3-1 矩阵的秩

第三章 矩阵的秩与线性方程组 本章研究线性方程组的三个基本问题：见Ｐ１１５：２－７行。

３－１ 矩阵的秩
一、矩阵的（行列式）秩
引入：［草演］ Ａ＝⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--700104210101321
⎭⎬⎫⎩⎨⎧32： |１|＝１≠０； ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧51： |０|＝０
⎭⎬⎫⎩⎨⎧4231：
0112＝－１≠０； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧4332：0
02
1-＝０；
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧421321：
010201121--＝１≠０； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧431321：0
00211131--＝０。

定义3.1［Ｐ115］ｍ×ｎ矩阵Ａ的一个ｋ阶子式［１≤ｋ≤min （ｍ，ｎ）］。

对比：Ｐ28 ｍ×ｎ矩阵的子矩阵；ｎ阶方阵Ａ的前主子矩阵。

定理：阶梯形矩阵中，非零子式的最高阶数等于它非零行个数。

例证：Ｐ115 －１２行——Ｐ116 ７行。

了解
定义3.2［Ｐ116 １２行——１４行］：
当Ａ＝０时，秩（Ａ）＝０； Ｒ（Ａ）＝０
当Ａ≠０时，秩（Ａ）＝Ａ中非零子式的最大阶数＝Ｒ（Ａ）。

定理：阶梯形矩阵Ａ的秩等于Ａ中非零行的个数。

证明：当Ａ＝０时，结论显然成立。

当Ａ≠０时，由前此定理得证。

关于矩阵秩的常用结论：
（１）任意矩阵Ａｍ×ｎ，有０≤秩（Ａ）≤ min （ｍ，ｎ）；
任意非零矩阵Ａｍ×ｎ，有１≤Ｒ（Ａ）≤min （ｍ，ｎ）。

（２）对非零矩阵Ａ，有
秩（Ａ）＝ｒ⇔Ａ中非零子式的最大阶数等于ｒ
⇔⎩⎨⎧。

）（ｒ２、Ａ；ｒ１、Ａ全为零若存在阶子式中所有高于阶子式不等于零中至少存在一个 ｒ
（Ａ）ｒ（Ａ）≤≥秩秩
⇔⎩⎨⎧。

）（ｒ＋１２、Ａ；ｒ１、Ａ全为零如果存在阶子式中所有阶子式不等于零中至少存在一个
（３）秩（ＡＴ
）＝秩（Ａ）。

作业：Ｐ144： ２。

二、矩阵的行秩、列秩、矩阵的秩
复习：求向量组秩的方法：Ｐ104例２－１３；Ｐ105例２－１４；Ｐ117 ２——６行。

例２－１３
定义：矩阵Ａ的行（列）向量组的秩叫Ａ的行（列）秩。

例２－１４
定理：任意矩阵Ａ，Ａ的秩、Ａ的行秩和Ａ的列秩三者都相等，统称为矩阵的秩。

简称：
矩阵的三秩相等。

［不证明，用结论］
推论：设Ａ为ｎ阶方阵，那么
Ａ为满秩方阵⇔Ａ的行（列）向量组线性无关；
Ａ为降秩方阵⇔Ａ的行（列）向量组线性相关。

证明：秩（Ａｍ×ｎ）＝ｎ⇔Ａ的行（列）秩＝ｎ⇔Ａ的行（列）向量组线性无关。

判断ｎ个ｎ维向量线性相关性的一种方法：［Ｐ117 －６行至－３行］
例3.1 ［Ｐ１１７］ λ取何值时，向量组α１＝（λ，１，０），α２＝（１，λ，１），
α３＝（０，１，λ）线性相关？
解：用α１，α２，α３为行（列）向量作方阵Ａ， A ＝λ
λλ10110
1＝λ３－λ－λ＝λ（λ２－２），所以
α１，α２，α３线性相关⇔A ＝０⇔λ＝０或λ＝2或λ＝－2 α１，α２，α３线性无关⇔A ≠０⇔λ≠０且λ≠2且λ≠－2。

作业：Ｐ１４４： ３，４，５
Ｐ２１８：１（１）
Ｐ２１９： ２（３）
Ｐ２６２ １
三、矩阵秩的求法
例3.2［Ｐ１１８——１１９］⎩⎨⎧看懂
解过手解：：21
例3.3［Ｐ１１９］设矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡111a a a a a a 的秩为２，求参数ａ的值。

解１的依据：３阶方阵Ａ的秩为２，必有A ＝０；但反之不然，即如果A ＝０，有秩（Ａ）
＜３，但不一定有秩（Ａ）＝２。

解１：A ＝111a a a a a
a ＝1
1111)12(a a a a a +＝a a a a a --+1000101)12(＝2)1)(12(a a -+
令A ＝０，得２
１－
a a ==或1。

当1=a 时， Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000111，秩（Ａ）＝１与秩（Ａ）＝２矛盾。

当2
1-=a 时， Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------121
212112121211，左上角的２阶子式121211--＝43≠０；而A ＝０，所以秩（Ａ）＝２。

综上所述：当且仅当21-
=a 时，秩（Ａ）＝２。

解２：Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111a a a a a a →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----221)1(0)1(101a a a a a a a a −−−→−-±≠2)11(1r a a ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+21)1(01101a a a a a a a →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++a a a a a a a 1210011012，秩（Ａ）＝２⇔⎩⎨⎧±≠=-+10212a a a ⇔21-=a 。

由第二个矩阵知：当ａ＝１时，秩（Ａ）＝１；当ａ＝－１时，秩（Ａ）＝３。

综上所述：当且仅当2
1-=a 时，秩（Ａ）＝２。

作业：Ｐ１４３： １（１）、（２）、（３）、（４）
Ｐ１４４：６
Ｐ１４６：１（１）
Ｐ２１８：１（７）
Ｐ２６２：２
四、乘满秩矩阵不改变矩阵的秩
定理：等价的矩阵有相同的秩，即：
如果Ａ−−−→−初等变换
Ｂ，那么秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。

即，初等变换不改变矩阵的秩。

证明：据Ｐ１０３定理2.7知，行（列）等价的矩阵Ａ与Ｂ，它们的行（列）向量组的
秩相同，即Ａ的行（列）秩＝Ｂ的行（列）秩，故秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。

可见只做一次初等行（或列）变换时，秩（Ａ）＝秩（Ｂ）；从而无论怎样做初等变换，总有秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。

定理3.2 设Ａ是ｍ×ｎ矩阵，ｍ阶方阵Ｐ和ｎ阶方阵Ｑ都是满秩矩阵，则有
秩（Ａ）＝秩（ＰＡ）＝秩（ＡＱ）＝秩（ＰＡＱ）；
即：用满秩矩阵乘矩阵，矩阵的秩保持不变。

证明：［Ｐ１２０ 书］对ｍ阶满秩矩阵Ｐ，存在ｍ阶初等矩阵Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｔ，
使 Ｐ＝Ｐｔ…Ｐ２Ｐ１。

所以 ＰＡ＝Ｐｔ…Ｐ２Ｐ１Ａ，即对Ａ作相应的ｔ个初等行变换得到ＰＡ，故有
秩（Ａ）＝秩（ＰＡ）。

例［Ｐ１２０ 看懂即可］验证定理3.2
作业：Ｐ１４７ ２（４）
五、思考题［Ｐ１２１］ （１）ａ、ｂ满足什么条件时，矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1010101b a 的秩为１。

解１：Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1010101b a →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-00000101b a ＝阶梯形Ｂ 秩（Ａ）＝１⇔Ｂ中只有一个非零行⇔ａ＋ｂ＝０⇔ａ＝－ｂ，ｂ为任意数。

解２（选讲）：Ａ的行向量为：α１＝（１，０，－１），α２＝（ａ，０，ｂ），α３＝
（－１，０，１）。

因为秩（Ａ）＝１，即秩｛α１，α２，α３｝＝１，于是非零向量α１＝（１，０，－１）是α１，α２，α３的一个最大无关组，从而α２＝ｋα１，即（ａ，０，ｂ）＝ｋ（１，０，－１），所以ａ＝ｋ，ｂ＝－ｋ，故ａ＝－ｂ，ｂ为任意数。

解３：因为秩（Ａ）＝１，故二阶子式b
a 11- ＝０，即ａ＋ｂ＝０，ａ＝－ｂ，ｂ
为任意数。

反之，当ａ＝－ｂ，ｂ为任意数时，显然秩（Ａ）＝１。

综上所述，有秩（Ａ）＝１⇔ａ＝－ｂ，ｂ为任意数。

（２）设Ａ为ｎ阶方阵，试回忆Ａ为非奇异方阵的充要条件都有哪些？［牢记］ 解：设Ａ为ｎ阶方阵，那么
⇔Ａ非奇异
Ａ满秩⇔R （A ）＝ｎ⇔≠A ０⇔Ａ可逆⇔Ａ−−−→−初等变换Ｅ⇔Ａ＝初等矩阵乘积 ⇔Ａ的行（列）向量组线性无关⇔Ａ的行（列）秩＝ｎ。

⇔Ａ是奇异矩阵
Ａ降秩⇔R （A ）＝ｒ＜ｎ⇔A ＝０⇔Ａ不可逆⇔Ａ不行等价于Ｅ
⇔Ａ的行（列）向量组线性相关⇔Ａ的行（列）秩＝ｒ＜ｎ。