浅谈矩阵计算
浅谈矩阵计算
浅谈矩阵计算
矩阵计算是一种常用的计算方法，它可以使我们用一种简单有效的方
式解决复杂的计算问题。
通俗来讲，矩阵计算就是通过将数字、变量和表
达式表示为矩阵，然后按照其中一种规则对这些矩阵进行运算，从而实现
计算的方法。
矩阵计算的基本概念是矩阵。
一个矩阵是一个二维数组，它由行和列
组成。
数字、变量和表达式等可以被理解为矩阵中的单元格。
矩阵也有不
同的类型，比如稠密矩阵、稀疏矩阵和顺序矩阵等。
矩阵有不同的元素，
比如行向量、列向量和对角矩阵等。
矩阵计算的基本运算有加减乘除和幂乘，这些运算都可以用矩阵形式
表示。
矩阵的乘法可以用来求解线性方程组，也可以用来求解矩阵的转置，逆矩阵等。
此外，矩阵计算还有其他一些常用的技术，比如矩阵分解和优化等。
矩阵分解是指将矩阵分解为一系列的子矩阵，从而更容易计算。
优化是指
将矩阵计算的时间和空间复杂度降低，使其更快更有效地实现。
矩阵计算属于分析性计算，它在很多领域，比如数学、物理、计算机
科学、工程、经济学等领域都有着广泛的应用。
矩阵的判定计算及应用
矩阵的判定计算及应用矩阵是数学中常见的工具，广泛应用于各个领域。
矩阵的判定计算及其应用是研究矩阵性质以及解决实际问题的关键步骤。
在本篇文章中，我们将重点介绍矩阵的判定计算方法，以及一些常见的应用。
一、矩阵的判定计算方法1.矩阵的大小：矩阵的大小由它的行数和列数决定。
一般用m行n列表示为(m,n)矩阵。
矩阵的大小决定了它的运算规则和性质。
2. 矩阵的元素：矩阵的元素是指矩阵中每个位置上的数值。
用小写字母加上两个下标表示矩阵的元素，如a_ij表示矩阵A中第i行第j列上的元素。
3.矩阵的加法：对于两个相同大小的矩阵，可以通过对应位置上的元素相加得到一个新的矩阵。
矩阵的加法满足交换律和结合律。
4.矩阵的数乘：可以将一个矩阵的每个元素乘以一个数得到一个新的矩阵。
矩阵的数乘满足分配律和结合律。
5.矩阵的乘法：对于两个矩阵A和B，当A的列数等于B的行数时，可以将A的每一行与B的每一列对应元素相乘，然后将乘积相加得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法不满足交换律，但满足结合律。
6.矩阵的转置：将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵称为矩阵的转置。
7.矩阵的逆矩阵：对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
具有逆矩阵的矩阵称为可逆矩阵。
8. 矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵的列向量（或行向量）的最大无关组的长度，记作Rank(A)。
秩为0的矩阵是零矩阵，秩为1的矩阵称为行向量矩阵或列向量矩阵。
二、矩阵判定计算的应用1.线性方程组的求解：将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵表示成矩阵形式，通过矩阵的逆矩阵或高斯消元法来求解未知数。
2.线性变换的表示：通过矩阵的乘法将一个向量进行线性变换，可以方便地描述平移、旋转、缩放等几何变换操作。
3. 特征值和特征向量的求解：对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，则称k为A的特征值，x为A的特征向量。
通过求解特征值和特征向量，可以了解矩阵的性质和特点。
浅谈正交矩阵的求法
则所求的正交矩阵 T 为 1 2 1 2 2 1 求一个 2 ， T=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- 1 姨6 2 姨6 - 1 姨6
1 姨3 1 姨3
正交矩阵 T， 使得 T′AT 成为对角矩阵.
2 解：λE-A = （λ+1 ） （ λ-5 ） 特征值是 -1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-2x1+ （λ-1 ） x2-2x3=0 -2x1-2x2+ （λ-1 ） x3=0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 T ′ T -1 1 -1 于是 （ ） = T 1 0 0 0 0 0 -1 2 3 2 0 1 2 1 2 0 1 0 0 4 3 0 1 3 1 3 1 1 0 0
1 -1 0 0 0 1 4 1 1 -1 0 0 0 4 1 1 -1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
使得 T-1AT=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
此时，
1 姨2 0
） 单位化得： η1= 把 （2
矩阵的运算规则
矩阵的运算规则矩阵是数学中重要的概念之一，在各个学科领域都有广泛的应用。
矩阵的运算规则是研究和操作矩阵的基础，它们被广泛用于解决线性方程组、矩阵计算和数据处理等问题。
本文将详细介绍矩阵的基本运算规则，包括矩阵的加法、乘法以及转置等操作。
一、矩阵的加法矩阵的加法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵相加的操作规则。
假设有两个矩阵A和B，它们的行数和列数相等，则可以将它们对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵C。
例如，有两个2×2的矩阵A和B：A = [a11, a12][a21, a22]B = [b11, b12][b21, b22]则矩阵A与B的加法运算可表示为：C = A + B = [a11+b11, a12+b12][a21+b21, a22+b22]二、矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘的操作规则。
要使两个矩阵能够相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
例如，有两个m×n的矩阵A和n×p的矩阵B：A = [a11, a12, ..., a1n][a21, a22, ..., a2n][..., ..., ..., ...][am1, am2, ..., amn]B = [b11, b12, ..., b1p][b21, b22, ..., b2p][..., ..., ..., ...][bn1, bn2, ..., bnp]则矩阵A与B的乘法运算可表示为：C = A × B = [c11, c12, ..., c1p][c21, c22, ..., c2p][..., ..., ..., ...][cm1, cm2, ..., cmp]其中，矩阵C的元素cij的计算方式为：cij = a(i1)b(1j) + a(i2)b(2j) + ... + a(in)b(nj)三、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行交换得到的新矩阵。
假设有一个m×n的矩阵A，则它的转置矩阵记为A^T，具有n×m的行列数。
矩阵的计算方法
矩阵的计算方法首先，我们来介绍矩阵的加法和减法。
对于两个相同大小的矩阵，它们可以进行加法和减法运算。
具体来说，就是将它们对应位置的元素相加或相减，得到的结果构成一个新的矩阵。
这一点在实际问题中有着很重要的应用，比如在图像处理中，可以通过矩阵的加法和减法来实现图像的平移和缩放。
其次，矩阵的乘法也是一个重要的计算方法。
对于两个矩阵A和B，它们可以进行乘法运算的前提是A的列数等于B的行数。
具体来说，如果A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积C就是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素是A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。
矩阵乘法在计算机图形学、神经网络等领域有着广泛的应用，是很多复杂算法的基础。
另外，矩阵的转置也是一个常见的计算方法。
对于一个m×n的矩阵A，它的转置记作A^T，就是将A的行和列互换得到的一个n×m的矩阵。
矩阵的转置在矩阵运算和方程求解中有着重要的作用，可以简化计算过程，提高计算效率。
除此之外，矩阵的逆也是一个重要的计算方法。
对于一个可逆矩阵A，它的逆记作A^(-1)，满足A×A^(-1)=A^(-1)×A=I，其中I是单位矩阵。
矩阵的逆在解线性方程组和求解矩阵方程时起着关键作用，是线性代数中的重要概念。
最后，我们还需要了解矩阵的特征值和特征向量的计算方法。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量v，使得Av=λv，那么λ称为A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵对角化、矩阵的稳定性分析等方面有着重要的应用。
总之，矩阵的计算方法是线性代数中的重要内容，它涉及到矩阵的加法、减法、乘法、转置、逆、特征值和特征向量等多个方面。
掌握好矩阵的计算方法对于理解线性代数的理论和应用都具有重要意义，也是很多工程和科学领域必备的数学工具。
希望本文所介绍的内容能够帮助读者更好地理解和运用矩阵的计算方法。
矩阵数值计算
矩阵数值计算矩阵数值计算是一种重要的数学运算方法，它在科学研究、工程应用和计算机图形处理等领域中都有广泛的应用。
通过对矩阵的数值计算，我们可以得到矩阵的特征值、特征向量、矩阵的逆、矩阵的秩等重要的数值结果。
矩阵的数值计算可以分为两大类，一类是对矩阵的基本运算，如矩阵的加减乘除、转置、取逆等；另一类是对矩阵的特征值和特征向量进行计算。
下面我们将分别介绍这两类矩阵的数值计算方法。
首先是矩阵的基本运算。
矩阵的加减乘除运算是最基本的矩阵运算，它们的定义都是按照矩阵的对应元素进行计算。
例如，两个矩阵的加法就是将它们对应位置的元素相加得到新的矩阵。
矩阵的乘法则是按照“行乘列”的规则进行计算，即矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素相乘再相加得到新矩阵的第i行第j列的元素。
矩阵的转置是指将矩阵的行变成列，列变成行。
这个运算可以通过交换矩阵的行和列来实现。
矩阵的逆是指对于一个方阵A，存在一个矩阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵。
逆矩阵的计算是一个复杂的过程，可以通过消元法、伴随矩阵法等方法来实现。
接下来是矩阵的特征值和特征向量的计算。
矩阵的特征值是指一个矩阵A乘以一个非零向量x后，得到的向量与x平行，其比例系数即为特征值。
而特征向量则是与特征值对应的非零向量。
特征值和特征向量的计算可以通过求解矩阵的特征方程来实现。
特征方程是一个关于特征值的方程，通过求解该方程可以得到矩阵的特征值，再根据特征值求解特征向量。
除了基本运算和特征值计算，矩阵的数值计算还包括矩阵的秩、行列式、正定性等内容。
矩阵的秩是指一个矩阵中的非零行（或列）的最大数目。
矩阵的秩可以通过高斯消元法等方法来计算。
行列式是一个方阵所对应的一个标量值，它可以通过对矩阵的行或列进行一系列的变换来计算。
正定性是指一个矩阵满足一定的性质，例如所有的特征值都大于零，它可以通过求解矩阵的特征值来判断。
矩阵的数值计算是一种重要的数学运算方法，它在科学研究和工程应用中都有广泛的应用。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则在数学的广阔领域中，矩阵是一个极为重要的概念，它不仅在数学理论中有着深刻的应用，还在物理学、计算机科学、工程学等众多领域发挥着关键作用。
要深入理解矩阵，就必须掌握矩阵的运算及其运算规则。
矩阵的加法是一种较为直观的运算。
只有当两个矩阵具有相同的行数和列数时，才能进行加法运算。
比如说，有两个矩阵 A 和 B，它们都是 m 行 n 列的矩阵。
那么矩阵 A 与矩阵 B 相加所得到的矩阵 C，其第 i 行第 j 列的元素 cij 就等于 A 矩阵中第 i 行第 j 列的元素 aij 与 B 矩阵中第 i 行第 j 列的元素 bij 之和。
简单来说，就是对应位置的元素相加。
矩阵的减法运算与加法运算类似，也是要求两个矩阵具有相同的行数和列数。
只不过是对应位置的元素相减。
接下来是矩阵的数乘运算。
如果有一个矩阵 A，以及一个实数 k，那么数 k 与矩阵 A 的乘积，得到的新矩阵 B 中，第 i 行第 j 列的元素bij 就等于 k 乘以 A 矩阵中第 i 行第 j 列的元素 aij 。
再来说说矩阵的乘法运算。
这是矩阵运算中比较复杂但又非常重要的一种运算。
矩阵乘法不是两个任意矩阵都能进行的。
只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才能相乘。
假设矩阵 A 是 m 行 n 列的矩阵，矩阵 B 是 n 行 p 列的矩阵，那么它们相乘得到的矩阵 C 是 m 行 p 列的矩阵。
矩阵 C 中第 i 行第 j 列的元素 cij 等于A 矩阵的第 i 行元素与B 矩阵的第 j 列对应元素相乘之和。
为了更清楚地理解矩阵乘法，我们来看一个具体的例子。
假设有矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，矩阵 B ＝ 5 6; 7 8，那么矩阵 A 乘以矩阵 B 的计算过程是这样的：C11 ＝ 1×5 ＋ 2×7 ＝ 19，C12 ＝ 1×6 ＋ 2×8 ＝ 22，C21＝ 3×5 ＋ 4×7 ＝ 43，C22 ＝ 3×6 ＋ 4×8 ＝ 50，所以相乘得到的矩阵 C ＝ 19 22; 43 50。
矩阵计算方法范文
矩阵计算方法范文矩阵计算方法是指在数学中对矩阵进行各种运算和操作的方法。
矩阵是一个按照矩形排列的数值元素集合，以方便计算和处理。
在科学技术和工程领域中，矩阵计算方法被广泛应用于线性代数、计算机图形学、机器学习等领域。
本文将介绍一些常见的矩阵计算方法。
1.矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括加法、减法和数乘。
矩阵加法指的是对应位置元素的相加，减法指的是对应位置元素的相减。
数乘是将矩阵的每一个元素都乘以一个常数。
这些基本运算操作在矩阵计算中非常常见，可以通过遍历矩阵的每个元素来进行计算。
2.矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
矩阵乘法的定义是：如果A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p的矩阵，其中新矩阵的每个元素都是A的一行与B的一列对应元素的乘积之和。
矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA。
计算矩阵乘法时，可以通过遍历矩阵的每个元素，并根据乘法定义进行计算。
3.矩阵转置矩阵转置是指将一个矩阵的行和列互换得到一个新的矩阵。
转置可以通过遍历矩阵的每个元素，并将其放置到新矩阵的转置位置来实现。
转置后的矩阵满足矩阵转置的性质：(AB)T=BTAT，(A+B)T=AT+BT。
4.矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
矩阵B被称为矩阵A的逆矩阵，记作A-1、逆矩阵的计算方法有多种，其中最常用的是高斯消元法和伴随矩阵法。
高斯消元法通过进行一系列矩阵变换操作，将原矩阵变换为阶梯形矩阵，并通过回代计算逆矩阵。
伴随矩阵法利用矩阵的伴随矩阵和行列式的关系来计算逆矩阵。
5.矩阵的行列式矩阵的行列式是一个与矩阵相关的标量值，它在矩阵的一些计算和推导中起到重要的作用。
矩阵的行列式可以通过按矩阵的其中一行或其中一列展开来计算，也可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
行列式的计算方法可以通过递归的方式进行，先计算低维矩阵的行列式，再根据展开定理进行计算。
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浅谈矩阵计算一丶引言矩阵是高等代数学中的常见的工具。
在应用数学，物理学，计算机科学中都有很大的作用。
研究矩阵的计算，可以简化运算，并深入理解矩阵的性质。
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。
关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
矩阵的研究历史悠久，发展也是历久弥新，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。
作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。
成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。
在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。
但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。
矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。
逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。
日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。
其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。
1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。
矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。
1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。
1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。
1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。
英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。
他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。
他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。
”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。
凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。
哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。
1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。
1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。
至此，矩阵的体系基本上建立起来了。
无限维矩阵的研究始于1884年。
庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。
1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。
在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具。
二、矩阵的介绍与基本运算由m×n个数a ij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m ×n矩阵。
只有一行的矩阵A=(a1,a2…a n)称为行矩阵或行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量。
矩阵计算的合适出发点是矩阵与矩阵的乘法。
这一问题在数学上虽然简单，但从计算上来看却是十分丰富的。
矩阵相乘可以有好几种不同的形式，还将引入矩阵划分的概念，并将其用来刻画计算上的几种线性代数的“级”。
如果一个矩阵具有某种结构，则它常常可以加以利用。
例如一个对称矩阵，只需要一个一般矩阵的一半空间即可储存。
在矩阵乘向量中如果矩阵有许多零元素，则可减少许多时间。
矩阵计算是基于线性代数运算的，点积运算包括标量的加法和乘法。
矩阵向量相乘由点积组成。
矩阵与矩阵相乘相当于一系列的矩阵向量相乘。
所有这些运算都可以用算法形式，或者用线性代数的语言来描述。
(1)基本矩阵运算包括1)转置（R m ×n →R n ×m ）C=A T →cij=aji2)相加(R m ×n +R m ×n →R m ×n )C=A+B →cij=aij+bij3)标量与矩阵的相乘（R ×R m ×n →R m ×n ）C=αA →cij=αaij4)矩阵与矩阵的相乘(R m ×p ×R p ×n →R m ×n )C=AB →cij=1r ik kj k a b=∑这些运算都是构建矩阵计算的基石对于任意的数(2)逆矩阵对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使AB=BA=E ，则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称逆阵。
如果矩阵A 是可逆的那么A 的矩阵是唯一的。
A 的逆阵记作A -1即若AB=BA=E ，则B=A -1。
·若矩阵A 可逆，则|A|≠0·若|A|≠0，则矩阵A 可逆，且11A A A-*=，其中A *为矩阵A 的伴随阵。
(3)矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的三种初等行变换:·对调两行·以数k ≠0乘某一行中的所有元素(第i 行乘k ，记作r i ×k)·把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去矩阵的初等列变换也是一样应用，初等行变换与初等列变换统称为初等变换，显然三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的变换。
矩阵之间的等价关系有·反身性 A~A·对称性 若A~B,则B~A·传递性 若A~B ，B~C ，则A~C方阵A 的可逆的充分必要条件是~A E(4)矩阵的秩给定一个m ×n 矩阵A ，它的标准形F=000rE ⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ×n 由数r 完全确定。
这个数也就是A 的行阶梯形中非零行的行数，这个数便是矩阵A 的秩。
但由于这个数的唯一性尚未证明。
矩阵的秩的定义是这样表示的：在m 乘n 矩阵A ，任取k 行与k 列（k ≤m,k ≤n ）,位于这些行列交叉处的k 2 个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式（m ×n 矩阵A 的k阶子式共有k k m nC C ⋅个）设在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵a 的秩，记作R(A)，并规定零矩阵的秩等于0。
由行列式的性质可知，在A 中当所有r+1阶子式全等于0时，所有高于r+1的子式也全等于0，因此把r 阶非零子式称为最高阶非零子式，而A 的秩R(A)就是A 的非零子式的最高阶数，由于R(A)是A 的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0，则R(A)≥s ；若A 中所有t 阶子式全为0，则R(A)<t 。
显然 ，若A 为m ×n 矩阵，则0≤R(A)≤min{m,n}。
由于行列式与其转置行列式相等，因此A T 的子式与A 的子式对应相等，从而R=(A T )=R(A)对于n 阶矩阵A ，由于A 的n 阶子式只有一个|A|，故当|A|≠0时R(A)=n ，当|A|=0时R(A)<n ，可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。
因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵(奇异矩阵)又称降秩矩阵。
且有以下定理·若A~B ，则R(A)=R(B)·若可逆矩阵P,Q 使PAQ=B ，则R(A)=R(B)·0≤R(A m ×n )≤min{m ，n}·max{R(A),R(B)}≤R(A+B)≤R(A)+R(B),特别地，当B=b 为非零列向量时，有R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1 ·R(A+B)≤R(A)+R(B)·R(AB)≤min{R(A),R(B)}·若A m ×n B n ×1 =0，则R(A)+R(B)≤n·设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0三丶矩阵与线性方程组的联系与算法(1) 一般线性方程组求线性方程组Ax=b 是科学计算的中心问题。
高斯消去法是处理A 是方的，稠密的以及无结构时的首选算法。
1）向前消去法考虑以下2×2下三角方程组1121220L L L ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=12b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦如果L 11L 22≠0则未知数可依次确定：x 1=b 1/L 11,x 2=(b 2-L 21x 1)/L 22这就是称之为向前消去法的算法的2×2形式。
通过解Lx=b 的第i 个方程求出x i 即可得到此算法的一般形式X i =（b i -11i ijj j L x -=∑）/L ii 如果对i=1：n 计算上式，则x 的所有分量都可求得。
2）向后消去法解上三角方程组Ux=b 的类似算法叫向后消去法。
x i 的计算公式为x i =(b i -1n ij j i u =+∑x i ) /u ii(2) 特殊线性方程组：正定方程组如果对所有非零向量x ∈R n 都有x T Ax >0，则称矩阵A ∈Rn ×n 是正定的。
正定方程组是特殊Ax=b 问题中的重要一类。
考虑2×2对称矩阵的情形，如 A=11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是正定的，则 X=(1,0)T →x T Ax=a 11>0X=(0,1)T→x T Ax=a22>0X=(1,1)T→x T Ax=a11+2a12+a22>0X=(1,-1)T→x T Ax=a11-2a12+a22>0由后两个方程推知|a12|≤（a11+a22）/2，由这些结果可知A中最大元素位于对角线上且为正。
此结论是普遍成立的。
一个对称正定矩阵有一条“重”对角线，尽管这样的矩阵不如对角占优矩阵那样明显地将重量集中在对角线上，但在计算中同样可以忽略掉选主元的过程，在这两点上二者是等效的。