01第一章复数及复变函数
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数第一章1
Arg(2 − 2i) = arctan
； ，（ k ∈ Z ）；
π
− i 4
2 − 2i = 2 2(cos( − ) +i sin( − )) = 2 2e 4 4
π
−2 π + 2kπ = − + 2kπ 2 4
π
.
引进了复数的三角形式或指数形式，我们可得如 下结果：
z 1 ± z 2 = (x 1 ± x 2 ) + i ( y 1 ± y 2 ) ，
复数 z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 相加（减）的法则是： 结果仍是复数 . 这表明复数与复数相加（减）所得的复数可按实 部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）得 到． 复数的加法满足交换律和结合律，而且减法是 加法的逆运算．
y 显然复数 z 的辐角满足 tan θ = ，且任一非零 x
复数 z 有无穷多个辐角，以 arg z 表示其中的一 个特定值，并称满足条件：
− π < arg z ≤ π （1.3） 的一个为 Argz 的主值(或复数 z 的主辐角)，习惯 上仍记为 argz ．于是 θ = arg z + 2kπ（k ∈ Z ） （1.4）
n
(cosθ + i sinθ ) = cos nθ + i sin nθ （棣莫弗公式）
设 z ≠0，通常，我们把满足方程 w n = z ( n ≥ 2为整数) 的复数 w 称为复数 z 的 n 次方根，记为 w = n z
n iθ iϕ w w = Re z = re 记 ， ，将它们代入方程 = z 得
复数与复变函数第一章-复数与复变函数PPT课件
q q 复数z=x+yi 可表示为 z r (c o s is in),称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiqcosqisin q,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
例1.3 将 z 122i化为三角表示式与指数表示式.
5
解： 显然, r = | z | = 1, 又
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
5
sin
2
5
sin 3
10
.
因此 zcos3isin3ei130
10
10
当 z 0时, ArgzArgz. 当 z reiq 时, z reiq .
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
由此引出方根的概念。
二、复数的乘幂与方根
2. 复数的方根 复数求方根是复数乘幂的逆运算。
定义 设 z是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 wn z的 复数 w ，称为把复数 z开 n 次方，或者称为求复数 z的 n 次方根，记作 wn z 或 wz1/n. 复数 z的 n 次方根一般是多值的。
二、复数的乘幂与方根
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是定辐角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> 立x=3. ;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零>>向th量eta没=a有ng确le(z定)
复变函数1-1
SNNU
复数域:
1. 复数
复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数，其中x和y是任 ( 意的实数，i是虚数单位1 的平方根）. x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：
x Re z, y Im z
注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等. 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.
y y
z x iy
( x, y)
复数 z x iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.
o
x
x
2. 复数的模(或绝对值)
复数 z x iy 可以用复平面上的向量 表示, OP
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x y .
2 2
y y
显然下列各式成立
2.复数的四则运算
复数的四则运算定义为：
(a1 ib1 )(a2 ib2 ) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1 )
(a1 ib1 ) a1a2 b1b2 a2b1 a1b2 i 2 2 2 2 (a2 ib2 ) a2 b2 a2 b2
解 z 1 cos i sin 2 sin 2i sin cos 2 2 2 2 sin sin i cos 2 2 2
2
π π 2 sin cos i sin (三角式) 2 2 2 2 sin e 2
( z1 z1 )( z2 z2 ) z1 z2 .
(2) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )
复变函数 第1章 复数与复变函数
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
复变函数第一章
z1 x1 iy1 x1 x2 y1 y 2 x 1 y x2 i y22y x121 2 (* 2 0) 1 1 2 z 2 2 z 2 B x2 iy 2 x2 y 2 x2 y 2 B
1
2）复数的方幂运算
为了讨论复数的乘幂和方根，先考虑复数三角形式的积和商。 设有两个非零的复数 z r1 (cos 1 i sin 1 ), z 2 r 2 (cos 2 i sin 2 )
z x iy
z1 x1 iy1
z 2 x2 iy 2
x x1 y y 1
y1 x2 x1 A y x1 y 2 1
2 x2
y1 z Az2 x1 z Bz
• 例4 求 Arg(2 2i) 和 Arg(3. 4i)
Arg(2 2i) arg(2 2i) 2k
2 arctan 2k 2 2k (k 0, 1, 2, ) 4
4 Arg(3 4i) arg(3 4i) 2k arctan 2k 3
复数z与其共轭复数 z的几何表示
共 轭 复 数 具 有 下 列 运性 质 算
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
zz
z1 z 2 z1 z 2
x
O
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2 z1 z ( z 2 0) 2
z
z与其共轭复数 z的模相等，幅角值相反 .
zz [Re z]2 [Im z]2
2、复数的几何表示及向量表示
由复数的定义可知，复数是由一对有序实数惟一确定的,
《复变函数》第一章 复数与复变函数
(1.14)
若 z 为指数形式， z rei ， w f (z) 则又可表为 w p(r,) i(r,) (1.15)
其中 p(r, ) ，Q(r, ) 均为 r 、 的二元实函数． 由(1.14)和(1.15)两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面 z 上的
z 1
均为多值函数．
今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数．
设 w f (z) 是定义在点集 E 上的函数，若令 z x iy ，w u iv
则 u 、 v 均随着 x 、 y 而确定，即 u 、v 均为 x 、y 的
二元实函数，因此我们常把 w f (z) 写成
f (z) u(x, y) iv(x, y)
z2
Argz1 Argz1
Argz2 Argz2
(1.11)
公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数 z1 ， z2 的乘积（或商），其模等
于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或
差）．
特别当 z2 1 时可得 z1z2 rei(12 )
cos3 cos3 3cos sin2 4cos3 3cos
sin 3 3cos2 sin sin3 3sin 4sin3
4.曲线的复数方程
例1.2 连接 z1 及 z2 两点的线段的参数方程为 z z1 t(z2 z1) (0 t 1)
区域．
例如，例1.5—1.8所示的区域均为单连通区域，例1.9所示的区域为多连 通区域．
作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9
§3 复变函数
1．复变函数概念
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第一章 复数及复变函数§1. 复数一. 复数的基本概念 1. 复数形如iy x z +=的数称为复数；称x 为复数的实部，记作()z Re ；称y 为复数的虚部，记作()z Im ；称i 为虚数单位，其中12-=i 。
2. 复数的相等与共轭复数 （1） 设222111,iy x z iy x z +=+=，称21z z =，当且仅当⎩⎨⎧==2121y y x x ； 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数, 则不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.（2） 设iy x z +=，称复数iy x -为z 的共轭复数，记作z ；即：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.; , 0 ,0 称为纯虚数时当iy z y x =≠= . ,0 , 0 x i x z y 我们把它看作实数时当+==重要公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.i z z y ,z z x 22.z z =二. 复数的四则运算及算律1. 复数的代数运算 设222111,iy x z iy x z +=+=，规定：()()212121y y i x x z z ±+±=±； ()()1221212121y x y x i y y x x z z ++-=；()02222221122222212121≠+-+++=z y x y x y x i y x y y x x z z .2. 算律：交换律：1221z z z z +=+； 1221z z z z ⋅=⋅;结合律：()()321321z z z z z z ++=++； ()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅; 分配律：()3231321z z z z z z z ⋅+⋅=⋅+.3. 共轭复数的性质()()()().03,2,12212121212121≠=⋅=⋅±=±z z z z z z z z z z z z z(4) .22y x z z +=三. 复平面称表示复数集合的平面为复平面, 复平面上的点或向量代表复数.§2. 复数的三角表示 一. 复数的模与辐角 1. 模与辐角的概念设iy x z +=,称22y x z z z +==为复数z 的模，称从x 轴正向到复向量z 0所夹的角为复数z 的辐角，记作Arg z , 称满足πθπ≤<-的辐角为复数z 的主辐角, 记作arg z .,, 222111iy x z iy x z +=+=设两复数例：).Re(2 212121z z z z z z ⋅=⋅+⋅证明显然，复数z 的模即为复向量z 0的长度. 2. 模与辐角的性质 设iy x z +=,有(1). ;00,0=⇔=≥z z z(2). ⎩⎨⎧≤≤-≤≤-.;zy z z x z （斜边大于直角边）(3). ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≤-+≤+≤-.;212121212121z z z z z z z z z z z z(4). 2121z z z z ⋅=⋅;(5). ()022121≠=z z z z z .(6). arg z =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+.,x yarctan ,x y arctan ,x y arctan 三象限二象限，一，四象限，ππ 问题 数轴上的复数的辐角怎样？说明 ,0有无穷多个辐角任何一个复数≠z辐角不确定.二. 复数的三角表示设z =r ，Arg z =ϕ，利用直角坐标与极坐标的关系复数iy x z +=可以表示为()ϕϕsin cos i r z += 称为复数z 的三角表示.三. 复数的指数表示设z =r ，Arg z =ϕ，利用欧拉公式 复数iy x z +=可以表示为ϕi re z =称为复数z 的指数表示.例1 求复数z=i 31--的三角表示., 1是其中一个辐角如果θ的全部辐角为那么 z ).( π2Arg 1为任意整数k k z +=θ ,0 , 0 ,==z z 时当特殊地⎩⎨⎧==,sin ,cos ϕϕr y r x ,sin cos ϕϕϕi e i +=例2 将复数()πθθθ≤≤--=01sin i cos z 化为三角形式.四. 复数的乘、除及乘方、开方运算设：()()22221111sin cos ,sin cos ϕϕϕϕi r z i r z +=+=， 则：()()[]21212121sin cos ϕϕϕϕ+++=⋅i r r z z ; 即：两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. （公式说明：21z z ⋅所得到的复向量就是把1z 所对应的向量伸缩22z r =倍，然后再旋转22z arg =ϕ角；反之亦然。
）()()[]()0sin cos 221212121≠-+-=z i r r z z ϕϕϕϕ;即：两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.()ϕϕni n r z nns i n c o s +=;.1,1,02s i n 2c o s -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n k n k i n k r z nnπϕπϕ()212121ϕϕ+=⋅i er r z z ;()()02212121≠=-z e r r z z i ϕϕ;ϕin n n er z =;.1,1,02-==+n k er z nik i n nπϕ从几何上看,例3 用复数的三角形式计算i i313-+. 例4 用复数的三角形式计算()331i +.例5 解方程083=+z .例6 求θ3cos 与θ3sin 用θcos 及θsin 表示的式子..,, :7133221232221321z z z z z z z z z z z z ++=++点的充要条件是成为等边三角形顶三个复数证明例 , 个值就是以原点为中心的n z n. 1个顶点边形的为半径的圆的内接正n n r n例8 若n 为自然数，且(),31nn n i iy x +=+其中n x ，n y 为实数，证明：34111---=-n n n n n y x y x§3. 平面点集的一般概念一. 开集与闭集1. 邻域称满足不等式δ<-0z z 的全体z 的集合为点z 的邻域（实心邻域）；称满足不等式δ<-<00z z 的全体z 的集合为点0z 的邻域（去心邻域）,记作()0z U δ或()0z N δ.2. 内点、外点、边界点（1） 设G 为点集，z 为G 的一个元素，若存在一个z 的邻域，该邻域全部含于G 内，则称z 为G 的内点；（2） 设G 为点集，z 不属于G ，若存在一个z 的邻域，该邻域全部在G 外，则称z 为G 的外点；（3） 设G 为点集，z 为z 平面上的一个点，若对z 的任意邻域，该邻域内都既有元素既含于G 内，又有元素不含于G 内，则称z 为G 的边界点;点集G 的所有边界点的集合称为G 的边界.3. 开集与闭集若点集G 中的所有点均为G 的内点，则称G 为开集；开集的补集称为闭集. 4. 有界集与无界集若存在M >0,使得有{}M z z G ≤⊂|，则称G 为有界集，否则，称G 为无界集.二. 区域若点集D 满足条件： （1） D 为开集， （2） D 为连通的，则称D 为区域. 即：区域就是连通的开集.三. 平面曲线1. 光滑曲线若曲线()()()()b t a t iy t x t z z C ≤≤+==:在区间()b a ,内处处有连续的导数，且满足()[]()[]022≠'+'t y t x 则称该曲线为光滑曲线.光滑曲线具有连续转动的切线。
2.简单曲线（若当曲线）若连续曲线()()()()b t a t iy t x t z z C ≤≤+==:在区间()b a ,内没有重点，则称该曲线为简单曲线（若当曲线）；若该曲线的起点与终点重合，则称该曲线为简单闭曲线（若当闭曲线）.3.若当定理任意一条简单闭曲线C 必将z 平面惟一地分为C , I (C ), E (C )为三个点集，它们具有如下性质： （1） 彼此没有交集；（2） I (C )为有界域，称为C 的内部； （3） E (C )为无界域，称为C 的外部；（4） 若简单折线P 的一个端点属于I (C )，另一个端点属于E (C )，则P 必与C 有交点。
§4. 复球面与无穷远点一. 复球面复数还有一种表示方法，它是借助地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面上的点与球面上的点的对应，从而说明引入无穷远点的合理性。
二.无穷远点规定01=∞,称为无穷远点.且有运算:()∞≠∞=+∞=∞+a a a ()0≠∞=⋅∞=∞⋅a a a()∞≠∞=∞=∞a aa ,0. 复平面加上无穷远点称为扩充复平面.设M >0,称满足不等式+∞<<z M 的全体复数的集合为无穷远点的邻域.说明：在扩充复平面上，内点、外点、边界点等概念均可以推广到无穷远点，于是，复平面以∞为其惟一的边界点；扩充复平面以∞为其内点，且它是惟一的没有边界的区域。
§5. 复变函数一.复变函数的概念定义: 设G 为z 平面上的点集，若有对应法则f ，使得对于G 内的任意一个z ，通过f ，都有w 平面上的一个点集内的一个或多个确定的点w 与之对应，则称该法则f 为定义在G 内的一个复变函数；记作()z f w =.显然，复变函数()z f w =的对应法则确定了以x ，y 为自变量的两个二元实函数反之，由以x ，y 为自变量的两个二元实函数 也可惟一地确定一 个复变函数()z f w =.例9 将定义在全平面上的复变函数12+=z w化为一对二元实函数。
例10 将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元实函数22222y x y v ,y x x u +=+= 化为一个复变函数。
二.复变函数的极限与连续性1.复变函数的极限定义:设复变函数()z f w =在点0z 的某一去心邻域内有定义，A 为复定值，若：,0>∀ε{}δδ<-<∈∀∍>∃00|,0z z z z ，不等式()ε<-A z f ),,(),,(y x v v y x u u ==),,(),,(y x v v y x u u ==恒成立，则称当z 趋于0z 时，()z f 以A 为极限，记作()A z f z z =→0lim 说明：（1） （2）若复变函数()z f 在点0z 有极限，则一定惟一。
定理1 设()()(),,,,00iv u A y x iv y x u z f +=+=则：()()()⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=→→→→→,,l i m ,,l i m l i m 0,0,00000v y x v u y x u A z f y y x x y y x x z z 该定理将确定复变函数()z f w =的极限问题转化为确定一对二元实函数的极限问题. 因此，可使用二元函数极限的相关结论讨论复变函数的极限问题.例11 试讨论()zz z f =在点z=0的极限.根据定理1易证以下结论：),,(),,(y x v v y x u u ==).0()(lim (3);)]()([lim (2);)]()([lim (1) ,)(lim ,)(lim 000≠==±=±==→→→→B A z f AB z g z f B A z g z f B z g A z f z z z z z z z z 那末设 . 0的方式是任意的定义中z z →2.复变函数的连续性定义:设复变函数()z f w =在点0z 的某一实心 邻域内有定义，若有：()()00lim z f z f z z =→，则称复变函数()z f w =在点0z 连续；若复变函数()z f w =在区域D 内任意一点z 均连续，则称复变函数()z f w =在区域D 内连续，或称()z f 为区域D 内的连续函数.例12 证明：()()0≠=z z arg z f 在除去原点和负实轴的全平面上连续，但在负实轴上间断.定理2 复变函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在点0z 连续，当且仅当二元实函数()y x u ,及()y x v ,均在()000,y x z =点连续.3. 连续函数的性质（ⅰ）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；（ⅱ）连续函数的复合仍为连续函数.特殊的:(1) 有理整函数(多项式)(2) 有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.4. 闭域上连续函数的性质（ⅰ）闭域上的连续函数在该域上一定有界； （ⅱ）闭域上的连续函数在该域上一定有最大模与最小模；（ⅲ）闭域上的连续函数在该域上一定一致连续. （即：,0>∀ε212100z ,z z z ,的满足不等式δδ<-<∀∍>∃ 均有()()ε<-21z f z f ）,)(2210n nz a z a z a a z P w ++++==; 都是连续的对复平面内的所有点z ,)()(z Q z P w = , )( )( 都是多项式和其中z Q z P . )( , )( :1300也连续在那末连续在如果证明例z z f z z f。