2.3 一元二次方程的根的判别式课件北师大版初三上册数学
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新北师大版九年级上册初中数学 2-3-1一元二次方程根的判别式 教学课件
第二十一页，共二十三页。
拓展与延伸
D
第二十二页，共二十三页。
拓展与延伸
D
第二十三页，共二十三页。
(1) 1 x2 x 1;(2)
x2 2x 1
4
3
导引： 根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
解： (1)原方程化为:
∴方程有两个相等的实数根
第十二页，共二十三页。
新课讲解
典例分析 例 (2)原方程化为:
∴ 方程有两个不相等的实数根
第十三页，共二十三页。
二次方程有两个相等的实数根的是( )A.x2-x-1=0B.4x212x+9=0C.x2=-xD.x2-mx-2=0
B
第二十页，共二十三页。
当堂小练
3.已知关于x的一元二次方程x2+x+m-1=0.(1)当m=0时,求方程的实数根;(2)若方程有两 个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
解:(1)当m=0时,方程为x2+x-1=0.∴Δ=12-4×1×(-1)=5＞0.∴x=1±52×1,∴x1=-1+52,x2=-1-52.(2)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ＞0, 即12-4×1×(m-1)=1-4m+4=5-4m＞0,∴m＜54.
第三页，共二十三页。
新课导入
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
(Ⅲ)
能否也用配方法得出(Ⅲ)的解呢？
第四页，共二十三页。
新课讲解
知识点1 一元二次方程根的判别式
合作探究
我们可以用配方法解一元二次方程 a x2＋b x＋c＝0 (a≠0)．
移项，得
拓展与延伸
D
第二十二页，共二十三页。
拓展与延伸
D
第二十三页，共二十三页。
(1) 1 x2 x 1;(2)
x2 2x 1
4
3
导引： 根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
解： (1)原方程化为:
∴方程有两个相等的实数根
第十二页，共二十三页。
新课讲解
典例分析 例 (2)原方程化为:
∴ 方程有两个不相等的实数根
第十三页，共二十三页。
二次方程有两个相等的实数根的是( )A.x2-x-1=0B.4x212x+9=0C.x2=-xD.x2-mx-2=0
B
第二十页，共二十三页。
当堂小练
3.已知关于x的一元二次方程x2+x+m-1=0.(1)当m=0时,求方程的实数根;(2)若方程有两 个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
解:(1)当m=0时,方程为x2+x-1=0.∴Δ=12-4×1×(-1)=5＞0.∴x=1±52×1,∴x1=-1+52,x2=-1-52.(2)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ＞0, 即12-4×1×(m-1)=1-4m+4=5-4m＞0,∴m＜54.
第三页，共二十三页。
新课导入
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
(Ⅲ)
能否也用配方法得出(Ⅲ)的解呢？
第四页，共二十三页。
新课讲解
知识点1 一元二次方程根的判别式
合作探究
我们可以用配方法解一元二次方程 a x2＋b x＋c＝0 (a≠0)．
移项，得
北师版九上数学-专题4-一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的综合应用问题【课件】
程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2
+ px + q = 0
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
重要发现
方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
1
4
1
4
即（2 k ＋1）2－4=（ k －1）2×1≥0，即12 k －3≥0.解得 k ≥ .则 k ≥ 且 k ≠1.
围是（ D
）
1
4
B. k ≥ 且 k ≠1
1
4
D. k ≥
A. k ＞ 且 k ≠1
C. k ＞
1
4
1
4
1
3
【解析】①当（ k －1）2＝0时， k ＝1，原方程变为3 x ＋1＝0.解得 x ＝－ ，符合题意.②当（ k －1）
2≠0时，
k ≠1，原方程为一元二次方程.∵原方程有实数根，∴Δ≥0，
1
22
＝
1 ＋2
2
−21 2
1 2 2
；
（5）（ x1＋ m ）（ x2＋ m ）＝ x1 x2＋ m （ x1＋ x2）＋ m2.
注意：运用一元二次方程根与系数的关系时要检查两个隐含条件：（1）确定方程一定
是一元二次方程；（2）确定方程有实数根.
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数学 九年级上册 BS版
0 2
≠0）的根的判别式，通常用“
Δ
”表示.一元二次方程 ax2
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2
+ px + q = 0
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
重要发现
方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
1
4
1
4
即（2 k ＋1）2－4=（ k －1）2×1≥0，即12 k －3≥0.解得 k ≥ .则 k ≥ 且 k ≠1.
围是（ D
）
1
4
B. k ≥ 且 k ≠1
1
4
D. k ≥
A. k ＞ 且 k ≠1
C. k ＞
1
4
1
4
1
3
【解析】①当（ k －1）2＝0时， k ＝1，原方程变为3 x ＋1＝0.解得 x ＝－ ，符合题意.②当（ k －1）
2≠0时，
k ≠1，原方程为一元二次方程.∵原方程有实数根，∴Δ≥0，
1
22
＝
1 ＋2
2
−21 2
1 2 2
；
（5）（ x1＋ m ）（ x2＋ m ）＝ x1 x2＋ m （ x1＋ x2）＋ m2.
注意：运用一元二次方程根与系数的关系时要检查两个隐含条件：（1）确定方程一定
是一元二次方程；（2）确定方程有实数根.
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数学 九年级上册 BS版
0 2
≠0）的根的判别式，通常用“
Δ
”表示.一元二次方程 ax2
北师版数学九年级上册《2.3 用公式法求解一元二次方程》第1课时 用公式法求解一元二次方程 教学课件
是否也能用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解： 移项，得 ax2 bx c.
方程两边都除以 a，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
例5 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0.∵b2 - 4ac = 14×1×(-1) = 5＞0，∴该方程有两个不相等的实数 根，故选 B.
方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时， 要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).
•b2 - 4ac ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
•b2 - 4ac ＜ 0 时，方程无实数根.
0)；
视频：求根公式的趣味记忆
点击视频 开始播放
二 公式法解方程
典例精析
x b b2 4ac 2a
例1 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0. 解：∵a 5，b 4，c 12，
∴ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 ＞ 0.
∴ x b b2 4ac (4) 256 4 16 = 2 8 .
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解： 移项，得 ax2 bx c.
方程两边都除以 a，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
例5 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0.∵b2 - 4ac = 14×1×(-1) = 5＞0，∴该方程有两个不相等的实数 根，故选 B.
方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时， 要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).
•b2 - 4ac ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
•b2 - 4ac ＜ 0 时，方程无实数根.
0)；
视频：求根公式的趣味记忆
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二 公式法解方程
典例精析
x b b2 4ac 2a
例1 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0. 解：∵a 5，b 4，c 12，
∴ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 ＞ 0.
∴ x b b2 4ac (4) 256 4 16 = 2 8 .
北师大版九年级上册数学：一元二次方程的根的判别式(公开课课件)
九年级数学上册（北师大版）
一元二次方程Biblioteka 根的判别式沈阳市浑南区第一初级中学 王焕丽
一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0).
的根由方程的系数a，b，c确定．
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式
当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
一、用判别式判断一元二次 方程根的情况一般步骤：
1、把方程化成一般形式。并写 出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 3、判断根的情况。
这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
三、当 b2-4ac=0时，一元二次
方程有两个相等的实数根。
当 b2-4ac＞0时，一元二次 方程有两个不相等的实数根。
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
任务要求：
用公式法解下列方程
x²-7x-18=0 4x²+1=4x
2x2+ 3x+1=0
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式,通常用△表示.
判别式定理 当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根 当b2-4ac＜0时,方程没有实数根 当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
b2 4ac
（1） （2） （3）
＞0 =0 ＜0
两个不相等实根 两个相等实根
无实数根
（4） ≥0
两个实数根
例：已知关于x的方程x²－3x+k=0，问k取 何值时，这个方程有实数根?
变式1：已知关于x的一元二次方程kx²－3x+1= 0， 问k取何值时，这个方程有实数根?
一元二次方程Biblioteka 根的判别式沈阳市浑南区第一初级中学 王焕丽
一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0).
的根由方程的系数a，b，c确定．
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式
当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
一、用判别式判断一元二次 方程根的情况一般步骤：
1、把方程化成一般形式。并写 出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 3、判断根的情况。
这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
三、当 b2-4ac=0时，一元二次
方程有两个相等的实数根。
当 b2-4ac＞0时，一元二次 方程有两个不相等的实数根。
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
任务要求：
用公式法解下列方程
x²-7x-18=0 4x²+1=4x
2x2+ 3x+1=0
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式,通常用△表示.
判别式定理 当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根 当b2-4ac＜0时,方程没有实数根 当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
b2 4ac
（1） （2） （3）
＞0 =0 ＜0
两个不相等实根 两个相等实根
无实数根
（4） ≥0
两个实数根
例：已知关于x的方程x²－3x+k=0，问k取 何值时，这个方程有实数根?
变式1：已知关于x的一元二次方程kx²－3x+1= 0， 问k取何值时，这个方程有实数根?
北师大版数学九年级上册2.3.2一元二次方程根的判别式课件
• 我们把 b2-4ac叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 根的判别式
用符号△表示。即△ =b2-4ac
综上可知，我们发现一元二次方程ax2+bx+c(a≠0) 根的情况可由△ =b2-4ac来判断：
1当 > 0 时，原方程有两个不相等的实数根；
2当 0 时，原方程有两个相等的实数根；
2.3 一元二次方程根的判别式
一元二次方程的一般形式：
ax2 bx c 0(a 0)
一元二次方程的求根公式：
b b2 4ac x
2a
(b2-4ac≥0)
用公式法解下列方程
( 1 ) 2x2 x 1
( 2 ) x2 4=4x ( 3 ) (x+1)(4x+1)=2x
观察上面三个方程根的情况，你有什么发现？
想一想：根据前面的结论，运用根的
判别式可以不解方程就知道方程根的情 况，反过来如果知道了方程根的情况， △的值会怎样呢？
1 当方程有两个不相等的实数根时，＞ 0 ； 2 当方程有两个相等的实数根时， 0 ；
3当方程没有实数根时，＜ 0
例2：已知关于 x的方程 x2 3x k ，0
问 k取何值时，这个方程有两个实数根?
思考题： m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？
本节课你有什么收获？
讨论：
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的根有哪几种情况？方程是否有根由什么决 定？
我们知道,任何一个一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
配方法
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
北师大版九年级数学上第二章一元二次方程判别式(共20张PPT)
解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1 ∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ 9
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m= 9
8
8
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴m＜ 9
课后练习
2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的 实数根？求这时方程的根。
3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一 元二次方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况 是（ ） A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.821.9.810:29:3610:29:36September 8, 2021 • 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三上午10时29分36秒10:29:3621.9.8 • 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午10时29分21.9.810:29September 8, 2021 • 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月8日星期三10时29分36秒10:29:368 September 2021 • 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午10时29分36秒上午10时29分10:29:3621.9.8
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ 9
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m= 9
8
8
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴m＜ 9
课后练习
2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的 实数根？求这时方程的根。
3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一 元二次方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况 是（ ） A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.821.9.810:29:3610:29:36September 8, 2021 • 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三上午10时29分36秒10:29:3621.9.8 • 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午10时29分21.9.810:29September 8, 2021 • 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月8日星期三10时29分36秒10:29:368 September 2021 • 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午10时29分36秒上午10时29分10:29:3621.9.8
数学北师大版九年级上册《一元二次方程的根的判别式》课件公开课
（1）求根公式
x b
b2 4ac
（b2 4ac 0）
2a
（2）根的判别式 =b2 4ac
①当>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当=0时，方程有两个相等的实数根； ③当<0时，方程没有实数根.
当 0时，方程有实数根；
2.3 用公式法解一元二次方程 【课后作业】 见《小练习》
1.化：方程化为一般形式，并把二次项系 数化为1；
2.移：移加上一次项系 数一半的平方，左边化为完全平方式；
4. 开：开方，两边开平方，化为两个一元 一次方程；
5.解：解两个一元一次方程，得原方程的解.
总结1：对于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 ，
当 b2 4ac 0 时，它的根是
x b b2 4ac 2a
这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
当 b2 4ac<0 时，会怎样？
原方程无实数根.
总结2：用公式法解一元二次方程的一般步骤
①把方程化成一般形式； 当 b2 4ac 0时，原方
②指出
a、b、c
程无实数根.（判断方程无
的值； 实数根也是解方程）
③求出 b2 4ac 的值并判断正负；
④代入求根公式 x b
b2 4ac
2a
（b2 4ac 0）
⑤写出方程的根.
七、小结:通过本节课的学习，你有什么收获？
记一记:一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0
初中数学 九年级(上册)
2.3 用公式法解一元二次方程
作 者：王俊春（汉中市龙岗学校）
一、读一读
.
北师大版(2012)数学九年级上册第2章《一元二次方程的根的判别式》课件
知识点 3 一元二次方程根的判别式的应用
a、c异号 b=0且a、c同号
方程有两个不相 等的实数根
方程有两个相 等的实数根
b、c均为0
方程没有实数根
连线题将对应项用直线连起来
知识点 3 一元二次方程根的判别式的应用
不解方程，判别下列方程根的情况： (1) x2＋3x＋2＝0； (2) x2－4x＋4＝0； (3) 2x2－4x＋5＝0.
一元二次方程根的判别式
学习目标
1. 感悟一元二次方程根的判别式的产生的过程，体会模型思想 2. 能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证 3. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围 4. 培养学生的探索、创新精神， 加深师生间的交流，增进师生 的情感，培养学生的协作精神
知识点 3 一元二次方程根的判别式的应用
关于x的一元二次方程(a＋1)x2－4x－1＝0有 两个不相等的实数根，求a的取值范围。
回头看
一元二次方程根的判别式的应用
两位同学看到一个关于x 的一元二次方程 x2＋(2m－1)x+(m－1)=0, 那你们认为呢? 并说明理由.
此方程有两个不 相等的实数根
知识点 3 一元二次方程根的判别式的应用 若b<0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定
知识点 3 一元二次方程根的判别式的应用
已知关于x的方程x2＋x＋m＝0有两个不相等的实 数根，则m的最大整数值是______．
根的情况
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
定理与逆定理
Байду номын сангаас
北师大版2020年九年级上册数学2.3 一元二次方程的根的判别式课件
2.3 用公式法解一元二次方程
公式法
回顾之旅 我思考
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。
(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a. 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式
公式法
探索之旅 我快乐
学习新知
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
1.化1:把二次项系数化为1; 解 : x2 b x c 0. aa
2.移项:把常数项移到方程的右边; x2 b x c . aa
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
x2
b
x
b
2
b
∴ x -6.8=2.8.
尺.
公式法
反思之旅 我收获
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解方程应注意的问题是什么？ 4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
总结
5 、用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.
4、人之相识，贵在相知，人之相知，贵在知心。7.14.20207.14.202020:2620:2620:26:0220:26:02 5、书到用时方恨少，事非经过不知难。Tuesday, July 14, 2020July 20Tuesday, July 14, 20207/14/2020
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 6、居安思危，思则有备，有备无患。8时26分8时26分14-Jul-207.14.2020
公式法
回顾之旅 我思考
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。
(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a. 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式
公式法
探索之旅 我快乐
学习新知
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
1.化1:把二次项系数化为1; 解 : x2 b x c 0. aa
2.移项:把常数项移到方程的右边; x2 b x c . aa
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
x2
b
x
b
2
b
∴ x -6.8=2.8.
尺.
公式法
反思之旅 我收获
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解方程应注意的问题是什么？ 4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
总结
5 、用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.
4、人之相识，贵在相知，人之相知，贵在知心。7.14.20207.14.202020:2620:2620:26:0220:26:02 5、书到用时方恨少，事非经过不知难。Tuesday, July 14, 2020July 20Tuesday, July 14, 20207/14/2020
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 6、居安思危，思则有备，有备无患。8时26分8时26分14-Jul-207.14.2020
数学北师大版九年级上册《一元二次方程的根的判别式》课件公开课
（1）小明的设计方案如图1 所示，其中花园四周小路的 宽度都相等，他通过解方程 ，得到了小路的宽为2m或 12m．小明的计算结果对吗 ？为什么？
学以致用
一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花 园，并使花园面积为荒地面积的一半，你能给出设计 方案吗？
(2)小亮的设计方案如图2 所示，其中花园每个角上 的扇形都相同．你能帮小 亮求出图2中的x吗？
L/O/G/O
2.3用公式法求解一元二次方程 （第2课时）
郑州市第七十六中学 朱莹莹
解以下三个方程（注意书写格式）
(1)2x²-4x=1 (2)9x²+6x+1=0 (3)x(x-2)+3=发现了什么规律吗？
对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） ， （1）当b²-4ac>0时，方程有两个不相等 的实数根； （2）当b²-4ac=0时，方程有两个相等的 实数根； （3）当b²-4ac<0时，方程没有实数根,
你会解决了吗？
某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与 宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的 空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形 温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 228m²？
你学到了什么？
加油！
我们把b²-4ac叫做根的判别式，通常用希 腊字母“△”来表示。
看谁算得快！
1、不解方程，判定根的情况 (1)5x²+x=7 (2)25x²+20x+4=0 (3)(x+1)(x+4)=2x
2、关于x的一元二次方程(m-1)x²+x+1=0 有实数根，则m的取值范围。
学以致用
一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花 园，并使花园面积为荒地面积的一半，你能给出设计 方案吗？
学以致用
一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花 园，并使花园面积为荒地面积的一半，你能给出设计 方案吗？
(2)小亮的设计方案如图2 所示，其中花园每个角上 的扇形都相同．你能帮小 亮求出图2中的x吗？
L/O/G/O
2.3用公式法求解一元二次方程 （第2课时）
郑州市第七十六中学 朱莹莹
解以下三个方程（注意书写格式）
(1)2x²-4x=1 (2)9x²+6x+1=0 (3)x(x-2)+3=发现了什么规律吗？
对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） ， （1）当b²-4ac>0时，方程有两个不相等 的实数根； （2）当b²-4ac=0时，方程有两个相等的 实数根； （3）当b²-4ac<0时，方程没有实数根,
你会解决了吗？
某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与 宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的 空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形 温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 228m²？
你学到了什么？
加油！
我们把b²-4ac叫做根的判别式，通常用希 腊字母“△”来表示。
看谁算得快！
1、不解方程，判定根的情况 (1)5x²+x=7 (2)25x²+20x+4=0 (3)(x+1)(x+4)=2x
2、关于x的一元二次方程(m-1)x²+x+1=0 有实数根，则m的取值范围。
学以致用
一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花 园，并使花园面积为荒地面积的一半，你能给出设计 方案吗？
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解：去括号：x-2-3x2+6x=6，
化简为一般式：-3xx2+7x-8=0，
3x2-7x+8=0， 这里 a=3, b= -7, c= 8.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0，
∴原方程没有实数根.
解列方程 2x2+3=7x
解:2x2-7x+3=0
a=2, b=-7, c=3 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3
公式的推导
一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 的解为：
b b2 4ac
x
(b2-4ac≥0 )
2a
公式法
思考之旅 我动脑
想一想
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac<0 时，它的根的情况是怎样的？ 与同伴交流.
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
公式法
探索之旅 我快乐
学习新知
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
1.化1:把二次项系数化为1; 解 : x2 b x c 0. aa
2.移项:把常数项移到方程的右边; x2 b x c . aa
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
x2
b
x
b
2
b
亲爱的读者：
春去燕归来，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 1、三人行，必有我师。20.7.147.14.202020:3520:35:12Jul-2020:35
2、书是人类进步的阶梯。二〇二〇年七月十四日2020年7月14日星期二
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 3、会当凌绝顶，一览众山小。20:357.14.202020:357.14.202020:3520:35:127.14.202020:357.14.2020 4、纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。7.14.20207.14.202020:3520:3520:35:1220:35:12
x2 x 22 x 22.
B
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意,舍去).
A
C
x 2 6, x 2 10.
答 : 三角形的三条边长分别为6,8,10.
独立 作业
知识的升华
根据题意，列出方程：
1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸, 两相去适一丈.问户高,广各几何.”
的值.最后写出方程的根. b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
公式法
巩固之旅 我提高
1、不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2+5=7x （2）x2-7x=18 （3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）16x2+8x=3 （6） 2x2-9x+8=0 （7）4x(x-1)+3=0 （8）4(y2+0.09x)=2.4y
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝4日望星的期人二。二〇二〇年七月十四日2020年7月14日星期二 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成20功:35。7.14.202020:357.14.202020:3520:35:127.14.202020:357.14.2020
③当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根。 所以 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示. 即： b2 4ac
独立 作业
习题2.5 第1、2题
祝你成功！
亲爱的读者：
1、盛生年活不重相来信，眼一泪日，难眼再泪晨并。不及代时表宜软自弱勉。，20岁.7.月14不7.待14人.2。02。02200:.375.12407:3.154:1.220J2u0l-20:2305:2305:35:12Jul-2020:35
公式法
实践之旅 我运用
例1 4x2+1=4x.
解:原方程化为一般形式,得4x2-4x+1=0, 这里a=4,b=-4,c=1.
∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0,
x (4) 0 1 ， 24 2
即x1
x2
1 2
.
想一想
b b2 4ac
x
2a
例 2 解方程：（x-2)(1-3x)=6.
420、:3敏57而.1好4.学20，20不20耻:3下57问.1。4.。2072.1042.02:03250270.:1345.:2102270.1240.:230522002:305:32507:3.154:1.2202200:35:12
这醉人芬春芳去的春季又节回，，愿新你桃生换活旧像符春。天在一那样桃阳花光盛，开心的情地像方桃，在 54、海不内要存为知它已的，结天束涯而若哭比，邻应。当为Tu它es的da开y,始Ju而ly笑1。4, 72.01240.2J0u2ly0270.1T4u.2e0sd2a0y2,0J:3u5ly2104:3,522002:0375/:142/2200:2305:12 花一这样醉美人丽芬，芳感的谢季你节的，阅愿读你。生活像春天一样阳光，心情像桃 65莫、愁生前命路的无成知长已，，需天要下吃谁饭人，不还识需君要。吃苦8时，3吃5分亏8。时T3u5e分sd1a4y-J, uJlu-l2y0174.1,42.022002J0uly 20Tuesday, July 14, 20207/14/2020
a2±2ab+b2 =(a±b)2.
回顾与复习 2
用配方法解下列方程. (1)2x2+3=7x; (2)3x2+2x+1=0.
解:(1)将方程化成一般形式:2x2-7x+3=0,
两边都除以二次项系数: 2x2 7 x 3 0，
22
配方，得x2
7 2
x
7 4
2
49 16
3 2
0，
即(x 7 )2 25 0，所以(x 7 )2 25，
∴ x -6.8=2.8.
尺.
公式法
反思之旅 我收获
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解方程应注意的问题是什么？ 4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
总结
5 、用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.
2.3 用公式法解一元二次方程
公式法
回顾之旅 我思考
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。
(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a. 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式
=25>0
∴ x b b2 4ac
2a
7 25 7 5
22
4
即x1=3,
1 x2=2
公式法解一元二次方程的一般步骤: (1)把方程化为一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
(2)求出b2-4ac的值(先判断方程是否有根);
(3)在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入求根公式,求出
花一样美丽，感谢你的阅读。 5、一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。Tuesday, July 14, 2020July 20Tuesday, July 14, 20207/14/2020 6、路遥知马力日久见人心。8时35分8时35分14-Jul-207.14.2020 7、山不在高，有仙则灵。20.7.1420.7.1420.7.14。2020年7月14日星期二二〇二〇年七月十四日 8、有花堪折直须折，莫待无花空折枝。20:3520:35:127.14.2020Tuesday, July 14, 2020
4 16
4 16
所以x
7 4
5 4
，解得x1
3，x2
1. 2
用配方法解下列方程.
(2)3x2+2x+1=0.
解: (2)两边都除以二次项系数：x2 2 x 2 0， 33
配方，得x2 2 x (1)2 1 1 0， 3 3 93
即
x
1 3
2
2 9
0，所以
x
1 3
2
2 9
因为- 2 0，所以原方程无解. 9
2、用公式法解下列方程 （1） x2-7x=18 （2）2x2+3=7x （3）2x2-9x+8=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）16x2+8x=3 （6）x(x-3)+5=0
3.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长.
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得
当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况 可由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ” 来表示.
大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少?
解：设门的高为 x 尺，根据题意得