2011年全国中考数学模拟汇编18二次函数的图象和性质(2份)

19.二次函数的应用A 组三 解答题1．（南京市溧水县2011年中考一模）（8分）某电子科技公司开发一种新产品．产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司前12个月累积．．获得的利润y （万元）与销售时间第x （月）之间的函数关系（即前x 个月的利润总和y 与x 之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象是某二次函数y =a (x -h )2+k 图象的一部分，点A 为抛物线的顶点，且点A ，B ，C 的横坐标分别为4，10，12，点A ，B 的纵坐标分别为-16，20．（1）求前12个月该公司累积获得的利润y （万元）与时间第x （月）之间的函数关系式； （2）分别求出前9个月公司累积获得的利润和10月份一个月内所获得的利润； （3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？解：（1）根据题意可设：y =a (x -4)2 -16，…………………………………………… 1分当x =10时，y =20，所以a (10-4)2 -16=20，解得a =1， …………………… 2分 所求函数关系式为：y = (x -4)2 -16 …………………………………………… 3分（2）当x =9时，y = (9-4)2 -16=9，所以前9个月公司累积获得的利润为9万元 …… 4分又由题意可知，当x =10时，y =20，而20-9=11，所以10月份一个月内所获得的利润11万元 ……………………………………… 5分 （3）设在前12个月中，第n 个月该公司一个月内所获得的利润为s (万元)则有：s = (n -4)2 –16-[ (n -1-4)2 -16]=2n -9………………………………………… 6分 因为s 是关于n 的一次函数，且2>0，s 随着n 的增大而增大，而n 的最大值为12，所以当n =12时，s =15， ………………………………7分 所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元. ……8分2．（南京市江宁区2011年中考一模）（本题10分）某公司直销产品A ，第一批产品A 上市30天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图①中的线段表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图②中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系．（1）试写出第一批产品A 的市场日销售量y 与上市时间t 的函数关系式；O-16x (月)y (万元)410 1220ABC（2）第一批产品A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？（说明理由）答案：（1）可设正比列函数y=kt(k ≠0) …………………………………………………1分∵过点（30，60）∴60=30k ，…………………………………………………………………………………2分 ∴k=2， ……………………………………………………………………………………3分 ∴2(030)y tt =≤≤……………………………………………………………4分（2）当0≤t ≤20时，W= 3t ·2t=6t 2，……………………………………………5分 ∵当0≤t ≤20时，W 随着t 的增大而增大∴t =20时，最大值W=6×400=2400万元；…………………………………………6分 当20＜t ≤30时，W=60·2t=120t ， ………………………………………………7分 ∵当20＜t ≤30时，W 随着t 的增大而增大∴当 t=30时，最大值W=3600万元………………………………………………………8分 ∵3600＞2400………………………………………………………………………………9分 ∴30天利润最大，最大日利润为3600万元. …………………………………………10分3．（南京市高淳县2011年中考一模）(9分)某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤．第一个月以单价80元销售，售出了300件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出300件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出15件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x 元．（1）填表（不需化简）：（2）试写出批发商销售这批T 恤的获得的总利润为y （元），试求出y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）当第二个月的销售单价为多少元时，才使得销售这批T 恤获得的利润最大？时 间 第一个月 第二个月 清仓时 单 价（元） 80 ▲ 40 销售量（件）300▲▲答案：(9分)（1）80－x ，300＋15x ， 800－300－(300＋15x ) ………3分 （2）y ＝30×300＋(30－x )( 300＋15x ) －10(200－15x ) ………5分 ＝－15x 2＋300x ＋16000x 的取值范围为:0≤x ＜30 ………6分（3） y ＝－15x 2＋300x ＋16000＝－15(x －10)2＋17500 ………7分 当x ＝10时，y 取最大值． ………8分即当第二个月的销售单价为70元时，才使得销售这批T 恤获得的利润最大．……9分4、．（2011名校联合一模）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．(1)填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是 吨；(2)该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 考查内容：二次函数的应用 答案：(1)60；……………………2分(2)解法一：设每吨售价下降10x (0＜x ＜16)元，由题意，可列方程(160－10x ) (45＋7.5x ) ＝9000．……………………2分 化简得x 2－10x ＋24＝0．解得x 1＝4，x 2＝6．……………………6分所以当售价定为每吨200元或220元时，该经销店的月利润为9000元．当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．……………………8分解法二：当售价定为每吨x 元时，由题意，可列方程 (x －100) (45＋260－x10 ×7.5) ＝9000．……………………2分化简得x 2－420x ＋44000＝0．解得x 1＝200，x 2＝220．……………………6分 以下同解法一．5、（2011朝阳区一模） 已知抛物线()13)2(2++-+-=m x m x y .（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有交点；（2）设抛物线与y 轴交于点C ，当抛物线与x 轴有两个交点A 、B （点A 在点B 的 左侧）时，如果∠CAB 或∠CBA 这两角中有一个角是钝角，那么m 的取值范围 是 ；（3）在（2）的条件下，P 是抛物线的顶点，当△PAO 的面积与△ABC 的面积相等时，求该抛物线的解析式.考查内容: 二次函数的应用答案：(1)证明：∵()()()131422+⨯-⨯--=∆m m ……………………………………1分()042≥+=m …………………………………………………………… 2分∴无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有交点.(2)m ＜-1且m≠-4. ……………………………………………………………………… 3分 (3)解：令()013)2(2=++-+-=m x m x y ，解得x 1=m+1，x 2=-3. …………………………………………………………………………4分可求得顶点()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-44,222m m P . ①当A(m+1,0)、B(-3,0)时， ∵ABC PAO S S ∆∆=，∴()()()()13421441212+⨯--=+⨯+m m m m .……………………………………………5分 解得16-=m .∴45182---=x x y .…………………………………………………………………………6分 ②当A(-3,0)、B(m+1,0)时，同理得()()()[]13421443212+-⨯+=+⨯⨯m m m .…………………………………………7分 解得58-=m . ∴595182---=x x y .…………………………………………………………………………8分 6、(2011海淀一模) 已知平面直角坐标系xOy 中, 抛物线2(1)y ax a x =-+与直线y kx =的一个公共点为(4,8)A .（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P 在线段OA 上，过点P 作y 轴的平行线交（1）中抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M ，点N 在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N 的坐标及梯形AOMN 的面积.y x O1yxO1考查内容:答案：（1）由题意，可得8164(1)a a =-+及84k =，解得1,2a k ==，所以，抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =. (2)分（2）设点P 的坐标为4(,2)(0)t t t ≤≤，可得点Q 的坐标为2(,2)t t t -，则 2222(2)4(2)4PQ t t t t t t =--=-=--+ 所以，当2t =时，PQ 的长度取得最大值为4. (4)分（3）易知点M 的坐标为（1，-1）.过点M 作直线OA 的平行线交抛物线于点N ，如图所示，四边形AOMN 为梯形.直线MN 可看成是由直线OA 向下平移b 个单位得到，所以直线MN 的方程为2y x b =-.因为点M 在直线2y x b =-上，解得b =3,即直线MN 的方程为23y x =-，将其代入22y x x =-，可得2232x x x -=-即 2430x x -+= 解得 11x =，23x = 易得 11y =-，23y =所以，直线MN 与抛物线的交点N 的坐标为（3,3）. (5)分如图，分别过点M 、N 作y 轴的平行线交直线OA 于点G 、H ， 显然四边形MNHG 是平行四边形.可得点G （1,2），H （3,6）.113(10)[2(1)]222OMG S MG =⨯-⨯=⨯--=△113(43)(63)222ANH S NH =⨯-⨯=⨯-=△(31)236MNHG S NH =-⨯=⨯=△所以，梯形AOMN 的面积9OMG MNHG ANH AOMN S S S S =++=△△△梯形. (7)分7、(2011怀柔一模) (本题满分7分)如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点C （0，-5）．x1Oy(4,8)A 1MNHG（1）求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交点B 的坐标。