江苏省扬州市2016-2017学年高一第一学期期末统考数学试卷
扬州市第一学期期末检测试题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题高 三 数 学 2016.1第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）1.已知集合{}02|2＜x x x A -=，{}210，，=B ，则=B A ▲ . 2.若复数)23(i i z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ▲ . 3.如图，若输入的x 值为3π，则相应输出的值为 ▲ .4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)160155，、第二组[)165160，、……、第八组[]195190，. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 ▲ .5.双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为 ▲ .6.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ▲ .7.已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为 ▲ .8.已知正四棱锥底面边长为24，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为 ▲ . 9.已知函数)32sin()(π+=x x f （π＜x ≤0），且21)()(==βαf f （βα≠），则=+βα ▲ . 10.已知)sin (cos αα，=m ，)12(，=n ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππα，，若1=⋅n m ，则=+)232si n (πα ▲ .11.已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 ▲ . 12.已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 ▲ .13. 已知数列{}n a 中，a a =1（20≤a ＜），⎩⎨⎧≤+--=+)2(3)2(21n n n n n a a a a a ＞（*N n ∈），记n n a a a S +++= 21，若2015=n S ，则=n ▲ .14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，）（a a x a x x f 3221)(--+-=. 若集合{}Φ=∈--R x x f x f x ，＞0)()1(|，则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =，D 、E 分别为BC 、1CC 中点，D B BC 11⊥.（1）求证：//DE 平面1ABC ； （2）求证：平面⊥D AB 1平面1ABC .16. （本小题满分14分） 已知函数x x x x f ωωωcos sin cos 3)(2+=（0＞ω）的周期为π.（1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x 时，求函数)(x f 的值域；（2）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若3)2(=A f ，且4=a ，5=+c b ，求ABC ∆的面积.17. （本小题满分15分）如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足MP M F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点. （1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标；（2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围.18. （本小题满分15分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xoy . （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为lh S 32=）19. （本小题满分16分）已知函数xe x ax xf )2()(2++=（0＞a ），其中e 是自然对数的底数. （1）当2=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围； （3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解.20. （本小题满分16分）若数列{}n a 中不超过)(m f 的项数恰为m b （*N m ∈），则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数)(m f 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.（1）已知2n a n =，且2)(m m f =，写出1b 、2b 、3b ；（2）已知n a n 2=，且m m f =)(，求{}m b 的前m 项和m S ；（3）已知n n a 2=，且3)(Am m f =（*N A ∈），若数列{}m b 中，1b ，2b ，3b 是公差为d （0≠d ）的等差数列，且103=b ，求d 的值及A 的值.第二部分（加试部分）21.（本小题满分10分）已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A .22. （本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.23. （本小题满分10分）某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元. 活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.24. （本小题满分10分）已知函数232)(x x x f -=，设数列{}n a 满足：411=a ，)(1n n a f a =+.（1）求证：*N n ∈∀，都有310＜＜n a ； （2）求证：44313313313121-≥-++-+-+n na a a .扬州市2015-2016学年度第一学期高三期末调研测试数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案2016．1一、填空题1．{}1 2．3 3．12 4．144 5．4 6．257．31 8．5 9．76π 10．725- 11．3 12．1± 13．1343 14．1(,]6-∞ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．证明：（1）D 、E 分别为BC 、1CC 中点，1//DE BC ∴， …………2分DE ⊄ 平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC //DE ∴平面1ABC …………6分（2）直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABCAD ⊂平面ABC 1CC AD ∴⊥ …8分AB AC =，D 为BC 中点 AD BC ∴⊥ ，又1CC BC C =，1CC ， BC ⊂平面11BCC B ，11面AD BCC B ∴⊥1BC ⊂平面11BCC B 1AD BC ∴⊥ …………11分 又11BC B D ⊥，1B DAD D =，1B D ，AD ⊂平面1AB D 1BC ∴⊥平面1AB D1BC ⊂平面1ABC ∴平面1AB D ⊥平面1ABC …………14分16．解：（1）313()(1cos2)sin 2sin(2)2232f x x x x πωωω=++=++…………2分 ()f x 的周期为π，且0ω>，22ππω∴=，解得1ω= 3()sin(2)32f x x π∴=++…………4分 又02x π≤≤， 得42333x πππ≤+≤，3sin(2)123x π-≤+≤， 330sin(2)1322x π≤++≤+ 即函数()y f x =在[0,]2x π∈上的值域为3[0,1]2+．………7分（2）()32A f = 3sin()32A π∴+=由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<， 解得：233A ππ+=，所以3A π= …………9分由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-216()3b c bc ∴=+-，因为5b c +=，所以3bc = …………12分∴13sin 324ABC S bc A ∆==． …………14分17．（1）22184x y += 12(2,0),(2,0)F F ∴- 2122,2,24OP F M F M k k k ∴==-=∴直线2F M 的方程为：2(2)y x =--，直线1F M 的方程为：2(2)4y x =+ …………4分 由2(2)2(2)4y x y x ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩解得：65x = ∴点M 的横坐标为65 …………6分 （2）设00(,),(,)M M P x y M x y12F M MP = 1002(,)(,)3M M F M x c y x c y ∴=+=+00200212242(,),(,)333333M x c y F M x c y ∴-=-2PO F M ⊥，00(,)OP x y = 2000242()0333x c x y ∴-+= 即220002x y cx += …………9分联立方程得：2200022002221x y cx x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去0y 得：222222002()0c x a cx a a c -+-=解得：0()a a c x c +=或 0()a a c x c-= …………12分0a x a -<< 0()(0,)a a c x a c-∴=∈ 20a a c a c∴<-< 解得：12e > 综上，椭圆离心率e 的取值范围为1(,1)2． …………15分18．解：（1）设抛物线的方程为：2(0)y ax a =->，则抛物线过点3(10,)2-，代入抛物线方程解得：3200a =， …………3分令6y =-，解得：20x =±，则隧道设计的拱宽l 是40米； …………5分（2）抛物线最大拱高为h 米，6h ≥，抛物线过点9(10,())2h --，代入抛物线方程得：92100h a -=令y h =-，则292100h x h --=-，解得：210092h x h =-，则2100()922l h h =-，2292400l h l =-………9分229266400l h l ≥∴≥- 即2040l <≤ 232292232(2040)33400400ll S lh l l l l ∴==⋅=<≤--………12分2232222222229(400)323(1200)3(203)(203)'(400)(400)(400)l l l l l l l l l S l l l --⋅-+-∴===---当20203l <<时，'0S <；当20340l <≤时，'0S >，即S 在(20,203)上单调减，在(203,40]上单调增，S ∴在203l =时取得最小值，此时203l =，274h =答：当拱高为274米，拱宽为203米时，使得隧道口截面面积最小． ………15分19．解：（1）2()(22)x f x x x e =++，则'2()(253)(1)(23)x x f x x x e x x e =++=++ ………2分令'()0f x = ，31,2x =--x3(,)2-∞-32- 3(,1)2-- 1-(1,)-+∞'()f x+0 -0 +()f x增 极大值减极小值增323()()52极大值=f x f e -∴-= ，1()(1)3极小值=f x f e --= ………4分（2）问题转化为'2()(21)30xf x ax a x e ⎡⎤=+++≥⎣⎦在[2,2]x ∈-上恒成立；又0x e > 即2(21)30ax a x +++≥在[2,2]x ∈-上恒成立； ………6分 2()(21)3令g x ax a x =+++0a >，对称轴1102x a=--< ①当1122a --≤-，即102a <≤时，()g x 在[2,2]-上单调增， min ()(2)10g x g ∴=-=> 102a ∴<≤………8分 ②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在1[2,1]2a ---上单调减，在1[1,2]2a--上单调增，2(21)120a a ∴∆=+-≤ 解得：331122a -≤≤+13122a ∴<≤+ 综上，a 的取值范围是3(0,1]2+． ………10分 （3）1,a = 设2()(2)4x h x x x e x =++-- ，'2()(33)1x h x x x e =++- 令2()(33)1x x x x e ϕ=++- ，'2()(56)x x x x e ϕ=++ 令'2()(56)0,2,3得x x x x e x ϕ=++==--x(,3)-∞-3-(3,2)--2-(2,)-+∞'()x ϕ+0 - 0 +()x ϕ增 极大值减极小值增33()(3)10极大值=x e ϕϕ∴-=-< ，21()(2)10极小值=x e ϕϕ-=-< ………13分 1(1)10,(0)20eϕϕ-=-<=> 000(1,0),()()0()()0存在-,时，,+时x x x x x x x ϕϕ∴∈-∈∞<∈∞> ()h x ∴在0(,)x -∞上单调减，在0(,)x +∞上单调增又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e -=>-=-<=-<=-> 由零点的存在性定理可知：12()0(4,3),(0,1)的根h x x x =∈--∈ 即4,0t =-． ………16分 20．解：（1）1m =，则111a =≤ 11b ∴=；2m =，则114a =<，244a =≤ 22b ∴=3m =，则119a =<，249a =< 399a =≤ 33b ∴= …………3分（2）m 为偶数时，则2n m ≤，则2m m b =；m 为奇数时，则21n m ≤-，则12m m b -=； 1()2()2为奇数为偶数m m m b m m -⎧⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ …………5分 m 为偶数时，则21211(12)2224m m m m S b b b m =+++=+++-⨯=； m 为奇数时，则221211(1)11424m m m m m m m S b b b S b ++++-=+++=-=-=； 221()4()4为奇数为偶数m m m S m m ⎧-⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ …………8分 （3）依题意：2n n a =，(1)f A =，(2)8f A =，(5)125f A =，设1b t =，即数列{}n a 中，不超过A 的项恰有t 项，所以122t t A +≤<，同理：1221282,21252,++t d t d t d t d A A ++++≤<≤<即⎧⎪⎨⎪⎩13222122,22,22,125125++t t t d t d t d t d A A A +-+-++≤<≤<≤<故22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++t d t d t t d t t d A ++-++-≤< 由⎧⎨⎩312222,22,125++t d t t d t d -++-<<得4d <，d 为正整数 1,2,3d ∴=， …………10分 当1d =时，232242max{2,2,}max{2,,}21254125++=t d t t t t d t t -⨯= ， 21121228282min{2,2,}min{2,,}21252125125=t d t t tt t d t t ++++-+⨯⨯=< 不合题意，舍去； 当2d =时，2312162max{2,2,}max{2,2,}2125125+=t dt t t d t t t +--⨯= ， 211212322322min{2,2,}min{2,2,}2125125125=t d t tt t d t t t ++++-+⨯⨯=< 不合题意，舍去； 当3d =时，232642max{2,2,}max{2,2,}2125125++=t d t t t d t t t -⨯= ， 211211212821282min{2,2,}min{2,2,}2125125125+=t d t tt t d t t t ++++-+⨯⨯=>适合题意，………12分此时12822125t t A ≤<⨯，125,3,6b t b t b t ==+=+，336t b t ∴+≤≤+ 310b = 47t ∴≤≤ t 为整数 4,5,6t t t ∴===或7t =(3)27f A =，310b = 10112272A ∴≤< 1011222727A ∴≤< ………14分 当4t =时，11422125A ≤< ∴无解 当5t =时，12522125A ≤< ∴无解 当6t =时，13622125A ≤< 13264125A ∴≤< 当7t =时，14722125A ≤< ∴无解 13622125A ∴≤< *A N ∈ 64A ∴=或65A =综上：3d =，64A =或65． ………16分2015-2016学年度第一学期高三期末调研测试数 学 试 题 Ⅱ 参 考 答 案21．解：（1）设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y ''' ．由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx ny y y'=+⎧⎨'=⎩ …………5分 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩，1201A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦ …………10分22．解：圆的直角坐标方程为22(4)16x y +-=， …………3分 直线的直角坐标方程为3y x =， …………6分圆心(0,4)到直线的距离为22042(3)1d -==-+，则圆上点到直线距离最大值为246D d r =+=+=． …………10分23．解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M ． 则131()344P M =⨯= 即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14． …………4分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x 可取0,,m m n + 则3121111(0),(),()44364312P P m P m n x x x ====?=+=? 3110()4612412m n E m m n x =??+?+ …………6分 ②先在乙箱中摸球，参与者获奖金h 可取0,,n m n + 则2131111(0),(),()33443412P P n P m n ηηη====⨯==+=⨯= 2110()3412123m n E n m n h =??+?+ …………8分 2312m n E E x h --=当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大； 当32m n =时，两种顺序参与者获奖金期望值相等； 当32m n <时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 答：当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32m n =时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n <时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． …………10分24．（1）解：①当1n =时，114a =， 有1103a << 1n ∴=时，不等式成立 …………1分②假设当*()n k k N =∈时，不等式成立，即103k a << 则当1n k =+时，2221211()233()3()333k k k k k k k a f a a a a a a +==-=--=--+ 于是21113()33k k a a +-=-103k a <<，∴21103()33k a <-<，即111033k a +<-<，可得1103k a +<< 所以当1n k =+时，不等式也成立由①②，可知，对任意的正整数n ，都有103n a << …………4分 （2）由（1）可得21113()33n n a a +-=- 两边同时取3为底的对数，可得31311log ()12log ()33n n a a +-=+- 化简为313111log ()2[1log ()]33n n a a ++-=+- 所以数列31{1log ()}3n a +-是以31log 4为首项，2为公比的等比数列 …………7分 133111log ()2log 34n n a -∴+-=，化简求得：12111()334n n a --=，1213413n n a -∴=- 2n ≥时，101211111211n n n n n n C C C C n n ------=++++≥+-=，1n =时，121n -=*n N ∴∈时，12n n -≥，121343413n n n a -∴=⋅≥⋅-011222121121113[444]3[444]44111333n n n n a a a -++++=+++≥+++=----11233344131313n na a a +∴+++≥----． …………10分。
【高中数学】江苏省扬州市2016-2017学年高一下学期期末调研试题
江苏省扬州市2016-2017学年高一下学期期末调研数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．22cos 15sin 15︒-︒= ．2．不等式2230x x --<的解为 ．3．ABC ∆中，3,4,60AB BC B ===︒，则AC = ．4． 已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为 ．5．已知(,0)2x π∈-，3cos 5x =，则tan 2x = ． 6． 设变量,x y 满足约束条件212x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-+的最小值为 ．7．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =， 352a a +=-，则使得n S 取最大值时的正整数n = ．8．已知α，β，γ是三个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m α⊥，m β⊂，那么αβ⊥； ②如果m n ⊥，m α⊥，那么//n α； ③如果αβ⊥，//m α，那么m β⊥；④如果//αβ，m αγ= ，n βγ= ，那么//m n ．其中正确的命题有 ．（写出所有正确命题的序号） 9．已知02πθ≤≤且1sin()63πθ-=，则cos θ=．10．若数列1{}(1)n n +的前n 项和为n S ，若134n n S S +⋅=，则正整数n 的值为 ． 11．已知正数,a b满足14a b +=ab 的最小值为 ． 12．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得60NAM ∠=︒，∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C点测得∠MCA ＝60°；已知山高BC ＝300米，则山高MN ＝ 米．13．在数列{}n a 中，21123+222(221)n n n n a a a a n t -+++=⋅-+ 对任意*n ∈N 成立，其中常数0t >．若关于n 的不等式的解集为*{|4,}n n n ≥∈N ，则实数m 的取值范围是 ．14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．，4ab =，的最小值是 ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知：sin()2sin()044ππαα++-=． （1）求tan α的值；（2）若1tan()43πβ-=，求tan()αβ+的值．16．（本题满分14分）已知：三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD ⊥，E ，F 分别为BD ，AD 的中点．FEDCBA（1）求证：//EF 平面ABC ；（2）若CB CD =，求证：AD ⊥平面CEF ．17．（本题满分14分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且235a a a =，4210S S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本题满分16分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos cos b c Ca A -=． （1）求角A 的大小；（2）若a =，ABC ∆的面积ABC S ∆=b c +的值；（3）若函数()2sin cos()6f x x x π=+，求()f B 的取值范围．19．（本题满分16分）水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放a （14a ≤≤且a R ∈）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．（1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放b 个单位的营养液．要使接下来的2天中， 营养液能够持续有效，试求b 的最小值．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：对于任意*n N ∈且2n ≥时，121n n a a n λ-+=+，14a =．（1）若13λ=-，求证：{3}n a n -为等比数列；（2）若1λ=-．①求数列{}n a 的通项公式；②是否存在*k ∈N ，25为数列{}n a 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】1．2．(1,3)-34．16π5．2476．4-7．3 8．①④910．6 11．4 12．450 131415．解：（1）sin()2sin()044ππαα++-=i n c o s2(s i n c o s)02222αααα+-=，∴1tan3α=（2）∵1tan()43πβ-=∴1tan11tan3ββ-=+，解得：1tan2β=∴11tan tan32tan()1111tan tan132αβαβαβ+++===--⨯16．证明：（1）∵E，F分别为BD，AD的中点∴//EF AB∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC∴//EF平面ABC（2）∵CB CD=，E为BD的中点∴CE BD⊥∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD 平面BCD BD=，CE⊂平面BCD∴CE⊥平面ABD∵AD⊂平面ABD∴CE AD⊥∵//EF AB，AB AD⊥∴AD EF⊥∵CE⊂平面CEF，EF⊂平面CEF，CE EF E=∴AD⊥平面CEF．FEDCBA17．解：（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则41214,2S a S a ==，不符合题意； 则1q ≠ ∴421114211(1)(1)1011a q a q a q a q a q q q ⎧=⋅⎪⎨--=⋅⎪--⎩，0n a >解得：13a q ==∴1333n n n a -=⨯= （2）23133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ① 234+13133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ②①-②得：23113332132(333)(21)323(21)313n nn n n T n n ++-⨯-=⨯++++--⨯=⨯---⨯-1(22)36n n +=--⨯-∴1(1)33n n T n +=-⨯+ 18．解：（1）根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：2sin sin cos sin cos B C CA A-=2sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B ∴=+= ∵(0,)B π∈ ∴sin 0B >∴1cos 2A = ∵(0,)2A π∈ ∴3A π=（2）∵11sin 22ABC S bc A bc ∆=== ∴12bc = ∵222222cos 13a b c bc A b c bc =+-=+-= 222()31331249b c b c b c b c ∴+=+-+=+⨯= ∵0b c +> ∴7b c += （3）()2sin cos()2sin (cos cos sin sin )666f x x x x x x πππ=+=-112(1cos 2)sin(2)262x x x π=--=+- ∴1()sin(2)62f B B π=+-∵ABC ∆为锐角三角形 ∴0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，又23C B π=- ∴62B ππ<< .∴72266B πππ<+<∴1sin(2)126B π-<+< ∴()f B 的取值范围为1(1,)2-．19．解：（1）∵营养液有效则需满足4y ≥，则或254(5)4x x <≤⎧⎨-≥⎩，解得04x ≤≤，所以营养液有效时间可达4天．（2）设第二次投放营养液的持续时间为x 天，则此时第一次投放营养液的持续时间为(3)x +天，且02x ≤≤；设1y 为第一次投放营养液的浓度，2y 为第二次投放营养液的浓度，y 为水中的营养液的浓度；∴12[5(3)]42y x x =-+=-，244xy b x +=⋅-，124(42)44xy y y x b x +=+=-+⋅≥-在[0,2]上恒成立∴424xb x x -≥⋅+在[0,2]上恒成立令4,[4,6]t x t =+∈，322()24b t t ≥-++，所以b答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b20．解：（1）当13λ=-时，1121(2,*)3n n a a n n n N -=++≥∈且131a -=∴1111111213(33)31333(1)33333n n n n n n a n na n a n a n a n a n -----++--+-===---+-+为常数∴{3}n a n -为等比数列 （2）①当1λ=-时，121(2,*)n n a a n n n N --=+≥∈ ∴1221n n a a n ---=-2323n n a a n ---=- 215a a -=∴21(1)(215)(21)(21)5232n n n a a n n n n -++-=++-++==+- (2,*)n n N ≥∈∵14a = ∴2221(1)(2,*)n a n n n n n N =++=+≥∈ 又14a =满足上式，所以2(1)(*)n a n n N =+∈．② 假设存在满足条件的k 25m a =， ∴2(21)(22)25(1)k k m +++=+ （*）∴222(21)(21)(22)(1)25(22)k k k m k +<++=+-<+ ∴2222(1)(21)25(1)(22)25m k m k ⎧+-+>⎨+-+<⎩即(22)(2)25(1)(23)(21)25(2)m k m k m k m k ++->⎧⎨++--<⎩ 由（1）得20m k ->且,*m k N ∈ ∴21m k -≥ ∴210m k --≥ 若210m k --=，代入（*），解得：232k =（舍） ∴210m k -->即211m k --≥ ∴2325m k ++< ∴22222k m k +≤<- ∴22222k k +<- ∴5k < ∵*k N ∈ ∴k 可取1,2,3,4 代入（*）检验，解得：3,8k m ==∴存在3k =满足题意．。
7 扬州市高三2016—2017学年度第一学期期末检测数学试题(含答案)
扬州2016—2017学年度第一学期期末检测试数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{0}A x x =≤，{1012}B =-，，，，则A B = ▲ ． 2．设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab = ▲ ．3．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ▲ ． 4．如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5， 则输出的y 的值为 ▲ ． 5．已知直线:20l x -=与圆22C :x +y =4交于,A B 两点， 则弦AB 的长度为 ▲ ．6．已知,A B {}3,1,1,2∈--且A B ≠，则直线10Ax By ++=的斜率 小于0的概率为 ▲ ．7．若实数,x y 满足10101x y y x x +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则23zx y =+的最大值为 ▲ ．8．若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm ），侧面积为8（单位：2cm ）， 则它的体积为 ▲ （单位：3cm ）.9．已知抛物线216y x =的焦点恰好是双曲线222112x y b -=的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 10．已知1cos()33πα+=()2πα<<0，则sin()πα+= ▲ ．扬州11．已知1,5x x ==是函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>两个相邻的极值点，且()f x 在2x =处的导数()20f '<，则()0f = ▲ ．12．在正项等比数列{}n a 中，若4321226a a a a +--=，则56a a +的最小值为 ▲ ．13．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则BQ的最小值是 ▲ ．14．已知一个长方体的表面积为48（单位：2cm ），12条棱长度之和为36（单位：cm ），则这个长方体的体积的取值范围是 ▲ （单位：3cm ）．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 在ABC ∆中，6AB =，AC =18AB AC ⋅=-． （1）求BC 的长； （2）求tan 2B 的值．（第4题图）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点. （1）求证：EF ∥平面P AB ；（2）若AP =AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，证明：AF ⊥平面PCD .17．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在∆ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方.经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4MPN π∠=.记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域∆PMN 的面积为S 平方米． （1）求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（参考数据：5tan 34≈） （2）求S 的最小值.如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y b +=，过椭圆C 的上顶点A 的直线l :y kx b =+分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P 、Q ，设AP PQ λ=． （1）若点(3,0),P -点(4,1),Q --求椭圆C 的方程； （2）若3λ=，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<成立，求正实数1b 的取值范围； （3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由．已知函数()()()f x g x h x =⋅，其中函数()x g x e =，2()h x x ax a =++． （1）求函数()g x 在()1,(1)g 处的切线方程；（2）当02a <<时，求函数()f x 在[2,]x a a ∈-上的最大值；（3）当0a =时，对于给定的正整数k ，问函数()()2(ln 1)F x e f x k x =⋅-+是否有零点？请说明理由．（参考数据 1.649, 4.482,ln 20.693e ≈≈≈≈）2016—2017学年度第一学期期末检测试题高 三 数 学 2017.01试 题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21．（本小题满分10分）已知,a b ∈R ，若点(1,2)M -在矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下得到点(2,7)N -，求矩阵A 的特征值. 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4πθ=，试求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标. 23．（本小题满分10分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的. （1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的分布列和数学期望()E X .24．（本小题满分10分）已知010011(1)C ()(1)C ()(1)C (),()n n nn n n n F x f x f x f x n *=-+-++-∈N ()(0)x >， 其中i ()f x {}(i 0,1,2,,)n ∈是关于x 的函数.（1）若ii ()=f x x (i )∈N ，求21F ()，20172F ()的值；（2）若i ()=(i )ixf x x+∈N ，求证：!=(1)(2)()n n F x x x x n +++()()n *∈N .2016-2017学年度高三第一学期期末测试数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案2017．1一、填空题 1．{1,0}-2．03．2004．15- 5． 6．17．889．y x = 101112．48 132314．[16,20] 15.⑴因为cos 18AB AC AB AC A =⨯⨯=-，且6AB =，AC =BC 分⑵方法一：在ABC ∆中，6AB =，AC =BC222222cos =210BA BC AC B BA BC +⨯-(-(， --------------------9分 又(0,)B π∈，所以sin B sin 1tan cos 3B B B ==，-------------11分所以2222tan 33tan 2=11tan 41()3BB B ==--. ---------------------14分 方法二：由6AB =，AC =cos 18AB AC AB AC A =⨯⨯=-可得cos =2A -， 又(0,)A π∈，所以34A π=.---------------------8分 在ABC ∆中，sin sin BC ACA B =，所以sin sin AC AB BC⨯===，-----------10分又(0,)4B π∈，所以cos 10B ，所以sin 1tan cos 3B B B ==， 所以2222tan 33tan 2=11tan 41()3B B B ==--. ---------------------14分 16. （1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以EF ∥CD ，又在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，所以EF ∥AB ， ---------------------3分又AB ⊂面P AB ，EF ⊄面P AB ，所以EF ∥平面P AB . ---------------------6分⑵证明：在矩形ABCD 中，AD ⊥CD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ， ---------------------10分 又AF ⊂面P AD ，所以CD ⊥AF .①因为P A =AD 且F 是PD 的中点，所以AF ⊥PD ，②由①②及PD ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，PD ∩CD =D ，所以AF ⊥平面PCD . -----------------14分 17.⑴方法一：在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME =∠∠，所以sin 43sin sin cos sin()4PE PEM PM PME πθθθ⨯∠===∠+-， ---------------------2分同理在∆PNE 中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin cos sin()2PE PEN PN PNE πθθ⨯∠===∠-， - --------------------4分所以∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， --------------------8分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=-， 所以35044πθ≤≤-.综上可得：8)4S πθ=++1,350,44πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ---------------------10分方法二：在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理可知：sin sin ME PEPMEθ=∠，所以sin 4sin 3sin sin()4PE ME PME θθπθ⨯===∠-， ---------------------2分在∆PNE 中，由正弦定理可知：sin sin NE PEEPN PNE=∠∠，所以sin()4sin()44cos sin()2PE NE ππθθπθθ⨯++===----------------------4分所以2cos sin cos MN NE ME θθθ=-=+,又点P 到DE的距离为4sin 4d π==， ---------------------6分所以∆PMN 的面积S=21441cos 212cos sin cos sin 222MN d θθθθθ⨯==+++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， ---------------------8分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=-， 所以35044πθ≤≤-.综上可得：8)4S πθ=++1,350,44πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ---------------------10分⑵当242ππθ+=即350,844ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S1)=.---------13分 所以可视区域∆PMN面积的最小值为1)平方米. ---------------------14分 18.（1）由P 在圆222:O x y b +=上得3,b =又点Q 在椭圆C 上得2222(4)(1)1,3a --+= 解得218,a = ∴椭圆C 的方程是221.189x y += --------------------------------------5分 （2）由222y kx b x y b =+⎧⎨+=⎩得0x =或221P kbx k =-+ --------------------------------------7分 由22221y kx bx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得0x =或22222Q kba x a k b =-+ --------------------------------------9分 AP PQ λ= ，3λ=，34AP AQ ∴=，2222223241kba kb k a b k ∴⋅=++即222223141a a k b k⋅=++ 222223441a b k e a -∴==- 20k >241e ∴>，即12e >，又01e <<,11.2e ∴<< ----16分19. （1）因为2,n A n =，所以221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩ 即21n a n =- --------------------------------------2分故111()12n n n n b b a a ++-=-=，所以数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以21132(1)1222n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+ --------------------------------------4分（2）依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，即12n nbb +=，所以数列{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，所以1112(21)12nn n n a B b b -==⨯=--，所以11112(21)(21)nn n n n n b a a b +++=-⋅- --------------------------5分因为111111112111()(21)(21)2121n n n n n n n n b b a a b b b ++++⋅==--⋅--- --------------------------8分所以31241112233411111()2121n n n n b b b b a a a a a a a a b +++++++=---，所以1111111()21213n b +-<--恒成立， 即1113(1)21n b +>--，所以13b ≥。
江苏省扬州市-2016学年高一上学期期末考试数学试卷
④为了得到函数 y
单位长度 .
sin( 2x
)的图象，只需把函数
3
y sin 2x 的图象向右平移 个 6
13．若函数 f ( x) log a ( x2 ax 1)(a 0 且 a 1) 有最大值，则实数 a 的取值范围
是▲．
14．已知 f (x)
x2, x 0 ，若对任意的 x 1有 f (x 2m) mf (x) 0 恒成立，则实数 m
19．（本小题 16 分）
扬州瘦西湖隧道长 3600米，设汽车通过隧道的速度为
x 米 /秒 (0 x 17) ．根据安全和车
流的需要，当 0 x 6 时，相邻两车之间的安全距离 d 为 (x b) 米；当 6 x 17 时，相
邻两车之间的安全距离 d 为 ( a x2 x 2) 米（其中 a,b 是常数）．当 x 6 时， d 10 ，当 63
．
⑴若 a // b ，求 sin cos 的值；
⑵若 | a | | b |，求 的值．
18．（本小题 15 分）
已知函数 f ( x) A sin( x )( A 0, 3
⑴求 A 和 的值；
0) 的部分图象如图所示．
⑵求函数 y f x 在 [ 0, ] 的单调增区间；
⑶若函数 g (x) f ( x) 1在区间 (a,b) 上恰有 10个零点，求 b a 的最大值．
s
当 1 a 0 即 a 1时 r ( s) 在区间 [ 3, 1] 单调递增
1
84
1
3
所以 r ( 1) r ( 3) a ，即 2 ( a ) a ，所以 a (舍 )
3
33
3
5
当 a 1 时， r (s) s 1，不符合题意
江苏省扬州市2016-2017学年高一下学期期末调研数学试卷(含答案和详解)
扬州市2016—2017学年度第二学期期末检测试题高 一 数 学（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．22cos 15sin 15︒-︒= ． 2．不等式2230x x --<的解为 ．3．ABC ∆中，3,4,60AB BC B ===︒，则AC = ．4． 已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为 ．5．已知(,0)2x π∈-，3cos 5x =，则tan 2x = ． 6． 设变量,x y 满足约束条件212x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-+的最小值为 ． 7．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =， 352a a +=-，则使得n S 取最大值时的正整数n = ．8．已知α，β，γ是三个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m α⊥，m β⊂，那么αβ⊥； ②如果m n ⊥，m α⊥，那么//n α； ③如果αβ⊥，//m α，那么m β⊥；④如果//αβ，m αγ= ，n βγ= ，那么//m n ．其中正确的命题有 ．（写出所有正确命题的序号） 9．已知02πθ≤≤且1sin()63πθ-=，则cos θ= ．10．若数列1{}(1)n n +的前n 项和为n S ，若134n n S S +⋅=，则正整数n 的值为 ． 11．已知正数,a b满足14a b +=ab 的最小值为 ▲ ．12．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得60NAM ∠=︒，∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°；已知山高BC ＝300米，则山高MN ＝ 米． 13．在数列{}n a 中，21123+222(221)n n n n a a a a n t -+++=⋅-+ 对任意*n ∈N 成立，其中常数0t >．若关于n的不等式*{|4,}n n n ≥∈N ，则实数m 的取值范围是 ．14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．，4ab =，的最小值是 ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知：sin()2sin()044ππαα++-=．（1）求tan α的值；（2）若1tan()43πβ-=，求tan()αβ+的值．16．（本题满分14分）已知：三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD ⊥，E ，F 分别为BD ，AD 的中点．（1）求证：//EF 平面ABC ；（2）若CB CD =，求证：AD ⊥平面CEF ．CBNM（第12题）FEDCBA17．（本题满分14分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且235a a a =，4210S S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本题满分16分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos cos b c Ca A -=． （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆的面积ABC S ∆=b c +的值；（3）若函数()2sin cos()6f x x x π=+，求()f B 的取值范围．19．（本题满分16分）水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放a （14a ≤≤且a R ∈）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效． （1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放b 个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b 的最小值．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：对于任意*n N ∈且2n ≥时，121n n a a n λ-+=+，14a =．（1）若13λ=-，求证：{3}n a n -为等比数列；（2）若1λ=-．① 求数列{}n a 的通项公式；② 是否存在*k ∈N 25为数列{}n a 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．扬州市2016—2017学年度第二学期期末检测试题高一数学参考答案2017．61．2．(1,3)-34．16π5．2476．4-7．3 8．①④ 910．611．4 12．450 131415．解：（1）sin()2sin()044ππαα++-=i n c o s2(s i n c o s)02222αααα++-=，∴1tan3α=............6分（2）∵1tan()43πβ-=∴1tan11tan3ββ-=+，解得：1tan2β=...........10分∴11tan tan32tan()1111tan tan132αβαβαβ+++===--⨯............14分16．证：（1）∵E，F分别为BD，AD的中点∴//EF AB∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC∴//EF平面ABC............6分（2）∵CB CD=，E为BD的中点∴CE BD⊥∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD 平面BCD BD=，CE⊂平面BCD∴CE⊥平面ABD............9分∵AD⊂平面ABD∴CE AD⊥∵//EF AB，AB AD⊥∴AD EF⊥............11分∵CE⊂平面CEF，EF⊂平面CEF，CE EF E=∴AD⊥平面CEF．............14分FEDCBA17．解：（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则41214,2S a S a ==，不符合题意；............2分则1q ≠ ∴421114211(1)(1)1011a q a q a q a q a q q q ⎧=⋅⎪⎨--=⋅⎪--⎩ ，0n a >解得：13a q == ............5分∴1333n n n a -=⨯= ............7分 （2）23133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ①234+13133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ② ...........9分①-②得：23113332132(333)(21)323(21)313n nn n n T n n ++-⨯-=⨯++++--⨯=⨯---⨯-1(22)36n n +=--⨯- ...........13分 ∴1(1)33n n T n +=-⨯+ ...........14分18．解：（1）根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：2sin sin cos sin cos B C CA A-=2sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B ∴=+= ∵(0,)B π∈ ∴sin 0B >∴1cos 2A = ∵(0,)2A π∈ ∴3A π= ...........4分 （2）∵11sin 22ABC S bc A bc ∆=== ∴12bc = ...........6分∵222222cos 13a b c bc A b c bc =+-=+-= 222()31331249b c b c b c b c ∴+=+-+=+⨯= ∵0b c +> ∴7b c += ...........9分 （3）()2sin cos()2sin (cos cos sin sin )666f x x x x x x πππ=+=-112(1cos 2)sin(2)262x x x π=--=+- ∴1()sin(2)62f B B π=+- ...........12分 ∵ABC ∆为锐角三角形 ∴0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，又23C B π=- ∴62B ππ<< ...........14分∴72266B πππ<+<∴1sin(2)126B π-<+< ∴()f B 的取值范围为1(1,)2-．...........16分19．（1）∵营养液有效则需满足4y ≥，则或254(5)4x x <≤⎧⎨-≥⎩，解得04x ≤≤， 所以营养液有效时间可达4天． ...........6分 （2）设第二次投放营养液的持续时间为x 天，则此时第一次投放营养液的持续时间为(3)x +天，且02x ≤≤；设1y 为第一次投放营养液的浓度，2y 为第二次投放营养液的浓度，y 为水中的营养液的浓度；∴12[5(3)]42y x x =-+=-，244xy b x +=⋅-，124(42)44xy y y x b x +=+=-+⋅≥-在[0,2]上恒成立 ..........10分∴424xb x x -≥⋅+在[0,2]上恒成立令4,[4,6]t x t =+∈，322()24b t t ≥-++， ..........13分所以b答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b..........16分20．（1）当13λ=-时，1121(2,*)3n n a a n n n N -=++≥∈且131a -=∴1111111213(33)31333(1)33333n n n n n n a n n a n a n a n a n a n -----++--+-===---+-+为常数 ∴{3}n a n -为等比数列 ........3分 （2）①当1λ=-时，121(2,*)n n a a n n n N --=+≥∈ ∴1221n n a a n ---=-2323n n a a n ---=-…………215a a -=∴21(1)(215)(21)(21)5232n n n a a n n n n -++-=++-++==+- (2,*)n n N ≥∈∵14a = ∴2221(1)(2,*)n a n n n n n N =++=+≥∈又14a =满足上式，所以2(1)(*)n a n n N =+∈． ............8分② 假设存在满足条件的k 25m a +=， ∴2(21)(22)25(1)k k m +++=+ （*）∴222(21)(21)(22)(1)25(22)k k k m k +<++=+-<+ ............10分∴2222(1)(21)25(1)(22)25m k m k ⎧+-+>⎨+-+<⎩即(22)(2)25(1)(23)(21)25(2)m k m k m k m k ++->⎧⎨++--<⎩ 由（1）得20m k ->且,*m k N ∈ ∴21m k -≥ ∴210m k --≥ 若210m k --=，代入（*），解得：232k =（舍） ............13分 ∴210m k -->即211m k --≥ ∴2325m k ++< ∴22222k m k +≤<- ∴22222k k +<- ∴5k < ∵*k N ∈ ∴k 可取1,2,3,4 代入（*）检验，解得：3,8k m ==∴存在3k =满足题意． ............16分。
【全国市级联考】江苏省扬州市2016-2017学年高一下学期期末调研数学试题
绝密★启用前【全国市级联考】江苏省扬州市2016-2017学年高一下学期期末调研数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：57分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、在中，角的对边分别为．若，，则的最小值是______________2、在数列中，对任意成立，其中常数．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______________3、如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得，∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°；已知山高BC＝300米，则山高MN＝__________米4、已知正数满足，则的最小值为______________5、若数列的前项和为，若，则正整数的值为_____________6、已知且，则______________7、已知，，是三个平面，，是两条直线，有下列四个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，，那么．其中正确的命题有______________（写出所有正确命题的序号）8、若等差数列的前项和为，，，则使得取最大值时的正整数______________9、已知，，则______________10、已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为_____________11、中，，则______________12、不等式的解为_____________13、______________二、解答题（题型注释）14、已知数列满足：对于任意且时，，．（1）若，求证：为等比数列；（2）若．①求数列的通项公式；②是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．15、水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放（且）个单位的营养液，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．（1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值．16、在锐角中，角的对边分别为，满足．（1）求角的大小；（2）若，的面积，求的值；（3）若函数，求的取值范围．17、已知正项等比数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18、已知：三棱锥中，平面平面，，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）若，求证：平面．19、已知：．（1）求的值；（2）若，求的值．参考答案1、2、3、4504、45、66、7、①④8、39、10、11、12、13、14、（1）详见解析；（2）①，②.15、（1）；（2）.16、（1）；（2）；（3）.17、（1）；（2）.18、（1）详见解析；（2）详见解析.19、（1）；（2）.【解析】1、由余弦定理，即，则：由均值不等式的结论可得：，则的最小值是 .2、由递推关系可得：两式作差可得： ,则：，递推公式中令可得：，则不等式变形为：，则：对于恒成立，据此可得实数的取值范围是.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.3、在RT△ABC中,∠CAB=45°,BC=300m,所以AC= m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°，由正弦定理得,,因此 m.在RT△MNA中,m,∠MAN=60°,由得 m.4、由题意可得：，即：，当且仅当时等号成立，故的最小值为4.点睛：一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.5、，则：，则：，解得： .6、，由同角三角函数基本关系可得：，则： .点睛：运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用.7、由题意可得：①由面面垂直的判断定理，如果，，那么；该说法正确；②如果，，可能；该说法错误；③如果，，可能；该说法错误；④如果，，，那么．该说法正确；综上可得：正确的命题有①④.8、由等差数列的性质可得：，数列的公差：，据此可得，数列单调递减，且：，使得取最大值时的正整数 3.9、由题意可得：，则： .点睛：熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．10、∵圆锥的母线长是5，侧面积是20π，设圆锥的半径为r，∴有，∴圆锥的高为，∴圆锥的体积为 .11、由余弦定理可得：.12、不等式即：，据此可得不等式的解集为： .13、由二倍角公式可得： .14、试题分析：(1)由等比数列的定义可证得为常数，则为等比数列；(2)由题意累加可得(3)假设存在实数k，得到关于k的不等式组，求解不等式组可得存在满足题意. 试题解析：（1）当时，且∴为常数∴为等比数列（2）①当时，∴…………∴∵∴又满足上式，所以．②假设存在满足条件的，不妨设，∴（*）∴∴即由（1）得且∴∴若，代入（*），解得：（舍）∴即∴∴∴∴∵∴可取代入（*）检验，解得：∴存在满足题意．15、试题分析：(1)由题意得到关于x的不等式，求解不等式可知营养液有效时间可达4天．(2)利用题意结合对勾函数的性质可得的最小值为.试题解析：（1）∵营养液有效则需满足，则或，解得，所以营养液有效时间可达4天．（2）设第二次投放营养液的持续时间为天，则此时第一次投放营养液的持续时间为天，且；设为第一次投放营养液的浓度，为第二次投放营养液的浓度，为水中的营养液的浓度；∴，，在上恒成立∴在上恒成立令，，又，当且仅当，即时，取等号；所以的最小值为．答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，的最小值为．16、试题分析：(1)由题意结合正弦定理可得；(2)由题意得到关于b+c的方程，解方程可得的值为7；(3)化简三角函数式，结合角的范围可得的取值范围是.试题解析：（1）根据正弦定理得：∵∴∴∵∴（2）∵∴∵∵∴（3）∴∵为锐角三角形∴，又∴∴∴∴的取值范围为 . 17、试题分析：(1)由题意求得首项和公比，则数列的通项公式为；(2)结合(1)的结果错位相减可得.试题解析：（1）设正项等比数列的公比为，若，则，不符合题意；则∴，解得：∴（2）①②①②得：∴点睛：一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．18、试题分析：(1)利用题意证得，由线面平行的结论有平面；(2)利用题意可得：，，结合线面垂直的结论则有平面．试题解析：（1）∵，分别为，的中点∴∵平面，平面∴平面（2）∵，为的中点∴∵平面平面，平面平面，平面∴平面平面∴∵，∴∵平面，平面，∴平面．点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”19、试题分析：(1)利用题意结合同角三角函数基本关系可得的值为；(2)利用题意首先求得，则.试题解析：（1），∴（2）∵∴，解得：。
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扬州市2015—2016学年度第一学期期末调研测试试题高 一 数 学2016．1（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合}1,0{=A ，}1,1{-=B ，则A B =U ▲ ． 2．幂函数)(x f 的图象过点)2,4(，则(2)f = ▲ ． 3．函数()tan(2)4f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．4．已知扇形的圆心角为3π，半径为2，则该扇形的面积为_____▲____． 5．已知点P 在线段AB 上，且||4||AB AP =u u u r u u u r，设AP PB λ=u u u r u u u r ，则实数λ= ▲ ．6．函数1)(-=x xx f 的定义域为 ▲ ． 7．求值：2(lg 5)lg 2lg 50+⨯= ▲ ． 8．角α的终边经过点),3(y P -，且54sin =α，则y = ▲ ． 9．方程121124x x -+=+的解为x = ▲ ．10．若||1,||a b ==r r()a a b ⊥-rr r ，则向量a r 与b r 的夹角为 ▲ ．11．若关于x 的方程0sin cos 2=+-a x x 在],0[π内有解，则实数a 的取值范围 是 ▲ ．12．下列说法中，所有正确说法的序号是 ▲ ．①终边落在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈； ②函数)4cos(2π-=x y 图象的一个对称中心是)0,43(π； ③函数tan y x =在第一象限是增函数；④为了得到函数-=x y 2sin(3π)的图象，只需把函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度.13．若函数2()log (1)(0a f x x ax a =-+->且1)a ≠有最大值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知22,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若对任意的1x ≥有(2)()0f x m mf x ++>恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题14分）已知集合{|11}A x a x a =-<<+，{|03}B x x =<<． ⑴若0=a ，求A B I ；⑵若B A ⊆，求实数a 的取值范围．16．（本小题14分）如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上．⑴若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，求λμ+的值；⑵若3,2AB BC ==，当1AE BF ⋅=u u u r u u u r时，求DF 的长．17．（本小题15分）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2)a b θθθ=-=r r，其中πθ<<0．⑴若a r //b r，求θθcos sin ⋅的值；⑵若||||b a =，求θ的值．18．（本小题15分） 已知函数)0,0)(3sin()(>>+=ωπωA x A x f 的部分图象如图所示．⑴求A 和ω的值；⑵求函数()y f x =在],0[π的单调增区间；⑶若函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求a b -的最大值．19．（本小题16分）扬州瘦西湖隧道长3600米，设汽车通过隧道的速度为x 米/秒(017)x <<．根据安全和车流的需要，当06x <≤时，相邻两车之间的安全距离d 为()x b +米；当617x <<时，相邻两车之间的安全距离d 为2(2)63a xx ++米（其中,a b 是常数）．当6x =时，10d =，当16x =时，50d =．⑴求,a b 的值；⑵一列由13辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为6米，其余汽车车身长为5米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第13辆汽车车尾离开隧道所用的时间为y 秒． ①将y 表示为x 的函数；②要使车队通过隧道的时间y 不超过280秒，求汽车速度x 的范围．20．（本小题16分）已知2()x f e ax x =-，a R ∈． ⑴求()f x 的解析式；⑵求(0,1]x ∈时，()f x 的值域；⑶设0a >，若()[()1]log x h x f x a e =+-⋅对任意的3112,[,]x x e e --∈，总有121()()3h x h x a -≤+恒成立，求实数a 的取值范围.2015—2016学年度第一学期高一数学期末试卷参 考 答 案2016．1一、填空题1. {1,0,1}- 2 3. 2π 4.23π 5. 13 6. {|0x x ≥且1}x ≠7. 1 8. 4 9. 2-10.4π11. [1,1]- 12. ②④ 13. (2,)+∞ 14. 1(,)4-+∞二、解答题15⑴若0=a ，则}11|{<<-=x x A ，A ∩B }10|{<<=x x ……7分⑵1013a a -≥⎧⎨+≤⎩，则12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤ ……14分16⑴EF EC CF =+u u u r u u u r u u u r，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，所以1123EF BC CD =+u u u r u u u r u u u r ，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1132EF AB AD =-+u u u r u u ur u u u r ，即11,32λμ=-=，则111326λμ+=-+=； ……7分⑵设m =)0(>m ，则m )1(-=，(1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又0AB AD ⋅=u u u r u u u r，22(1)2m AB AD =-+=3(1)21m -+=，所以DF 的长为． ……14分注：也可以建立平面直角坐标系，表示出与的坐标，阅卷根据情况酌情给分.17⑴因为//a b r r，所以2sin cos 2sin θθθ=- ……3分显然cos 0θ≠，所以1tan 4θ=． ……5分 所以θθcos sin ⋅=θθθθ22cos sin cos sin +⋅1tan tan 2+=θθ174= ……8分⑵因为||||a b =r r=……11分所以0cos sin cos 2=+θθθ，0cos =θ或θθcos sin -=． 又πθ<<0，所以2πθ=或34πθ=． ……15分18⑴2,A =ωπππ421234=-=T ，2=ω 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……4分 ⑵令πππππk x k 223222+≤+≤+-，Z k ∈得ππππk x k +≤≤+-12125 ……7分又因为∈x ],0[π，所以函数()y f x =在],0[π的单调增区间为]12,0[π和],127[ππ……9分 注：区间端点可开可闭，都不扣分． ⑶()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 得512x k ππ=+或3()4x k k Z ππ=+∈ ……11分 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， ……13分 所以a b -最大值为217533T ππ+=． ……15分19⑴当6x =时，610d x b b =+=+=，则4b =，当16x =时，22162162506363a x a d x =++=⨯++=，则1a =； 所以1,4a b ==． ……4分⑵①当06x <≤时，651212(4)3600371412x xy x x +⨯++++==， 当617x <<时，221651212(2)360024369063xx x x y x x+⨯++++++==所以2371412,06243690,617xx xy x x x x +⎧<≤⎪⎪=⎨++⎪<<⎪⎩……10分②当06x <≤时，min 37141262806y +⨯=>，不符合题意，当617x <<时，2243690280x x y x++=≤ 解得15123x ≤<，所以1517x ≤< ……16分 答⑴1,4a b ==．⑵①2371412,06243690,617xx xy x x x x +⎧<≤⎪⎪=⎨++⎪<<⎪⎩②汽车速度x 的范围为1517x ≤<．注：不答扣一分20⑴设xe t =，则ln 0x t =>，所以2()(ln )ln f t a t t =-所以2()(ln )ln (0)f x a x x x =->； ……3分 ⑵设ln (0)x m m =≤，则2()()f x g m am m ==-当0a =时，()()f x g m m ==-，()g m 的值域为[0,)+∞ 当0a ≠时，2211()()()(0)24f x g m am m a m m a a==-=--≤ 若0a >，102a >，()g m 的值域为[0,)+∞ 若0a <，102a <，()g m 在1(,]2a -∞上单调递增，在1[,0]2a上单调递减， ()g m 的值域为1(,]4a-∞- ……7分综上，当0a ≥时()f x 的值域为[0,)+∞当0a <时()f x 的值域为1(,]4a-∞-； ……8分⑶因为(1)()ln 1ln a h x a x x -=-+对任意3112,[,]x x e e --∈总有121()()3h x h x a -≤+ 所以()h x 在31[,]e e --满足max min 1()()3h x h x a -≤+ ……10分设ln ([3,1])x s s =∈--，则1()()1ah x r s as s-==+-，[3,1]s ∈--当10a -<即1a >时()r s 在区间[3,1]--单调递增所以1(1)(3)3r r a ---≤+，即8412()333a a ----≤+，所以35a ≤(舍)当1a =时，()1r s s =-，不符合题意 ……12分 当01a <<时，1≤即112a ≤<时，()r s 在区间[3,1]--单调递增所以1(1)(3)3r r a ---≤+，则1325a ≤≤若13<<即11102a <<时()r s在[3,-递增，在[1]-递减所以1((3)31((1)3r r a r r a ⎧--≤+⎪⎪⎨⎪--≤+⎪⎩，得11102a <<3≥即1010a <≤时()r s 在区间[3,1]--单调递减所以1(3)(1)3r r a ---≤+，即8412333a a --+≤+，得111110a ≤< ……15分综上所述：13115a ≤≤. ……16分。
2016-2017年江苏省扬州市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）计算：cos215°﹣sin215°＝．2．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是．3．（5分）△ABC中，AB＝3，BC＝4，B＝60°，则AC＝．4．（5分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为．5．（5分）已知x∈（﹣，0），cos x＝，则tan2x＝．6．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最小值为．7．（5分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝3，a3+a5＝﹣2，则使得S n取最大值时的正整数n＝．8．（5分）已知α，β，γ是三个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥α，m⊂β，那么α⊥β；②如果m⊥n，m⊥α，那么n∥α；③如果α⊥β，m∥α，那么m⊥β；④如果α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，那么m∥n．其中正确的命题有．（写出所有正确命题的序号）9．（5分）已知0≤θ≤且sin（θ﹣）＝，则cosθ＝．10．（5分）若数列{}的前n项和为S n，若S n•S n+1＝，则正整数n的值为．11．（5分）已知正数a，b满足+＝，则ab的最小值为．12．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得∠NAM＝60°，∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°；已知山高BC＝300米，则山高MN＝米．13．（5分）在数列{a n}中，a1+2a2++22a3+…2n﹣1a n＝（n•2n﹣2n+1）t对任意n∈N*成立，其中常数t＞0．若关于n的不等式+++…+＞的解集为{n|n≥4，n∈N*}，则实数m的取值范围是．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2+4＝c2，ab＝4，则的最小值是．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知：sin（α+）+2sin（α﹣）＝0．（1）求tanα的值；（2）若tan（﹣β）＝，求tan（α+β）的值．16．（14分）已知：三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB⊥AD，E，F分别为BD，AD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）若CB＝CD，求证：AD⊥平面CEF．17．（14分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a2a3＝a5，S4＝10S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（16分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足＝．（1）求角A的大小；（2）若a＝，△ABC的面积S△ABC＝3，求b+c的值，；（3）若函数f（x）＝2sin x cos（x+），求f（B）的取值范围．19．（16分）水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y＝af（x），其中f（x）＝，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．（1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放b个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值．20．（16分）已知数列{a n}满足：对于任意n∈N*且n≥2时，a n+λa n﹣1＝2n+1，a1＝4．（1）若，求证：{a n﹣3n}为等比数列；（2）若λ＝﹣1．①求数列{a n}的通项公式；②是否存在k∈N*，使得+25为数列{a n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）计算：cos215°﹣sin215°＝．【考点】GS：二倍角的三角函数．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，cos215°﹣sin215°＝cos30°＝．故答案为：．2．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（﹣1，3）．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0，因式分解得：（x﹣3）（x+1）＜0，可得：或，解得：﹣1＜x＜3，则原不等式的解集为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）3．（5分）△ABC中，AB＝3，BC＝4，B＝60°，则AC＝．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，B＝60°，∴由余弦定理可得：AC＝＝＝．故答案为：．4．（5分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为16π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则S侧＝πr×5＝20π，∴r＝4，∴圆锥的高h＝＝3，∴圆锥的体积V＝＝＝16π．故答案为：16π．5．（5分）已知x∈（﹣，0），cos x＝，则tan2x＝．【考点】GS：二倍角的三角函数．【解答】解：∵x∈（﹣，0），cos x＝，∴sin x＝＝﹣，∴tan x＝＝﹣，则tan2x＝＝＝，故答案为：．6．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣4．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由约束条件作出可行域如图所示，，联立方程组，解得B（3，2），化目标函数z＝﹣2x+y为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z＝﹣2×3+2＝﹣4．故答案为：﹣4．7．（5分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝3，a3+a5＝﹣2，则使得S n取最大值时的正整数n＝3．【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2＝3，a3+a5＝﹣2，∴a1+d＝3，2a1+6d＝﹣2，解得a1＝5，d＝﹣2．∴a n＝5﹣2（n﹣1）＝7﹣2n，令a n＝7﹣2n＞0，解得n，因此n＝3时，使得S n取最大值．故答案为：3．8．（5分）已知α，β，γ是三个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥α，m⊂β，那么α⊥β；②如果m⊥n，m⊥α，那么n∥α；③如果α⊥β，m∥α，那么m⊥β；④如果α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，那么m∥n．其中正确的命题有①④．（写出所有正确命题的序号）【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：对于①，由面面垂直的判定定理可知①正确；对于②，若n⊂α，显然结论不成立，故②错误；对于③，若m⊂β，显然结论不成立，故③错误；对于④，由面面平行的性质定理可知④正确；故答案为：①④．9．（5分）已知0≤θ≤且sin（θ﹣）＝，则cosθ＝．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：∵已知0≤θ≤且sin（θ﹣）＝，∴θ﹣为锐角，∴cos（θ﹣）＝＝，故cosθ＝cos[（θ﹣）+]＝cos（θ﹣）cos﹣sin（θ﹣）sin＝﹣＝，故答案为：．10．（5分）若数列{}的前n项和为S n，若S n•S n+1＝，则正整数n的值为6．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：＝﹣，前n项和为S n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，S n•S n+1＝，即为•＝，解得n＝6．故答案为：6．11．（5分）已知正数a，b满足+＝，则ab的最小值为4．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：∵正数a，b满足+＝，∴≥2，当且仅当＝时即a＝1，b＝4时“＝”成立，∴≥，即ab≥4，故答案为：4．12．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得∠NAM＝60°，∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°；已知山高BC＝300米，则山高MN＝450米．【考点】HU：解三角形．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝300，∠CAB＝45°，∴AC＝300，在△AMC中，∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，由正弦定理得：，∴AM＝＝＝300，∴MN＝AM•sin∠MAN＝300＝450．故答案为：450．13．（5分）在数列{a n}中，a1+2a2++22a3+…2n﹣1a n＝（n•2n﹣2n+1）t对任意n∈N*成立，其中常数t＞0．若关于n的不等式+++…+＞的解集为{n|n≥4，n∈N*}，则实数m的取值范围是[，）．【考点】8K：数列与不等式的综合．【解答】解：当n≥2时，a1+2a2++22a3+…2n﹣1a n＝（n•2n﹣2n+1）t…①得a1+2a2++22a3+…2n﹣2a n﹣1＝[（n﹣1）•2n﹣1﹣2n﹣1+1）t…②将①，②两式相减，得2n﹣1a n＝（n•2n﹣2n+1）t﹣[（n﹣1）•2n﹣1﹣2n﹣1+1]t，化简，得a n＝nt，其中n≥2．…（5分）因为a1＝t，所以a n＝nt，其中n∈N*．∴．∴+++…+＝＝又∵，则关于n的不等式+++…+＞化简为．当t＞0时，考察不等式为．的解，由题意，知不等式1﹣＞m的解集为{n|n≥4，n∈N*}，因为函数y＝1﹣在R上单调递增，所以只要求1﹣且1﹣≤m即可，∴．所以，实数m的取值范围是[）．故答案为：[）．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2+4＝c2，ab＝4，则的最小值是+2．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵a2+b2+4＝c2，ab＝4，∴cos C＝＝＝﹣，∵C∈（0，π），∴C＝，B＝﹣A，∵tan2A cos2A＝3﹣（2cos2A+）≤3﹣2，∴＝≥＝+2，则的最小值是+2，当且仅当2cos2A＝，故答案为：+2．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知：sin（α+）+2sin（α﹣）＝0．（1）求tanα的值；（2）若tan（﹣β）＝，求tan（α+β）的值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：（1）sin（α+）+2sin（α﹣）＝0．展开整理得，，所以tanα＝；（2）由（1）得到tan（）＝＝2，又tan（﹣β）＝，所以tan（α+β）＝tan[（α+）﹣（﹣β）]＝＝＝1．16．（14分）已知：三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB⊥AD，E，F分别为BD，AD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）若CB＝CD，求证：AD⊥平面CEF．【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】证：（1）∵E，F分别为BD，AD的中点∴EF∥AB∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC∴EF∥平面ABC（2）∵CB＝CD，E为BD的中点∴CE⊥DB∵平面ADB⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CE⊂平面BCD，∴CE⊥平面ABD∵AD⊂平面ABD，∴CE⊥AD∵EF∥AB，AB⊥AD∴AD⊥EF…（11分）∵CE⊂平面CEF，EF⊂平面CEF，CE∩EF＝E∴AD⊥平面CEF．17．（14分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a2a3＝a5，S4＝10S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：（1）正项等比数列{a n}的公比设为q，由a2a3＝a5，S4＝10S2，可得a12q3＝a1q4，a1（1+q+q2+q3）＝10a1（1+q），解得a1＝q＝3，（q＝1舍去），则a n＝a1q n﹣1＝3n；（2）b n＝（2n﹣1）a n＝（2n﹣1）•3n，前n项和T n＝1•3+3•32+…+（2n﹣1）•3n，3T n＝1•32+3•33+…+（2n﹣1）•3n+1，相减可得﹣2T n＝1•3+2•（32+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1＝3+2•﹣（2n﹣1）•3n+1，化简可得T n＝3+（n﹣1）•3n+1．18．（16分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足＝．（1）求角A的大小；（2）若a＝，△ABC的面积S△ABC＝3，求b+c的值，；（3）若函数f（x）＝2sin x cos（x+），求f（B）的取值范围．【考点】HT：三角形中的几何计算．【解答】解：（1）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足＝，∴＝，整理，得bc＝b2+c2﹣a2，∴cos A＝＝＝，∴A＝．（2）∵a＝，△ABC的面积S△ABC＝3，A＝，∴S△ABC＝＝3，解得bc＝12，cos A＝＝＝，解得b2+c2＝25，∴（b+c）2＝b2+c2+2bc＝25+24＝49，∴b+c＝7．（3）∵f（x）＝2sin x cos（x+）＝2sin x（cos x cos﹣sin x sin）＝sin x cos x﹣sin2x＝sin2x﹣＝sin2x+cos2x﹣＝cos sin2x+sin cos2x﹣＝sin（2x+）﹣，∴锐角△ABC中，B∈（，），∴2B+∈（，），f（B）＝sin（2B+）﹣，当2B+＝时，f（B）max＝1﹣＝，当2B+＝时，f（B）min＝﹣﹣＝﹣1．∴f（B）的取值范围是（﹣1，]．19．（16分）水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y ＝af（x），其中f（x）＝，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．（1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放b个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：（1）营养液有效则需满足y≥4，则或，即为0≤x≤2或2＜x≤4，解得0≤x≤4，所以营养液有效时间可达4天；（2）设第二次投放营养液的持续时间为x天，则此时第一次投放营养液的持续时间为（x+3）天，且0≤x≤2；设y1为第一次投放营养液的浓度，y2为第二次投放营养液的浓度，y为水中的营养液的浓度；∴y1＝2[5﹣（x+3）]＝4﹣2x，y2＝b•，y＝y1+y2＝4﹣2x+b•≥4在[0，2]上恒成立，∴b≥2x•在[0，2]上恒成立令t＝4+x，t∈[4，6]，则b≥﹣2（t+）+24，又﹣2（t+）+24≤24﹣2•2＝24﹣16，当且仅当t＝，即t＝4时，取等号；所以b的最小值为24﹣16．答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b的最小值为24﹣16．20．（16分）已知数列{a n}满足：对于任意n∈N*且n≥2时，a n+λa n﹣1＝2n+1，a1＝4．（1）若，求证：{a n﹣3n}为等比数列；（2）若λ＝﹣1．①求数列{a n}的通项公式；②是否存在k∈N*，使得+25为数列{a n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．【考点】8H：数列递推式．【解答】（1）证明：，n≥2时，a n﹣a n﹣1＝2n+1，化为：a n﹣3n＝[a n﹣1﹣3（n ﹣1）]，∴数列{a n﹣3n}为等比数列，首项为1，公比为．（2）解：①λ＝﹣1时，n≥2时，a n﹣a n﹣1＝2n+1，a1＝4．∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝（2n+1）+（2n﹣1）+…+（2×2+1）+4＝+1＝n2+2n+1＝（n+1）2．②假设存在存在k∈N*，使得+25为数列{a n}中的第n项，则+25＝（n+1）2，则（2k+1）×（2k+2）+25＝（n+1）2，由于左边是奇数，因此n必然为偶数．又（2k+1）×（2k+2）＝（n+6）（n﹣4），∴（4k+2）×（k+1）＝（n+6）（n﹣4），因此k必然为奇数，若，解得k＝3，n＝8．只能有一解．。
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扬州市2016—2017学年度第一学期期末调研测试试题
高 一 数 学
2017．1
（满分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．4tan 3
π= ▲ ． 2．计算：2lg 2lg 25+= ▲ ．
3．若幂函数()f x x α=的图象过点(4,2)，则(9)f = ▲ ．
4．已知角α的终边经过点(2,)(0)P m m >，且cos α=，则m = ▲ ． 5．在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将一根确定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ ．
6．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4 cm ，则该扇形面积为 ▲ cm 2
．
7．若3a b +=，则代数式339a b ab ++的值为 ▲ ．
8．已知0.6log 5a =，452b =，sin1c =，将,,a b c 按从小到大的顺序用不等号“<”连接为
▲ ． 9．将正弦曲线sin y x =上所有的点向右平移23
π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的13
倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式y = ▲ ． 10．已知函数()f x 为偶函数，且(2)()f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，1()()2x f x =，则7()2
f = ▲ ．
11．已知21()ax x f x x
++=在[2,)+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
12．如图所示，在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E
E F D C B A
（第12题）
是边CD 的中点，13
DF DA =，若4AE BF ⋅=-，则sin BAD ∠= ▲ ． 13．已知12(1)()32(1)
x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩，若对任意[0,]2πθ∈，不等式211(cos sin )032f θλθ+-+>恒成立，整数λ的最小值为 ▲ ．
14．已知函数1()ln()f x a x
=-（a R ∈）．若关于x 的方程ln[(4)25]()0a x a f x -+--=的解集中恰好有一个元素，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
已知全集U R =，集合{|27}A x x =≤<，3{|0log 2}B x x =<<，{|1}C x a x a =<<+．
（1）求A B ，()U C A B ；
（2）如果A C =∅，求实数a 的取值范围．
16．（本题满分14分）
已知：θ为第一象限角，(sin(),1)a θπ=-，1(sin(),)22
b πθ=--． （1）若//a b ，求sin 3cos sin cos θθθθ
+-的值； （2）若||1a b +=，求sin cos θθ+的值．。