人教版八年级数学上14.3因式分解教案
人教版数学八年级上册教学设计《14-3因式分解》(第3课时)
人教版数学八年级上册教学设计《14-3因式分解》（第3课时）一. 教材分析因式分解是八年级数学的重要内容，是解决多项式问题的基本方法。
本节课的内容是因式分解的方法，包括提取公因式法、十字相乘法、分组分解法等。
这些方法对于解决实际问题有着重要的作用。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了多项式的基本概念和运算方法，对于因式分解有一定的了解。
但是，对于因式分解的深入理解和灵活运用还不够熟练。
因此，在教学中需要通过例题和练习，让学生加深对因式分解的理解，并能够灵活运用。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够运用因式分解解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、探究学习，培养学生的合作意识和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。
2.难点：因式分解的灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、小组合作学习法、案例教学法等，引导学生主动探究，合作学习，提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.教学课件：制作因式分解的教学课件，包括例题和练习题。
2.教学素材：准备相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习多项式的基本概念和运算方法，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍因式分解的概念，引导学生理解因式分解的意义。
通过示例，讲解因式分解的方法，包括提取公因式法、十字相乘法、分组分解法等。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用因式分解的方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）对学生的练习进行点评，总结因式分解的方法和技巧。
通过一些典型题目，让学生加深对因式分解的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考因式分解在实际问题中的应用，让学生举例说明因式分解在解决实际问题中的重要性。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调因式分解的方法和运用。
人教版数学八年级上册《14.3因式分解教案》教学设计
第十四章整式的乘法与因式分解
第13课时因式分解-----提公因式法
【学习目标】
1、了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系；
2、经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用；
3、在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值。
【重点难点】
重点：会用提公因式法分解因式
难点：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式
【学法指导】采用“引导发现法”的教学方法。
人教版八年级上册14.3因式分解的综合运用 教学设计
解:
=
=
=
= ;
注:多项式按某个字母的降幂排列时，若首项含有负号,应先提取负号,再进行因式分解.
分析(3)多项式各项是否有公因式;这个三项多项式是否符合完全平方公式的形式，分解到何时结束；
(3)
解:
注:因式分解的结果中,若有相同因式,应写成幂的形式.
分析(4)此多项式各项是否有公因式;此多项式是否符合公式的形式.此多项式是否可以进行分解
(4)分解彻底——多项式因式分解要进行到不能再分解为止.
例3已知 是完全平方式，则 = .
分析(1)多项式 是完全平方式，其中含有哪两项平方的和?
=
(2)单项式 可以看做什么?
= ;
= = ;
解: = ;
; .
注(1)此题体现了灵活认识因式分解中的完全平方公式;
(2)完全平方式能写成两数的平方和,加或减这两数乘积的2倍形式，因此+m不一定是正数,故此时 .
(2)下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（C）
分析(1)审题:能用完全平方公式
(2)判断:
从项数入手,排除 ;从符号入手,排除 ;从公式结构入手,排除 ,选择 .
(3)将多项式 分解因式，结果正确的是（B）.
分析: =
= .
小结1:
多项式分解因式时,首先关注公因式;再关注多项式剩余部分组成的因式；多项式一定要分解到不能再分为止.
例2分解下列因式:
(1) ;(2) ;
(3) ;(4) .
分析(1)观察是否有公因式;提取公因式后的多项式是否可以再分解;可以使用什么方法分解
(1)
解:
=
= ;
注;提取公因式，首先观察系数的最大公约数，再观察相同字母，及相同字母的最小指数.
人教版八年级数学上册14.3因式分解优秀教学案例
2.培养学生自主学习、主动探索的精神，养成良好的学习习惯。
3.培养学生团队协作、沟通能力，增强学生的社会责任感。
三、教学策略
（一）情景创设
在教学过程中，我注重创设情境，激发学生的学习兴趣。例如，在讲解因式分解的概念时，我可以引入一个实际问题：“某商店举行打折活动，原价为1200元的商品现价为900元，求打折力度。”让学生思考如何利用因式分解解决这个问题。通过这样的情境创设，学生能够更好地理解因式分解的应用价值，激发学习兴趣。
1.能够准确地给出因式分解的定义，理解因式分解的本质。
2.掌握提公因式法、公式法等因式分解的基本方法，并能够灵活运用。
3.能够运用因式分解解决一些实际问题，如分解数字、解决方程等。
（二）过程与方法
在本节课的教学过程中，我将引导学生通过自主学习、小组讨论等方式，掌握因式分解的方法。具体来说，学生应达到以下几点：
（二）讲授新知
在学生对因式分解产生兴趣后，我会开始讲解因式分解的概念和方法。首先，我会用简洁明了的语言阐述因式分解的定义，让学生明白因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的过程。然后，我会详细讲解提公因式法、公式法等因式分解的基本方法，并通过具体的例子进行演示。在讲解过程中，我会注意运用人性化的语言，使学生更容易理解和接受。
（四）总结归纳
在学生小组讨论结束后，我会组织学生进行总结归纳。我会让学生回顾所学的内容，总结因式分解的概念、方法和技巧。同时，我还会强调因式分解在数学学习和实际生活中的重要性，激发学生继续学习的动力。
（五）作业小结
在课堂的最后，我会布置适量的作业，让学生巩固所学知识。作业包括一些因式分解的实际问题，以及一些提高性的练习题。同时，我会提醒学生在完成作业时要注意运用所学的方法和技巧，提高解题效率。
14.3因式分解教案
14.3因式分解教案【篇一：14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》教案】12【篇二：因式分解-人教版数学八年级上第十四章14.3第一课时教案】第十四章整式的乘法和因式分解14.3因式分解第一课时 14.3.1 提公因式法1教学目标1.1 知识与技能：[1] 理解因式分解的概念，知道因式分解和整式的乘法是方向相反的变形。
[2] 理解公因式的概念，会根据“三定法”确定公因式。
[3] 掌握因式分解中的提公因式法。
1.2过程与方法：[1] 通过对比整式乘法，理解因式分解的概念，发展学生的逆向思维能力。
[2] 通过类比数的结合律，抽象出因式分解中的提公因式方法。
1.3 情感态度与价值观：[1] 在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。
[2] 让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1] 因式分解的概念及提公因式法。
2.2 教学难点[1] 正确找出多项式各项的公因式[2] 正确认识分解因式与整式乘法的区别和联系。
3专家建议学生刚刚学习过有关幂的运算，因此在教学设计中可以多适当安排一些有关幂的、应用提公因式法的分解因式题目。
此外，因式分解属于新概念，它和学生以往的运算认知是相反的，教师在教学过程中应该耐心面对学生的错误，并多举出实例使学生区别整式乘法和因式分解。
4 教学方法观察思考——概念介绍——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
这节课开始，我们先来思考一个问题，630能被哪些数整除？【师】这个问题大家小学就知道了对吧，但现在我们在学习整式的乘法，所以我们可以想一下，一个数可以写成若干个因数乘积的形式，整式能不能这样做呢？这就是这节课我们要学习的内容。
【板书】法和因式分解14.3因式分解14.3.1 提公因式法6.2 新知介绍[1] 因式分解的概念【师】大家看投影（给出114页探究），首先我们来完成这样的一个任务：把下列多项式写成整式的乘积的形式。
人教版八年级数学上册14.3.2.2《运用完全平方公式因式分解》教学设计
人教版八年级数学上册14.3.2.2《运用完全平方公式因式分解》教学设计一. 教材分析完全平方公式因式分解是八年级数学上册14.3.2节的一个重要内容。
本节课的主要目的是让学生掌握完全平方公式，并能够运用完全平方公式进行因式分解。
教材中通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握完全平方公式，并能够将其应用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多项式的乘法、完全平方公式的概念和应用。
但部分学生对于完全平方公式的理解和运用仍存在困难，需要通过本节课的学习来进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解完全平方公式的含义，并能够运用完全平方公式进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过练习和实际问题，培养学生运用完全平方公式解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.完全平方公式的理解和运用。
2.因式分解的方法和技巧。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过思考和探索来理解完全平方公式。
2.通过例题和练习题，让学生通过实际操作来掌握完全平方公式的运用。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的合作能力和交流能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备练习题和实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习多项式的乘法和完全平方公式的概念，引导学生回顾已学的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，向学生介绍完全平方公式的含义和运用方法。
通过具体的例题，让学生理解和掌握完全平方公式的运用。
3.操练（10分钟）学生分组合作，通过实际的练习题，运用完全平方公式进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的疑问，帮助学生巩固完全平方公式的运用。
4.巩固（10分钟）学生独立完成一些练习题，巩固对完全平方公式的理解和运用。
教师选取部分学生的作业进行点评和讲解，帮助学生进一步提高。
(人教版)八年级数学上册14.3因式分解教案
1.教学重点
-理解因式分解的概念及其在数学中的应用；
-掌握提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等因式分解方法；
-学会将多项式分解为几个整式的乘积，并运用到实际问题中。过具体例题使学生明白将多项式分解为整式乘积的意义；
-强调提取公因式法的步骤，如找出最大公因数、提取公因式等；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解因式分解的基本概念。因式分解是将一个多项式表达为几个整式的乘积的过程。它在解决代数问题、简化计算等方面具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将一个多项式通过提取公因式、平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
同学们，今天我们将要学习的是《因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在数学学习中是否遇到过多项式难以简化的问题？”比如，当我们需要求解一个多项式的值时，如果能够将其分解为简单的乘积形式，问题就会变得容易许多。这个问题与我们将要学习的因式分解密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索因式分解的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和分解过程。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因式分解在实际数学问题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调提取公因式法和运用平方差、完全平方公式这两个重点。对于难点部分，我会通过对比不同类型的例题来帮助大家理解和掌握。
14.3 因式分解【教案】八年级上册数学
14.3.1提公因式法课时目标1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念,体会数学知识的内在含义与价值.2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,培养学生有条理的思考和运算能力.3.会利用因式分解进行简便计算,体会因式分解的价值,培养学生的创新意识.学习重点运用提公因式法分解因式.学习难点正确理解因式分解的概念,准确找出公因式.课时活动设计回顾引入1.回顾整式乘法完成填空:(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc.(2)(x+1)(x-1)=x2-1.(3)(a+b)2=a2+2ab+b2.2.根据等式性质填空:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2-1=(x+1)(x-1).(3)a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:引导学生回顾旧知识,激活学生已有的知识体系,为学习新知识打下基础.探究新知探究1因式分解问题:回顾引入中第2组式子有什么共同特点?学生回答:将一个多项式化成多个整式相乘.教师引导并给出因式分解的概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.p(a+b+c)pa+pb+pc通过观察,你发现因式分解和整式乘法有什么关系?学生发现:因式分解与整式乘法的互逆性.探究2提公因式法问题1:观察下列多项式有哪些相同因式?学生观察发现前者的相同因式为p,后者的相同因式为x.总结如下:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.师生活动:教师板书:pa+pb+pc=p(a+b+c).引导学生用文字进行总结:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.问题2:找出3x2-6xy的公因式,并思考如何确定一个多项式的公因式?师生活动:学生先独立思考,然后小组交流得出结论:公因式为3x.教师引导学生用文字总结如何确定一个多项式的公因式:1.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母;2.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数.设计意图:通过具体问题的解决,让学生在观察、思考和操作的过程中,了解因式分解的概念,培养学生类比的思想方法和运算能力;学生从系数、字母、指数多个角度思考问题,培养学生思维的全面性和开阔性,养成积极思考的学习态度和创新意识.典例精讲例1把下列各式分解因式:(1)8a3b2+12ab3c;(2)2a(b+c)-3(b+c);(3)(a+b)(a-b)-a-b.解:(1)8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).(2)2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).(3)(a+b)(a-b)-a-b=(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)(a-b-1).技巧:1.整体思想找公因式;2.整项被提取后,1不能丢;3.可以用整式乘法验证.例2以下因式分解是否正确?如果错误,请指出原因并改正.(1)把12x2y+18xy2分解因式.解:原式=3xy(4x+6y).解:不正确.正解:原式=6xy(2x+3y).注意:公因式要提尽.(2)把3x2-6xy+x分解因式.解:原式=x(3x-6y).解:不正确.正解:原式=3xx-6yx+1·x=x(3x-6y+1).注意:某项提出莫漏1.(3)把-x2+xy-xz分解因式.解:原式=-x(x+y-z).解:不正确.正解:原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z).注意:首项有负常提负.例3计算:(1)39×37-13×91;(2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14.解:(1)原式=3×13×37-13×91=13×(3×37-91)=13×20=260.(2)原式=20.16×(29+72+13-14)=2 016.例4已知a+b=7,ab=4,求a2b+ab2的值.解:∵a+b=7,ab=4,∴原式=ab(a+b)=4×7=28.设计意图:通过例题,让学生寻求不同的解题方法,体会在计算求值时,若式子各项都含有公因式,用提公因式的方法可使运算简便,感悟学习因式分解的作用,培养学生转化意识、整体思想,进一步训练运算能力.巩固训练1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是(C)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn22.把多项式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式(x-2)后,余下的部分是(D)A.x+1B.2xC.x+2D.x+33.简便计算:2 0132+2 013-2 0142.解:原式=2 013×(2 013+1)-2 0142=2 013×2 014-2 0142=2 014×(2 013-2 014)=-2 014.设计意图:巩固训练共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.整式乘法和因式分解的关系是方向相反的变形,因式分解的目的是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.2.找公因式的方法三定:定系数;定字母;定指数.3.提公因式的因式分解的步骤第一步找公因式,第二步提公因式.4.提公因式的技巧或注意问题1.要提尽;2.不漏项;3.提负数要注意变号.5.本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第115页练习第1,2,3题.2.作业.教学反思14.3.2公式法第1课时运用平方差公式因式分解课时目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化思想和逆向思维.2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解,培养运算能力和应用意识.3.培养良好的推理能力,体会“化归”与“整体”的思想方法,形成灵活的应用能力.学习重点掌握平方差公式的特点,运用平方差公式进行因式分解.学习难点灵活应用平方差公式因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了平方差公式,今天先回顾一下.计算:(1)(x+2)(x-2);(2)(x-1)(x+1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x-2)=x2-4.(2)(x-1)(x+1)=x2-1.设计意图:从结构上认识本节课所研究的多项式的结构特点,引出课题,培养学生观察问题的能力和模型观念.探究新知问题:多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗?学生观察得出结论:a2-b2=(a+b)(a-b)是a,b两数的平方差的形式.追问1:你能根据符号语言写出文字语言吗?师生活动:教师引导学生结合整式乘法归纳出因式分解平方差公式的文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.追问2:如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能验证刚才的公式吗?师生活动:教师首先引导学生利用面积验证平方差公式,提问两名同学分别列出左右两个图形涂色区域的面积.左:涂色区域的面积=a2-b2;右:涂色区域的面积=(a+b)(a-b).根据左右涂色区域的面积相等得到:a2-b2=(a+b)(a-b).设计意图:通过利用拼图求面积验证平方差公式,培养学生多角度思考问题的习惯和图形语言、符号语言、文字语言的相互转化能力.典例精讲例1分解因式:(1)4x2-9;(2)(x+p)2-(x+q)2.解:(1)原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)原式=[(x+p)+(x+q)]·[(x+p)-(x+q)].例2分解因式:(1)x4-y4;(2)a3b-ab.解:(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)原式=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).例3已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值.解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2,∵x+y=1,①∴x-y=-2.②联立①②,组成二元一次方程组{x+y=1, x-y=−2,解得{x =−12,y =32. 例4 计算下列各题:(1)1012-992; (2)53.52×4-46.52×4. 解:(1)原式=(101+99)×(101-99)=200×2=400. (2)原式=4×(53.52-46.52) =4×(53.5+46.5)(53.5-46.5) =4×100×7=2 800.例5 求证:当n 为整数时,多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除. 证明:原式=(2n +1+2n -1)(2n +1-2n +1)=4n ·2=8n , ∵n 为整数,∴8n 能被8整除.即多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.设计意图:进一步通过例题强调平方差公式和因式分解的两种方法的综合应用,让学生体会若用平方差公式分解后的结果中有公因式,一定要再用提公因式法继续分解,分解到不能再分解为止,体会“一提二套三彻底”,培养学生归纳抽象能力和数学思想方法的掌握.巩固训练1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )A.a 2+(-b )2B.5m 2-20mnC.-x 2-y 2D.-x 2+9 2.把下列各式分解因式: (1)16a 2-9b 2= (4a +3b )(4a -3b ) ; (2)(a +b )2-(a -b )2= 4ab ; (3)2x 2-8= 2(x +2)(x -2) ; (4)-a 4+16= (4+a 2)(2+a )(2-a ) .3.如图,在边长为6.8 cm 正方形钢板上,挖去4个边长为1.6 cm 的小正方形,求剩余部分的面积.解:根据题意,得6.82-4×1.62=6.82-(2×1.6)2=6.82-3.22=(6.8+3.2)(6.8-3.2)=10×3.6=36(cm2).答:剩余部分的面积为36 cm2.设计意图:共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.因式分解有哪些方法?2.能用平方差公式因式分解的结构特点是什么?3.平方差公式因式分解的步骤及注意问题有什么?4.本节用到什么研究问题的方法?5.根据本节的研究思路思考因式分解还有什么方法?设计意图:以提问的方式引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页习题14.3第2,5(4)题.2.作业.教学反思第2课时运用完全平方公式因式分解课时目标1.理解完全平方公式的结构特点,培养模型观念.2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.3.在运用完全平方公式法进行因式分解的同时,培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力.学习重点掌握完全平方公式的结构特点,运用完全平方公式进行因式分解.学习难点理解完全平方公式的结构特征,灵活运用完全平方公式进行因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了完全平方公式,今天先来回顾一下.计算:(1)(x+2)(x+2);(2)(x-1)(x-1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x+2)=x2+4x+4.(2)(x-1)(x-1)=x2-2x+1.设计意图:通过复习旧知,巩固因式分解和整式乘法的关系,为探究新知做准备,回顾完全平方公式,注重知识间的联系和知识体系的渗透,培养知识的迁移能力.探究新知问题1:观察多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,并回答下列各题.(1)每个多项式有几项?解:三项.(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?解:都是一个数的平方.(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?解:中间项是正负这两个数的积的2倍.追问:你能用符号语言和文字语言表述完全平方式吗?师生活动:选两名学生在黑板上板书整式乘法的完全平方公式.(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.等号两边互换位置,就得到:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.教师引导学生用文字表述完全平方式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.问题2:你能把下面4个图形拼成一个正方形,并根据拼成的图形的面积写出等量关系吗?学生动手操作,通过拼图前后图形面积相等写出等量关系a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:学生在归纳出完全平方式的结构特征后,尝试用符号语言和文字语言表述完全平方式,最后通过动手操作,以拼图的形式再次验证完全平方式,同时在探究过程中感受到学习数学的乐趣.典例精讲例1分解因式:(1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.解:(1)原式=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2.(2)原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例2把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a2+4)2-16a2.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.例3计算:(1)1002-2×100×99+992;(2)342+34×32+162;(3)7652×17-2352×17.解:(1)原式=(100-99)2=1.(2)原式=(34+16)2=2 500.(3)原式=17×(7652-2352)=17×(765+235)(765-235)=17×1 000×530=9 010 000.例4已知a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值.解:由已知可得(a2+2a+1)+(b2-4b+4)=0,即(a+1)2+(b-2)2=0,解得a=-1,b=2.∴2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7.设计意图:通过多种方法的综合应用,感受因式分解给计算带来的便捷,选题层次分明考察各有侧重点,让学生体会“数式同性”,掌握研究方法和知识的迁移性,形成体系,培养数感和运算能力.巩固训练1.下列四个多项式中,能因式分解的是(B)A.a2+1B.a2-6a+9C.x2+5yD.x2-5y2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是(B)A.4xy(x-y)-x3B.-x(x-2y)2C.x(4xy-4y2-x2)D.-x(-4xy+4y2+x2)3.把下列多项式因式分解.(1)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(2)y2+2y+1-x2.解:(1)原式=[2(2a+b)]2-2·2(2a+b)·1+12=(4a+2b-1)2.(2)原式=(y+1)2-x2=(y+1+x)(y+1-x).设计意图:共设计3个题目,针对所学内容对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结(1)因式分解有哪些方法?(2)能用完全平方公式因式分解的结构特点是什么?(3)因式分解的步骤及注意问题有什么?(4)本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页练习第1,2题.2.作业.教学反思。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
14．3因式分解第1课时提公因式法教学目标1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系．2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式．教学重点会用提公因式法分解因式．教学难点正确理解因式分解的概念，准确找出公因式．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标同学们，我们先来看下面两个问题：1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？(2，3，5，7，9，10等)2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值．对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题．二、自主学习，指向目标自学教材第114页至115页，思考下列问题：1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系．3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数．三、合作探究，达成目标探究点一因式分解的定义活动一：填空并观察：(1)计算：x(x＋1)＝________；(x＋1)(x－1)＝________.(2)请你将下列各式写成乘积的形式：①x2＋x＝________；②x2－1＝________；③am＋bm＋cm＝________.展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二公因式活动二：填空：①6与9的最大公约数是________；②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________．展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式．小组讨论：归纳确定公因式的方法【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的针对训练：见《学生用书》相应部分探究点三提取公因式法分解因式活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式：(1)8a3b2＋12ab3c；(2) 2a(b＋c)－3(b＋c)小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解；2．确定公因式的方法．3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止．五、达标检测，反思目标1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C )A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1)C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋12．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．3．把下列各式因式分解：(1)a(a－3)＋2(3－a)解：原式＝a(a－3)－2(a－3)＝(a－3)(a－2)(2)9a2b3－6a3b2－3a2b2解：原式＝3a2b2(3b－2a－1)(3)－6x3－10x2－2x解：原式＝－2x(3x2＋5x＋1)(4)a(y－z)－4b(z－y)解：原式＝a(y－z)＋4b(y－z)＝(y－z)(a＋4b)4．先因式分解再求值：5x(m－2)＋4x(2－m)，其中x＝0.4，m＝5.5.解：原式＝(m－2)(5x－4x)＝x(m－2)＝0.4(5.5－2)＝0.4×3.5＝1.4●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业：课本第119页1、4(1)．2．课后作业：见《学生用书》．第2课时平方差公式教学目标1．能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平方差公式分解因式．2．掌握利用平方差公式因式分解的步骤．教学重点应用平方差公式分解因式．教学难点灵活应用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标问题1：看谁算得最快：①982－22；②已知x＋y＝4，x－y＝2，则x2－y2＝________.问题2：你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗？你可以把这两个多项式写成两个因式积的形式吗？今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．二、自主学习，指向目标自学教材第116页至117页，思考下列问题：1．观察平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)的项、指数、符号有什么特点？(1)左边是二次二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.(2)右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两个数的差．2．乘法公式的平方差公式与因式分解的平方差公式的联系是互逆变形．三、合作探究，达成目标探究点一探究平方差公式活动一：1.平方差(分解因式)公式： a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．展示点评：公式特征(与乘法公式正好相反): 左边是两数的平方差，右边是这两数的和乘以这两数差的形式．(因此叫平方差公式)小组讨论：运用平方差公式的条件有哪些？【反思小结】运用平方差公式的条件：(1)多项式是二项式，且两项符号相反(可转化为差的形式)；(2)两项的绝对值分别可化为一个数(整式)的平方的形式．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二应用平方差公式因式分解活动一：分解因式(1)4x2－9；(2)(x＋p)2－(x＋q)2.解答过程见课本P116例3例3分解因式(1)x4－y4；(2)a3b－ab.展示点评：一个多项式第一次分解后若还能进行分解，应怎么做？展示点评：(继续分解到不能再分解为止)小组讨论：归纳分解因式的一般步骤．解答过程见课本P116例3反思小结：1.分解因式的一般步骤：一提二套三分组即先看有没有公因式，若有提出公因式，再看能不能运用公式，若能运用公式进行分解；若不能则考虑分组，分组的原则：①分组后有公因式可提；②分组后有公式可套. 2.公式中的“a”，“b”可表示单项式也可表示多项式；若表示多项式，应将多项式用括号括起来.3.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平方差公式分解因式2．对于多项式的因式分解要注意：①如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式②如果多项式各项没有公因式，则第一步是考虑用公式分解因式③第一步分解因式后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式因式都不能再分解为止五、达标检测，反思目标1．下列多项式中，能否用平方差分解因式？(1)x－xy；(2)x＋xy；(3)x2＋y2；(4)x2－y2；解：(1)不能 (2)不能 (3)不能 (4)能(5)－x 2＋y 2; (6)－x 2－y 2; (7)x 3－y 2; (8)x 4－y 4.解：(5)能 (6)不能 (7)不能 (8)能2．分解因式：(1)a 2－125b 2； 解：原式＝(a ＋15b )(a －15b )(2)－a 4＋16；解：原式＝(4＋a 2)(4－a 2)＝(4＋a 2)(2＋a )(2－a )(3)x －xy 2；解：原式＝x (1－y 2)＝x (1＋y )(1－y )(4)(2x ＋3y)2－(3x －2y)2；解：原式＝(2x ＋3y ＋3x －2y )·(2x ＋3y －3x ＋2y )＝(5x ＋y )(5y －x )(5)5m 2a 4－5m 2b 4；解：原式＝5m 2(a 4－b 4)＝5m 2(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝5m 2(a 2＋b 2)(a ＋b )(a －b )(6)3xy 3－3xy ；解：原式＝3xy (y 2－1)＝3xy (y ＋1)(y －1)(7)a 2－4b 2－a －2b ；解：原式＝(a 2－4b 2)－(a ＋2b )＝(a ＋2b )(a －2b )－(a ＋2b )＝(a ＋2b )(a －2b －1)3．简便计算：(1)4292－1712；解：原式＝(429＋171)(429－171)＝600×258＝154800(2)5152×24－4852×24.解：原式＝24×(5152－4852)＝24×(515－485)(515＋485)＝24×30×1000＝70●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业：课本P119第2题，第4(2)题．2．课后作业：见《学生用书》．第3课时完全平方公式教学目标1．会判断完全平方式．2．能直接利用完全平方公式进行因式分解．教学重点用完全平方公式法进行因式分解．教学难点灵活应用公式分解因式．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标1．前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？2．在括号内填上适当的式子，使等式成立：(1)(a＋b)2＝________；(2)(a－b)2＝________.(3)a2＋________＋1＝(a＋1)2；(4)a2－________＋1＝(a－1)2.展示点评：(1)你解答上述问题时的根据是什么？(2)第(1)(2)两式从左到右是什么变形？第(3)(4)两式从左到右是什么变形？(从左到右是乘法；从左到右是分解因式)我们知道利用平方差公式可以来进行因式分解，那么这节课就来研究如何利用完全平方公式来进行因式分解．二、自主学习，指向目标自学教材第117页至118页，思考下列问题：1．观察完全平方公式：________＝(a＋b)2；________＝(a－b)2完全平方式的特点：左边：①项数必须是________；②其中有两项是________；③另一项是________．右边：________________________________________________________________________.2．乘法公式完全平方公式与因式分解完全平方公式的联系是________．三、合作探究，达成目标探究点一完全平方公式(因式分解)活动一：我们把乘法公式中：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2和(a－b)2＝a2－2ab＋b2等号右边的式子即： a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2叫做完全平方式．展示点评：运用完全平方公式分解因式的方法同用平方差公式分解因式是一致的．小组讨论：完全平方式的特征是什么？【反思小结】完全平方式满足两个条件：(1)是一个三项式；(2)两数的平方和加上或减去这两数积的2倍．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二运用完全平方公式分解因式活动二：把乘法公式逆向变形为：a2＋2ab＋b2＝________；a2－2ab＋b2＝________可以发现，通过变形把一个完全平方式也变成了两个因式积的形式(平方也就是两个相同因式积的形式)，即：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．例1把下列多项式分解因式：(1) 16x2＋24x＋9；(2)－x2＋4xy－4y2.思考：若所要分解的多项式是三项式，应当考虑应用什么公式分解？小组讨论：运用完全平方公式分解因式应注意什么问题？展示点评：首先考虑用完全平方公式分解．解答过程见课本P118例5【反思小结】在直接应用完全平方公式分解因式时应当注意：1.先找平方项，再运用公式.2.若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，然后再考虑用完全平方公式针对训练：见《学生用书》相应部分活动三：把下列多项式分解因式：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36展示点评：能提取公因式的首先应当提取公因式，再考虑应用公式分解，对于平方项的底数是多项式的要看作一个整体．小组讨论：多项式含有公因式的分解时应当怎么做？对于一些平方项的底数是多项式的，又应当如何看待？解答过程见课本P118例6【反思小结】1.能提取公因式的要先提取公因式；2.灵活地将x＋y看作一个整体；3.分解因式必须进行到不能再分解为止．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．应用完全平方公式分解因式一定要熟记公式特征：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)22．完全平方式的结构特征：(1)项数必须是三项；(2)其中有两项是平方项且都是正的；(3)还有一项是两平方项底数乘积的两倍.3．分解因式的一般思路：一提(提公因式法)二套(运用公式法)平方差公式法 (两项) 完全平方公式法(三项) 三分组(针对分解因式是三项式以上且不能直接分解的，要考虑分组分解．4．分解到最后一定要检查是否分解到不能再分解为止．五、达标检测，反思目标1．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( C )A．x2＋xy＋y2B．x2－2x－1C．－x2－2x－1 D．x2＋4y22．多项式4a2＋ma＋25是完全平方式，那么m的值是( D )A．10 B．20 C．－20 D．±203．－x2＋2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是__－(x－y)__．4．分解因式：(1)y2＋2y＋1；解：原式＝(y＋1)2(2)16m2－72m＋81.解：原式＝(4m－9)25．分解因式：(1)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9；解：原式＝(x＋y＋3)2(2)4xy2－4x2y－y3.解：原式＝(－4xy＋4x2＋y2)(－y)＝－y(2x－y)26．已知(a＋b)2＝25，(a－b)2＝9，求a2＋b2和ab的值．解：由题意可得：a2＋2ab＋b2＝25①a2－2ab＋b2＝9②由①＋②得：2(a2＋b2)＝34，a2＋b2＝17由①－②得：4ab＝16，ab＝4●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业：课本P119第3题，第9题．2．课后作业：见《学生用书》．。