知识点：略
5.一块瓷砖的图案如图1所示，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图2的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图3的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图4的图案，其中完整的圆一共有25个，依此规律，第10个图中，完整的圆一共有( )
A.100个B.101个
C.181个D.221个
答案：C
解题思路：
分析：按照分类的思想来考虑，可以分为一块瓷砖自带的圆和多块瓷砖拼成的完整的圆；
第1个图案，自带的圆1个，拼成的圆0个，共个；

七年级数学有理数规律题难点专题训练

七年级数学有理数规律题难点专题训练学校: _____________ 姓名： ______________班级： ______________ 考号： _____________一.填空题1.按照规律填空 1, -2,3, -4,5, -6,7, -8, _______________ ,... 2・观察下而一列数：一 1, -9丄，…，按照这个规律,第2016个数是 ______________12343. 按所列数的规律填上适当的数:3, 5, 7, 9. ____________ , _______ .4. 按规律填数:16, -8, 4, ______________ , _____________, 一丄・2 5. 如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确左X 的值为 _______ ■6. 观察下列各式，探索发现规律：23-l = l×3: 32-l=2×4: 42-l=3×5; 52-I =4X6：….按此规律,第n 个等式为_7. (4分)观察下列算式，你发现了什么规律？F =竺;F +，=竺;F+ 2』+F =坯;F+ 2彳+F +军=!^；……4 4 44(1) 根据你发现的规律，计算下面算式的值：/+23+33+……+ F= ____________________ : (2) _____________________________________________________________ 请用一个含”的算式表示这个规律:l 3 +23 +33 +……+ √ = ______________________________二、解答题8. 请你参考黑板中老师的讲解，用运算规律简便计算: 利用运算规律有时能进行简便计算例 1： 999×12 = (1000-l)×12 = 12∞0-12 = 11988 例厶—16x233+17x233 = (—16+17)x233 = 233(1) 999×(-15);I -Il 3^4"3"4H Hθ □(2) 999×118∣ + 999×f-l-999x18-5 9.观察探索:1 _ 1 12^3"2~3（I ）按规律请写出：（4分）1 4x512014x2015 一（2）用上述规律计算：（2分）+(-一 X —1-)=2015 201611・观察下列各式:亠―=丄亠—U+J 丄2222 32363 43 412（1）根据上述规律写出第5个等式是 1 1_ X2018 2019拓展应用:计算：Ix-■+ —X —+ —X —+ —,×-+•••+/ / 丿参考答案1 1 1----------1 ----------- 1 ---------- F1×2 2×3 3x410・观察下列各式:(2)(3) H -----------------2014x2015I l _ I l —1 × — = —1 + — 92 21 --- × -----= 1∞ 101 ----------------你发现的规律是：-丄X 丄H H +1用规律计算：(—lx —) + (—×—) + (—x —)+・•・ + ( ---------------- × -------- ) 22 33 42014 2015猜想::5为正整数）（2）规律应用: 1 1----- × ------2017 2019计算:(Il)_ _ X — + …+3 4丿1.9【解析】【分析】根据题中信息，奇数是正数，偶数是负数，且按第几个数绝对值就是几，进行排列，故应填的数是9.【详解】下一个数是第q个数，为正且绝对值为q,故填9.【点睛】本题考査有理数的认识和探索规律，探索规律的题目，通常按照一泄的顺序给岀一系列呈：, 要求我们根据这些已知的量找出一般规律.揭示的规律，常常包含着事物的序列号.所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘.2.丄2016【解析】试题分析：根据题意可得：第n个数为(-1)"丄，则第2016个数是一1—.n2016考点：规律题3.11； 13【解析】试题分析：观察所给的数列可知：数列是连续的奇数，所以结果为：11； 13.考点：数字规律.4.-2 1【解析】【分析】由16, -8.4可知后一个数是前一个数的(-l),'+,^倍，根据这个规律可直接得出答案.【详解】答案第5页，总6贞+ 83 =因为由16, -8.4可知后一个数是前一个数的(-l)n+,∣倍(n 为正整数)，所以可得16,4-2,1-1・ 2故答案为：-2： 1. 【点睛】本题主要考查有理数的规律题，关键是根据题意得出数字之间的规律，进而求解即可.5. 370.【解析】试题分析：观察可得左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，所以2n=20, m=2n- 1,解得 n=10, m=19,又因右下角数字：第一个：1=1x2-1,第二个：10=3x4-2,第三个：27=5x6 -3,由此可得第 n 个:2n (2n- 1) - n,即可得 x= 19x20 - 10=370. 考点：数字规律探究题.6. (n+l)2-l=n(n+2)【解析】根据已知可以得出，左边的规律是：第n 个式子为(n+l) :-1,右边是即n (n+2). 解：V2s -l=l×3> 3-1=2×4, 4-1=3×5, 5-1=4×6, •••规律为(n+l) S -I=n (n+2). 故答案为(n+l) ^~l=n (n+2)・“点睛”此题主要考查了数字变化规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题・对于等式，要注意分别发现：等式的左边和右边的规律.【解析】试题分析:⑴由卜罟=(罟)"+芜芽几(2)由(1)即可得到结论・试题解析：(I) I 3 = —= (—)2> l 3 +23 =(-)2 ,..., 15 +23 +33 +4 2 28×9 , 64x817. (1)64x81 4(2)n 2(n + 1)24得到 l 3+23+33++ 83z 8×9x . 64x81( ---- 广二------- :2 4+ 83 =⑵ H+ 3，+……+沪『心+ 1)]—厂(〃 +厅.24考点：规律型：数字的变化类.8. (1) -14^85-(2) 99900【解析】【分析】(1) 根拯乘法分配律即可简便运算； (2) 很据乘法分配律即可简便运算.【详解】(1) 999×(-15)=-(1000-l)×15=-1000×15+I5 =-15000+15 =-14985(2) 999×118- + 999×∣-1]-999×18-= 999×1(X)=99900.【点睛】此题考査的目的是使学生理解掌握乘法分配律、乘法结合律的意义，并且能够灵活运用乘法的运算立律进行简便计算.【解析】试题分析：从题意得等式的左右两边乘号或减号前的整数等于乘号或减号后的分数的分子, 而分母加1,从而得到规律・1______ 12014^2015(2)2014 2015试题解析：(I)4x5 4 5= 999 ×木卷由系统自动生成•请仔細校对后使用，答案仅供参考。

初中复习方略数学微专题一规律探索问题

【变式】(2021·济宁中考)按规律排列的一组数据：12 ，35 ，□，177 ，296 ，3117 ，…，
其中□内应填的数是( D )
A．23
B．151
C．95
D．21
类型二：算式规律类
1．算式规律类试题一般有以下两种类型 (1)由给定的一些等式找出规律． (2)给出计算公式，通过具体的计算猜想规律． 2．解决此类题目的一般思路 (1)仔细观察题目提供的算式，发现结果和式子序列号之间的关系． (2)将这个关系式表示出来，继而再运用其关系式解决问题．
微专题一规律探索问题
类型一：数字规律类
1．数字规律类试题一般有以下四种类型 (1)“等差数列”类．即相邻数字的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一类数．(2)“等比数列”类．即相邻数字的比值相等．(3)加、减、乘、除、平方规律类．(4)个位数字规律类．
2．解决此类题目的一般思路 (1)仔细观察题目给出的几个特殊情形．(2)分析、比较，寻找这些数字之间的内在联系．(3)发现其内在规律并利用规律解决问题．
【变式】(2021·云南中考)按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，
第＋1
B．n2an－1
C．nnan＋1 D．(n＋1)2an
类型三：图形规律类
1．图形规律类试题一般有以下三种类型 (1)图形数量方面的规律． (2)图形形状方面的规律． (3)图形各组成部分的相对位置的规律．
2．解决此类题目的一般思路 (1)根据图形的变化规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第n个点的坐标与变换次数之间的关系． (2)若坐标是循环变换，应先确定循环一周的变换次数，然后用总次数除以变换次数来确定点的坐标．

- 2017年七下数学期中复习专题-规律探索规律探索(word版有答案)

2017年七下数学期中复习专题-规律探索例1观察下列各式：11111112,23,34334455+=+=+=，……，根据你发现的规律，若式子118ab b+=（a、b为正整数）符合以上规律，则a b+＝．4观察知a+2=b, a+b=8+2=4 a=8 b=10 a b+=4例2将一组整数按如图所示的规律排列下去. 若有序数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示的数为8，则（7，4）表示的数是.试题分析：仔细分析题意可知（7，4）表示的数是第7排，从左到右第4个数，再根据奇数均为负数，偶数均为正数及可作出判断.由题意得（7，4）表示的数是，故选D.例2．如图，动点P从(0，3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．点P第一次碰到矩形的边时，点P的坐标是(3，0)，则当点P第2017次碰到矩形的边时，点P的坐标是（）BA．(1，4) B．(0，3) C．(5，0) D．(8，3)分析：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2017÷6=336…1，∴当点P第2017次碰到矩形的边时为第337个循环组的第1次反弹，点P的坐标为（3，0）。

例3．如图，在平面直角坐标系中，点A(1，0)第1次跳动至点A1(－1，1)，第2次跳动至点A2(2，1)，第3次跳动至点A3(－2，2)，第4次跳动至点A4(3，2)，第5次跳动至点A5(－3，3)，第6次跳动至点A6(4，3)，……，依次规律跳动下去，则第7次跳动至点A7的坐标是_________，第8次跳动至点A8的坐标是________，第100次跳动至点A100的坐标是_________（-4，4），（5，4），（51，50）例4.在平面直角坐标系中，小明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（C）A．(66，34) B．(67，33) C．(100，33) D．(99，34)解在1至100这100个数中：（1）能被3整除的为33个，故向上走了33个单位（2）被3除，余数为1的数有34个，故向右走了34个单位（3）被3除，余数为2的数有33个，故向右走了66个单位故总共向右走了34＋66＝100（个）单位，向上走了33个单位.所以走完第100步时所处位置的横坐标为100，纵坐标为33.故选C.．例5.如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为______．课后练习例6．对一个实数x 按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x ”到：判断结果是否大于190？为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么x 的取值范围是______课后练习1.观察下列各式：（1）14321+⨯⨯⨯ =5；O y x(5,0)(4,0)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(3,3)(3,2)(3,1)(3,0)(2,0)(2,2)(2,1)(1,1)(1,0)（2）15432+⨯⨯⨯=11；（3）16543+⨯⨯⨯ =19；……根据上述规律，若114131211+⨯⨯⨯ =a ，则a= ．2.．观察计算结果：① 113=；② 32133=+；③ 6321333=++；④ 1043213333=+++，用你发现的规律写出式子的值333310321++++Λ＝_________553.将一组整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对(m ，n )表示第m 排，从左到右第n 个数，如(3，2)表示的数为5，则(6，3)表示的数是_________4．如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(1，1)，(2，2)，(2，1)，(2，O)，(3，O),(3，1)，(3，2)，…根据这个规律探索可得，坐标为(13,7)的整数点是( B )A ．第85个点B ．第98个点C ．第99个点D ．第100个点5．如图，点(1，0)第一次跳动至点A 1(－1，1)，第二次跳动至点A 2(2，1)，第三次跳动至点A 3(－2，2)，第四次跳动至点A 4(3，2)，…，依次规律跳动下去，点A 第102次跳动至点A 102的坐标是（ c ）A ．(－50，50)B ．(－51，51)C ．(52，51)D ．(51，50)6.如图，已知四边形ABCD 的顶点为A (1，2)、B (－1，2)、C (－1，－2)、D (1，－2)，点M 和点N 同时从E 点出发，沿四边形的边做环绕匀速运动，M 点以1单位/s 的速度做逆时针运动，N 点以2单位/s 的速度做顺时针运动，则点M 和点N 第2016次相遇时的坐标为。

(完整版)七年级数学找规律题

归纳—猜想~~~找规律给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论. 解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确, 下面通过举例来说明这些问题.一、数字排列规律题1、观察下列各算式：1+3=4=2 的平方，1+3+5=9=3的平方，1+3+5+7=16=4的平方⋯按此规律（1）试猜想：1+3+5+7+⋯+2005+2007的值？（2）推广：1+3+5+7+9+ ⋯+（2n-1）+ （2n+1）的和是多少？2、下面数列后两位应该填上什么数字呢？2 3 5 8 12 17 __ __3、请填出下面横线上的数字。

1 123 5 8 _______ 214、有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、⋯⋯聪明的你猜猜第100 个数是什么？5、有一串数字3 6 10 15 21 ___ 第6 个是什么数？6、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、⋯，那么第2005 个数是（）. A．1 B．2 C．3 D．47、100 个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“ 0”的个数为 ___ 个．二、几何图形变化规律题1、观察下列球的排列规律（其中•是实心球，○是空心球）：•○○••○○○○○•○○••○○○○○•○○••○○○○○•⋯⋯从第1 个球起到第2004个球止，共有实心球个．2、观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是（填图形名称）.三、数、式计算规律题1、已知下列等式：①13＝12；②13＋23＝32；③13＋23＋33＝62；④13＋23＋33＋43＝102；由此规律知，第⑤个等式是．2、观察下面的几个算式：1+2+1=4 ，1+2+3+2+1=9 ，1+2+3+4+3+2+1=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=2，5 ⋯根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：21+2+3+⋯+99+100+99+⋯+3+2+1= .13、1+2+3+⋯+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+⋯+ n 1n n 1 ，其中ｎ是正整数 . 现在我们来研究一个类似的问题： 1×2+2×3+⋯n n 1＝？观察下面三个特殊的等式11 2 1 2 3 0 1 23 12 3 2 3 4 1 2 33 13 4 3 4 5 2 3 431将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝ 13 4 5 203 读完这段材料，请你思考后回答：⑴22 3100 101⑵1 23 2 34nn 1 n2⑶1 232 34 nn 1 n24、已知：2 2 22 2，3 3323，4 4 2 4 5 42，552 254， 3388 15 15 24b 2 b 则a b ⋯若10102符合前面式子的规a a参考答案:一、1、（1）1004的平方（ 2）n+1的平方2 、23 30 。

中考数学《规律探索》专题复习试题含解析

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

类型一探索图形累加规律

类型一探索图形累加规律1. (2017天水改编)观察下列的“蜂窝图”．第1题图则第n个图案中“”的个数是()A. 2nB. 3nC. 3n－1D. 3n＋12. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，其中第1个图形中有4个白色纸片，第2个图形中有7个白色纸片，第3个图形中有10个白色纸片，…，按此规律，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为()第2题图A. 671B. 672C. 673D. 6743. (2017重庆八中模拟)如图，下列图形是按一定规律排列的，第一个图形有5条线段，第二个图形有20条线段，第三个图形有35条线段，…，依照此规律，第八个图形有()条线段()第3题图A. 95B. 110C. 125D. 1304. (2017临沂改编)将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，其中第1个图形中有1个“○”，第2个图形中有3个“○”，第3个图形中有6个“○”，第4个图形中有10个“○”，按照此规律，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是()第4题图A. 11B. 12C. 13D. 145. (2017重庆指标到校卷)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形有9颗棋子，第③个图形有18颗棋子，…，则第⑦个图形中棋子的颗数为()第5题图A. 63B. 84C. 108D. 1526. (2017重庆一外二模)如图是用长度相等的火柴棒按一定规律构成的图形，其中图①中有火柴棒3根，图②中有火柴棒6根，图③中有火柴棒10根，图④中有火柴棒15根，…，按此规律，则图⑧中，火柴棒的根数是()第6题图A. 43B. 44C. 45D. 467. (2017重庆南开模拟)如图，都是由边长为1的正方体叠成的立体图形，例如图①由1个正方体叠成，图②由4个正方体叠成，图③由10个正方体叠成，依此规律，图⑥由()个正方体叠成()第7题图A. 36B. 37C. 56D. 848. (2017牡丹江改编)下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18，…，按此规律排列，第5个图形的周长为()A. 40B. 38C. 36D. 349. (2017潍坊改编)如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…；按照此规律，第8个图中正方形和等边三角形的个数之和为()第9题图A. 72B. 75C. 78D. 8110. 将一些完全相同的梅花按如图所示规律摆放，图①有5朵梅花，图②有8朵梅花，图③有13朵梅花，…，按此规律，则图⑪的梅花朵数是()第10题图A. 121B. 125C. 144D. 14811. 如图，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，图①中有7个棋子，图②中有9个棋子，图③中有11个棋子，图④中有13个棋子，按照这种规律，第⑯个“广”字中的棋子个数是()第11题图A. 37B. 39C. 43D. 4712. (2017黔西南州)如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是()第12题图A. 71B. 78C. 85D. 8913. (2017重庆巴蜀三模)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中空心小圆圈的个数为()第13题图A. 46B. 61C. 76D. 7814. 用棋子按下列方式摆图形，第1个图形有1枚棋子，第2个图形有5枚棋子，第3个图形有11枚棋子，…，依此规律，第7个图形棋子的个数为()第14题图A. 55B. 57C. 69D. 7115. (2017重庆九龙坡区适应考试)如图所示，每个图案都由若干个“”组成，其中第①个图案中有4个，第②个图案中有9个，第③个图案中有16个，第④个图案有25个，…，则第⑨个图案中的个数为()第15题图A. 90B. 99C. 100D. 11116. (2017重庆沙坪坝区校级一模)下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有11个矩形，第③个图形中一共有16个矩形，…，按此规律，第⑧个图形中矩形的个数为()第16题图A. 30B. 36C. 41D. 4517. (2017德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图①)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…，将这种做法继续下去(如图②、图③…)，则图⑥中挖去三角形的个数为()第17题图A. 121B. 362C. 364D. 729答案1.D【解析】由题意可知：每个图案都比前一个多出了3个“”，∴第n个图案中“”的个数为：4＋3(n－1)＝3n＋1.2.B【解析】∵第1个图案中白色纸片有4＝1＋1×3张；第2个图案中白色纸片有7＝1＋2×3张；第3个图案中白色纸片有10＝1＋3×3张；…，∴第n 个图案中白色纸片有1＋n×3＝3n＋1(张)，根据题意得：3n＋1＝2017，解得n＝672.3.B【解析】观察图形发现第一个图形有5条线段；第二个图形有5＋15＝20条线段；第三个图形有5＋15×2＝35条线段；…，第八个图形有5＋15×7＝110条线段．4.B【解析】由每个图形中小圆的个数规律可得第n个图形中小圆的个数为n（n＋1）2，由此可得方程n（n＋1）2＝78，解得n＝12.5.B【解析】第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有3＋6＝9颗棋子，第③个图形一共有3＋6＋9＝18颗棋子，第④个图形一共有3＋6＋9＋12＝30颗棋子，…，第⑧个图形一共有3＋6＋9＋…＋24＝3×(1＋2＋3＋4＋…＋7)＝84颗棋子．6.C【解析】分析可得：图①中，有3根火柴．图②中，有3＋3＝6根火柴．图③中，有3＋3＋4＝10根火柴．…；图⑧中，共用火柴的根数是3＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.7.C【解析】图①由1个正方体叠成，图②由1＋(1＋2)＝4个正方体叠成，图③由1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10个正方体叠成，图④由1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋(1＋2＋3＋4)＝20个正方体叠成，以此类推，图⑥由1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋(1＋2＋3＋4)＋(1＋2＋3＋4＋5)＋(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝56个正方体叠成．8.A【解析】第1个图形的周长为2×1＋2＝4，第2个图形的周长为2×2＋2×(1＋2)＝10，第3个图形的工为2×3＋2×(1＋2＋3)＝18，以此类推，第5个图形的周长为2×5＋2×(1＋2＋3＋4＋5)＝40.9.B【解析】规律如下表：第n个图正六边形正方形等边三角形1 1 6＝1＋5 6＝2＋42 2 11＝1＋5＋5 10＝2＋4＋43 3 16＝1＋5＋5＋5 14＝2＋4＋4＋4…………n n1＋5n2＋4n故第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为1＋5n＋2＋4n＝3＋9n.∴第8个图中正方形和等边三角形个数之和为8×9＋3＝75.10.B【解析】∵每个图形外围均有4朵梅花，中间梅花朵数依次为1，4，9，…，即12，22，32，…，∴第11个图形中间梅花朵数为112＝121，∴图⑪共有梅花朵数＝121＋4＝125.11.A【解析】第①个“广”字中棋子的个数1＋3＋3＝7，第②个“广”字中棋子的个数1＋4＋4＝9，第③个“广”字中棋子的个数1＋5＋5＝11，第④个“广”字中棋子的个数1＋6＋6＝13，依此规律，第n个“广”字中棋子的个数为1＋(n＋2)×2＝2n＋5，则第⑯个“广”字中棋子的个数为2×16＋5＝37.12.D【解析】第1个图形共有小正方形的个数为2×2＋1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3＋2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4＋3；…；则第n个图形共有小正方形的个数为(n＋1)2＋n，∴第8个图形共有小正方形的个数为：9×9＋8＝89.13.B【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1－3＋1×0＝1个；第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2－4＋2×1＝6个；第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3－5＋3×2＝13个；…，第n个图形中空心小圆圈个数为：4n －(n＋2)＋(n－1)n＝n2＋2n－2个；∴第⑦个图形中空心小圆圈的个数为：72＋7×2－2＝61个．14.A【解析】第一个图形有1枚棋子，第二个图形有2＋2＋1＝5枚棋子，第三个图形有3＋3＋3＋2＝11枚棋子，第四个图形有4＋4＋4＋4＋3＝19枚棋子，…，∴第n个图形有n2＋(n－1)枚棋子．当n＝7时，n2＋(n－1)＝72＋(7－1)＝55.15.C【解析】第①个图案中有4个“”，4＝22，第②个图案中有9个“”，9＝32，第③个图案中有16个“”，16＝42，第④个图案有25个“”，25＝52，依此规律，第⑨个图案中“”的个数为(9＋1)2＝100.16.C【解析】∵图①矩形有6个＝5×1＋1，图②矩形有11个＝5×2＋1，图③矩形有16个＝5×3＋1，∴第n个图形矩形的个数是5n＋1，当n＝8时，5×8＋1＝41个．17.C【解析】观察图形可知，图①中挖去1个小三角形，图②中挖去1＋3×1＝4个小三角形，图③中挖去1＋3＋3×3＝13个，图④中挖去的三角形个数为1＋3＋32＋33个，第n个图形中，挖去的三角形个数为1＋31＋32＋33＋ (3)－1，则图⑥中挖去的三角形个数为1＋3＋32＋33＋34＋35＝364个．。

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规律探索类试题，往往有“数字类”“计算类”“图形类”“设计类”与“动态类”等题型，考查目的是培养学生的创新意识与实践能力。

解答时，要根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳、猜想等思维活动，揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征.
一．数字规律问题
1. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）
A．38 B．52 C．66 D．74
2.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活的个数是( )
A. 31
B. 33
C. 35
D. 37
3.将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n 排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是．表示实数100的有序实数对是．
4. 将自然数按以下规律排列，则2012所在的位置是第行第列．
二．计算规律问题
5. 观察下列算式：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；
1+3+5+7=16=42；…按规律填空：（1）1+3+5+7+9+…+2011= ；（2）1+3+5+…+2n-1= ．
6.计算：31＋1＝4，32＋1＝10，33＋1＝28，34＋1＝82，35＋1＝244，…，归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测32012＋1的个位数字是（）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 8
7.按下图规律，在第四个方框内填入的数应为．
8.观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= ，an= ；
⑵如果欲求1+3+32+33+…+320的值，可令S=1+3+32+33+…+320……①
将①式两边同乘以3，…②
由②减去①式，得S= ．
⑶用由特殊到一般的方法知：若数列a1，a2，a3，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则an= （用含a1，q，n的代数式表示），
如果这个常数q≠0，那么a1+a2+a3+…+an= （用含a1，q，n的代数式表示）．
三.几何计数问题
9.一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有个交点．
10.已知1条直线将平面分割为2个区域，2条直线两两相交最多可将平面分割成4个区域，则10条直线两两相交最多可将平面分割成个区域．
11.两条直线相交，共有对对顶角；三条直线相交，共有对对顶角；四条直线相交，共有对对顶角……；n条直线相交，共有对对顶角；
12.下面的5×5图中共有____个正方形．
四．图形规律问题
13.如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依次类推，则第6个图中共有三角形个．
14.观察图形：根据①②③的规律，图④中三角形个数为．
15.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
多面体
顶点数
（V）
面
数（F）
棱
数（E）
四面
体
4 4
长方
体
8 6 12
正八
面体
8 12
正十
二面体
20 12 30
⑴根据上面多面体的模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是；
⑵一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是；
⑶某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y，求x＋y的值．
16.规律：如图1，直线m∥n，A、B为直线n上的点，C、P为直线m上的点．如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到何位置，△ABP与△ABC的面积总相等，其理由是．应用：（1）如图2，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的面积为1，则△BAE的面积是
（2）如图3，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD 的边长为4，求△ACF的面积．
（3）如图4，五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，若△ABC的面积为1，求△ACH的面积．
五．设计规律问题
17.在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图1所示的图形。

⑴请你利用这个几何图形求的值为。

⑵请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形.
六．动态规律问题
18.如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2012次，点P依次落在点P1，P2，P3…P2012的位置，则点P2012的横坐标为．
19.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）（4，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为．
20.如图，已知A1（1，0），A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1），A5（2，-1），…．则点A2011的坐标为．。