矩阵的基本运算
数学矩阵的基本运算
数学矩阵的基本运算引言：在数学中，矩阵是一种非常重要的工具，它在多个学科和领域都有广泛的应用。
矩阵不仅可以表示线性方程组，还可以描述向量空间的变换。
矩阵的基本运算是我们学习矩阵的第一步，掌握了这些基本运算，我们才能在后续的学习中更好地应用矩阵解决问题。
本次教案将系统地介绍数学矩阵的基本运算，包括加法、减法、数乘和乘法，并结合具体的例子进行解释和演示。
第一节加法运算1.1 矩阵加法的定义矩阵加法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵对应位置上的元素相加，得到一个新的矩阵。
例如，对于两个3行2列的矩阵A和B，它们的加法运算可以表示为：C=A+B。
C矩阵中的每个元素c(i,j)等于矩阵A中元素a(i,j)和矩阵B中元素b(i,j)的和。
1.2 矩阵加法的性质矩阵加法具有以下性质：- 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，即矩阵加法满足结合律。
- 交换律：A+B=B+A，即矩阵加法满足交换律。
- 零矩阵：对于任意的矩阵A，都有A+O=A，其中O是全零矩阵。
1.3 矩阵加法的例子考虑以下两个矩阵：A = [1 2 34 5 6]B = [7 8 910 11 12]它们的加法运算为：C = A + B = [8 10 1214 16 18]解释：C矩阵中的第一个元素c(1,1)等于矩阵A中元素a(1,1)和矩阵B中元素b(1,1)的和，即1+7=8，以此类推。
第二节减法运算2.1 矩阵减法的定义矩阵减法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵对应位置上的元素相减，得到一个新的矩阵。
例如，对于两个3行2列的矩阵A和B，它们的减法运算可以表示为：C=A-B。
C矩阵中的每个元素c(i,j)等于矩阵A中元素a(i,j)和矩阵B中元素b(i,j)的差。
2.2 矩阵减法的性质矩阵减法具有以下性质：- 结合律：(A-B)-C=A-(B-C)，即矩阵减法满足结合律。
- 零矩阵：对于任意的矩阵A，都有A-O=A，其中O是全零矩阵。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念之一，在数学和计算机科学中广泛运用。
它是由数个数按矩形排列而成的矩形阵列，可以表示向量、方程组以及线性变换等。
一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数按一定顺序排列而成，通常用大写字母表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11, a12;a21, a22;a31, a32]其中的aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的行数m和列数n分别称为其维度，m×n为矩阵的规模。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法若矩阵A和B的维度相等（均为m行n列），则它们可以相加。
矩阵相加的结果为一个新的维度相同的矩阵C，其元素由对应位置的矩阵A和B的元素相加得到。
即：C = A + B = [a11 + b11, a12 + b12;a21 + b21, a22 + b22;a31 + b31, a32 + b32]2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，只需将相应位置上的元素相减即可。
例如：C = A - B = [a11 - b11, a12 - b12;a21 - b21, a22 - b22;a31 - b31, a32 - b32]3. 矩阵的数乘矩阵的数乘指的是将矩阵的每个元素乘以一个常数k。
结果仍为同一维度的矩阵。
记为：C = kA = [ka11, ka12;ka21, ka22;ka31, ka32]4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B相乘得到一个m行p列的矩阵C。
矩阵乘法的运算规则如下：C = AB = [c11, c12, ..., c1p;c21, c22, ..., c2p;...cm1, cm2, ..., cmp]其中，cij表示矩阵C中第i行第j列的元素，计算公式为：cij = a1i * b1j + a2i * b2j + ... + ani * bnj5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对调。
矩阵的基本运算
如果 AT A 则矩阵A称为反对称矩阵.
由此可知，反对称矩阵旳对角元必为零，即 aii = 0
0 5 4
例如
B
5
0 1 是3阶反对称矩阵.
4 1 0
例 设列矩阵 X x1, x2 , , xn T 满足 X T X 1,
E为n阶单位矩阵, H E 2XX T , 证明 H是对称矩阵, 且HH T E.
(i 1, 2, m; j 1, 2, , n)
把此乘积记作 C AB
例如
C 2 1
4 2
222 3
4
16
?
32
622 8 16 22
1 0
例
若
A
1
1
0 5
求AB.
1 3 1
2
0
4
0
B
1
3
1
3 2 1 2
4
1
1
1
解
因
A
aij
,B
34
bij
证 因为 H T (E 2 XX T )T ET 2( XX T )T E 2XX T H
所以H 是对称矩阵. HH T H 2 (E 2 XX T )2
E 4XX T 4( XX T )( XX T ) E 4XX T 4X ( X T X )X T E 4XX T 4XX T E
(3) (AB)( A)B A(B) (其中为常数)
(4) AE EA A
注 矩阵乘法不满足互换律,即 AB BA
例如
设
A
1
1
,
B
1
1
1 1
1 1
两个非零矩阵旳 乘积可能是零矩阵
则
矩阵知识点总结
矩阵知识点总结矩阵是线性代数中重要的概念和工具之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对矩阵的基本知识点进行总结。
1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照长和宽排列的矩形数组，其中的元素可以是任意类型的数值。
一个矩阵由行和列组成，通常记作A=[a_ij]。
2. 矩阵的运算：(1) 矩阵的加法和减法：对应元素相加或相减。
(2) 矩阵的乘法：矩阵乘法是一种非交换运算，两个矩阵相乘的结果是第一个矩阵的行乘以第二个矩阵的列。
(3) 矩阵的转置：将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
(4) 矩阵的数量乘法：将矩阵的每个元素同一个实数相乘得到的新矩阵。
3. 矩阵的特殊类型：(1) 方阵：行数和列数相等的矩阵。
(2) 零矩阵：所有元素都为零的矩阵。
(3) 对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(4) 单位矩阵：对角线上的元素都为1，其他元素都为零的矩阵。
(5) 上三角矩阵：下三角（低三角）矩阵：除了对角线及其以上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
4. 矩阵的性质：(1) 矩阵的加法和乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。
(2) 矩阵乘法的转置性质：(AB)^T = B^T A^T。
(3) 矩阵的逆：如果矩阵A的逆存在，记作A^(-1)，则A和A^(-1)的乘积等于单位矩阵：A A^(-1) = I。
(4) 矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组数。
5. 矩阵的应用：(1) 线性方程组的解：通过矩阵的运算和逆矩阵可以解决线性方程组的求解问题。
(2) 向量空间的表示：矩阵可以表示向量空间内的线性变换和线性组合。
(3) 特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量可以用于描述矩阵的性质和变换规律。
(4) 数据处理和机器学习：矩阵在数据处理和机器学习中广泛应用，用于存储和处理大量数据。
总的来说，矩阵是一种重要的数学工具，它的运算性质和特殊类型有助于解决线性方程组、描述线性变换和计算大量数据等问题。
矩阵的计算方法总结
矩阵的计算方法总结矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个科学领域。
矩阵的计算方法主要包括矩阵的基本运算、矩阵的乘法、矩阵的逆以及特殊矩阵的计算等。
本文将对这些计算方法进行详细的总结。
首先，矩阵的基本运算包括矩阵的加法和减法。
矩阵的加法和减法都是对应位置上的元素进行相加或相减的操作。
具体而言，对于两个相同大小的矩阵A和B，矩阵的加法计算公式为C = A + B，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素加上B的第i行第j列的元素。
矩阵的减法同样遵循相同的规则。
接下来，矩阵的乘法是比较复杂的计算方法。
矩阵的乘法不遵循交换律，即AB不一定等于BA。
矩阵的乘法计算公式为C= AB，其中A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，C是m×p矩阵。
具体来说，在矩阵乘法中，C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素进行内积运算得到的结果。
在进行矩阵乘法计算时，需要注意两个矩阵的维度是否满足相乘的条件。
若A的列数不等于B的行数，则无法进行矩阵乘法运算。
矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，通过运算求解另一个方阵B，使得AB = BA = I，其中I为单位矩阵。
矩阵的逆是在求解线性方程组和矩阵方程时经常使用的工具。
具体来说，对于一个n阶非奇异矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵的计算可以使用高斯-约旦消元法、伴随矩阵法等多种方法，其中伴随矩阵法是逆矩阵计算的一种常用方法。
此外，还有一些特殊矩阵的计算方法。
例如，对称矩阵是指矩阵的转置等于它本身的矩阵。
对称矩阵的特殊性质使得其在计算中有着很多便利，例如，对称矩阵一定可以对角化，即可以通过相似变换变为对角矩阵。
对角矩阵是指非对角线上的元素都为0的矩阵，对角线上的元素可以相同也可以不同。
对角矩阵的计算相对简单，只需要对角线上的元素进行相应的运算即可。
综上所述，矩阵的计算方法包括矩阵的基本运算、矩阵的乘法、矩阵的逆以及特殊矩阵的计算等。
矩阵的运算与性质
矩阵的运算与性质矩阵是线性代数中的基本概念，广泛应用于各个学科领域。
本文将介绍矩阵的运算及其性质，探讨在不同情况下矩阵的特点和应用。
一、矩阵的定义与分类1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照矩形排列的数表，由m行n列的数构成，通常用大写字母表示，如A、B等。
2. 矩阵的分类：根据行数和列数的不同，矩阵可以分为行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵等。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对应位置元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。
2. 矩阵的数乘：一个矩阵的所有元素乘以一个常数。
3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。
4. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记作A^T。
三、矩阵的性质和特点1. 矩阵的单位矩阵：对角线上元素为1，其余元素为0的方阵。
2. 矩阵的逆矩阵：若矩阵A存在逆矩阵A^-1，满足A·A^-1 = A^-1·A = I，其中I为单位矩阵。
3. 矩阵的行列式：方阵A经过运算得到的一个标量值，记作det(A)或|A|，用于判断矩阵是否可逆及求解线性方程组等。
4. 矩阵的秩：矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
5. 矩阵的特征值与特征向量：对于方阵A，存在数值λ和非零向量x，使得A·x = λ·x，λ为A的特征值，x为对应的特征向量。
四、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：通过矩阵的运算和性质，可以将线性方程组表示为矩阵的形式，从而求解出方程组的解。
2. 矩阵在图像处理中的应用：利用矩阵的运算，可以对图像进行变换、旋转、缩放等操作。
3. 矩阵在经济学中的应用：使用矩阵可以模拟经济系统，进行量化分析、预测等。
总结：矩阵作为线性代数中的基本概念，具有丰富的运算规则和性质。
通过矩阵的加法、数乘、乘法、转置等基本运算，可以推导出矩阵的逆矩阵、行列式、秩、特征值等重要概念。
矩阵在不同学科领域有着广泛的应用，如线性方程组求解、图像处理、经济学分析等。
矩阵的简单运算公式
矩阵的简单运算公式矩阵是数学中一个非常重要的概念，它在众多领域都有着广泛的应用，比如物理学、计算机科学、统计学等等。
要理解和运用矩阵，掌握其基本的运算公式是必不可少的。
接下来，让我们一起来了解一下矩阵的一些简单运算公式。
首先，矩阵的加法和减法相对来说比较直观。
如果有两个矩阵 A 和B，它们的行数和列数都相同，那么矩阵 A 与矩阵 B 的和（差）就是将它们对应位置的元素相加（减）得到的新矩阵。
例如，如果矩阵 A＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂，矩阵 B ＝ b₁₁ b₁₂; b₂₁ b₂₂，那么 A＋ B ＝ a₁₁＋ b₁₁ a₁₂＋ b₁₂; a₂₁＋ b₂₁ a₂₂＋ b₂₂，A B＝ a₁₁ b₁₁ a₁₂ b₁₂; a₂₁ b₂₁ a₂₂ b₂₂。
接下来是矩阵的数乘运算。
如果有一个矩阵 A 和一个实数 k，那么数 k 与矩阵 A 的乘积，就是将矩阵 A 中的每一个元素都乘以 k。
比如，矩阵 A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂，kA ＝ ka₁₁ ka₁₂; ka₂₁ ka₂₂。
矩阵的乘法运算相对复杂一些。
当矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数时，矩阵 A 和矩阵 B 才能相乘。
假设矩阵 A 是 m×n 的矩阵，矩阵B 是 n×p 的矩阵，那么它们的乘积C ＝ AB 是一个 m×p 的矩阵。
C 中的元素 cᵢⱼ等于矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积的和。
例如，矩阵 A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂，矩阵 B ＝ b₁₁ b₁₂; b₂₁b₂₂，那么 AB ＝ a₁₁b₁₁＋ a₁₂b₂₁ a₁₁b₁₂＋ a₁₂b₂₂;a₂₁b₁₁＋ a₂₂b₂₁ a₂₁b₁₂＋ a₂₂b₂₂。
需要注意的是，矩阵的乘法一般不满足交换律，也就是说 AB 不一定等于 BA。
但是矩阵的乘法满足结合律和分配律。
结合律：（AB)C ＝ A(BC)；分配律：A(B ＋ C) ＝ AB ＋ AC。
矩阵常见运算
矩阵的基本运算公式加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。
1、矩阵的加法满足A+B=B+A；(A+B)+C=A+(B+C)。
在两个数的加法运算中，在从左往右计算的顺序，两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
A+B+C=A+C+B。
加法定理一个是指概率的加法定理，讲的是互不相容事件或对立事件甚至任意事件的概率计算方面的公式；另一个是指三角函数的加法定理。
2、把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置。
设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i 行j 列的元素是a(i,j)，即：A=a(i,j)定义A的转置为这样一个n×m阶矩阵B，满足B=b(j,i)，即a(i,j)=b (j,i)（B的第i行第j列元素是A的第j 行第i列元素），记A'=B。
3、矩阵乘法是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算。
二元运算属于数学运算的一种。
二元运算需要三个元素：二元运算符以及该运算符作用的两个变量。
如四则运算的加、减、乘、除均属于二元运算。
如在运算1 + 2之中，二元运算符为“+”，而该运算符作用的操作数分别为1与2。
二元运算只是二元函数的一种，由于它被广泛应用于各个领域，因此受到比其它函数更高的重视。
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例如
1 3 5
2 2 8
19316
6 0
8 不存在. 1
乘积AB 维的关系
A
B
m n
n s
C ms
=
A
8
注 两个矩阵相乘, 乘积有可能是一个数.
1
2
3
3 2
1 3 2 2 3 1 10.
1
练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果.
1
1 2 1 4 1 2 1 4
1
5
8
0
2
5
8
0
2
13310 1 3 734 10 1 3 7 34
1
1 2 1 4
5
10
8 1
0 3
2 734
1
1
A
1
144
5 10
2 8
1
1 0 3
4
2
7
9
34
1
2
a11 a12 L a1s
a21
a22
L
a2s
O M M M M
nnnan1
an2
L
2an2
L na1n
L
na2n
M M
L
nann
nn
A
11
a1
b1
a2
b2
O
O
an nn
bn nn
a1b1
a2b2 O
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵A之积仍为n阶上（下）三角阵12 .
❖矩阵乘法的运算规律 (1 )结 合 律 :(A B )C A (B C )
am1
aam2nn.
❖矩阵数乘的运算规律
(1) 1AA;
(2)()A (A );
(3 )( )A A A ; (4 )(A B ) A B .
矩阵相加与数乘矩阵合起来A,统称为矩阵的线性运算. 5
❖矩阵乘法
设 A (a ij )是一个m×s矩阵, B (bij ), 是一个s×n矩阵, 那么规定矩阵A与矩阵B的 乘积是一个m×n 矩阵 C (cij ), 其中
ABaam211bbm 211
a22b22
am2 bm2
a2n b2n
am nbm
n
注 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算.
10 3 5 1 8 9 101 38 59 1 1
1
3
9 3
0 6 8 3
5 2
4 1
16 33
9 5 3 2
04
7
81 6
nn
1
EA
1
O
a11 a12 L
a
21
a 22
L
L L L
1
an1
an2
L
a1n
a 2 n
L
aij
A
nn
ann
a11 a12 L
AE
a21 L
a22 L
L L
an1 an2 L
a1n 1
a
2
n
1
L
O
ann
A
aij
A
nn
1
15
注 此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在数 的乘法中的地位相当. 即
(2 )分 配 律 :A (B ＋ C ) A B A C (左乘分配律)
(B ＋ C )A B A C A (右乘分配律)
( 3 ) ( A B ) ( A ) B A ( B ) ( 其 中 为 常 数 )
(4) A EE AA
注 矩阵乘法不满足交换律,即 ABBA
例如
设
A
1
1
,
B
s
cijai1b 1jai2b 2jLaisb sj aikb kj k 1
(i 1 ,2 ,L m ;j 1 ,2 ,L ,n )
把此乘积记作 CAB
例如
C2 4 2 4 16?32
1 2223A 622
8
16 22 6
1 0
例
若
A
1
1
0 5
求AB.
1 2
3
0
1 4
0
B
1
3
1
3 2 1 2
ans ns
1a11
2a21
M
nan1
1a12 2a22
M
nan2
L 1a1s
L
2a2s
M M
L
nans
ns
A
10
a11 a12 L a1n 1
a21
a22 L a2n
2
M M M M
O
an1 an2 L annnn
nnn
1a11
1a21
M
1an1
2a12 2a22
M
4 35 21 6 1 22 23 2 4 35 21 6 1 2 2 2 3 2 1 30 3 3 1
A
4
❖矩阵的数乘
数 与A 矩 的阵 乘 A 或 积 A ,规 记 定 作 为
a11 a12 a1n
A A aam211
a22
4
1
1
1
解
因A aij
,B
34
bij
,故C
43
cij
.
33
1 CAB1
0
0 1 5
1 3 1
4021031
3 2 1 2
4 1 1 1
5 6 7
10 2 6 .
2 17 1A0
7
注 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘.
——A可左乘B的可相乘条件.
的元素相等,即
a i jb i i j 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,
则称矩阵A与矩阵B相等，记作 AB
A
2
❖矩阵的加法
设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记 为AB 规定为AB(aijbij ) 即
a11b11 a12b12 a1n b1n
A
11 4
4
4
1 9
3
❖矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 (1) ABBA (2) (AB)CA(BC)
设矩阵A(aij) 记A(aij) A称为矩阵A的负矩阵； 另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O；
(3) A= A+O = O+A
由此，规定矩阵的减法为ABA(B)，例如
但也有例外，比如设 A 2 0, B 1 1,
0 2
1 1
则有
AB
2 2, 2 2
BA
2222
A B B.A
定义 满足AB=BA的矩阵称为可交换的.
结论 两个同阶对角矩阵是可A 交换的.
14
结论 n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即
EA=AE=A
证明
设
A
aij
为任意n阶矩阵,则有
§2.2 矩阵的基本运算
1、运算定义&运算规则 2、矩阵应用举例
A
1
1、运算定义&运算规则
同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
62 与 1843 4 Nhomakorabea为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵 Aaij 与 Bbij 为同型矩阵,并且对应
1
1
1 1
1 1
两个非零矩阵的 乘积可能是零矩阵
则
A
B
0
0
0
0
BA
2
A
2
2
ABBA
2
13
问题 矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？ (1)AB有意义，但BA没意义； (2)AB与BA都有意义，但可能不是同阶方阵； (3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.
结论 在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序 “左乘” & “右乘”