函数的定义域求法

高中数学

函数的定义域求法

四川省万源市第三中学校赵宾竹

函数—中学数学的灵魂，它在整个高中，对数学的学习与理解起着决定性的作用. 函数的定义域是构成的三大要素之一，看似简单，但在解决问题中稍不注意，就会使学生误入歧途. 在高中数学学习中，我们尤其要注重函数的学习. 笔者现将函数定义域的求法作简单说明.

函数的形式多样，有已知解析式的基本初等函数，还有复合函数、分段函数. 我们通过举例来浅析函数定义域的求法.

1常规型函数的定义域

例1求函数

f (x ) =l

g x 2-2x 的定义域．

2??x >2或x 0解：要使函数有意义，只需要：?，即，故定义域是?2??-30

(-3, 0) (2, 3) .

说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零；若有偶次根式则被开方数大于或等于零；若有对数式，则真数大于零，底数大于零且不等于1. 求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集.

2 抽象型函数的定义域

对于复合函数y =f (g (x ))、令t =g (x )、y =f (t )，分清内外函数与复合函数的关系是关键，只有这样才能很好地解决复合函数问题. 若内函数的值域是外函数的定义域，则内函数的定义域为复合函数的定义域，外函数的值域为复合函数的值域. 复合函数由内外函数共同决定.

例2 ：已知函数f (x )的定义域为[-2,4]，求f (x 2-3x )的定义域. 解：由题意可知-2≤x 2-3x ≤4，则-1≤x ≤1或2≤x ≤4,

故函数的定义域为[-1, 1] [2, 4].

说明：本题实质上是求复合函数的定义域，我们把y =f (x 2-3x )看成是由y =f

(u )、u =x 2-3x 两个函数复合而成的，因为-2≤u ≤4，则-2≤x 2-3x ≤4，进而求出x 的范围. 另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同

号，取倒数后不等式的方向改变，这里也是学生运算时常常容易发生错误的地方，应

加以重视.

例3 已知f (2x +1) 的定义域为［1，2］，求f (x ) 的定义域．

解∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴3≤2x +1≤5，

即函数f (x ) 的定义域是{x 3≤x ≤5}．

说明：已知f [g (x )]的定义域是[a , b ]，求f (x ) 定义域的方法是：由a ≤x ≤b 求g (x ) 的值域，即所求f (x ) 的定义域．

3 分段函数型的定义域

例4 若对于任何实数x ，不等式x -+2x -2>a 恒成立，求实数a 的取值范围.

解:令f (x )=x -+2x -2，去绝对值号把f (x )表示成分段函数后为

?5-3x , x

?3x -5, x >2?

y =f (x )的图像，如图所示，由此可知f (x )的

最小值为1，f (x )>a 对一切实数x 恒成立，则a

说明：本题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解，则比

较繁琐，而如果注意到不等式左边是一个关于x 的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就能很快解决问题了，这种解题思想应该引起我们的注意. 另外对于函数f (x )=x -+2x -2，只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图像，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间、值域等一切问题都迎刃而解了.

4 在实际问题中，我们把实际问题转化为函数模型

例5 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域．

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个

半圆组成的图形的面积，如图：因为CD =AB =2x ，

⌒ =πx ，所以AD =(L -AB -CD ⌒ ) ÷2=(L -2x -πx ) ÷2，故所以CD

πL -2x -πx πx 2

=-(2+) x 2+Lx . y =2x ?+222

2x >0?L ?L -2x -πx 00π+2?2?

L π) . 故函数的解析式为y =-(2+) x 2+Lx ，定义域(0, π+22

说明：这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识. 要确定定义域，就是要确定实际问题中自变量应满足的范围. 这类问题需要我们在解题时足够细心，一定不能遗忘定义域的优先法则，忘记这一点，后面就会出现一连串问题，所以务必要细心，谨记定义域优先是关键．

总之，函数的定义域是高考经常考的内容，既是重点也是难点，特别是在高中引入了

函数的新的概念，让学生用集合这一概念来重新理解定义域，是比较困难的. 因此在教学

过程中应该结合学生的特点来进行．