21-17定积分的简单应用
定积分的简单应用 课件
1．利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图 象． (2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在 x 轴上方与下方 的部分． (3)借助图形确定出被积函数． (4)求出交点坐标，确定积分的上、下限． (5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数 和，求出面积．
bF(x)dx
＝a移动到x＝b.则变力F(x)作的功W＝
a
.
不分割型平面图形的面积的求解 如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为 一个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分 求出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线 和抛物线的交点的横坐标．
2．变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v
bv(t)dt
＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝
a
.
3．变力做功 一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体
沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所作的功为W＝Fs.
如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x
[解析] 解方程组yy＝ ＝x2x2，， 得x1＝0，x2＝2. 故所求图形的面积为
S＝22xdx－2x2dx＝x202
－13x3 20
＝43.
0
0
分割型平面图形面积的求解
求由曲线y＝
x
，y＝2－x，y＝－
1 3
x所围成图形
的面积．
[分析] 画出三条曲(直)线，求出交点坐标，将平面图形按
交点分割成可求积分的几部分再求解．
高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2
10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1，0)，
(1，0)，且函数图像关于y轴对称，所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线y=sin x，x∈ [与 ，x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图，阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知，阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】 若函数f(x)=Asin （ (Ax >0，） ω>0)的图像如图所示，则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .
对称性在积分计算中的应用
㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。
高三数学积分试题答案及解析
高三数学积分试题答案及解析1.二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( ) A．B．C．或D．或【答案】A【解析】∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，当时，.【考点】二项式定理、积分的运算.2.直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，∴直线l的方程为y=1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为=（ x﹣）|=．故选C．3.设．若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______．【答案】【解析】．4.设，若，则；【答案】1【解析】由题知，解得.【考点】定积分、分段函数.5.直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形面积为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得直线l的斜率为,抛物线的焦点为,所以直线l的方程为.联立直线与抛物线方程,则可知直线与抛物线围成的封闭图形面积为,故选B.【考点】直线方程定积分6.的展开式中的常数项为a，则直线与曲线围成图形的面积为【答案】【解析】解：所以答案应填：.【考点】1、二项式定理；2、利用定积分求曲边多边形的面积.7.定积分的值为____________.【答案】【解析】．【考点】定积分．8.根据=0推断直线x=0,x=2π,y=0和正弦曲线y=sinx所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为()A．面积为0B．曲边梯形在x轴上方的面积大于在x轴下方的面积C．曲边梯形在x轴上方的面积小于在x轴下方的面积D．曲边梯形在x轴上方的面积等于在x轴下方的面积【答案】D【解析】【思路点拨】y=sinx的图象在[0,2π]上关于(π,0)对称,据此结合定积分的几何意义判断. 解:y=sinx的图象在[0,2π]上关于(π,0)对称,sinxdx=+sinxdx=0.9.(x2-x)dx=.【答案】【解析】(x2-x)dx=(x3-x2)=-=.10.如图,设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动,记直线OP、曲线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记为S1,S2,若S1=S2,则点P的坐标为.【答案】(,)【解析】【思路点拨】设直线OP的方程为y=kx,P点的坐标为(x0,y),由S1=S2求出k的值,再求点P的坐标.解:设直线OP的方程为y=kx,P点的坐标为(x0,y),则(kx-x2)dx=(x2-kx)dx,即(kx2-x3)=(x3-kx2),即k-=-2k-(-k),解得k=,即直线OP的方程为y=x,所以点P的坐标为(,).11.若S1＝x2d x，S2＝d x，S3＝e x d x，则S1，S2，S3的大小关系为()．A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1【答案】B【解析】S1＝x2d x＝x3＝，S2＝d x＝ln 2，S3＝e x d x＝e2－e，∴S2＜S1＜S3.12.由曲线，直线，和轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由定积分的含义表示，自变量从对应的函数的值的和，所以当函数的图像在x轴的下方时表示在这个区间对应的函数值小于零，所以与面积的概念不同.所以曲线，直线，和轴围成的封闭图形的面积，应该根据图形的对称性表示为.故选B.【考点】1.定积分的概念.2.定积分的几何意义.13.设，则二项式的展开式中，项的系数为【答案】60【解析】=（-6cosx）=（-6cos）-（-6cos0）="6." 二项式的展开式的通项为Tr+1=，由=2解得r=2，所以项的系数为=4×15=60.【考点】1.定积分；2.二项式定理.14.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．3B．C．3或D．3或【答案】B【解析】∵，第二项的系数为，∴，∴.【考点】1.二项展开式的系数；2.积分的计算.15.定积分等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】定积分基本定理16.若函数f(a)＝，则f等于【答案】p＋1【解析】因为f(a)＝=.所以.故填p＋1.本题考查定积分的知识点，易错点：求函数的导数的逆运算易错，最后结果的两组数对减易错.【考点】1.定积分的知识.2.函数的导数的逆运算.17.= .【答案】0．【解析】因为是奇函数，所以=0．【考点】定积分的计算．18.从如图所示的正方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】阴影部分的面积，而正方形的面积，故点取自阴影部分的概率为，故选B.【考点】1.定积分；2.几何概型19. 定积分（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】.【考点】积分的运算. 20. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令x=4，代入直线y=x-1得A （4，3），同理得C （4，），由=x-1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x-1交于点B （2，1），∴S ABC =S 梯形ABEF -S BCEF 而S BCEF ==（2lnx+C ），（其中C 是常数）=2ln4-2ln2=2ln2，∵S 梯形ABEF =（1+3）×2=4，∴封闭图形ABC 的面积S ABC =S 梯形ABEF -S BCEF =4-2ln2，故选D. 【考点】定积分在求面积中的应用21. 一物体在力（单位：）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到（单位：）处，则力做的功为 焦. 【答案】.【解析】由题意知，力所做的功为焦.【考点】定积分 22. 已知，，记则的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【解析】由已知，联想到定积分的几何意义得：为在上的定积分，即为曲边梯形的面积，而梯形的面积（如图），，故选C．【考点】定积分的几何意义．23.设，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，选C.【考点】1.分段函数；2.定积分24.___________.【答案】2【解析】，故答案为2.【考点】定积分的计算25.已知，直线交圆于两点，则．【答案】．【解析】由定积分的几何意义可知，，圆心到直线的距离．【考点】1．定积分的计算；2．直线与圆（相交弦长公式）．26.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为_______．【答案】【解析】曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形如图所示，故：= .【考点】定积分的计算27.若，则实数的值是 .【答案】【解析】由，解得，又因为，所以.【考点】积分的计算.28.抛物线与直线所围成的图形的面积为____．【答案】【解析】如图所示，抛物线与直线所围成的图形的面积为.【考点】积分求面积.29.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意由定积分的几何意义可得如图所示阴影部分的面积为，所以点取自阴影部分的概率为．【考点】定积分的几何意义及几何概率．30.一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.【答案】36【解析】把0到4的积分根据题意分成2段，再分别求积分，即.【考点】考查积分的运算.31.____________________.【答案】【解析】【考点】定积分点评：本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．32.设函数，其中则的展开式中的系数为（）A．-360B．360C．-60D．60【答案】D【解析】令的系数为【考点】定积分函数导数与二项式定理点评：本题中涉及到的知识点较多，主要有定积分的计算（首要找到被积函数的原函数）函数求导数及二项式定理：的展开式中通项为33.计算定积分；【答案】【解析】。
定积分的应用
图1-1图1-2a =x x x x x x x i1定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。
在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。
恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。
凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。
正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。
以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。
1 定积分的概念的提出问题的提出曲边梯形的面积（如图1）所谓曲边梯形，是指由直线a x =、b x =（b a <），x 轴及连续曲线)(x f y =（0)(≥x f ）所围成的图形。
其中x 轴上区间],[b a 称为底边，曲线)(x f y =称为曲边。
不妨假定0)(≥x f ，下面来求曲边梯形的面积。
由于cx f ≠)(（],[b a x ∈）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点],[,21b a x x ∈ ，12x x -很小时，)(1x f ，)(2x f 间的图形变化不大，即点1x 、点2x 处高度差别不大。
于是可用如下方法求曲边梯形的面积。
（1） 分割 用直线1x x =，2x x =，1-=n x x （b x x x a n <<<<<-121 ）将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形，区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =，n x b =。
区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -，用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度，i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积，),,2,1(n i =，整个曲边梯形的面积S 等于n 个小曲边梯形的面积之和，即∑=∆=ni i S S 1（2）近似代替: 对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度i x ∆很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ，用以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ，近似代替这个小曲边梯形的面积（图1-1）， 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.（3）求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和，即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini ix f ∆∑=)(1ξ上式由于分割不同，i ξ选取不同是不一样的，即近似值与分割及i ξ选取有关（图1－2）。
一元函数积分学及其应用(课件)
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
定积分的应用课件
2 信号处理
定积分可以计算信号的功 率、频谱和通量。
3 流体力学
通过定积分可以计算流体 的压力、速度和流率。
定积分在地理学中的应用
地形测量
通过定积分可以计算地球表面和 地质构造的高程。
气象学
定积分可以计算气象参数在空气 层中的分布和变化。
人口地理学
通过定积分可以计算人口密度和 城市发展的空间格局。
将面积概念应用于实际场 景，如教室布置和园艺规 划。
3 面积游戏
通过面积游戏和竞赛激发 学生学习兴趣和动力。
和混合效果。
3
创意表达
定积分可以用于艺术家和设计师的创意 表达和构思。
定积分在社会科学中的应用
社会学
定积分可以用于计算人口统计数 据和社会发展指标。
心理学
通过定积分可以建模心理过程和 行为变化。
经济学
定积分可以用于经济模型和政策 的评估和预测。
小学生学习面积时的应用
1 绘图和标注
2 实际场景
通过绘制图形和标注边长， 引导学生进行面积计算。
3
经济增长
通过计算国民收入的定积分，可以评估经济的增长率。
定积分在生物学中的应用
种群动态
定积分可以计算物种数量和 种群生长率。
生态系统
通过定积分可以计算能量流 量和物质循环。
药物浓度
定积分可以计算药物在体内 的浓度和释放速率。
定积分在工程学中的应用
1 结构分析
定积分可以计算结构的强 度、刚度和变形。
定积分在计算机科学中的应用
1 图像处理
定积分可以计算图像的亮 度、对比度和边缘检测。
2 数据挖掘
通过计算定积分，可以评 估数据的分布和模式。
定积分求导方法(一)
定积分求导方法(一)定积分求导在微积分中，定积分求导是一种重要的技巧，用于求解连续函数的导数。
本文将详细介绍定积分求导的各种方法。
方法一：牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求导的一种常用方法。
它的公式如下：d dx (∫fxa(t)dt)=f(x)这个公式的意义是，对于函数f(x)的定积分，其导数等于f(x)。
这使得我们可以通过求函数的定积分来得到其导数。
方法二：基本定积分求导法则在广义的意义下，可以使用基本定积分求导法则来求解定积分的导数。
以下是一些常用的基本定积分求导法则：1.$ _{a}^{b} k , dx = 0 $，其中 $ k $ 是常数。
2.$ _{a}^{b} x , dx = b - a $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是常数。
3.$ {a}^{b} f(x) + g(x) , dx = {a}^{b} f(x) , dx + _{a}^{b}g(x) , dx $，其中 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 是函数。
4.$ {a}^{b} f(x) g(x) , dx = f(b) g(b) - f(a) g(a) +{a}^{b} f’(x) g(x) , dx$，其中 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 是可导函数。
这些法则可以根据具体问题进行灵活运用，简化定积分求导的过程。
方法三：换元法换元法是一种常用的定积分求导的方法，通过引入新变量来简化计算过程。
其一般步骤如下：1.对于积分∫f(g(x))⋅g′(x) dx，选取适当的换元变量u=g(x)。
2.计算出du=g′(x) dx。
3.将原表达式中的g(x)和dx替换为u和du。
4.将对x的积分转换为对u的积分。
5.计算出∫f(u) du，得到最终结果。
使用换元法，可以将原本复杂的函数转化为更简单的形式，从而更容易进行积分和求导。
方法四：分部积分法分部积分法是定积分求导中的另一种常见方法，通过应用求导的乘积法则来简化计算过程。
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1.7.1定积分在几何中的应用教材分析这一节的教学要求是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分解决实际问题的基本思想和方法.在学习过程中，理解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的使用价值以及数学在实际应用中的强大作用.在整个高中数学体系中，这部分内容也是进一步学习高等数学的基础.教学方法是“问题诱导一一启发讨论一一探索结果”、“直观观察一一抽象归纳一一总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围.探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究.课时分配本课时是定积分应用部分的第一课时，主要解决的是平面图形的面积问题教学目标重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值.难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数知识点：应用定积分解决平面图形的面积.能力点：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法.教育点：在解决问题的过程中体会定积分的价值自主探究点：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法.考试点：应用定积分解决平面图形的面积.易错易混点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数拓展点：链接咼考.教具准备实物投影机和粉笔.课堂模式基于问题驱动的诱思探究.一、创设情境1、求曲边梯形的思想方法是什么？（以直代曲，无限逼近）2、定积分的几何意义是什么？o - - cos 二-(-cosO) =2 , 若f(x)^O则表示面积sin xdx = -cosx=f "sin xdx=—cosx ?=—cos2x —(—cosn) =-2，若f (x)兰0则表示面积相反数3、微积分基本定理是什么？【设计意图】回顾前面所学知识，做到温故而知新，同时加深理解二、探究新知㈠利用定积分求平面图形的面积例1 •计算由两条抛物线 y2= x 和y = X 2所围成的图形的面积.分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到解：由y =x =0及x =1，得两曲线的交点为（0,0） >（1,1）,y =x 2面积 S = ° xdx - o x2dx ,所以S= 01（匚/*知2<0已总结：在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1. 作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积; 练习：计算由曲线 y =x3-6x 和y =x 2所围成的图形的面积例2 •计算由直线y =x -4，曲线莎 以及x 轴所围图形的面积 S .分析：首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题•与例 1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S ,和•为了确定出被积函数和积分的上下限，需要求出直线 y =x -4与曲线y 二2x 的交点的横坐标，直线 y =x -4与x 轴的交点.解法一：作出直线 y = x-4，曲线y 「.丟 的草图，所求面积为图中阴 影部分的面积. 解方程组y = 2x,得直线y=x-4与曲线y 「2x 的交点的坐标为 y = x _4(8,4)4.微积分基本定理求定积分若对称则面积为直线y =x _4与x 轴的交点为（4,0）.4--- 8---- 8因此，所求图形的面积为 S =3 • S 2 2xdx • [ 4.2xdx - 4 (x -4)dx]272 号 8 64。
40 —8 = — — 8 =—0 3 3【设计意图】 动手实践 注意强调用步骤方法，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草 图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上下限三、理解新知1、定积分的几何意义是:在区间［a , b ］上的曲线y = f （x ）与直线x =a 、x 二b 以及x 轴所围成的图形的面积的代数和，即bf （x ）dx 二S x 轴上方一S x 轴下方.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本a定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数 y = sin x x 壬［0,2i ］的图像与x 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、 求曲边梯形面积的方法与步骤：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上下限； ⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和3、 几种常见的曲边梯形面积的计算方法：x 型区域：①由一条曲线 y 二f （x ）（其中f （x ） -0）与直线x =a,x = b （a ：：： b ）以及x 轴所围成的曲边梯b形的面积：S = ［ f （x ） dx （如图（1））；②由一条曲线 y=f （x ）（其中f （x ）＜ C ）与直线x = a , x= b （acb ）以a与直线x=a , x = b （a ：：： b ）所围成的曲边梯形的面积：S = | f (x )— g (x ) |dx (如图(3))a及x 轴所围成的曲边梯形的面积：s = b f f (x )dx = —bab f (x )dxa（如图（2 ））；③由两条曲线图（1）图（2）图（3）辽33I 4|4扣一4） ,8 407解法y =f (x ), y =g (x )(其中f (x ) _ g (x ))4、改变积分变量求曲边梯形面积的计算技巧【设计意图】分层要求，应用整合，强化新知，让学生进一步熟悉其操作步骤，做到烂熟于心四、应用新知2辽2辽x [0,]与直线x =0, x , x轴所围成的图形面积3 32兀空3S= °3 sin xdx = — cos x |o3例4.计算由曲线寸=2x和直线y = x-4所围成的图形的面积解法一：Iy =2x(2, -2), (8,4). x^[0,2] ,xJ2,8]2 8i 2 t8 iS S2 =2 0、、2xdx 2(、‘ 2x —x 4)dx 2 2xdx 2 (、. 2x - x 4)dx-丄x2 4x)|2$宜公七2 3 3 3解法二:-2 小y =2x二y =x-4(2, -2), (8,4). y [ -2,4]4 1 2 1 2 1 3S「(y 4-尹*(尹"6y)—18例5.求曲线y= log2 x与曲线y = log 2(4 - x)以及x轴所围成的图形面积.y =log2 x,解：由彳解得交点坐标为(2,1)，所以yf0,1]』=log2(4 - x)又反解得：x =2y, X =4 -2y,即g(y) P y, f (y) =4 -2y例3.求曲线y = sin x解:.Xo=1，所以切点坐标与切线方程分别为 y = 2x - 1.【设计意图】 通过具体的例子，让学生体会定积分与其它知识的结合考查，若时间允许，还可补充抛物线 焦点弦围城封闭图形的面积最值问题.五、 课堂小结求阴影图形面积的方法与步骤：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； ⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和 有时需要注意改变积分变量的求积技巧 .六、 布置作业1、 必做题:P 60习题2、 选做题:1•如右图，阴影部分面积为( B )bcbA . ][f(x) —g(x)]dx ;B . [[g(x) — f (x)]dx+[ [f (x) —g(x)]dxbb bC . .a [f(x)-g(x)]dx c[g(x)-f(x)]dx ； D.」g(x) f(x)]dx.2、求直线y =2x - 3与抛物线y =x 2所围成的图形面积于是所求图形的面积为：11yS=.0[g(y)-f(y)]dy= 0(4一2 2y)dy = (4y _2 2ylog 2e )|0=4_2log 2 e 【设计意图】 通过具体的例子，进一步让学生求面积的方法以及积分变量的调整, 灵活掌握积分法求面积,尤其是积分变量的问题，有的可以自由选择如例 4,但有的却别无选择，只能用 y 如对数的例5.=x 2(x _ 0)上的某点 切点A 的坐标以及切线方程• 2解：如图由题可设切点坐标为 (x 0, x 0 )X o切线与x 轴的交点坐标为(二0,0),2.试求:X o则由题可知有S 叮x2dixo 22X o (X - 2x °x X o )dx 二 12 12 X o 31322解：S = (2x +3— x )dx = (x 3x-M (0, -3)和N (3,0)处的两条切线所围成的图形的面积则所求图形的面积为七、 反思提升1. 本节课的亮点是课件制作精良，易于学生接受，课堂容量大，题型全面，尤其是积分变量的问题， 有的可以自由选择如例 4,但有的却别无选择，只能用y 如对数的例5,学习效果好•2. 本节课的不足之处是由于使用课件学生动手机会少，实践的少，课下需要补充训练，尤其是改变积 分变量的题目，而且还可以渗透字母系数的题目结合导数求最值等八、 板书设计1.7.1定积分在几何中的应用二、例题讲解 例5 一•新课讲授例3例6问题例1 例4三、课堂小结例23、求由抛物线y = -x 2• 4x — 3及其在点 解：：y 、_2x ・4，切线方程分别为y =4x _ 3、 y = _2x 6，3S = J[(4X _3) _(_x 23294x -3)]dx 亠 |3[( -2x 6) -x 4x -3)] dx=— •4。