试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第9章 配方试验设计
《实验设计与数据处理》课程小结
T
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70
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50
40
30
460
480
500
520
540
560 λ
2、 0.618法安排实验
• 确定第一、二两个实验点 x1 = a + 0.618 ( b - a ) =80＋0.618×40＝105 x2 = a + 0.382 ( b – a ) = 80＋0.382×40 ＝95
80
x2 ＝95 x1 ＝105
• 叶卫平 等编
精通Origin 7.0 （O245/17）
周建平 编
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本
课
谢
程 学 习 完 毕
谢祝 学 习 愉 快
参考文献
1. 水处理实验技术.李燕城.中国建筑工业 出版社.
2. 试验设计与数据处理.李云雁等.化学工 业出版社:2005.2 O212.6-43/2
3. 实验设计与数据处理.刘振学等.化学工 业出版社:2005.3 O212.6-43/1
4. 实验设计与数据处理.田胜元.中国建筑 工业出版社. TU83-43
综合起来以A3B2C2最好。
追加试验
• 追加试验方法：在A3B2C2下作几次试验，看看 平均转化率是否高于已作试验的9次试验．
• 实验结果表明：追加试验A3B2C2的平均转化率 为74％，显著高于前面9次试验最好的结果64％ ．
• 注意：由于温度的增加，显著地使转化率增加， 追加试验应考虑温度大于90℃的情形．
0.48, 150
100
0.279, 100 y = 280.78x + 13.625
试验误差的分析及数据处理
例 1：某工厂测定含铬废水浓度的结果如下表，试计算其
平均浓度。
铬（mg/L） 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
出现次数 3 5
7
7
5
x 0.33 0.45 0.57 0.67 0.75 35775
＝0.52（mg/L）
例 2：某印染厂、各类污水的 BOD5 测定结果如下表，试 计算该厂污水平均浓度。
污水类型
BOD5 （ mg/L）
污水流量 （ m3 /d）
退浆污水
4000
15
煮布锅污水
10000
8
印染污水
400
1500
漂白污水
70
900
解：
x
4000 15
10000 8 400 1500 15 8 1500 900
70
900
=331.4（mg/L）
2．直接测量值与间接测量值
直接测量值就是通过仪器直接测试读数得到的数据。
精密度(precision)是平行测量的各测量值(实验值)之间 互相接近的程度。 用偏差表示,偏差为测定值与平均值之 差，偏差可分为：绝对偏差(d)与相对偏差（dr）平均偏差、 相对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差等：
（1）绝对偏差(d)： d X i X
（2）相对偏差（dr）为绝对偏差与平均值之比，常用百分率
正确度反映系统误差的大小的程度。如观测的系统误 差小，则称观测的正确度高。可以使用更精确的仪器 来提高观测的精密度。 精确度反映偶然误差与系统误差合成的综合误差大小 的程度。 对于测量来说，精密度高，正确度不一定高；同 样，正确度高，精密度也不一定高；精确度高，则精 密度和正确度都高。
例如：甲、乙、丙、丁四个人同时用碘量法测定某铜矿中CuO含 量（真实含量为37.40）测定4次，其结果如下图所示：分析此 结果精密度与正确度的关系。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁-第1章-误差分析PPT优秀课件
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
13
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
10
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln 宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一 确定的规律起作用而形成的误差
（2）产生的原因：多方面 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的
平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进
行校正，或设法消除。
数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法” 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计
3
0.2 试验设计与数据处理的意义
0.2.1 试验设计的目的:
合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了3个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次
6
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定
误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致
试验设计与数据处理
试验设计与数据处理-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN试验设计与数据处理的应用摘要：试验设计与数据处理虽然归于数学统计的范畴，但它也应用于技术学科，具有很强的适用性。
到目前为止，经过80多年的研究和实践，已经成为广大技术人员与科技工作者必备的基础理论知识。
该学科与实践结合，在工、农业生产中产生了巨大的社会效应和经济效应。
本文从回归正交试验设计、配方试验设计和正交试验设计方面举例来进一步说明试验设计与数据处理学科的重要地位。
关键词:回归正交试验设计；均匀设计；正交试验设计；应用概况；1正交试验设计1.1正交试验设计简介正交试验设计简称正交设计，它是利用正交表科学地安排与分析多因素试验的方法。
用此方法可以大大的减少试验次数，以节省人力和财力。
1.2正交试验设计应用实例为提高酒精纯度，要求小麦等原料在一定温度、发酵时间和催化剂作用下完成发酵过程。
请用正交试验方法确定发酵量(%)的最佳条件。
影响实验的主要因素和水平见表三（a）。
表中A为温度；B为发酵时间；C 为催化剂种类。
具体步骤如下：1)试验指标的确定：发酵量(%)。
2)选正交表：根据表三（a）的因素和水平，可选用L 9(34)表。
3)制定实验方案：按选定的正交表，应完成9次实验。
实验方案见表三（b）。
4)实验结果：将所计算出的发酵量列于表三（b）。
表三（a）因素和水平表因素温度／℃发酵时间/D催化剂种类符号A B C水平123181419574甲乙丙表三（b）正交试验的试验方案和实验结果试验号列号A空列B C试验方案发酵量(%)1 2 3 4 5 6 7 81112223312312312123231311233122393321表三（c）正交试验的指标K、k及极差Rk1k2k3R因素主→次ABC优方案平的总指标的平均值ki(i=1,2,3)和相应因素条件结合，在直角坐标系中完成直观图——趋势图。
本例中对于B、C因素而言发酵时间为7D、5D，催化剂使用乙、丙对优方案的影响都不太大，这就要根据实际产品的造价成本加以取舍，这就是正交试验设计的便捷效率，详见表四。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第1章 误差分析.ppt
1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
相对误差
绝对误差 真值
或
ER
x xt
x
xt xt
（2）说明：
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
ER
x x
可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x xt
x xt max
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 ➢ 平面三角形三内角之和恒为180° ➢ 国家标准样品的标称值 ➢ 国际上公认的计量值 ➢ 高精度仪器所测之值 ➢ 多次试验值的平均值
1.1.2 平均值（mean）
（1）算术平均值（arithmetic mean）
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln x2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
试验设计与数据处理(第三版)李云雁-第1章-误差分析
若
2
2 (1
)
(df
)
则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小
➢ 右侧（尾）检验
若 2 2 (df ) （当 s2 2 时）
则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大
（3）Excel在 2 检验中的应用
1.5.1.2 F检验(F-test)
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln x2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
s——合并标准差：
s (n1 1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2
两组数据的精密度或方差有显著差异时 t x1 x2 s12 s22 n1 n2
服从t分布，其自由度为：
df
(s12 n1 s22 n2 )2 (s12 n1)2 (s22 n2 )2
2
(n1 1) (n2 1)
定义式：
SE
n
(xi x)2
i 1
n(n 1)
试验设计与数据处理方法
试验设计与数据处理方法试验设计与数据处理试验设计方法对于化工、轻工、制药、食品、生物、材料、农林、机械等需要实验与观测的学科专业，经常需要通过试验来寻找所研究对象的变化规律，并通过对规律的研究达到各种实用的目的，如提高产量、降低消耗、提高产品性能或者是质量等。
自然科学和工程技术中所进行的试验，是一种有计划地实践，科学的试验设计，能用较少的试验次数，达到预期的试验目标，事半功倍。
常用的试验设计方法有优选法、正交试验设计、均匀设计、回归正交试验设计、配方法试验设计等，下面简单介绍一下这些常用的实验设计方法，并根据本次试验特点选定一种适合的方法。
优选法所谓优选法（optimum seeking method）就是根据生产和科研中的不同问题，利用教学原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速找到最佳点的一类科学方法。
在生产和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗的目的，需要对有关因素（如配方、配比、工艺操作等条件）的最佳点进行选择，所有这些选择点的问题，都称之为优选问题。
优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形式表达，或者是虽然可以表达，但是形式很复杂的问题。
普遍使用的单因素优选法主要包括来回调试方法、黄金分割法、分数法、对分法、抛物线法、分批试验法、逐步提高法等。
下面对最典型的黄金分割法做简单的介绍。
所谓黄金分割法就是对于长为L的初始区间[a,b]，将第一个试验点x1安排在试验范围的0.618处（距离左端点a），即：x1=a+(b-a)*0.618再在区间[a,x1]取对称点x2, 使第二个试验点x2安排在试验范围[a,x1]的0.618处（距离左端点a），即：x2=b-(b-a)*0.618=a+(b-a)*0.382做两次试验，分别得到f(x1)和f(x2)，比较f(x1)、f(x2)的大小。
若f(x1)>f(x2)，就去掉区间[a,x2]，在留下的区间[x2,b]中已有了一个试验点x1，然后再用以上的求对称点的方法做下去，继续寻优，直到满足条件为止。
授课--试验设计与数据处理(第9章)
（3）依据设计表实验方案进行实验
注意：设计表中为规范变量 值，应注意xj与zj的取值
y
b
j 1
m
j
xj
b
k j
kj
xk x j
试验 号 1 2 3 4 5 6
z1 1 0 0 1/2 1/2 0
z2 0 1 0 1/2 0 1/2
z3 0 0 1 0 1/2 1/2
y y1 y2 y3 y12 y13 y23
正规单纯形
正规单纯形的顶点代表单一成分组成的混料，棱上的点代表两 种成分组成的混料，面上的点代表多于两种而少于等于m种成 分组成的混料，而内部的点则是代表全部m种成分组成的混料
例如：m=3、二维
高为1的正规单纯形可表示混料组成，则因受总量为1的限 制，各组份百分比只能在∆ABC上取值（二维正规单纯菜 等边三角形上） 正规单纯形内任一点到各个面的距离之和是1 顶点代表单一成分组成的混料 棱上的点代表两种成分组成的混料 面上的点代表多于两种而≤m 种成分组成的混料 内部的点则是代表全部m种成分组成的混料 同理：三维或多维空间取一个高为1的正规单纯形，则该 单纯形内任意一点到各个面的距离之和为1，把距离看成 相应坐标，即为各组份的百分比
m
zj
xj aj 1
m
j 1
aj
显然：若各自变量的下界均为0，则自变量与规范变量相 等，即变成了无约束配方设计。
4
2016/4/10
单纯型格子点设计基本步骤
（1）明确实验指标，确定混料组份xj （2）根据组分数m和阶数d选择合适大小的设计表，并列 出实验方案
（4）回归方程的建立：将每号试验的编号及试验结果代入 对应的回归模型中，求出各回归系数。 例：｛m，2｝单纯形格子点设计回归模型 ：
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配方试验设计
配方试验设计（formula experiment design ） 混料试验设计（mixture experiment design） 合理地选择少量的不同配比的试验，以确定最佳的 产品配方
9.1 配方试验设计约束条件
若y表示试验指标，x1，x2，…，xm表示配方中m种组分各 占的百分比，则混料约束条件 ：
编码公式：
x j a j (1 a j ) z j
j 1
m
或
zj
xj aj 1 a j
j 1 m
例：
x1 a1 , x2 a2 , x3 a3
x1 [1 (a1 a2 a3 )]z1 a1
x2 [1 (a1 a2 a3 )]z2 a2 x3 [1 (a1 a2 a3 )]z3 a3
＊9.3 配方均匀设计
单纯形设计 ：
设计、分析简单 试验点在试验范围内的分布不十分均匀 配方均匀设计： 使试验点在单纯形中散布尽可能均匀
无约束的配方均匀设计步骤： （1）配方均匀设计表的选用
配方均匀设计表：
UMn（nm）或UMn*（nm） n：试验次数
m ：组分数
xj≥ 0 （j＝1，2，…，m）
x1＋x2＋…＋xm＝1
9.2 单纯形配方设计
9.2.1 单纯形的概念
单纯形（simplex ）：凸形
正规单纯形： 例：正三角形，正四面体
高为1的正规单纯形可表示混料组成
正规单纯形内任一点到各个面的距离之和是1 顶点代表单一成分组成的混料 棱上的点代表两种成分组成的混料 面上的点代表多于两种而≤m 种成分组成的混料 内部的点则是代表全部m种成分组成的混料
715
（2）回归方程的建立 例： ｛m，2｝单纯形格子点设计回归模型 ：
y b j x j bkj xk x j
j 1 k j
m
回归系数的计算：
试验 号 1
z1 1 0 0 1/2
z2 0 1 0 1/2
z3 0 0 1 0
y y1 y2 y3 y12
b j y j bkj 4 ykj 2( yk y j )
编码目的：使自然变量转变为0≤zj≤1
若自然变量xj都无约束，则xj＝zj 根据组分数m选择合适大小的设计表 ｛m，d｝单纯形格子点设计试验点数
组分数m 3 4 5 6 阶数d 2 6 10 15 21 3 10 20 35 56 4 15 35 70 126
8
10
36
55
120
220
330
例：当m＝3，d＝2时
6个试验点：
图示 表：{ 3，2 }单纯形格子点设计表
例：当m＝3，d＝3时 10个试验点：
图示 表：{ 3，3 }单纯形格子点设计表 说明： 每种组分的百分比xj的取值与阶数d有关，为1/d的倍数： xj＝0，1/d，2/d，…，d/d＝1 xj 编码：xj＝zj （无约束）
9.2.2 单纯形格子点设计（simplex-lattice design ）
（1） 单纯形格子点设计试验方案的确定 ①无约束单纯形格子点设计
无约束的配方设计： 是指除了配方设计的约束条件，不再有对各组分含量加以 限制的其它条件 各组分含量xj的变化范围可用高为1的正单纯形表示
2 3 4
5
6
1/2
0
0
1/2
1/2
1/2
y13
y23
（3）最优配方的确定：
用Excel的“规划求解”工具求最佳配方
有下界约束时： 将zj 转换成xj 无约束时：不用回代
（4）回归方程的回代
（5）例9-1
编码
选配方设计表 试验方案 回归方程的建立 确定最优配方
9.2.3 单纯形重心设计
选表： 根据混料组分数 m 回归分析所需试验次数
（2）明确试验方案，进行试验
（3）试验结果分析
直观分析： 直接选用其中最好的试验点作为最优配方 回归分析：
建立试验指标y与各组分百分比xj之间的回归方程
根据回归方程找出优方案 验证试验
9.4 Excel在配方设计中的应用
重心设计表
（2）单纯形重心设计结果分析
将自然变量xj转换成规范变量zj
若m＝3，规范变量zj与试验指标y之间的回归方程为：
y b j z j bkj zk z j b123 z1 z2 z3
j 1 k jj bkj 4 ykj 2( yk y j ) b123 27 y123 12( y12 y13 y23 ) 3( y1 y2 y3 ) 确定最优配方： 利用Excel的“规划求解”工具
回归分析
规划求解
试验方案 配方试验点在单纯形格子点上： 格子点集：{m，d } m——单纯形的m个顶点，表示m种组分
d——每边等分数，称为阶数
例： 正三角形格子点集：{3，d }， 四顶点单纯形格子点集：{4，d }
例：当m＝3，d＝1时 3个试验点 正三角形的三个顶点： （1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）
②有约束单纯形格子点设计
除配方设计的约束条件，还要 受其它约束条件限制，如：
aj ≤xj≤bj， j＝1，2，…，m
有下界约束的单纯形格子点设 计： aj ≤xj 试验范围为原正规单纯形内的 一个规则单纯形
单纯形格子点设计表的选用 先将自然变量xj（j＝1，2，…，m）进行编码
（1） 单纯形重心设计试验方案的确定
将试验点在单纯形的重心上
重心： 单纯形的顶点
棱的中点
三角形的中心 四个顶点的重心
……
m个顶点的单纯形重心设计共有(2m－1)个重心，即试验点 数为(2m－1)个
单纯形(m个顶点)重心设计试验点包括：
m个单一成分的点
二种成分相等的试验点 三种成分相等的试验点 …… 1个m种成分相等的试验点 例:当m=3时 共有7个试验点 图示