2019年四川省成都市青羊区树德中学外地生自主招生数学试卷
成都树德中学(九中)2016年自主招生考试数学试题
成都树德中学（成都九中）2016年外地生自主招生考试数学试题考试时间：120分钟，满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1、已知a,b满足a2−2a−5=0,b2−2b−5=0,且a≠b,则ba +ab+3的值是（）（A）15(B)−15（C）25(D)−252、若关于x的不等式组{x−m<07−2x≤1的整数解共有4个，则关于x的一元二次方程x2−8x+m=0的根的情况是（）（A）有两个不相等的实数根（B）有两个相等的实数根（C）没有实数根（D）有一正一负根3、在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P是BD上一动点,过P作EF∥AC,分别交正方形的两条边于点E,F.设BP=x,△BEF的面积为y,则能反映y与x之间关系的图象为( )A. B. C. D.4、如图在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P是BD上一动点,过P作EF∥AC,分别交正方形的两条边于点E,F.设BP=x,△BEF的面积为y,则能反映y与x之间关系的图象为()所示，O1的半径为3，圆O2的半径为1，两圆外切于点P，从O1上的点A作圆O2的切线AB,B为切点，连AP并延长，与圆O2交于点C，则ABAC( )A.1 2B.√32C.45D.355、如果实数a,b,c满足：a+b−2√a−1−4√b−2=3√c−3−12c−5,则a+b+c的值是（）A.2B.20C.6D.2√56、如图,一根木棒AB长为8斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,与地面的倾斜角∠ABO=60°,若木棒沿直线NO下滑,且B端沿直线OM向右滑行,则木棒中点P也随之运动,已知A端下滑到A′时,AA′=4√3−4√2，则木棒中点P随之运动到P′所经过的路线长为（）(A)π3(B)16√3−2413(C)2(√3−1)5(D)27、8、已知相互垂直的直线、已知相互垂直的直线L 1:y =k 1x +2−k 1与L 2:y =k 2x +2−3k 2交于点P ，O 为坐标原点，则op 的最大值是（ ）A.√13B.√3+2C.4√2+9D.2√2+19、若图所示，O,I 分别表示△ABC 的外心与内心，已知∠OIB=30°，则∠BAC=A.30°B.45°C.60°D.75°10、若实数x 、y 满足关系式2xy−x−y=2,则x 2+y 2的最小值为( )A. 3−√5B. 3+√5C. 8+4√3D. 8-4√311、已知函数y=cosx,a,b,c 分别为△ABC 的内角A,B,C 所对的边，且a 2+b 2≤c 2,则下列不等式一定成立的是（ ）（A ）cos(sinA)≤cos(cosB) (B)cos(sinA)≤cos(sinB)(C)cos (cosA )≤cos (sinB ) (D)cos(cosA)≤cos(cosB)12、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点O 在坐标原点,顶点A. C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,矩形对角线AC 、OB 相交于E,过点E 的直线与边OA 、BC 分别相交于点G 、H,以O 为圆心,OC 为半径的圆弧交OA 于D,若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F,则下列结论：①AG=CH;②GH=103;③直线GH 的函数关系式y=−34x+54;④梯形ABHG 的内部有一点P,当☉P 与HG 、GA 、AB 都相切时,☉P 的半径为12.其中正确的有( )（A ） 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)4个第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）13、已知抛物线22)2(212++-+=x x b x y 向右平移2个单位后得到抛物线τ，τ经过点)0,4(A .设点)3,1(-C ，请在抛物线τ的对称轴上确定一点D ，使得CD AD -的值最大，则D 点的坐标为___________________.14、端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯。
2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试题(含详解)
2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试卷一、单选题1.下列判断正确的是（ ）B.若，则是同类二次根式2.下列四个运算中，只有一个是正确的.这个正确运算的序号是（ ）①；③；④.A.①B.②C.③D.④3.如图（1），在一个边长为m 的正方形纸片上剪去两个相同的小长方形，得到一个如图（2）所示的图案，若再将剪下的两个小长方形拼成一个如图（3）所示的新长方形，则新长方形的周长可表示为（ ）图（1）图（2） 图（3）A. B. C. D.4.如图，在菱形中，，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，不与各端点重合，且，连接BF 、DE 交于点M ，延长ED 到H ，使，连接AM 、AH ，则以下四个结论：①；② ；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.45.如图，圆环中大圆的半径为r ，小圆的半径为长，AB 为大圆的直径，则阴影部分的面积为（ ）0.5<0ab =0a b ===01333-+=-=()32528a a =844a a a -÷=-23m n-24m n -410m n-48m n-ABCD AB BD =BE CF =DH BM =BDF DCE ≅△△120BMD ∠=︒AMH △2S ABCD AM =四边形2rA.B.C.D.6.如图，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为S ，则S 关于t 的大致函数图象是（）A. B.C. D.7.在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，放回搅匀后，再摸出一个球.两次都摸到红球的概率是（ ）A.B.C.D.8.如图，，都经过A 、B 两点，且点O 在上，连接并延长，交于点C ，连接交于点D ，连接，，若，则的长为（ ）A.B.9.小强用一根长为的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）A. B. C. D.10.在，0，－1，这四个数中，最小的数是（ ）2π4r 23π4r 2π8r 23π8r AOB △():02l x t t =≤≤13232949O e 1O e 1O e AO O e BC 1O e AD AD BO ⊥3AB =»BDπ22π316cm 216cm 232cm 264cm 28cm 1212-A.B.0C.D.－1二、填空题11.若，则______，______，______.12.若，则的值为______.13.如图，点C 在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则______.14.若，则______.15.如图，一块含30°角的直角三角板ABC ，，将其绕点A 顺时针旋转得到，当B ，A ，在一条直线上时，顶点C 所走的路径长为______.16.如图，在中，G 是CD 上一点，连接BG 并延长，交AD 的延长线于点E ，点F 在AB 上，且，，，则______°.三、解答题17.解方程18.如图，已知：中，，，点D 是的中点，点P 是边上的一个动点.1212-()2242x mx n ax ++=+m =a =n =)11a a a +=>1a a-AB 2AC BC =AC BC AB ACDE BCFG EC EG tan CEG ∠=a -()240c +-=a b c -+=1BC =AB C ''C 'ABCD Y AF CG =30E ∠=︒50C ∠=︒BFD ∠=()()231=1x x --Rt ABC △90BAC ∠=︒AB AC =BC BC图1 图2 图3 图4（1）如图1，若点与点重合，连接，则与的位置关系是 ；（2）如图2，若点在线段上，过点作于点，过点作于点，则，和这三条线段之间的数量关系是______；（3）如图3，在（2）的条件下，若的延长线交直线于点，求证：；（4）如图4，已知，若点从点出发沿着向点运动，过点作于点，过点作于点，设线段的长度为，线段的长度为，试求出点在运动的过程中的最大值.19.在平面直角坐标系中，抛物线与直线l ：交于，B 两点，与y 轴交于，对称轴为直线.（1）请直接写出该抛物线的解析式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，在对称轴右侧的抛物线上有一点G，若，且，求点G 的坐标；（3）若在直线上有且只有一点P ，使，求k 的值.20.如图，已知同一平面内四个点A ，B ，C ，D ，请按要求完成下列问题：（1）画直线AB ，射线BD ，连接AC ；（2）在线段AC 上求作点P ，使得；（保留作图痕迹）（3）过点P 作直线l ，使得；（保留作图痕迹）（4）请在直线l上确定一点Q ，使点Q 到点C 与点D 的距离之和最短，并写出画图的依据.21.阅读下列两则材料，回答问题：材料一：我们将与称为一对“对偶式”因为P D AP AP BC P BD B BE AP ⊥E C CF AP ⊥F CF BE EF BE AD M CP AM =4BC =P B BC C B BE AP ⊥E C CF AP ⊥F BE 1d CF 2d P 12d d +xOy 2y ax bx c =++()0y kx m k =+>()1,0A ()0,3C 2x =12AF FB =6BAG S =△12y =-90APB ∠=︒CP AC AB =-l AB ∥+，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的”去掉..解：，材料二：如图，点，点，以AB 为斜边作，则，于是，，所以反之，可将代数式到点的距离.的值看作点到点的距离.（1）利用材料一，解关于x，其中；（2的最小值，并求出此时y 与x 的函数关系式，写出x 的取值范围；②将①所得的y 与x 的函数关系式和x 的取值范围代入中解出x ，直接写出x 的值.22.如图，已知直线与抛物线相交于A ，B 两点，点在轴上，点在轴上，点在抛物线上.（1）求该抛物线的表达式.22a b =-=-2=()()251510x x ⨯+=---=2=5=()11,A x y ()22,B x y Rt ABC △()21,C x y 12AC x x =-12BC y y =-AB =()11,x y ()22,x y ===(),x y ()1,1-2=4x ≤y =22y x =+2y ax bx c =++A x B y ()3,0C（2）正方形的顶点为直角坐标系原点，顶点在线段上，顶点在轴正半轴上，若与全等，求点的坐标.（3）在条件（2）下，点是线段上的动点（点不与点重合），将沿所在的直线翻折得到，连接，求长度的取值范围.OPDE O P OC E y AOB △DPC △P Q CD Q D POD △PQ POD '△AD 'AD '2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试卷一、单选题1.【答案】D【分析】A 选项采取作差法，即可得到答案；B 选项考虑或；C 选项考虑a ，b 的取值范围；D 选项，先化简成最简二次根式，再判断是否为同类二次根式.【详解】解：A.，故此项错误；B.若，则或，故此项错误；C.，，选项未写条件，故此项错误；D.，是同类二次根式，故此项正确；故选D.【点睛】此题考查了二次根式的意义及运算法则，实数的乘法与比较，正确掌握运算法则是解答此题的关键.2.【答案】D【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简即可得出答案.【详解】①，故①错误；无法计算，故②错误；③，故③错误；④，正确，故选D.【点睛】本题考查了实数的运算、二次根式的加减、积的乘方、同底数幂的乘法等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3.【答案】D【分析】通过观察图形，表示出新长方形的长与宽，再根据长方形周长公式即可确定其周长.【详解】解：∵观察图形可知，新长方形的长为：，宽为：，0a =0b =0.521==-2>0>0.50->0.5>0ab =0a =0b ==0a ≥0b >0113133-+=()32628aa =844a a a -÷=-m n -3m n -∴周长为，故D 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查的是列代数式和整式加减在几何图形中的应用，能够通过观察图形用含m 、n 的式子表示出长方形的长与宽，是解题的关键.4.【答案】C【分析】由题意易得△ABD 是等边三角形，然后可证判定①，则有，根据三角形外角的性质可判定②，然后可得，则有，，然后可判定③，最后根据全等三角形的性质及等积法可进行判断④.【详解】解：∵四边形是菱形，，∴，∴、都是等边三角形，∴，∵，∴，即，∴，故①正确；∴，∵，∴，故②正确；∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，故③正确；∵，∴的面积等于四边形的面积，∵是等边三角形，其面积为，∴，故④错误；综上所述：正确的个数有3个；()2348m n m n m n -+-=-BDF DCE ≅△△DBF EDC ∠=∠ABM ADH ≅△△AH AM =BAM DAH ∠=∠ABCD AB BD =AB BD AD BC CD ====ABD △BDC △60BDF C ∠=∠=︒BE CF =BC BE CD CF -=-DF CE =()SAS BDF DCE ≅△△DBF EDC ∠=∠60DMF DBF BDE EDC BDE BDC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒120BMD ∠=︒60DEB EDC C EDC ∠=∠+∠=∠+︒60ABM ABD DBF DBF ∠=∠+∠=∠+︒DEB ABM ∠=∠AD BC ∥ADH DEB ∠=∠ADH ABM ∠=∠DH BM =()SAS ABM ADH ≅△△AH AM =BAM DAH ∠=∠60MAH MAD ADH MAD BAM BAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒AMH △ABM ADH ≅△△AMH △ABMD AMH△2AMH S AM =△2S ABMD AM =四边形故选C.【点睛】本题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键.5.【答案】D【分析】根据圆的面积公式：，计算出半圆的面积，用大半圆的面积减小半圆的面积即可得出结果.【详解】解：大半圆的面积为：；小半圆的面积为：；阴影部分的面积为： .故选D.【点睛】本题考查计算阴影部分的面积，有理数的混合运算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键.6.【答案】C【分析】分和两种情况，利用三角形的面积公式，可以表示出S 与t 的函数关系式，即可做出选择.【详解】解：①当时，如图，∵轴，为等边三角形，∴，∴，，∴，即，故S 与t 之间的函数关系式的图像应为自变量在、开口向上的二次函数图像；②当时，如图，，，2πS r =211π2S r =2221ππ228r r S ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭22212ππ3π288r r r S S S =-=-=01t ≤≤12t <≤01t ≤≤l y ∥AOB △60COD ∠=︒OD t =tan 60CD OD =⋅︒=212OCD S OD CD =⋅⋅=△()201t S =≤≤01t ≤≤12t <≤60CBD ∠=︒2BD t =-∴，∴，即，∴故S 与t 之间的函数关系式的图像应为自变量在、开口向下的二次函数图像，故选：C.【点睛】本题考查三角形的面积公式、二次函数图像特征、解直角三角形、60°角的正切值，正确列出函数关系式，掌握二次函数图像是解答的关键，注意实际问题的图像只是一部分.7.【答案】D【分析】首先根据题意列出表格，由列表法求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可得出答案，注意此题属于放回实验.【详解】解：根据题意列出表格：红1红2白红1（红1，红1）（红2，红1）（白，红1）红2（红1，红2）（红2，红2）（白，红2）白（红1，白）（红2，白）（白，白）根据列表法可知：所有等可能的结果共有9种，其中两次都摸到红球的有4种，所以两次都摸到红球的概率是，故选D.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识.注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.8.【答案】D【分析】过作，垂足为E ，连接，易证AC 、AD 分别是，的直径，根据垂径定理可得，进而易证是等边三角形，在中，利用正切求出AD ，进而即可求)tan 602CD BD t =⋅︒=-)2122BCD S BD CD t =⋅⋅=-△)))221222212S t t t =⨯-=+<-≤12t <≤491O 1O E AB ⊥1O B O e 1O e AB AO =ABO △Rt BAD △解.【详解】如图，过作，垂足为E ，连接，∵AC 是的直径，∴，∴AD 是的直径，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴，在中，， ∴，故选：D.【点睛】本题考查圆的综合题，涉及到弧长公式、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、正切，解题的关键是熟练掌握圆的性质及定理求出的直径AD .9.【答案】A【分析】设矩形长为，则宽为，面积，利用二次函数求最值即可求得矩形的最大面积.1O 1O E AB ⊥1O B O e 90ABC ∠=︒1O e AD BO ⊥AB AO =ABO AOB ∠=∠3AB =3AO =3BO =3AO AB BO ===ABO △60BAO ∠=︒BAD DAO ∠=∠30BAD ∠=︒160BO D ∠=︒Rt BAD△30cos AB AD ︒===»6012π3606BDr =⋅=⨯=1O e ()cm 08x x <<()8cm x -()8S x x =-【详解】解：设矩形长为，则宽为，面积.，，由于，S有最大值，当时，S最大是16.所以矩形的最大面积是. 故答案为16.【点睛】本题主要考查二次函数解决实际问题，解决本题的关键是要根据题意列出函数关系式，再求二次函数最值.10.【答案】D【详解】试题分析：因为负数小于0，正数大于0，正数大于负数，所以在，0，－1，这四个数中，最小的数是－1，故选D.考点：正负数的大小比较.二、填空题11.【答案】±8，±2，4【分析】把右边的式子展开，和右边的式子对比，利用对应系数相等求得答案解决问题.【详解】，∴，；；.故答案为±8；±2；4.【点睛】考查完全平方公式的运用，在变形的过程中不要改变式子的值.12.【分析】根据，得到，然后根据完全平方公式，及算术平方根进行计算即可.【详解】∵∴∵∴.()cm08x x<<()8cmx-()8S x x=-28S x x=-+()2416x=--+10-<4x=216cm1 21 2 -()22ax+()22222444ax a x ax x mx n+=++=++ 24a=2a=±48m a==±4n=1 a>10 aa ->1a>1aa->1aa+=1aa-==【点睛】本题考查了完全平方公式，及算术平方根的使用，熟知此知识点是解题的关键.13.【答案】【分析】设，则，然后利用正方形的性质求得CE 、CG 的长、，进而说明为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.【详解】解：设，则∵正方形∴， 同理：， ∴.故答案为.【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明是直角三角形是解答本题的关键.14.【答案】9【分析】根据非负数的性质即可解答.【详解】解：∵∴，，∴ ，，，∴.故答案为9.【点睛】本题考查绝对值、算术平方根、平方的非负性，解题关键是正确求出a 、b 、c 的值.15.【分析】得出点C 经过的路径是圆心角150°，半径为的弧，代入弧长公式计算即可.【详解】：在中，∵，∴，12BC a =2AC a =45GCDECD ∠==︒ECG △BC a =2AC a =ACDEEC ==1452ACD ECD ∠=∠=︒CG =1452BCD GCD ∠=∠=︒1tan 2CG CEG CE ∠===12ECG △()240a c -+-=20a -=30b +=40c -=2a =3b =-4c =()2349a b c -+=--+=AC =Rt ABC △1BC =30BAC ∠=︒AC =∵绕点C 顺时针方向旋转到的位置，∴，∴点C 经过的路径是圆心角150°，半径为的弧，∴顶点C，【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，弧长公式等知识，确定点B 的运动路径是解题的关键.16.【答案】80【分析】根据平行四边形的对角相等可得，对边相等可得，利用三角形的内角和定理求出，然后求出四边形是平行四边形，最后利用平行四边形的邻角互补列式计算即可得解.【详解】解：在中，，，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴.故答案为：80.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键.三、解答题17.【答案】，【分析】先移项，再利用因式分解法进行求解即可.【详解】解：移项得：，提取公因式得：，去括号得：，合并同类项得：，∴，，∴，.Rt ABC △AB C ''△150CAC '∠=︒AC ==A C ∠=∠AB CD =ABE ∠BGDF ABCD Y 50A C ∠=∠=︒AB CD =AB CD ∥30E ∠=︒1805030100ABE ∠=︒-︒-︒=︒AF CG =BF DG =BF BG ∥BGDF DF BG ∥180********BFD ABE ∠=︒-∠=︒-︒=︒11x =24x =()()2311=0x x ---()()131=0x x ---⎡⎤⎣⎦()()131=0x x --+()()14=0x x --10x -=40x -=11x =24x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.18.【答案】（1）（2）（3）见解析（4）4【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得答案；（2）利用证明，得，即可；（3）由（2）同理可证.再利用证明，得；（4）用两种方法表示的面积，可得，当时，最小，此时，可得答案.【详解】（1）解：∵点是的中点，点与点重合，∴，故答案为：；（2），∵，，∴，则，∴，∵，∴，∴，，∴，故答案为：；（3），理由如下：证明：∵，.∴，，∵，，∴.又∵，∴.∴，.∵在等腰中，点是的中点，∴∵，∴在和中，AP BC⊥CF BE EF=+AAS ACF BAE ≅△△CF AE =AF BE =CF AE =ASA CFP AEM ≅△△CP AM =ABC △128d d AP+=AP BC ⊥AP 2AP =D BC P D AP BC ⊥AP BC ⊥CF BE EF =+BE AP ⊥CF AP ⊥90AEB AFC BAC ∠=∠=∠=︒90BAE EAC EAC ACF ∠+∠=∠+∠=︒BAE ACF ∠=∠AB AC =()AAS ACF BAE ≌△△CF AE =AF BE =CF BE EF =+CF BE EF =+CP AM =BE AP ⊥CF AP ⊥90AFC AEB ∠=∠=︒90CFP AEM ∠=∠=︒90BAE FAC ∠+∠=︒90ACF FAC ∠+∠=︒BAE ACF ∠=∠AB AC =()AAS ACF BAE ≅△△BAE ACF ∠=∠CF AE =Rt ABC △D BC 45BAD ACD ∠=∠=︒BAE ACF ∠=∠CFP △AEM △FCP EAM CF AECFP AEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴，∴；（4）∵，∴，，由图形可知，，∴.当时，即：点与点重合，最小，此时.∴的最大值为4.【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，利用面积法表示出是解决问题（4）的关键.19.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）抛物线与x 轴另外一个交点坐标为，则函数的表达式为：，即：，即可求解；（2）分点G 在点B 下方、点G 在点B 上方两种情况，分别求解即可；（3）由，则，即可求解.【详解】解：（1）∵，两点，对称轴为直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为，则函数的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：①；（2）过点作轴交对称轴于点，设对称轴与轴交于点.图1()ASA CFP AEM ≅△△CP AM =AD BC ⊥142ABC S BC AD =⋅=△122AD BC ==11422ABC APB APC S S S AP BE AP CF =+=⋅+⋅=△△△128d d AP+=AP BC ⊥P D AP 2AP =12d d +128d d AP +=243y x x =-+()5,8G k =()3,0()()()21343y a x x a x x =--=-+33a =PAS BPT :△△AS PT PS BT=()1,0A B 2x =x ()3,0()()()21343y a x x a x x =--=-+33a =1a =243y x x =-+B BM x ∥M x N∴，又，则，点的坐标为，设直线的解析式为，则，则，则，①若点在点下方，则过点作轴交于，则设点，，图2∴，即：，，无解；②若点在点上方，则过点作交轴于，则，即：，则，则，则可设直线的解析式为：，将代入得，.∴直线的解析式为②，联立①②并解得：或5（舍去0），∴；（3）分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，图312AF AN BF BM ==1AN =2BM =B ()4,3AB y kx b =+043k b k b +=⎧⎨+=⎩11k b =⎧⎨=-⎩1y x =-G B G GQ y ∥AB Q ()2,43G t t t -+(),1Q t t -()2136314322BAG AQG BGQ S S S OQ t t t ==+=⨯=--+-△△△258t t -+0∆<G B G GH AB ∥x H 6BAG ABH S S ==△△1362AH ⨯=4AH =()3,0H -GH y x t =+()3,0H -3t =-GH 3y x =-0x =()5,8G A B 12y =-S T则，则，直线的解析式为③，联立①③并解得：或，则点，设：，则有两个相等实数根，，解得：（舍去负值），故：【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.20.【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解（4）见详解【分析】（1）依据要求用直尺作图即可；（2）以A 为圆心、AB 为半径画弧交AC 于点P 即可；（3）以P 为圆心、AP 为半径画弧将AC 于点E ，再以E 点为圆心、AB 为半径画弧，两弧交于点F ，连接PF ，直线PF 即为所求的直线l ；（4）连接CD 交直线l 于点Q ，Q 点即为所求.【详解】（1）作图如下：直线AB 、射线BD 、线段AC 即为所求；（2）作图如下：PAS BPT :△△AS PT PS BT=l y kx k =-1x =3k +()23,2B k k k ++PS x =()2112222x k x k k ⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭()2222410k k k ∆=+---=k =k =点P 即为所求；（3）作图如下：直线l 即为所求；证明：连接EF 、PB ，由作图可知，，，根据（2）的作图可知，即有：，，，即有，∴，∴，即直线l 即为所求；（4）作图如下：直线l 即为所求；∵，∴依据两点之间线段最短，有当且仅当C 、Q 、D 三点共线时，有，即作图依据为：两点之间线段最短.【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义以及全等三角形在尺规作图中的应用等知识，PE AP =EF PB =PF PE =AP AB =AP PE =AB PF =EF PB =PEF APB ≅△△EPF PAB ∠=∠l AB ∥QC QD CD +≥QC QD CD +=解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型.21.【答案】（1）；（2）①，；②【分析】（1）根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决.（2）①中把根式下的式子转化成平方平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式②中也根据材料二的内容来解答求出x 的值.【详解】（1）根据材料一；∵，，，，，∴解得：，∴；（2）②解：由材料二知：，的值看作点到点的距离到点的距离，，即点与点，在同一条直线上，并且点位点的中间，，且，5x =-()2621y x x =+-≤≤1+()()20416x x ⨯=---=2=8=5=3=5x =-()2621y x x =+-≤≤===(),x y ()1,8(),x y ()2,2-+=+(),x y ()1,8()2,2-(),x y ()()1,82,2-+===21x -≤≤设过，，的直线解析式为：∴，解得：，∴；②∵中，∵，（i ），又∵（ii ）由（i ）（ii，解得：（舍）， ，∴x 的值为【点睛】本题是材料阅读题，属于新定义题，理解新定义的内容是解题的关键.22.【答案】（1）该抛物线的表达式为；（2）点的坐标为或；（3或【分析】（1）先求得点，点，利用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论：和，利用全等三角形的性质求解即可；（3）按照（2）的结论，分两种情况讨论，当P 、、三点共线时，线段长度取得最大值，当点与点重合时，线段长度取得最小值，据此求解即可.【详解】（1）解：令，则，令，则，(),x y ()1,8()2,2-y kx b=+822k b k b=+⎧⎨=-+⎩26k b =⎧⎨=⎩()2621y x x =+-≤≤y =26y x =+26x +=+()222512236x x x x +-=++-++26x =+1=+72x =+11x =>2x =1224233y x x =-++P ()1,0()2,03AD '≤≤5AD '≤≤()1,0A -()0,2B AOB DPC ≅△△AOB CPD ≅△△D 'C AD 'Q C AD '0x =222y x =+=0y =022x =+解得，点，点，把，，代入，得，解得，∴该抛物线的表达式为；（2）解：若和全等，且，分两种情况：①，则，，∵，∴，∴点的坐标为；②，则，∴正方形的边长为2，∴点P 的坐标为；综上，点P 的坐标为或；（3）解：①点P 的坐标为时，∵与关于对称，∴，1x =-()1,0A -()0,2B ()1,0A -()0,2B ()3,0C 2y ax bx c =++09302a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩23432a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩224233y x x =-++AOB △DPC △90AOB DPC ∠=∠=︒AOB DPC ≅△△1AO PD ==2OB PC ==3OC =321OP =-=P ()1,0AOB CPD ≅△△2OB PD ==OPDE ()2,0()1,0()2,0()1,0D PQ '△PQD △PQ P P D D '=∴点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，当Q 点与C 点重合时取得最小值，，此时，当P ，，C 三点共线时，取得最大值，最大值为②点P 的坐标为时，∵与关于对称，∴，∴点在以点P 为圆心，2为半径的圆上运动，当P 、C 、三点共线时，线段长度取得最大值，最大值为；当Q 点与C 点重合时，点的坐标为，此时∴或.【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，点和圆的位置关系，解题的关键是正确进行分类讨论.D 'P AD'()1,1D '-AD '===D 'AD '213AP PD '+=+=3AD '≤≤()2,0D PQ '△PQD △PQ P P D D '=D 'D 'AD '325AP PD '+=+=D '()2,2-AD '==5AD '≤≤3AD '≤≤5AD '≤≤。
成都市树德中学2017年自主招生考试数学试卷
成都市树德中学2017年自主招生考试试题数学注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
2、请考生用规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
每个小题所给的四个选项中，只有一相符合题目要求。
1.下列各数中，能被4整除的数是（ ）（A ）60847 （B ）3514 （C ）31196 （D ）712352.顺次连接平面凸四边形ABCD 各边的中点得到一个菱形，则四边形ABCD 一定是（ ）（A ）矩形 （B ）菱形 （C ）正方形 （D ）对角线相等的四边形3.将4个数：-2，-1，4，8排列为a ，b ，c ，d ，使得22)()(d c b a +++的值最小为（ ）（A ）41 （B ） 45 （C ）53 （D ）1534.过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PA ，连OP 交⊙O 于C ，过点C作CE ⊥AP ，垂足为E ，若PA=10cm ，PC=5cm ,则CE=（ ）（A ）2cm （B ）3cm （C ）4cm （D ）7.5cm5.若a ，b ，c 均为实数，且b ac c a b c b a +=+=+x =，则x 值为（ ）（A ）1 （B ）21 （C ）21或1 （D ）21或-1 6.在△ABC 中，︒=∠︒=∠+=30,45,13C B BC ,则ABC ∆的面积为（ ）（A ）213- （B ）123+ （C ）213+ （D ）13+ 7.甲、乙、丙三人用擂台赛的形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另一个人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战（每局必有胜者），半天训练结束后，发现甲共打了12局，乙打了21局，而丙当了8局裁判，那么整个比赛的第10局输方是（ ）（A ）必为甲 （B ）必为乙 （C ）必为丙 （D ）不能确定8.关于x 的方程01223=+--x x x 的根的情况是（ ）（A ）只有一个正根 （B ）有三个正根（C ）有两个正根，一个负根 （D ）有一个正根，两个负根9.已知锐角ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,H 为ABC ∆的垂心，H 到三边AB AC BC ,,的距离分别为,,,z y x 则=z y x ::（ ）（A ）ab ca bc :: （B ）C B A cos :cos :cos（C ）B A A C C B cos cos :cos cos :cos cos （D ）B A A C C B cos sin :cos sin :cos sin10.若,1||21=-t t 则t t+1的值为（ ）（A ）25 （B ）-1 （C ）21 （D ）25或0 11.计算22222210030012202112011200119914131211-++-+--++-+- 的值为（ ） （A ）200 （B ）300 （C ）400 （D ）50012.在ABC ∆中E D ,分别为AB BC ,上的点，且,321∠=∠=∠若ABC ∆，ADCEBD ∆∆,的周长依次为21,,c c c ，则cc c 21+的最大值为（ ） （A ）23 （B ）45 （C ）56 （D ）1第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分。
四川省成都市树德中学2019届高三10月月考数学(理)试题+PDF版含答案
OA OP OB OP (
A．10 B．2
x 1 的 图 象 交 于 A, B 两 点 ， O 为 坐 标 原 点 ， 则 x2
) C．5 D．
3．已知命题 p：若 a，b 是实数，则 a＞b 是 a ＞b 的充分不必要条件；命题 q：“∃x∈R，x +2＞3x”的 否定是“∀x∈R，x +2＜3x”，则下列命题为真命题的是（ A． p q B． p q C． p q D． p q 4．下列三个数： a ln 确的是（ A． a ＞c＞b A． 1 B． 2 ） B． a ＞b＞c C． 3 C．b＞c＞ a D． 4 ， D．b＞ a ＞c ）
，则该双曲线的离心率为
高三数学 2018 年 10 月阶考（理）
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三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第 17 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答.满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过 程） 17．已知正数数列1an 䁕的前 n 项和为Sn ，满足an 9 Sn 䁕香 求数列1an 䁕的通项公式； 䁕 设bn 9 䁕香 − an Sn−香 䁕n ≥ ，a香 9 香． 20. 已知椭圆 C :
15.某科室派出 4 名调研员到 3 个学校,调研该校高三复习备考近况,要求每个学校至少一名,则不同的分 ㌳䁟 中， 内角 ݔ㌳ݔ䁟 的对边分别为 ݔ ݔݔ， 若
香
16.定义：如果函数 f ( x ) 在[a，b]上存在 x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足 f ( x1 ) f ( x2 )
高 2016 级高三上期 10 月阶段性测试数学试题（理）
四川省成都市树德中学2019_2020学年高二数学5月半期考试试题理含解析
四川省成都市树德中学2019-2020学年高二数学5月半期考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数112z i =+，复数21z i =-，则12z z =A. 6【答案】B 【解析】 【分析】先计算12z z ，再求12z z .【详解】123z z i =+，故12z z = B.【点睛】本题考察复数的概念与运算，涉及到乘法运算和复数的模，为基础题.2.< ）A.22< B.22<C. 22<D. (22<【答案】C 【解析】 【分析】，再两边同时平方，即可得出答案.<，只需证22<.故选：C.【点睛】本题考查利用分析法证明不等式，体现转化思想，属于基础题. 3.下列三个数：33ln,ln ,ln 3322a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的是（ ）A .a cb >>B. a b c >>C. b c a >>D.b ac >>【答案】A 【解析】试题分析：构造函数，因为对一切恒成立， 所以函数在上是减函数，从而有，即a c b >>，故选A ． 考点：函数单调性的应用．4.否定“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的正确的反设为（ ） A. ,,a b c 都是奇数 B. ,,a b c 都是偶数C. ,,a b c 至少有两个偶数D. ,,a b c 中或都是奇数或至少有两个偶数 【答案】D 【解析】【详解】因为反证法中的反设就是原命题的否定，而“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的否定是“,,a b c 中或都是奇数或至少有两个偶数”， 所以否定“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的正确的反设为“,,a b c 中或都是奇数或至少有两个偶数”， 故选D.5.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换22x xy y ''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线()()22561x y -++=，则曲线C 的对称中心是（ ）A. ()5,6-B. 5,32⎛⎫-⎪⎝⎭C. ()10,12-D. 5,62⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，点(,)x y ''在曲线()()22561x y -++=上，由伸缩变换公式22x xy y ''=⎧⎨=⎩，将其代入()()22561x y -++=中化简，将其变形为标准方程即可求解.【详解】解：由题意，点(,)x y ''在曲线()()22561x y -++=上，()()22561x y ''∴-++=，又22x x y y'==⎩'⎧⎨，()()()22225125261324x y x y ⎛⎫∴-++=⇒-++= ⎪⎝⎭，所以曲线C 的对称中心是5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】本题考查伸缩变换公式的应用， 关键是将变换后的量代入方程进行化简，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题.6.已知函数()21f x x m =+-，()3g x x m =-++.若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，则m 的取值范围是（ ） A. ()2,1- B. []2,1- C. ()1,2- D. []1,2-【答案】A 【解析】 【分析】将原问题转化为求不等式213x x m m +++>+恒成立，然后利用绝对值三角不等式的性质求解13x x +++的最小值，最后解一元二次不等式，即可得出m 的取值范围. 【详解】解：由题可知，函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方， 即213x m x m +->-++对任意实数x 恒成立， 即不等式213x x m m +++>+恒成立，又由绝对值三角不等式的性质，可得对于任意实数x 恒有：()()13132x x x x +++≥+-+=，于得：22m m +<，即220m m +-<，所以解得：21m -<<， 即m 的取值范围是()2,1-. 故选：A.【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式的性质求最值，用于解决恒成立问题，还涉及一元二次不等式的解法，考查学生的转化能力和计算求解能力. 7.已函数3211()32f x x ax bx =-+的两个极值点是sin θ和()cos R θθ∈，则点(),a b 的轨迹是（ ） A. 椭圆弧 B. 圆弧 C. 双曲线弧 D. 抛物线弧【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点的定义把,a b 用θ表示后，消去θ得关于,a b 的方程，由方程确定曲线． 【详解】由题意()2f x x ax b '=-+，所以sin ,cos θθ是方程20x ax b -+=的两根，所以sin cos sin cos a b θθθθ=+⎧⎨=⎩且240a b ->，所以212sin cos 12a bθθ=+=+，sin cos )[4a πθθθ=+=+∈，所以点(,)a b 在曲线211(22y x x =-≤≤上，还要满足240x y ->，轨迹为抛物线弧． 故选：D ．【点睛】本题考查值点的定义，考查由方程研究曲线，掌握极值与导数的关系是解题基础．在由方程研究曲线时，注意方程中变量的取值范围． 8.定义在(0,)2π上的函数()f x , 其导函数为'()f x , 若恒有()'()tan f x f x x <, 则（ ）A. ()()63f ππ>B. ()()63f ππ<()()63f ππ>()()63f ππ<【答案】D 【解析】试题分析：因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>．由()'()tan f x f x x <，得'()sin ()cos 0f x x f x x ->．不妨设()()sin f x g x x =，则2'()sin ()cos ()0sin f x x f x xg x x-'=>，所以函数()g x 在(0, )2π上单调递增，所以()()63g g ππ<，即()()63sin sin 63f f ππππ<，亦即()()63f ππ<，故选D ．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【技巧点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了．9.已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（ ） A. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】设球心O 到底面距离为x ，通过正四棱锥的对角面求出棱锥的高，与底面边长，计算出体积后，利用导数的知识求出最大值，得出结论．【详解】如图，PAC 是正四棱锥P ABCD -的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆，O 是圆心（球心），设正四棱锥底面边长为a，则AC =，3==OA OP ，设OE x =(03)x <<，则由222AO OE AE =+得22192x a +=，22182a x =-，3PE x =+，2182ABCD S x =-， 232112(182)(3)(3927)333ABCD V S PE x x x x x =⋅=-+=--++，22(369)2(1)(3)3V x x x x '=--+=--+， 当01x <<时，0V '>，V 递增，13x <<时，0V '<，V 递减，∴1x =时，V 取得极大值也是最大值max 643V =．此时高4PE =，4a ==，1PEa=． 故选：A ．【点睛】本题考查导数的实际应用，解题关键是引入变量OE x =，把棱锥体积V 表示为x 的函数，利用导数求得最大值．10.如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（ ）A.33B.66C.21721【答案】B 【解析】 【分析】以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，表示出1BD 和AC ，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得．【详解】由题意11111cos602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=． 以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，AC AB AD =+，111BD AD AB AD AA AB=-=+-， 221111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD AD AA AB AD⋅=+⋅+-=⋅+⋅-++⋅-⋅1=，222()23AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=22221111()2222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA =+-=+++⋅-⋅-=，∴111cos ,3AC BD AC BD AC BD ⋅<>===⋅．∴1BD 与AC故选：B ．【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．11.已知函数()f x 是定义在()0,∞+的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且 1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则 ()1f =（ ） A. 0 B. 1C. 38D.15【答案】C 【解析】当0x ＞ 且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，可得：1x ＞ 时，20f x xf x +'（）（）＞； 10＞＞x 时，20f x xf x +'（）（）＜． 令20g x x f x x =∈+∞（）（），（，）．22[2]g x xf x x f x x f x xf x ∴'=+'=+'（）（）（）（）（）． 可得：1x ＞ 时，0gx '（）＞ ；10＞＞x 时，0g x '（）＜． 可得：函数g x （）在1x =处取得极值，31211014g f f f ∴'=+'='=-（）（）（），（）， 1331()248f ∴=-⨯-=（） ．故答案为3812.已知(),()ln xf x eg x x ==，若()()f t g s =，则当s t -取得最小值时，()f t 所在区间是（ ）A. (ln 2,1)B. 1(,ln 2)2C. (11,3e)D. (11,e 2)【答案】B 【解析】令()()f t g s a ==，即e ln 0t s a ==> ∴ln t a =，e a s = ∴e ln (0)as t a a -=->令e (n )l ah a a =-，则1()e ah a a=-' ∵ay e =递增，1y a=递减 ∴存在唯一0a a =使得()0h a '=，则00a a <<时，1ae a <，()0h a '<，0a a >时，1ae a>，()0'>h a∴min 0()()h a h a =，即s t -取最小值时，0()f t a a ==根据零点存在定理验证010a e a -=的根的范围： 当012a =时，001e 0a a -< 当0ln 2a =，01e 0a a -> ∴01(,ln 2)2a ∈ 故选B点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.已知220201()(,)2i m ni m R n R ⎛⎫+=+∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则复数z m ni =+的虚部是______.【解析】 【分析】利用复数的乘方，将220201()(,)2i m ni m R n R ⎛⎫+=∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭，转化为122m ni i +=-+，从而得到复数z ，进而可求得其虚部.【详解】因为220201()(,)22i m ni m R n R ⎛⎫+=+∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以12m ni +=-+所以12z =-+所以复数z【点睛】本题主要考查复数的乘方和复数相等以及复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知圆的极坐标方程为22(cos )5ρρθθ++=，则此圆被直线0θ=截得的弦长为______．【答案】【解析】由1221220250{5ρρθρρρρ+=-=⇒-=⇒⇒=-＋弦长12AB ρρ=-==15.在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上第一象限内的一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若1FR =，则直线PF 的斜率为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，由几何关系证得PQF ∆是等边三角形后，即可求解. 【详解】解:根据题意，作示意图如下图所示：22y x =，1,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，记l 与x 轴的交点为H ，则1FH =，1FR =，且由几何关系可证PMN FNR ∆≅∆1PM FR ⇒==，∴过点F 作PQ 的垂线，可知其垂足就为点M ，且可得||||FQ PF PQ ==，PQF ∴∆是等边三角形，由几何关系可得：3PFR QPF π∠=∠=，所以直线PF 的斜率为33tan PFR tan π∠==.3【点睛】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.16.已知过点(),0M m 作曲线C ：ln y x x =⋅的切线有且仅有两条，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,+∞ 【解析】 【分析】设切点为()00,x y ，求导得斜率，然后利用点斜式得切线方程，将点M 代入整理得00ln 1x m x =+，使得方程关于0x 有两解，构造函数()()0ln 1xg x x x =>+，利用导数研究函数的单调性和极值，求出()min g x ，即可求得实数m 的取值范围. 【详解】解：由题可知，曲线C ：ln y x x =⋅，定义域为()0,∞+， 则ln 1yx ，设切点为()00,x y ，则切线斜率为：0ln 1k x =+， 切线方程为：()()000ln 1y y x x x -=+-，将(),0M m 代入切线方程得：()()000ln 1y x m x -=+-， 又因为000ln y x x =⋅，所以00ln 0m x m x +-=， 整理得：00ln 1x m x =+，由于过点(),0M m 作曲线C ：ln y x x =⋅的切线有且仅有两条， 即00ln 1x m x =+有两个解，可设()()0ln 1x g x x x =>+，则()()2ln ln 1x g x x '=+， 令()0g x '=，即ln 0x =，解得：1x =，令()0g x '<，即ln 0x <，得：1x <，所以()0,1x ∈时，()f x 单调递减， 令()0g x '>，即ln 0x >，得：1x >，所以()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增， 所以()()min 11g x g ==，所以当1m 时，00ln 1x m x =+有两个解，即过点(),0M m 作曲线C ：ln y x x =⋅的切线有且仅有两条， 则实数m 的取值范围是：()1,+∞. 故答案为：()1,+∞.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及利用导数研究函数的单调性和最值，求切线方程时要注意过某点的切线还是在某点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点，考查转化思想和运算能力.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（1）已知关于x 的不等式2211log x x a +--≤（其中0a >），当4a =时，求不等式的解集；（2）已知x ，y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y+≥+-+. 【答案】（1）243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，先分析2211log x x a +--≤的解集就是绝对值不等式的求解，利用三段论法得到即可；（2）根据要证结论分析可知()2221122()()2x y x y x y +x xy y x y +-=-+--+-由三元基本不等式即可证得结论成立.【详解】（1）当4a =时，不等式为2112x x +--≤. 当21x <-时，22x --≤，解得142x -≤<-；当112x -≤≤时，32x ≤，解得1223x -≤≤； 当1x >时，0x ≤，此时x 不存在，∴原不等式的解集为243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）因为0x >，0y >，0x y ->，()22211222()2x y x y x xy y x y +-=-+-+-21()()3()x y x y x y =-+-+≥-=，当且仅当1x y -=时等号成立， 所以2212232x y x xy y +≥+-+.【点睛】本试题主要是考查了绝对值不等式的求解，考查三元基本不等式的应用，考查推理能力与计算能力，考查了分类讨论的思想，属于中档题. 18.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,2sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=.（Ⅰ）写出曲线1C ，2C 的普通方程； （Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点，求AB . 【答案】（1）221204x y +=,222:(2)(1)1C x y ++-=（2【解析】分析：（Ⅰ）消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线1C ，2C 的普通方程；（Ⅱ）直线l的参数方程为422x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），将其代入曲线2C 整理可得：240t -+=，利用参数的几何运用求AB ．详解:（Ⅰ）2222cos sin 122y x y sin αααα⎧=⎪⎛⎫⇒+=+=⎨ ⎪=⎝⎭⎪⎩ 即曲线1C 的普通方程为221204x y +=∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρ=曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+= 即()()222:211C x y ++-=.（Ⅱ）曲线1C 左焦点为()4,0-直线l 的倾斜角为4πα=，2sin cos 2αα==所以直线l 的参数方程为24222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数）将其代入曲线2C 整理可得23240t t -+=，所以()2324420∆=--⨯=>.设,A B 对应的参数分别为12,t t 则所以1232t t +=，124t t =.所以()()22121212432442AB t t t t t t =-=+-=-⨯=.点睛: 本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，60ABC ∠=，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.(1)求证：AE PD ⊥；(2)设H 为线段PD 上的动点，若线段EH 5求二面角E AF C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（215【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，得到AE ⊥平面PAD ，进而可推出结论成立；（2）H 为线段PD 上的动点，连接AH ，EH ，根据题意得到2PA AD ==，由（1）得AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 与平面AFC 的法向量，由向量夹角公式，即可得出结果.【详解】(1)∵四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=， ∴ABC ∆为正三角形.又E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥. ∵//BC AD ，∴AE AD ⊥.∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA AE ⊥.∵PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A ⋂=， ∴AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AE PD ⊥；(2)如图，H 为线段PD 上的动点，连接AH ，EH .当线段EH 的长最小时，EH PD ⊥. 由(1)知AE PD ⊥，∵⋂=AE EH E ， ∴PD ⊥平面AEH .∵AH ⊂平面AEH ，∴AH PD ⊥.在Rt AEH ∆中，3AE =5EH =⊥AE AH ， ∴222=-=AH EH AE ，在Rt ADH ∆中，由2AH =2AD =，可知45∠=HDA ，即45PDA ∠=.∴在Rt PAD ∆中，可得2PA AD ==.由(1)可知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由E ，F 分别是BC ，PC 的中点，可得(0,0,0)A ，()3,1,0B-，()3,1,0C，()0,2,0D ，()002P ,,，()3,0,0E，31,,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭F ，所以()3,0,0=AE ，31,,122⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭AF .设平面AEF 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，因此1111303102x x y z =++=， 取11z =-，得(0,2,1)=-n . 因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A =，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一个法向量. 又()3,3,0=-BD ， 所以15cos ,5523⋅<>===⨯n BD n BD n BD.由图易知二面角E AF C --15【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及二面角的向量求法即可，属于常考题型. 20.设函数()()ln 1f x x m x =-+，()22m g x x =，()0,x m R >∈. （1）若对任意121x x >>，()()12121f x f x x x -<--恒成立，求m 的取值范围；（2）()()()h x f x g x =+，讨论函数()y h x =的单调性.【答案】（1）1m ≥；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）将对任意121x x >>，()()12121f x f x x x -<--恒成立，转化为对任意121x x >>，()()1122f x x f x x +<+恒成立，令()()ln k x f x x x mx =+=-，由函数()y k x =在区间()1,+∞上单调递减，只需证()0(1)k x x '≤>恒成立即可.（2）得到2()ln (1)(0)2m h x x m x x m =-++>，求导(1)(1)()mx x h x x--'=，再分0m =，0m <， 1m =， 1m ，01m <<五种情况讨论求解.【详解】（1）因为121x x >>，()()12121f x f x x x -<--，即()()()1212f x f x x x -<--，即()()1122f x x f x x +<+， 令()()ln k x f x x x mx =+=-，因为函数()y k x =在区间()1,+∞上单调递减， 所以1()0(1)k x m x x'=-≤>恒成立， 即1m x≤在区间()1,+∞上恒成立， 故1m ≥.（2）2()ln (1)(0)2m h x x m x x m =-++>， 21(1)1(1)(1)()(1)mx m x mx x h x m mx x x x-++--'=-++==， 当0m =时，1()xh x x-'=， ()0,1x ∈，()0h x '>，()h x 递增，()1,x ∈+∞，()0h x '<，()h x 递减，当0m <时，101m<<， ()0,1x ∈，()0h x '>，()h x 递增，()1,x ∈+∞，()0h x '<，()h x 递减，当1m =时，()0h x '≥，()h x 的单调递增区间为()0,∞+， 当1m 时，()00h x '=，01x =或1；101<<，当x 变化，()h x '，()h x 变化如下表即单调增区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞，减区间为1,1m ⎛⎫⎪⎝⎭. 当01m <<时，()00h x '=，01x =或1；11>，当x 变化，()h x '，()h x 变化如下表即单调增区间为()0,1，1,m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为11,m ⎛⎫⎪⎝⎭. 综上：当0m ≤时，单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞， 当01m <<时，单调增区间为()0,1，1,m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为11,m ⎛⎫⎪⎝⎭， 当1m =时，()h x 的单调递增区间为()0,∞+， 当1m 时，单调增区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞，减区间为1,1m ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.21.已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆1C 和圆222x y a +=截得的弦长分别为2和（1）求1C 的标准方程；（2）已知动直线l 与抛物线2C ：24y x =相切（切点异于原点），且l 与椭圆1C 相交于M ，N 两点，问：椭圆1C 上是否存在点Q ，使得6OM ON OQ +=，若存在求出满足条件的所有Q 点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点坐标为⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）（1）设直线方程为x c =-，分别与椭圆方程，圆联立解得交点坐标，再根据弦长分别为2和求解.（2）设l ：()0x my n m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ，与抛物线方程联立，根据l 与2C 相切，则2100m n ∆=⇒+=，与椭圆方程联立，由6OM ON OQ +=结合韦达定理得到Q 坐标代入椭圆方程求解.【详解】（1）设直线方程为x c =-，与椭圆方程()222210x y a b a b+=>>联立解得2by a =±，所以222b a=，直线方程为x c =-，与圆222x y a +=联立解得y b =±，所以2b =，解得2,a b ==故1C ：22142x y +=.（2）由题知l 存在且斜率不为0，设l ：()0x my n m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=，因为l 与2C 相切，故2100m n ∆=⇒+=，联立2224x my n x y =+⎧⎨+=⎩，得()2222240m y mny n +++-=， 所以12222mn y y m +=-+，212242n y y m -=+，22202424n m n ∆>⇒<+=-+，又20m n =->，所以()1n ∈-.因为6OM ON OQ +=，所以12012033x x x y y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由韦达定理，代入计算得020222x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，因为点()00,Q x y 在椭圆上，即220024x y +=，代入得()()22222222412422n m n m m +=++，即2221322n n m n==+-，()1n ∈-， 解得1n =-或23n =（舍），所以1m =±，此时Q点坐标为33⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或,33⎛- ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆，直线与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数()()0ax f x x e a =->.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在12,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值； （3）若存在()1212,x x x x <，使得()()120f x f x ==，证明：12x ae x <. 【答案】（1）增区间为11,ln a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减区间为11ln ,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）22max 221,011111()ln ,11,e a a e f x a a a a e e e a a e ⎧-<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩；（3）见解析 【解析】【分析】（1）利用导数证明单调区间即可；（2）讨论11ln a a 区间12,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦端点的大小关系，确定()f x 在12,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性，即可得出其最大值； （3）由()f x 有两个零点，得出11111ln ln 0f a a a a a⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，进而得出a 的取值范围，根据12111ln x x a a a<<<，由不等式的性质得出12111ln x x a a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，由()()120f x f x ==得出11ax x e =，22ax x e =，进而得出()1212a x x x e x -=，结合12111ln x x a a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，即可证明12x ae x <. 【详解】（1）()()10ax f x ae a '=->()110ln f x x a a '>⇒<，()110ln f x x a a'<⇒> f x 的增区间为11,ln a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减区间为11ln ,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当112ln a a a ≥即210a e <≤时，函数()f x 在12,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 2max 22()f x f e a a⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭ 当1112ln a a a a <<即211a e e <<时，函数()f x 在111,ln a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在112ln ,a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减max 11111()ln ln f x f a a a a a⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭ 当111ln a a a ≤即1a e ≥时，函数()f x 在12,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 max 11()f x f e a a⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭ 综上：22max 221,011111()ln ,11,e a a e f x a a a a ee e a a e ⎧-<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩. （3）当()f x 有两个零点必有11111ln ln 0f a a a a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭ ∴10a e <<，∴110f e a a⎛⎫=-> ⎪⎝⎭∴12111ln x x a a a <<<，∴21111ln x x a a a->-，即12111ln x x a a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭ 又()1110ax f x x e=-=，()2220ax f x x e =-= ∴11ax x e =，22ax x e =()12111ln ln()12a a x x a a ae x e e e ae x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦=<==得证.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性以及最值，利用导数研究双变量问题，属于中档题.。
成都树德中学(九中)自主招生考试数学试题及答案
2013年成都树德中学自主招生考试数 学 试 卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、一列火车花了H 小时行程D 公里从A 城抵达B 城，晚点两小时，那么应该以什么样的速度才能准点到达（ ） A ．2H + B ．2D H + C ．2D H - D ．2DH + 2、若30,350x y z x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩、、均为非负整数，则542M x y z =++的取值范围是：（ ） A ．100110M ≤≤ B ．110120M ≤≤ C ．120130M ≤≤ D ．130140M ≤≤3、某天，学校研究性学习小组的同学从8时起骑自行车外出调查，17时回到学校，小组离开学校的距离与时间的关系可用图中的曲线表示，根据这个曲线图，下列说法错误的是( )A ．在离校最远的地方调查的时间是14~15时B ．第一次调查从9时开始，历时2hC ．中午12～13时休息的地方离校15kmD ．返校的速度最慢 4、已知函数282y x x =--和(y kx k k =+为常数）则不论k 为何值，这两个函数的图像（ ）A ．只有一个交点B ．只有二个交点C ．只有三个交点D ．只有四个交点5、如果x y 、是非零实数，使得33x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，那么x y +等于（ ） A ．3 B ．13 C ．1132- D ．413- 6、一列数：23420087,7,7,7,,7•••．其中末位数字是3的有（ ）A ．502个B ．500个C ．1004个D ．256个7、在ABC ∆中，,,,90,BC a AC b AB c C CD ===∠=和BE 是ABC ∆的两条中线，且CD BE ⊥，那么::a b c =（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．3:2:1D ．1:2:38、已知三角形的三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于：（ ）A ．2度B ．3度C ．5度D ．7度 9、已知：221m n mn m n +++-=-，则11m n+的值等于（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 10、积11111111111324359810099101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++•••++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭值的整数部分是：（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
2019年四川省成都市树德中学外地生自主招生考试数学试题及答案
2019年四川省成都市树德中学外地生自主招生考试数学试题及答案(总25页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2019年成都树德中学外地生自主招生考试数学（总分：150分 时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．请考生用规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．当1a < ）A ．B ．-C ．D ．-2．满足()2221x x x ---=的所有实数x 的和为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．五张如图所示的长为a ，宽为()b a b >的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD 中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足的关系式为（ ）A ．2a b =B ．3a b =C ．32a b =D ．231a b =+4．如图ABC △为圆O 的内接三角形，D 为BC 中点，E 为OA 中点，40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，则OED ∠的大小为（ ）A ．15︒B ．18︒C ．20︒D ．22︒5．如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列形状，第1幅图形中“·”的个数为1a ，第2幅图形中“·”的个数为2a ，第3幅图形中“·”的个数为3a ，…，以此类推，则123201111+a a a a +++…的值为（ ）A ．2021B ．6184C ．589840D ．3254626．如图，菱形ABCD 中，2AB =，60B ∠=︒，M 为AB 的中点．动点P 在菱形的边上从点B 出发，沿B C D →→的方向运动，到达点D 时停止．连接MP ，设点P 运动的路程为x ，2MP y =，则表示y 与x 的函数关系的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女队员各一人，组成年级混合双打代表队，那么四对混合双打中，没有一队选手是同班同学的概率是（ ）A ．512B ．49C ．38D ．258．如图，以()0,1G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF AE ⊥于F ．当点E 从B 出发顺时针运动到D 时，点F 所经过的路径长为（ ）A B C D 9．设a 、b 、c 为实数，且0a ≠，抛物线2y ax bx c =++，顶点在2y =-上，与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，当ABC △为直角三角形时，ABC S △的最大值是（ ）A ．1B C ．3 D ．4 10．设11112018201920202050M =++++…，则1M 的整数部分是（ ） A ．61 B ．62 C ．63 D ．64第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）11．已知x ，y 都是非负数，且满足222120x xy y x y ++++-=，则()1x y －的最大值为________．12．已知210a a --=，则874a a +-=________．13．如图，O 是正方形ABCD 边上一点，以O 为圆心，OB 为半径画圆与AD 交与点E ，过点E 作⊙O 的切线交CD 于F ，将DEF △沿EF 对折，点D 的对称点'D 恰好落在⊙O 上，若6AB =，则OB 的长为________．14．已知a 、b 是实数，且225a ab b ++=．若22a ab b -+的最大值是m ，最小值是n ，则m n +的值是________．15．如图，菱形ABCD 中，2AB =，60C ∠=︒，菱形ABCD 在直线L 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60︒叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为__________．（结果保留π）16．如图，平行四边形ABCD 中，:4:3AB BC =，120ABC ∠=︒，E 是AB 的中点，F 在BC 上，且:2:1BF FC =，过D 分别作DG CE ⊥于H ，则:DG DH =__________．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）（1）已知2410a a ++=，且42321533a ma a ma a ++=++，求m 的值．（2）解方程：22321x x -+=18．（本小题满分10分）一条笔直的公路L 穿过草原，公路边有一卫生站A 距公路30km 的地方有一居民点B ，A 、B 之间的距离为90km ．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h ，在草地上行驶的最快速度是30km/h ．问司机应在公路上行驶多少千米全部所用的行车时间最短最短时间为多少19．（本小题满分12分）已知m ，n ，p 为正整数，m n <．设()0A m -,，() ,0B n ，()0C p ,，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且()2223OA OB OC OA OB OC ++=++．（1）求图象经过A ，B ，C 三段的二次函数的解析式；（2）点D 是抛物线上的一动点，直线AD 交线段BC （杰少备注：这里原来是直线AD 交BC ，总觉得有歧义）于点Q ，若ACQ △，ABQ △的面积ACQ S △，ABQ S △满足13ACQ ABQ S S :＝:△△，求此时点D 的坐标．20．（本小题满分12分）如图，在扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，12OA =，点C 在OA 上，4AC =，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F ．（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；（2）求2CE DE +的最小值．21．（本小题满分12分）阅读下列两则材料，回答问题：材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为22a b =-=-，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将与2=解：()()251510x x ⨯=---=2=5=材料二：如图，点()11,A x y ，点()22,B x y ，以AB 为斜边作Rt ABC △，则()21,C x y ，于是12AC x x =－，12BC y y =－，所以AB =()11,x y 到点()22,x y 的距离．==(),x y 到点()1,1-的距离．（1）利用材料一，解关于x 2=，其中4x ≤；（2出此时y 与x 的函数关系式，写出x 的取值范围；②将①所得的y 与x 的函数关系式和x 的取值范围代入y =出x ，求出x 的值．22．（本小题满分14分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，例如：如图，四边形ABCD 是“等对角四边形”，A C ∠≠∠，75A ∠=︒，85D ∠=︒，则115C ∠=︒．（1）已知：在“等对角四边形”ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，4AB =，3AD =，求对角线AC 的长；（2）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是“等对角四边形”，其中()2,0A -，()2,0C ，()1, 3 B --，点D 在y 轴上，抛物线()20y ax bx c a =++<过点A 、C ，点P 在抛物线上，满足12APC ADC ∠=∠的P 点至少有3个时，总有不等式2922164n c a -+-≤立，求n 的取值范围．2019年成都树德中学外地生自主招生考试数学参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【答案】B【解析】∵1a <，∴10a >－，∴30a ->，从而0a <，==-故选B ．2．【答案】A【解析】分三种情况讨论：1︒当 21x -=时，1x =，满足方程；2︒当21x -=-时，3x =，此时224x x --=为偶数，满足方程；3︒当 20x -≠，且220x x --=时，得1x =-，或2x =（舍）；综上所述，x 的和为1＋3＋（－1）＝3．故选A ．3．【答案】A【解析】如图，易得3x a b y +=+，∴3y x a b =+-， ∴()()222323S bx ay bx a x a b a b x a ab =-=-+---+＝，∵a 、b 、S 为定值，∴20a b -=，∴2a b =，故选A ．4．【答案】C【解析】如图，连接OC ，取OC 中点F ，连接EF 、DF ， ∴280AOC ABC ∠=∠=︒，∴50OEOF OFE ∠=∠=︒， 显然180408060DOC BAC ∠=∠=︒-︒-︒=︒，∵D 为BC 中点，∴OD DC ⊥，又F 为OC 中点，∴OF FD ＝，∴OFD △为等边三角形，∴OD OF OE ==，∴1302FED FOD ∠=∠=︒， ∴503020OED ∠=︒-︒=︒．故选C ．5．【答案】D【解析】由已知()()()21212112n a n n n n n n =++++++++=+-=+……， ∴111122n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴123201111111113252122122462a a a a ⎛⎫++++=+--= ⎪⎝⎭… 故选D ．6．【答案】B【解析】（1）当102x ≤≤时，过M 作ME BC ⊥与E ， ∵M 为AB 的中点，2AB =，∴1BM =，∵60B ∠=︒，∴12BE =，ME =，12PE x =-， 在Rt BME △中，由勾股定理得：222MP ME PE =+，∴2221122y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）当122x <≤时，过M 作ME BC ⊥与E ， 由（1）知1BM =，60B ∠=︒，∴12BE =，ME =，12PE x =-， ∴222MP ME PE =+，∴2221122y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）当24x <≤时，连2MC ，∵1BM =，2BC AB ==，60B ∠=︒，∴90BMC ∠=︒，MC ==∵AB DC ∥，∴90MCD BMC ∠=∠=︒，∴222MP MC PC =+，∴()222247y x x x =+-=-+；综合（1）（2）（3），只有B 选项符合题意． 故选B ．7．【答案】C【解析】解法1：∵先把四个女运动员任意排列，设为ABCD ， 和A 配合的男运动员有4个选择；和B 配合的男运动员剩下3种选择；和C 配合的男运动员剩下2种选择；最后一个和D 配合．∴4男4女组成四队混合双打的情况共有：43224⨯⨯=种， 设一、二、三、四班的男、女选手分别为1A 、B ≤、2A 、2B 、3A 、3B 、4A 、4B ， 则四队混合双打中，没有一对选手是同班同学的情景如下：由上得共有9种情形． 故四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是：93248=． 解法2：（杰少强烈推荐）：()()11111341!112!3!4!8n k k P n k ===-=-+-+=∑； 解法3：（杰少强烈推荐）：n 组配对，没有一对配对成功的递推公式为：()()()1213n n n a n a a n --=-+≥，其中10a =，21a =，∴32a =，49a =，∴()4934!4!8a P n n ====． 故选C ．8．【答案】B【解析】连接AC ，AG ，∵GO AB ⊥，∴O 为AB 的中点，即12AO BO AB ==， ∵()01G ,，即1OG =，∴在Rt AOG △中，根据勾股定理得：AO =∴2AB AO ==又213CO CG GO =+=+=，∴在Rt AOG △中，根据勾股定理得：AC ==∵CF AE ⊥，∴ACF △始终是直角三角形，点F 的运动轨迹为以AC 为直径的半圆，当E 位于点B 时，CO AE ⊥，此时F 与O 重合；当E 位于D 时，CA AE ⊥，此时F 与A 重合，∴当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长AO ，在Rt ACO △中，tan 3AO ACO CO ∠== ∴30ACO ∠=︒，∴AO 度数为60︒，∵直径AC =∴AO =，则当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F ． 故选B ．9．【答案】D【解析】设2y ax bx c =++交y 轴于点()0,C c ，0c ≠，交x 轴于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，由ABC △是直角三角形知，点C 必为直角顶点，且()21212c x x x x =-=-（射影定理的逆定理）， 由根与系数的关系得，12b x x a +=-，12c x x a =， ∴2c c a =-，1c a =-， 又244ac b a-，即2844a b =+≥，∴12a ≥，∴1212ABC S c x x =-=△=12a =4=， 当且仅当12a =，0b =，2c =-时等号成立，因此，Rt ABC △的最大面积是4． 故选D ．10．【答案】A【解析】显然1333320502050M >⨯=，1333320182018M <⨯=， ∴201812050514616233333333M M <<⇒<<，此时还不能判断1M的整数部分， 又()()114068406822018205020182050203420342034k k k k +=>=+-+-⨯， ∴213316203420342034M >⨯+=，∴1203421613333M <=， ∴512161613333M <<，∴1M的整数部分为61． 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）11．【答案】3【解析】易得()2)120(x y x y +++=-，∴()()430x y x y +++=-∵x 、y 为非负数，∴40x y ++>，∴3x y +=，从而03x ≤≤，03y ≤≤，∴()()()()2131213x y y y y -=----＝≤．12．【答案】48【解析】由已知，易得：21a a -=，∴4213a a +=，∴8417a a +=，∴447a a -+=，∴()84444477177177148a a a a a a ---+=-+=+-=⨯-=13．【答案】103【解析】连接OE 、'OD ，作'OH ED ⊥于H ，∴1''2EH D H ED ==， ∵'ED ED =，∴12EH ED =， ∵正方形ABCD ，∴90A ∠=︒，6AB AD ==，∵EF 是⊙O 的切线，∴OE EF ⊥，∴90OEH D EF ∠+∠'=︒，90AEO DEF ∠+∠=︒，∵DEF D EF ∠=∠'，∴AEO HEO ∠=∠，∴()AEO HEO AAS ≌△△， ∴12AE EH ED ==，∴123AE AD ==， 设OB OE x ==．则6AO x =-，在Rt AOE △中，()22226x x =＋－， 解得103x =，∴103OB =． 14．【答案】503 【解析】设22a ab b k -+=，∵225a ab b ++=， ∴2252k a b ++=，52k ab -=， ∵222a b ab +≥，∴552522k k k +-=-≥， ∴55522k k k ++--≤≤，解得：5153k ≤≤， ∴15m =，53n =，∴503m n +=．15．【答案】5π+【解析】第一、二次旋转的弧长和2== 第三次旋转的弧长601180π⨯=，周期为3，∵45315÷=，∴菱形中心O 所经过的路径总长6011525180ππ⎛⎫⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭16【解析】连接DE 、DF ，设21BC a =，则14BF a =，7FC a =，28AB a =， ∵120ABC ∠=︒，∴AF =，EC =，∵ADF DEC S S ＝△△，∴1122AF DG EC DH=， ∴::DG DH EC AF ==． 三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（1）【答案】372【解析】由已知可得214a a +=-，平方整理得：42114a a +=，∴()()42222222+114145121231a ma a ma m a ma m a a ma +++===-+-++， 解得：372m =． （2）【答案】1x = 【解析】令0t ，∴2233x x t -=-，∴原方程化为：()22321x x x xt +-+=，∴22321x t xt +-+=，∴()24x t +=，∴2x t +=±，∴2224433t x x x x =++=-+，解得：1x =或17x =-， 当1x =时，原方程成立；当17x =-，原方程不成立； 综上所述，x ＝1是原方程的解．18．【答案】司机应在公路上行驶(km 使用时间最短，最短时间为：h 2⎭． 【解析】如图，设司机在公路上行驶至P 点，再从P 点行驶至B 点． ∴时间116030302AP PB t PB AP ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． 过A 在直线L 下方做一条与L 的夹角为30︒的直线l ，再过P 作PD l ⊥于点D ，过B 作BE l ⊥于点E ，交L 于点Q ，则12PD AP =， ∴()113030t PB PD BE =+≥，当P 在点Q 处时取得最小值．∵90m AB =，30BC =，∴AC =∵30QAE ∠=︒，∴30QBC ∠=︒，∴QC ==AQ =即：司机应在公路上行驶(km 使用时间最短．2QB QC ==12QE AQ ==∴BE QB QE =+==∴min 130302t BE ==，即：最短时间为：h 2⎭．19．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）521,28D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）∵90ACB ∠=︒，OC AB ⊥，∴2•OA OB OC =，即2mn p =．∵()2223OA OB OC OA OB OC ++=++，∴()2223m n p m n p ++=++．又∵()()22222m n p m n p mn np mp ++=++-++()()()()()()22222m n p p np mp m n p p m n p m n p m n p =++-++=++-++=+++-， ∴3m n p +-=，即3m n p +=+．∵2mn p =，3m n p +=+， ∴m ，n 是关于x 的一元二次方程()2230x p x p -++=①的两个不相等的正整数根，∴()22340p p ⎡⎤⎦∆-⎣-+>＝，解得13p -<<． 又∵p 为正整数，故1p =或2p =．当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为1m =，4n =．综合知：1m =，4n =，2p =．设图象经过A ，B ，C 三点的二次函数的解析式为()()14y k x x =+-，将点()0,2C 的坐标代入得()214k =⨯⨯-，解得12k =-． ∴图象经过A ，B ，C 三点的二次函数的解析式为()()2113142222y x x x x =-+-=-++． （2）如图，直线AB 交线段BC 于点Q ，由1:3ACQ ABQ S S =:△△，得:1:3CQ QB =， ∴114Q x OB ==，13242Q y OC =-=，∴31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵()1,0A -， ∴33:44AQ y x =+，联立2132223344y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 消去y 整理可得，22350x x --=，由韦达定理：52A D x x =-，而1A x =-， ∴52D x =，∴218D y =，∴D 点坐标为：521,28D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．【答案】（1）365；（2） 【解析】（1）分别过O 、E 作OM CD ⊥于M ，EN CD ⊥于N ，∵10CD =， ∴()111101260222OCD CDE ODEC S S S CD OM EN CD OE =+=+=⨯⨯=四边形△△≤； 此时，OM 、EN 、OE 重合， ∵••OM CD OC OD =∴1068OM ⨯=⨯，245OM =， ∴24361255EF OE OM =-=-=；（2）延长OB 至点G ，使BG OB ＝，连接GE 、GC 、DE ． ∴12OE OG = ∵点D 为OB 的中点，OB OE =， ∴12OD OE =，∴OD OE OE OG=， 又DOE EOG ∠=∠，∴DOE EOG ～△△，12DE EG =， 即2EG DE =，∴2CE DE CE EG +=+，当C 、E 、G 三点在同一直线上上时，CE EG +最小，1248CO OA AC =-=-=，121224OG OB BG =+=+=，此时CE EG CG +=故2CE DE +有最小值为21．【答案】（1）5x =-；（2）①最小值，()2621y x x =+-≤≤;②1x =-【解析】（1）根据材料一∵()()20416x x ⨯=---=2=8=，5=3=∴解得：5x =-，经检验，5x =-是原方程的解．（2）①解：由材料二知：===(),x y 到点()1,8的距离(),x y 到点()22-,的距离=即点(),x y 与点()1,8，()22-,在同一条直线上，并且点(),x y 位点()1,8，()22-,的中间==21x -≤≤，设过(),x y ，()1,8，()22-,的直线解析式为：y kx b =+，∴822k b k b =+⎧⎨=-+⎩，解得：26k b =⎧⎨=⎩∴y 与x 的函数关系式为：()2621y x x =+-≤≤；②：∵y =26y x =+，26x =+①又∵ ()22251223626x x x x x =++-++=+，1=②72x =+解得：11x =>（舍）2x =∴x 的值为12-．22．（1）【答案】3AC =；【解析】分两种情况讨论：①如图1，90B D ∠=∠=︒时延长AD ，BC 交于点E ， ∵60DAB ∠=︒，∴30E ∠=︒，又∵4AB =，3AD =∴BE =8AE =，5DE =，5cos30CE ==︒，BC ==，3AC ==；②如图，60A C ∠=∠=︒时，过D 分别作DE AB ⊥于E ，DF BC ⊥于点F ，∵60DAB BCD ∠=∠=︒，又∵4AB =，3AD =，32AE =，DE BF ==，∴52BE DF ==，CF =，BC =+=AC ==；综上，3AC =；（2）【答案】738n ≤【解析】∵()20A -,、()20C ,、(1,B -，∴2AB =，BC =4AC =，∴222AB BC AC +=，∴90ABC ∠=︒，∵AD CD =，AB BC ≠，∴BAD BCD ∠≠∠，∵四边形ABCD 是“等对角四边形”，∴90ADC ABC ∠=∠=︒，∴()02D ,∵抛物线2y ax bx c =++过点A 、C ，∴()()2224y a x x ax a =+-=-，即：14a c =-，令2216t c a =+-则224t c c =--以() 02D ,为圆心，AD 长为半径作⊙D ，以()02D '-,为圆心，AD 长为半径作⊙'D ，如图所示，⊙D 交y 轴正半轴于点E ，⊙'D 交y 轴负半轴于点F ．当点P 在优弧AEC 和优弧AFC 上时，12APC ADC ∠=∠，当抛物线过E 点时满足题意的P 点有3个，如图中的1P 、2P 、3P ，此时，2c OE OD ED ==+=+当满足12APC ADC ∠=∠的P 点至少有3个时，2c +≥，当2c +≥时，22416t c c =--，∵总有不等式2922164n c a -+-≤ ∴92164n -≤， ∴738n ≤．。
2019-2020学年四川省成都市树德中学高二（下）5月段考数学试卷（文科）（含答案解析）
2019-2020学年四川省成都市树德中学⾼⼆（下）5⽉段考数学试卷（⽂科）（含答案解析）2019-2020学年四川省成都市树德中学⾼⼆（下）5⽉段考数学试卷（⽂科）题号⼀⼆三总分得分⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，复数z满⾜（1-i）?z=2i，是复数z的共轭复数，则下列关于复数z的说法正确的是（）A. z=-1-iB. |z|=2C.D. 复数z在复平⾯内表⽰的点在第四象限2.若曲线f（x）=x?sin x在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等（）A. 2B. 1C. -2D. -13.在同⼀平⾯直⾓坐标系中，将直线x-2y=2按φ：变换后得到的直线l，若以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，则直线l的极坐标⽅程为（）A. 4ρcosθ-ρsinθ=4B. ρcosθ-16ρsinθ=4C. ρcosθ-4ρsinθ=4D. ρcosθ-8ρsinθ=44.已知某⽣产⼚家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则该⽣产⼚家获取的最⼤年利润为（）A. 300万元B. 252万元C. 200万元D. 128万元5.过抛物线（t为参数）的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜⾓为（）A. B. 或 C. D. 或6.已知变量x，y之间的线性回归⽅程为=-0.4x+7.6，且变量x，y之间的⼀组相关数据如表所⽰，则下列说法错误的是（）x681012y6m32变量x，y之间呈现负相关关系B. m的值等于5C. 变量x，y之间的相关系数r=-0.4D. 由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）7.函数的图象可能是（）A. B.C. D.8.甲、⼄、丙、丁四位同学参加⼀次数学智⼒竞赛，决出了第⼀名到第四名的四个名次．甲说：“我不是第⼀名”；⼄说：“丁是第⼀名”；丙说：“⼄是第⼀名”；丁说：“我不是第⼀名”．成绩公布后，发现这四位同学中只有⼀位说的是正确的．则获得第⼀名的同学为（）A. 甲B. ⼄C. 丙D. 丁9.若e a+πb≥e-b+π-a，则有（）A. a+b≤0B. a-b≥0C. a-b≤0D. a+b≥010.曲线C的参数⽅程为（α为参数），M是曲线C上的动点，若曲线T极坐标⽅程2ρsinθ+ρcosθ=20，则点M到T的距离的最⼤值（）A. B. C. D.11.⼰知函数f（x）=e x-ex+a与g（x）=ln x+的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A. [-e，+∞）B. [-1，+∞）C. （-∞，-1]D. （-∞，-e]12.已知函数f（x）=e x-ax-1在区间（-1，1）内存在极值点，且f（x）＜0恰好有唯⼀整数解，则a的取值范围是（其中e为⾃然对数的底数，e=2.71828…）（）A. [，e）B. [，1）∪（e-1，]C. （e-1，e）D. [，）∪（e-1，e）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知复数（m2-5m+6）+（m2-3m）i是纯虚数，则实数m=______．14.观察下列不等式：1+，1+，1+，1+…按此规律，第n个不等式为______ ．15.在极坐标系中，已知，则A，B两点之间的距离|AB|=______．16.若函数在区间[1，2]上单调递增，则a+4b的最⼩值是______．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70.0分）17.设函数．（Ⅰ）若点（1，1）在曲线y=f（x）上，求在该点处曲线的切线⽅程；（Ⅱ）若f（x）有极⼩值2，求a．18.某⼯⼚为提⾼⽣产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项⽣产任务的两种新的⽣产⽅式．为⽐较两种⽣产⽅式的效率，选取40名⼯⼈，将他们随机分成两组，每组20⼈．第⼀组⼯⼈⽤第⼀种⽣产⽅式，第⼆组⼯⼈⽤第⼆种⽣产⽅式．根据⼯⼈完成⽣产任务的⼯作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种⽣产⽅式的效率更⾼？并说明理由；（2）求40名⼯⼈完成⽣产任务所需时间的中位数m，并将完成⽣产任务所需时间超过m和不超过m的⼯⼈数填⼊下⾯的列联表：超过m不超过m第⼀种⽣产⽅式第⼆种⽣产⽅式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种⽣产⽅式的效率有差异？附：K2＝，P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82819.在直⾓坐标系xOy中，曲线C1的参数⽅程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C2的极坐标⽅程为ρ=4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通⽅程和C2的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标⽅程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，求实数α的值．20.已知函数．（1）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成⽴，试求a的取值范围；（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e-1，e]上恰有两个零点，求实数b的取值范围．21.近年来，随着互联⽹的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等⽹约车服务在我国各城市迅猛发展，为⼈们出⾏提供了便利，但也给城市交通管理带来了⼀些困难．为掌握⽹约车在我省的发展情况，我省某调查机构抽取了哈尔滨、齐齐哈尔、⼤庆、牡丹江、佳⽊斯5个城市，分别收集和分析了⽹约车的，两项指标数，数据如下表所⽰：佳⽊斯牡丹江⼤庆齐齐哈尔哈尔滨A指标数x24568B指标数y34445经计算得，，．（1）试求y与x间的相关系数，并利⽤r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若|r|＞0.75，则线性相关程度很⾼，可⽤线性回归模型拟合）；（2）建⽴y关于x的回归⽅程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值；（3）若城市的⽹约A车指标数x落在区间（，）的右侧，则认为该城市⽹约车数量过多，会对城市交通管理带来较⼤的影响，交通管理部门将介⼊进⾏治理，直⾄A指标数x 回落到区间（，）之内．现已知2019年3⽉该城市⽹约车的A指标数为13，问：该城市的交通管理部门是否要介⼊进⾏治理？试说明理由．附：相关公式：，，参考数据：，．22.已知函数f（x）=ln x，g（x）=ax2-（2a+1）x（a≠0且），h（x）=x2+kx+3．（1）若函数F（x）=f（x）+g（x）在（0，e]上的最⼤值为1，求a的值；（2）若存在使得关于x的不等式2xf（x）+h（x）≥0成⽴，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵（1-i）?z=2i，∴z====-1+i，∴|z|=，=-1-i，∴z=（-1+i）（-1-i）=1+1=2，复数z在复平⾯内表⽰的点在第⼆象限，故选：C．把已知等式变形，利⽤复数代数形式的乘除运算化简求出z，然后逐⼀核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：A解析：解：f'（x）=sin x+x cosx，∴f′（）=1，即函数f（x）=x sinx+1在点x=处的切线的斜率是1，直线ax+2y+1=0的斜率是-，所以-×1=-1，解得a=2．故选：A．先求出导函数f'（x），求出f′（）的值从⽽得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为-1建⽴等式关系，解之即可求出a的值．本题主要考查了利⽤导数研究曲线上某点切线⽅程，以及直线的⼀般式⽅程与直线的垂直关系，属于基础题．3.答案：A解析：解：由φ：得并代⼊x-2y=2得2x′-2×y′=2，即2x′-y′-2=0，其极坐标⽅程为2ρcosθ-ρsinθ=2，即4ρcosθ-ρsinθ=4．故选：A．先由变换公式得直线l的直⾓坐标，再⽤公式化成极坐标⽅程．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．4.答案：C解析：解：y′=-x2+81，令y′=0，⼜x＞0，解得x=9．当0＜x＜9时，y′＞0，函数f（x）单调递增；当x＞9时，y′＜0，函数f（x）单调递减．∴当x=9时，y有最⼤值，最⼤值是200（万元），故选：C．y′=-x2+81，令y′=0，解得x=9．利⽤导数研究其单调性即可得出．本题考查了利⽤导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．5.答案：B解析：解：由消去t得y2=x，F（，0），显然所求直线有斜率，设弦长所在直线的⽅程为：y=k（x-）并代⼊y2=x得k2x2-（k2+）x+=0，根据抛物线的定义得x1+x2+p=+=2，解得k2=3，k=，∴倾斜⾓为或．故选：B．消参变普通⽅程后与直线⽅程联⽴，根据韦达定理以及抛物线的定义列式可得斜率k和倾斜⾓．本题考查了抛物线线的参数⽅程，属中档题．6.答案：C解析：解：对于A：根据回归系数=-0.4＜0，判断量x，y之间呈现负相关关系，A正确；对于B，根据表中数据，计算=×（6+8+10+12）=9，=×（6+m+3+2）=，代⼊回归⽅程得=-0.4×9+7.6，解得m=5，B正确；对于C：变量x，y之间的相关系数r≠-0.4，C错误；对于D：由线性回归⽅程⼀定过（，），且=9，∴线性回归⽅程过点（9，4），D正确；故选：C．根据变量x，y之间的线性回归⽅程，对选项中的命题分析、判断正误即可．本题考查了线性回归⽅程的定义与应⽤问题，是基础题．7.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想⽅法应⽤．根据函数的定义域和特值法即可排除A,C,D，从⽽得到正确选项.【解答】解：因为，函数f（x）的定义域为R，且在R上连续，故排除A；且，故排除C，,故排除D，故选：B．8.答案：A解析：解：当甲获得第⼀名时，甲、⼄、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件；当⼄获得第⼀名时，甲、丙、丁说的都是对的，⼄说的是错的，不符合条件；当丙获得第⼀名时，甲和丁说的是对的，⼄和丙说的是错的，不符合条件；当丁获得第⼀名时，甲、⼄说的都是对的，⼄、丁说的都是错的，不符合条件．故选：A．分别假设第⼀名是甲、⼄、丙、丁，然后分析四个⼈的话，能够求出结果．本题考查简单推理的应⽤，考查合情推理等基础知识，考查函数与⽅程思想，考查函数与⽅程思想，是基础题．9.答案：D解析：【分析】利⽤函数单调性求由e a+πb≥e-b+π-a构造函数f（x）=e x-π-x，利⽤函数单调性得答案．本题考查构造函数以及指数函数的性质，属于中档题．【解答】解法⼀：取特殊值排除；当a=0，b=1时，1+π≥+1，成⽴，排除A，B．当a=1，b=0，e+1≥1+成⽴，排除C．法⼆：构造函数利⽤单调性：令f（x）=e x-π-x，则f（x）是增函数，∵e a-π-a≥e-b-πb，∴f（a）≥f（-b），即a+b≥0．故选：D．10.答案：B解析：解：曲线T的普通⽅程是：x+2y-20=0．点M到曲线T的距离为=，∴sin（α+θ）=-1时，点M到T的距离的最⼤值为2+4，故选B．先求出曲线C的普通⽅程，使⽤参数坐标求出点M到曲线T的距离，得到关于α的三⾓函数，利⽤三⾓函数的性质求出距离的最值．本题考查了参数⽅程，极坐标⽅程与普通⽅程的转化，参数⽅程的应⽤，属于基础题．解析：【分析】本题主要考查函数与⽅程的应⽤，属于较难题．先求出g（x）关于x轴对称的函数图象，则条件等价为f（x）=e x-ex+a=-ln x-，在（0，+∞）上有解，利⽤参数分离法进⾏转化，利⽤数形结合进⾏求解即可．【解答】解：g（x）=ln x+的定义域为（0，+∞），则g（x）关于x轴对称的曲线为-y=ln x+，即y=-ln x-，则条件等价为f（x）=e x-ex+a=-ln x-在（0，+∞）上有解，得a=-ln x--e x+ex，设h（x）=-ln x--e x+ex，则函数的导数h′（x）=-+-e x+e=-（e x-e），当x=1时，h′（x）=0，当x＞1时，h′（x）=-（e x-e）＜0，此时函数为减函数，当0＜x＜1时，h′（x）=-（e x-e）＞0，此时函数f（x）为增函数，即当x=1时，函数h（x）=-ln x--e x+ex取得极⼤值同时也是最⼤值，最⼤值为h（1）=-ln1-1-e+e=-1，作出h（x）=-ln x--e x+ex的图象如图：即要使a=h（x）在（0，+∞）上有解，则a≤-1，即实数a的取值范围是（-∞，-1]，12.答案：D解析：解：由题意得，f′（x）=e x-a=0在（-1，1）上有解，∵f′（x）在（-1，1）上单调递增，∴＜a＜e，⼜∵f（x）＜0恰好有唯⼀整数解，即e x＜ax+1有唯⼀整数解．设g（x）=e x，h（x）=ax+1，结合题意可知：①若1＜a＜e，则唯⼀整数解为1，故应满⾜故e-1＜a＜e；②若＜a＜1，则唯⼀整数解为-1，故应满⾜∴≤a＜，故≤a＜．由①②得a的取值范围为[，）∪（e-1，e）．故选：D．推导出f′（x）=e x-a=0在（-1，1）上有解，从⽽＜a＜e，e x＜ax+1有唯⼀整数解．设g（x）=e x，h（x）=ax+1，当1＜a＜e时，唯⼀整数解为1，应满⾜当＜a＜1时，唯⼀整数解为-1，应满⾜由此能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查利⽤导数研究函数极值点问题、利⽤导数研究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能⼒，是难题．13.答案：2解析：解：当纯虚数．故答案为：2．当复数是⼀个纯虚数时，需要实部等于零⽽虚部不等于0，本题考查复数代数表⽰法及，针对于复数的基本概念得到实部和虚部的要满⾜的条件．14.答案：1++…+＜解析：解：由已知中的不等式1+，1+，1+，1+…得出左边式⼦是连续正整数平⽅的倒数和，最后⼀个数的分母是不等式序号n+1的平⽅右边分式中的分⼦与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1++…+＜，（n≥2），故答案为：1++…+＜由题设中所给的四个不等式归纳出它们的共性：左边式⼦是连续正整数平⽅的倒数和，最后⼀个数的分母是不等式序号n+1的平⽅，右边分式中的分⼦与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的四个不等式得出它们的共性，由此得出通式．15.答案：2解析：解：根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，点A（2，），B（4，）的直⾓坐标为：A（，1），B（-2，2），∴|AB|==2，故答案为：2．先利⽤直⾓坐标与极坐标间的关系，即利⽤ρcosθ=x，ρsinθ=y，进⾏代换将极坐标化成直⾓坐标，再在直⾓坐标系中算出两点间的距离即可．本题考查点的极坐标和直⾓坐标的互化，体会在极坐标系和平⾯直⾓坐标系中刻画点的位置的区别，本题解题的关键是能进⾏极坐标和直⾓坐标的互化．解析：解：函数在[1，2]上单调递增，∴在[1，2]上恒成⽴，即x2+2bx+a≥0在[1，2]上恒成⽴，令h（x）=x2+2bx+a，其对称轴为x=-b，当-b≤1即b≥-1时，x2+2bx+a≥0在[1，2]上恒成⽴等价于，由线性规划可知，此时（a+4b）min=-3，当-b≥2即b≤-2时，x2+2bx+a≥0在[1，2]上恒成⽴，等价于，即（a+4b）min=-4；当1＜-b＜2即-2＜b＜-1时，x2+2bx+a≥0在[1，2]上恒成⽴，等价于，此时（a+4b）min=-4，综上可知，（a+4b）min=-4．故答案为：-4．对函数进⾏求导，导函数的分⼦为⼆次函数，按照轴动区间定的⽅法列出关于a与b的不等式，联合线性规划知识点分析可得答案．本题利⽤导数研究函数的单调性，结合线性规划，难度较⼤．17.答案：解：（I）因为点（1，1）在曲线y=f（x）上，所以a=1，------------------------------------------（1分）⼜，------------------------------------------（3分）所以------------------------------------------（4分）在该点处曲线的切线⽅程为即x+2y-3=0------------------------------------------（5分）（II）定义域为（0，+∞），--------------------------------------（6分）讨论：（1）当a≤0时，f'（x）＜0此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以不存在极⼩值------------------------------（8分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0可得------------------------------------------（9分）列表可得xf'（x）-0+f（x）单调递减单调递增所以f（x）在上单调递减，在上单调递增----------------------（11分）所以=，所以=2解得a=2（舍负）------------------------------------------（13分）解析：（Ⅰ）利⽤已知条件求出a，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切线⽅程．（Ⅱ）求出导函数，判断导函数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的极值．推出a．本题考查函数的导数的应⽤，切线⽅程以及函数的单调性极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应⽤．18.答案：解：（1）根据茎叶图中的数据知，第⼀种⽣产⽅式的⼯作时间主要集中在72～92之间，第⼆种⽣产⽅式的⼯作时间主要集中在65～85之间，所以第⼆种⽣产⽅式的⼯作时间较少些，效率更⾼；（2）这40名⼯⼈完成⽣产任务所需时间按从⼩到⼤的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m==80；由此填写列联表如下；超过m不超过m总计第⼀种⽣产⽅式15520第⼆种⽣产⽅式51520总计202040（3）根据（2）中的列联表，计算K2===10＞6.635，∴能有99%的把握认为两种⽣产⽅式的效率有差异．解析：本题考查了茎叶图、中位数、列联表与独⽴性检验的应⽤问题，是基础题．（1）根据茎叶图中的数据判断第⼆种⽣产⽅式的⼯作时间较少些，效率更⾼；（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．19.答案：解：（Ⅰ）由曲线C1的参数⽅程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通⽅程为（x-2）2+y2=4．∵曲线C2的极坐标⽅程为ρ=4sinθ，∴ρ2=4ρsinθ，∴C2的直⾓坐标⽅程为x2+y2=4y，整理，得x2+（y-2）2=4．（Ⅱ）曲线C1：（x-2）2+y2=4化为极坐标⽅程为ρ=4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标⽅程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，∴|AB|=|ρ1-ρ2|=|4si nα-4cosα|=4|sin（）|=4，∴sin（）=±1，∵0＜α＜π，∴-，∴，解得．解析：（Ⅰ）由曲线C1的参数⽅程消去参数能求出曲线C1的普通⽅程；曲线C2的极坐标⽅程化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C2的直⾓坐标⽅程．（Ⅱ）曲线C1化为极坐标⽅程为ρ=4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从⽽得到|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4|sin（）|=4，进⽽sin（）=±1，由此能求出结果．本题考查曲线的普通⽅程、直⾓坐标⽅程的求法，考查⾓的求法，涉及到直⾓坐标⽅程、极坐标⽅程、参数⽅程的互化，考查推理论证能⼒、运算求解能⼒，考查化归与转化思想、函数与⽅程思想，是中档题．20.答案：解：（1）=，由f′（x）＞0解得，由f′（x）＜0得∴f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减∴当时，函数f（x）取得最⼩值由于对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成⽴，所以解得，故a的取值范围是（2）依题意得，则由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1所以g（x）在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，+∞）上为增函数．⼜因为函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，所以解得，所以b的取值范围是．解析：（1）根据函数的单调区间求出函数的最⼩值，要使f（x）＞2（a-1）恒成⽴，需使函数的最⼩值⼤于2（a-1），从⽽求得a的取值范围．（2）利⽤导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，得到，解出实数b的取值范围．本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利⽤导数求函数的单调区间以及函数的最值．属于中档题．21.答案：解：（1）由题得，，∴（x i-）（y i-）=6，（x i-）2=20，（y i-）2=2，则r==≈0.95，∵r＞0.25，∴x与y具有较强的线性相关关系；（2）由（1）得=0.3，=4-0.3×5=2.5，∴线性回归⽅程为=0.3x+2.5，当x=7时，=0.3×7+2.5=4.6，∴当A指标为7时，B指标的估计值为4.6；（3）由题得（-3s，+3s）=（-1，11），∵13＞11，∴该城市的交通管程部门需要进⾏治理．解析：（1）计算相关系数r≈0.95＞0.75，所以x与y具有较强的线性相关关系；（2）先得线性回归⽅程，再代⼊x=7可得；（3）由题得（-3s，+3s）=（-1，11），由13＞11可得结论．本题考查两个变量相关关系的判断，考查线性回归⽅程的求法，考查计算能⼒，是中档题．22.答案：解：（1）函数F（x）=f（x）+g（x）=ln x+ax2-（2a+1）x，x∈（0，e]，=，令u（x）=2ax2-（2a+1）x+1=（2ax-1）（x-1），则u（x）过（0，1），（1，0）两点，因为a≠0且a，所以，所以函数u（x）与x轴交于不同的两点（，0），（1，0），当时，即a＜0时，在区间（0，1）上，u（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）单调递增，在区间（1，e）上，u（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）单调递减，所以F（x）max=F（1）=ln1+a×12-（2a+1）×1=-a-1=1，解得a=-2，当0＜＜1时，即a时，在区间（0，），（1，e）上，u（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）单调递增，在区间（，1）上，u（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）单调递减，F（）=ln+a（）2-（2a+1）×=ln，因为此时0＜＜1，F（）＜0，不会是最⼤值1，若F（x）max=F（e）=ln e+a×e2-（2a+1）e=1+ae2-2ae-e=1，解得a=与a＞⽭盾，（舍）．当1＜＜e，即．时，在区间（0，1），（，e）上，u（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）单调递增，在区间（1，）上，u（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）单调递减，若F（x）max=F（1）=-a-1=1，解得a=-2，与⽭盾，（舍）若F（x）max=F（e）=1+ae2-2ae-e=1，解得a=，符合．当e＜，即0＜a＜时，在区间（0，1）上，u（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）单调递增，在区间（1，e）上，u（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）单调递减，F（x）max=F（1）=-a-1=1，解得a=-2，（舍）综上所述：a=-2或．（2）存在使得关于x的不等式2xf（x）+h（x）≥0成⽴，存在使得关于x的不等式2x lnx+x2+kx+3≥0成⽴，存在使得关于x的不等式k≥-成⽴，令v（x）=-，v′（x）=-=-，所以在区间（，1）上，v′（x）＞0，v（x）单调递增，在区间（1，e）上，v′（x）＞0，v（x）单调递增，v（）=2--3，v（e）=-2-e-，v（）-v（e）=（2--3）-（-2-e-）=1+e+＞0，所以v（）＞v（e），所以k＞-2-e-．解析：（1）对F（x）求导得=，令u（x）=2ax2-（2a+1）x+1=（2ax-1）（x-1），则u（x）过（0，1），（1，0）两点，因为a≠0且a，所以，所以函数u（x）与x轴交于不同的两点（，0），（1，0），分情况讨论，当，当0＜＜1，当1＜＜e，当e ＜，每⼀种情况下的单调性最⼤值，进⽽得出结论．（2）根据题意得，存在使得关于x的不等式k≥-成⽴，令v（x）=-，只需要求v（x）最⼩值，使得k⼤于v（x）最⼩值，即可．本题考查导数的综合应⽤，存在性问题，属于难题．。
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2019年四川省成都市青羊区树德中学外地生自主招生数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）当a＜1时，化简的结果是（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a2．（5分）满足的所有实数x的和为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）五张如图所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD 中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（）A．a＝2b B．a＝3b C．3a＝2b D．2a＝3b+14．（5分）如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（）A．15°B．18°C．20°D．22°5．（5分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP2＝y，则表示y与x 的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．9．（5分）设a、b、c为实数，且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c，顶点在y＝﹣2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，S△ABC的最大值是（）A．1B．C．3D．410．（5分）设，则的整数部分是（）A．61B．62C．63D．64二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）11．（5分）已知x，y都是非负数，且满足x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0，则x（1﹣y）的最大值为．12．（5分）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0．则a8+7a﹣4的值为．13．（5分）如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为．14．（5分）已知a、b是实数，且a2+ab+b2＝5．若a2﹣ab+b2的最大值是m，最小值是n，则m+n的值是．15．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为．（结果保留π）16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥CE于H，则DG：DH＝．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知a2+4a+1＝0，且，求m的值．（2）解方程：．18．（10分）一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B 之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米？全部所用的行车时间最短？最短时间为多少？19．（12分）已知m，n，p为正整数，m＜n．设A（﹣m，0），B（n，0），C（0，p），O为坐标原点．若∠ACB＝90°，且OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC）．（1）求图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式；（2）点D是抛物线上的一动点，直线AD交线段BC于点Q，若△ACQ，△ABQ的面积S△ACQ，S△ABQ 满足S△ACQ：S△ABQ＝1：3，求此时点D的坐标．20．（12分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．21．（12分）阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝1反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．22．（14分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝；（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长；（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）C（2，0）B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、C，点P在抛物线上，当满足∠APC＝∠ADC的P点至少有3个时，总有不等式2n﹣成立，求n的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）当a＜1时，化简的结果是（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【解答】解：∵a＜1，∴1﹣a＞0，∵﹣a3（1﹣a）≥0，∴a≤0，∴＝|a|＝﹣a，故选：B．2．（5分）满足的所有实数x的和为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：当2﹣x＝1，即x＝1时，满足题意．当2﹣x＝﹣l，即x＝3时，由于，所以满足题意．当2﹣x≠±1且2﹣x≠0，即x≠1 且x≠3 且x≠2时，令x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1．因此，所求和为1+3+（﹣l）＝3．故选：A．3．（5分）五张如图所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD 中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（）A．a＝2b B．a＝3b C．3a＝2b D．2a＝3b+1【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝2b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝3b+PC，∴AE+a＝3b+PC，即AE﹣PC＝3b﹣a，∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝2b×AE﹣a×PC＝2b（PC+3b﹣a）﹣aPC＝（2b﹣a）PC+6b2﹣2ab，则2b﹣a＝0，即a＝2b，故选：A．4．（5分）如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（）A．15°B．18°C．20°D．22°【解答】解：如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝（180°﹣80°）＝50°，连接OB，∵D为BC中点，∴BD＝CD，OD⊥BC，∴∠DOC＝，∵∠BAC＝BOC，∴∠DOC＝∠BAC，∴∠DOC＝∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵F为OC中点，∴OF＝FD，∴△OFD为等边三角形，∴OD＝OF＝OE，∴O、E、F、D四点共圆，∴，∴∠OED＝50°﹣30°＝20°．故选：C．5．（5分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（）A．B．C．D．【解答】解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，a n＝n（n+2）；∴+++…+＝+++…+＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝×（1+﹣﹣）＝×＝，故选：D．6．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP2＝y，则表示y与x 的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：（1）当0≤x≤时，如图1，过M作ME⊥BC与E，∵M为AB的中点，AB＝2，∴BM＝1，∵∠B＝60°，∴BE＝，ME＝，PE＝﹣x，在R t△BME中，由勾股定理得：MP2＝ME2+PE2，∴y＝＝x2﹣x+1；（2）当＜x≤2时如图2，过M作ME⊥BC与E，由（1）知BM＝1，∠B＝60°，∴BE＝，ME＝，PE＝x﹣，∴MP2＝ME2+PE2，∴y＝＝x2﹣x+1；（3）当2＜x≤4时，如图3，连结MC，∵BM＝1，BC＝AB＝2，∠B＝60°，∴∠BMC＝90°，MC＝＝，∵AB∥DC，∴∠MCD＝∠BMC＝90°，∴MP2＝MC2+PC2，∴y＝＝x2﹣4x+7；综合（1）（2）（3），只有B选项符合题意．故选：B．7．（5分）某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵先把四个女运动员任意排列，设为ABCD，和A配合的男运动员有4个选择；和B配合的男运动员剩下3种选择；和C配合的男运动员剩下2种选择；最后一个和D配合．所以总共有24种．∴4男4女组成四队混合双打的情况共有：4×3×2＝24种，设一、二、三、四班的男、女选手分别为A1、B1、A2、B2、A3、B3、A4、B4，则四队混合双打中，没有一对选手是同班同学的情景如下：由上得共有9种情形．故四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是：＝．故选：C．8．（5分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO＝BO＝AB，∵G（0，1），即OG＝1，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO＝＝，∴AB＝2AO＝2，又CO＝CG+GO＝2+1＝3，∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝2，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∴度数为60°，∵直径AC＝2，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长π．故选：B．9．（5分）设a、b、c为实数，且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c，顶点在y＝﹣2上，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，当△ABC为直角三角形时，S△ABC的最大值是（）A．1B．C．3D．4【解答】解：设y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c2＝（﹣x1）x2＝﹣x1x2（射影定理的逆定理），由根与系数的关系得，，，∴，，又＝﹣2，即8a＝4+b2≥4，∴，∴，＝，＝＝，当且仅当，b＝0，c＝﹣2时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是4．故选：D．10．（5分）设，则的整数部分是（）A．61B．62C．63D．64【解答】解：∵，2050﹣2018+1＝33，∴M＞且M＜，∴＜M＜，∴＜＜，即61＜＜62，∵＞＞＞…＞，∴M＞，∴＜＝61，∴61＜＜61，∴的整数部分为61，故选：A．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）11．（5分）已知x，y都是非负数，且满足x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0，则x（1﹣y）的最大值为3．【解答】解：x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0（x+y）2+（x+y）﹣12＝0，（x+y+4）（x+y﹣3）＝0∵x、y为非负数，∴x+y+4＞0，∴x+y＝3，即x＝3﹣y，∴0≤x≤3，0≤y≤3，∴x（1﹣y）＝（3﹣y）（1﹣y）＝（y﹣2）2﹣1≤3，故答案为：3．12．（5分）已知实数a满足a2﹣a﹣1＝0．则a8+7a﹣4的值为48．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴两边都除以a得，a﹣a﹣1＝1，∴a2+a﹣2＝3，a4+a﹣4＝7，∴a8+7a﹣4，＝a4•a4+a4•a﹣4﹣1+7a﹣4，＝a4（a4+a﹣4）+7a﹣4﹣1，＝7a4+7a﹣4﹣1，＝7×7﹣1，＝48．故答案为：48．13．（5分）如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为．【解答】解：∵正方形ABCD，∴∠ABC＝90°，∵OB为半径，∴BC是⊙O的切线，连接OE、OD′，作OH⊥ED′于H，∴EH＝D′H＝ED′∵ED′＝ED，∴EH＝ED，∵正方形ABCD，∴∠A＝90°，AB＝AD＝6，∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，∴∠OEH+∠D′EF＝90°，∠AEO+∠DEF＝90°，∵∠DEF＝∠D′EF，∴∠AEO＝∠HEO，在△AEO和△HEO中∴△AEO≌△HEO（AAS），∴AE＝EH＝ED，∴AE＝AD＝2，设OB＝OE＝x．则AO＝6﹣x，在Rt△AOE中，x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，∴OB＝，故答案为．14．（5分）已知a、b是实数，且a2+ab+b2＝5．若a2﹣ab+b2的最大值是m，最小值是n，则m+n的值是．【解答】解：设a2﹣ab+b2＝k，∵a2+ab+b2＝5，∴a2+b2＝，ab＝，∵a2+b2≥2|ab|，∴≥2||，即≥|5﹣k|，∴﹣≤5﹣k≤，解得，≤k≤15，∴m＝15，n＝，∴m+n＝，故答案为：．15．（5分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为10π+5π．（结果保留π）【解答】解：菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，所以第一、二次旋转形成弧的半径是，圆心角是60°，所以第一、二次旋转的弧长和＝，因为第三次旋转形成弧的半径是1，圆心角是60°，所以第三次旋转的弧长＝，因为一个周期为3，所以45÷3＝15，所以菱形中心O所经过的路径总长为：．故答案为：10π+5π．16．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥CE于H，则DG：DH＝：14．【解答】解：设BC＝21a，则BF＝14a，FC＝7a，AB＝28a，∴AE＝EB＝14a，∵∠ABC＝120°，∴，∴CE＝7a，∵S△ADF＝S△DEC，∴，∴．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知a2+4a+1＝0，且，求m的值．（2）解方程：．【解答】解：（1）由已知可得a2+1＝﹣4a，∴a4+1＝（a2+1）2﹣2a2＝14a2，∴由原式可得，∴m+14＝5（m﹣12）＝5m﹣60，∴4m＝74，∴．（2）令∴x2﹣3x＝t2﹣3，∴原方程化为：x2+（x2﹣3x）+2xt＝1，∴x2+t2﹣3+2xt＝1，∴（x+t）2＝4，∴x+t＝±2，∴若x+t＝﹣2，则t2＝x2+4x+4＝x2﹣3x+3，解得：，则t＜0（不符题意，此解舍去）；若x+t＝2，则t2＝x2+4﹣4x＝x2﹣3x+3，解得x＝1，则t＝1＞0（符合题意），∴综上所述，x＝1是原方程的解．答：（1）m的值为；（2）方程的解为x＝1．18．（10分）一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B 之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米？全部所用的行车时间最短？最短时间为多少？【解答】解：如图，作射线AM交BC的延长线于M，使得∠MAC＝30°，作DH⊥AM．∵时间t＝＝（AD+BD），DH＝AD，∴时间t＝（DH+BD），∴当D，H，B共线，且BH⊥AM时，时间t最小，作BH′⊥AM于H′交AC于D′，此时时间最小值＝•BH′，∵AB＝90km，BC＝30km，∴AC＝60（km），∴CM＝AC•tan30°＝20（km），在Rt△BMH′中，BH′＝BM•cos30°＝（20+30）×＝（30+15）（km），∴t的最小值＝+．此时AD′＝．19．（12分）已知m，n，p为正整数，m＜n．设A（﹣m，0），B（n，0），C（0，p），O为坐标原点．若∠ACB＝90°，且OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC）．（1）求图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式；（2）点D是抛物线上的一动点，直线AD交线段BC于点Q，若△ACQ，△ABQ的面积S△ACQ，S△ABQ 满足S△ACQ：S△ABQ＝1：3，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，OC⊥AB，∴OA•OB＝OC2，即mn＝p2．∵OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC），∴m2+n2+p2＝3（m+n+p）．又∵m2+n2+p2＝（m+n+p）2﹣2（mn+np+mp）＝（m+n+p）2﹣2（p2+np+mp）＝（m+n+p）2﹣2p（m+n+p）＝（m+n+p）（m+n﹣p），∴m+n﹣p＝3，即m+n＝p+3．∵mn＝p2，m+n＝p+3，∴m，n是关于x的一元二次方程x2﹣（p+3）x+p2＝0①的两个不相等的正整数根，∴△＝[﹣（p+3）]2﹣4p2＞0，解得﹣1＜p＜3．又∵p为正整数，故p＝1或p＝2．当p＝1时，方程①为x2﹣4x+1＝0，没有整数解．当p＝2时，方程①为x2﹣5x+4＝0，两根为m＝1，n＝4．综合知：m＝1，n＝4，p＝2．设图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为y＝k（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）的坐标代入得2＝k×1×（﹣4），解得．∴图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为．∴图象经过A，B，C三段的二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）如图，直线AD交线段BC于点Q，由S△ACQ：S△ABQ＝1：3，得CQ：QB＝1：3，∴，，∴，∵A（﹣1，0），∴，联立，消去y整理可得，2x2﹣3x﹣5＝0，由韦达定理：，而x A＝﹣1，∴，∴，∴D点坐标为：．20．（12分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．【解答】解：（1）分别过O、E作ON⊥CD于N，EM⊥CD于M，∵CD＝10，∴四边形ODEC＝S△OCD+S△CDE＝≤CD•OE＝＝60，此时OM、EN、OE重合，∵ON•CD＝OC•OD，∴10×ON＝6×8，∴ON＝，∴；（2）延长OB至点G，使BG＝OB，连接GE、GC、DE，则，∵点D为OB的中点，OB＝OE，∴，∴，又∠DOE＝∠EOG，∴△DOE～△EOG，，∴EG＝2DE，∴CE+2DE＝CE+EG，当C、E、G三点在同一直线上上时，CE+EG最小，CO＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OG＝OB+BG＝12+12＝24，此时，故CE+2DE有最小值为．21．（12分）阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝1反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．【解答】解：（1）根据材料一；∵（﹣）×（+）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16∵﹣＝2，∴+＝8，∴＝5＝3∴解得：x＝﹣5∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）（2）①解：由材料二知：＝\sqrt{{（x}^{2}﹣2x+1）+（{y}^{2}﹣16y+64）}＝＝\sqrt{{（x}^{2}+4x+4）+（{y}^{2}﹣4y+4）}＝＝．∴可将的值看作点（x，y）到点（1，8）的距离的值看作点（x，y）到点（﹣2，2）的距离∴＝+．∴当代数式取最小值即点（x，y）与点（1，8），（﹣2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位点（1，8）（﹣2，2）的中间∴的最小值＝＝＝3且﹣2≤x≤1设过（x，y），（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为：y＝kx+b∴解得：∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）②：∵y＝+中∵y＝2x+6∴+＝2x+6 ①又∵（+）（﹣）＝2x2+5x+12﹣（2x2+3x+6）＝2x+6∴﹣＝1 ②由①+②式得：＝x+解得：x1＝＞1（舍）x2＝∴x的值为1﹣22．（14分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝115°；（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长；（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）C （2，0）B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、C，点P在抛物线上，当满足∠APC＝∠ADC的P点至少有3个时，总有不等式2n﹣成立，求n的取值范围．【解答】解：（1）∠B＝∠D＝85°，则∠C＝360°﹣2×85°﹣75°＝115°，故答案为115°；（2）①如图1，∠B＝∠D＝90°时延长AD，BC交于点E，∵∠DAB＝60°，∴∠E＝30°，又∵AB＝4，AD＝3∴BE＝4，AE＝8，DE＝5，CE＝＝，BC＝4﹣＝，AC＝＝；②如图，∠A＝∠C＝60°时，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于点F，∵∠DAB＝∠BCD＝60°，又∵AB＝4，AD＝3，AE＝，DE＝BF＝，∴BE＝DF＝，CF＝，BC＝+＝，AC＝＝；综上，AC＝或；（3）∵A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），∴AB＝2，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∵AD＝CD，AB≠BC，∴∠BAD≠∠BCD，∵四边形ABCD是“等对角四边形”∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴D（0，2）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A、C，∴y＝a（x+2）（x﹣2）＝ax2﹣4a，即：a＝﹣c，令t＝2c2+16a﹣8，则t＝2c2﹣4c﹣8，以D（0，2）为圆心，AD长为半径作⊙D，以D’（0，﹣2）为圆心，AD长为半径作⊙D’，如图所示，⊙D交y轴正半轴于点E，⊙D’交y轴负半轴于点F．当点P在优弧AEC和优弧AFC上时，∠APC＝∠ADC，当抛物线过E点时满足题意的P点有3个，此时，c＝OE＝OD+ED＝2+2，当满足∠APC＝∠ADC的P点至少有3个时，c≥2+2，当c≥2+2时，t＝2c2﹣4c﹣8≥16，∵总有不等式2n﹣≤2c2+16a﹣8成立∴2n﹣≤16，∴n≤．。