运筹学
运筹学
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与此同时，运筹数学有了飞快的发展，并形成了运筹的 许多分支。如数学规划（线性规划、非线性规划、整数 规划、目标规划、动态规划、随机规划等）、图论与网 络、排队论（随机服务系统理论）、存储论、对策论、 决策论、维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理等。
注：兰德公司是美国最重要的以军事为主的综合性战略 研究机构。它先以研究军事尖端科学技术和重大军事战 略而著称于世，继而又扩展到内外政策各方面，逐渐发 展成为一个研究政治、军事、经济科技、社会等各方面 的综合性思想库，被誉为现代智囊的“大脑集中营”、 “超级军事学院”，以及世界智囊团的开创者和代言人。 它可以说是当今美国乃至世界最负盛名的决策咨询机构。
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
每年节约成本1500万美元， 年收入大幅增加。 每年节约成本1300万美元
优化配置上千个国内航线航班来实现利润 每年节约成本1亿美元 最大化
线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
Interface上发表的部分获奖项目
应用
效果
在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排
优化炼油程序及产品供应、配送和营销
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
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第一定义强调以量化为基础，必然要用数学。但任何决策都 包含定量和定性两方面，而定性方面又不能简单地用数学表 示，如政治、社会等因素，只有综合多种因素的决策才是全 面的。 第二定义表明运筹学具有与多学科交叉的特点，如综合运用 经济学、心理学、物理学、化学中的一些方法。 第三定义说明，运筹学是强调最优决策，“最”是过分理想 了，在实际生活中往往用次优、满意等概念代替最优。
运筹学的起源与发展
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CATALOGUE
运筹学的发展历程
线性规划与非线性规划阶段
线性规划
线性规划是运筹学的一个重要分支，它研究如何在线性约束 条件下，优化线性目标函数。线性规划在生产计划、物流管 理等领域有广泛应用。
非线性规划
非线性规划是相对于线性规划而言的，它研究的是非线性目 标函数和约束条件下的最优化问题。非线性规划在很多实际 问题中都有应用，如投资组合优化、路径规划等。
人工智能与大数据阶段
人工智能
人工智能是研究如何让计算机模拟人类智能的学科。运筹学与人工智能的结合，使得机 器学习、深度学习等技术在运筹学中得到广泛应用，为解决复杂问题提供了新的思路和
方法。
大数据
大数据是指数据量巨大、处理难度高的数据集合。运筹学与大数据的结合，使得数据挖 掘、数据可视化等技术成为运筹学的重要工具，为解决实际问题提供了海量数据支持。
随机规划
随机规划是处理具有不确定性的优化问题的一种方法，其中某些参数或变量是随机的。随机规划可以使用概率模型或统计模 型来描述不确定性，并使用期望值模型或机会约束模型来定义优化问题。随机规划可以使用蒙特卡洛模拟、期望值迭代法等 求解方法进行求解。
随机规划在风险管理、金融衍生品定价、可靠性优化等领域有着广泛的应用，例如投资组合优化、生产计划等。
古代水利工程
古代水利工程如都江堰、郑国渠等的建设，体现了对资源优化配置 和工程管理的运筹思想。
古代商业活动
古代商业活动中，如汉代的丝绸之路，涉及到了物资调配、路线规 划等运筹问题。
近现代的运筹学萌芽
概率论与统计学
17世纪欧洲的科学家开始研究概率论 和统计学，这些学科为运筹学提供了 数学基础。
军事运筹学
对企业决策的支撑
运筹学的定义
运筹学的定义
运筹学是一门研究决策的学科，它综合了数学、统计学、信息学、经济学、管理学等多个领域的知识和技术，旨在通过科学的方法来解决实际问题。
运筹学在现代社会中拥有广泛的应用，涉及到许多领域，如物流、交通、金融、医疗、能源等。
运筹学的主要目标在于找到最优解决方案。
例如，在物流领域，如何在有限的时间内将货物运输到目的地，同时降低运输成本；在金融领域，如何通过科学的投资策略来最大化收益，同时降低风险。
这些问题都可以通过运筹学的方法来解决。
为了实现这些目标，运筹学应用了许多技术和方法。
其中最常用的是线性规划，即在一组约束条件下最小化或最大化一个线性函数。
除此之外，运筹学还包括非线性规划、整数规划、动态规划、图论、排队论、模拟等等方法。
这些方法都有不同的应用场景，可以根据具体问题的特点选择最合适的方法。
运筹学的应用不仅限于商业领域，也可以用于解决社会问题。
例如，在医疗领域，如何最大化患者的生存率，同时降低医疗成本；在能源领域，如何通过科学的能源规划来提高能源利用效率，降低污染和排放。
这些问题都需要运筹学的方法来提供解决方案。
运筹学是一门非常实用的学科，它可以为我们提供科学的决策方法，解决实际问题。
随着科技的发展和社会的进步，运筹学的应用范围
也将更加广泛。
我们应该深入学习和应用运筹学的知识和方法，为实现更高效、更节约、更可持续的社会发展做出贡献。
__运筹学概述
第一讲 运筹学概述一、运筹学是什么？----------------------晕愁学其实，这绝对一种误解，事实上运筹学方法及应用早在中小学就比较系统地学过，并且在我们每时每刻的生活过程中都在利用。
北师大版小学语文第六册教材中就有一篇课文《田忌赛马》，在座的各位应该都不陌生。
这是战国时期运筹学思想成功应用的典型实例。
孙膑同志合理地利用当时的现有资源、条件和比赛规则，只建议田忌调换了赛马的出场顺序，就使得原来屡战屡败的战局得到了彻底的扭转，以获胜而告终。
形成了本文主题中“初战失败”、“孙膑献计”、“再赛获胜”的三部分内容。
运筹学思想体现的是，将现有资源的作用得到充分发挥，以获得最优的结果。
运筹让生活得更有条理的艺术。
谈起运筹学，是否会想到很通俗的例子——沏茶水。
沏茶，看起来是一件日常生活中再小不过的事情，却包含着运筹学的道理。
让我们来看一看，沏茶的过程可以分为烧开水、洗茶壶、放茶叶多道“工序”。
其中，烧开水所需的时间最长，洗茶壶、放茶叶的时间则较短。
善于运筹的人，应该是先将水烧上，在烧水的过程中，从从容容地把茶壶洗净，把茶叶放好。
而不善运筹的人，可能会先把茶壶洗净，把茶叶放好，才想起来水还没有烧；或者先把水烧开了，才急急忙忙去洗茶壶、放茶叶，搞得手忙脚乱。
另外还有一个例子我们外地生到上海的路线选择，虽然条条大路都能通到上海，但我们都有一个明确的目标，有些人的目标是准备用最短的时间到达，有些人的目标是用最少费用到达，这样基于不同的目标，就会选择不同的最佳路线。
这两个生活中的运筹学实例说明了运筹学应用的思想并不神秘，而现实的生活中，从沏茶、选择路线这样一件小事，到规模宏大的建设项目，都能运用运筹学的原理。
在人生大事的安排上，也同样需要下功夫好好运筹一番。
从技术是，也就是运筹学解决决策问题的工具方面，在初中的数学教材中有一个重要的内容是《线性规划》，其中比较详细地讲述了线性规划的数学表述形式和求解方法。
运筹学PPT完整版
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
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可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
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运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
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运筹学的主要内容
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数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
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❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
运筹学ppt课件
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
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运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
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组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
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例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
运筹学概述一、运筹学的定义 运筹学(Operational Research...
运筹学研究的模型主要是抽 象模型——数学模型。数学模型 的基本特点是用一些数学关系 （数学方程、逻辑关系等）来描 述被研究对象的实际关系（技术 关系、物理定律、外部环境等）。
运筹学模型的一个显著 特点是它们大部分为最优化 模型。一般来说，运筹学模 型都有一个目标函数和一系 列的约束条件，模型的目标 是在满足约束条件的前提下 使目标函数最大化或最小化。
3、系统性
运筹学用系统的观点来分析 一个组织或系统），它着眼于整 个系统而不是一个局部，通过协调 各组成部分之间的关系和利害冲突， 使整个系统达到最优状态。
4、综合性
运筹学研究是一种综合性的 研究，它涉及问题的方方面面，应 用多学科的知识，因此，要由一个 各方面的专家组成的小组来完成。
三、运筹学模型
都江堰水利工程
丁谓的皇宫修复工程 北宋年间，丁谓负责修复火毁的开 封皇宫。他的施工方案是：先将工程 皇宫前的一条大街挖成一条大沟，将 大沟与汴水相通。使用挖出的土就地 制砖，令与汴水相连形成的河道承担 繁重的运输任务；修复工程完成后， 实施大沟排水，并将原废墟物回填， 修复成原来的大街。丁谓将取材、生 产、运输及废墟物的处理用“一沟三 用”巧妙地解决了。
二、运筹学研究的特点
1、科学性 （1）它是在科学方法论的指导下通 过一系列规范化步骤进行的；
（2）它是广泛利用多种学科的科学 技术知识进行的研究。运筹学研究不 仅仅涉及数学，还要涉及经济科学、 系统科学、工程物理科学等其他学科。
2、实践性
运筹学以实际问题为分析对象， 通过鉴别问题的性质、系统的目标 以及系统内主要变量之间的关系， 利用数学方法达到对系统进行最优 化的目的。更为重要的是分析获得 的结果要能被实践检验，并被用来 指导实际系统的运行。
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1. 用单纯形法求解下述问题，并指出问题的解属于哪一类。
2. 分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出解属于哪一类
3. 已知线性规划问题：
（a ）写出其对偶问题；
（b ）已知原问题最优解为X*=（1,1,2,0）。
试根据对偶理论，直接求成对偶问题的最优解。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥≥≤++≤+-≤++-++=3,2,117220441322..46max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x z ()⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=≥=-+≤+≥++++=3,2,105421823..54max 32121321321j x x x x x x x x x t s x x x z j 123412412343413
min 86362336..2
2
0(1,,4)
j z x x x x x x x x x x x s t x x x x x j =+++⎧++≥⎪
+++≥⎪⎪
+≥⎨⎪+≥⎪⎪≥=⎩
4.
已知线性规划问题
其最优解为x 1=-5,x 2=0,x 3=-1.
（a ）求k 的值；
（b ）写出并求其对偶问题的最优解。
5.
对于下述线性规划问题
已知最优解中的基变量为x 3,x 1,x 5,且已知
求：根据上述信息确定三种资源各自的影子价格
6.
已知线性规划问题
当t 1=t 2=0时，求解得最终单纯形表如下表所示：
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束
321
3213213
21,0,06
4..22min x x x kx x x x x x t s x x x z ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=≥≤++++≤++++≤++++++++=)5,,1(0)3(180323)2(270234)1(1803332..93648max 5432154321543215
4321 j x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z j 资源资源资源⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-103
2
39613
1127
131
2
14231
31
()⎪⎩⎪
⎨⎧=≥+=++++=++++++++=)5,,1(03..00max 2
253232221212
14313212111543322111 j x t b x x a x a x a t b x x a x a x a t s x x x c x c x t c z j
12311121321222312(b)确定其对偶问题的最优解；(c)当t 2=0时，t 1在什么范围内变化上述最优解不变；(d)当t 1=0时，t 2在什么范围内变化上述最优解不变。
7.已知线性规划问题如下，用单纯形法求得最终表所示，试用灵敏度分析的方法分别判断
以下情况时的最优解。
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222代替；（3）约束条件右端项由[6,4]T 变为[3,4] T 时上述最优解的变化； （4）引入一个新的约束：-x 1+2x 2≥2
8. 某食品厂生产的三种食品受到两种原料的数量b1和b2的限制。
为求得最大利润，计划
部门列出了一个产品生产计划问题，求得最终单纯形表，如下表所示。
其中x1，x2和x3分别为产品1、2、3的生产数量，x4,x5为松弛变量。
（1）利用最终单纯形表求各产品的单位销售价格c1，c2，c3（单位：元）； 12312312123
min 26..24,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++≤⎧⎪
-+≤⎨⎪≥⎩
10.某工厂准备在甲乙丙三种产品中选择一种产品投产，他们都需要经过三道工序（A、B、C）加工，有关数据如下表所示。
甲乙丙产品在投产时，无论生产数量有多大，都需要固定费用（如工装夹具、设计制作费）。
假定三种产品的固定费用分别为5000元，7000元和5800元，问如何安排生产可使工厂获得的利。