初中数学竞赛辅导资料(41)

初中数学竞赛辅导资料（41）
线段的比、积、幂
甲内容提要
一．有关线段的比、积、幂的主要定理
1. 比例的基本性质：d
c b a =bc a
d =⇔ 合比，等比定理（略） 2.
DE ∥BC EC AE DB AD =⇔
a ∥
b ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===111
1111
OB OB
OA OA OB OB C B BC B A AB
3. 相似多边形性质：对应线段成比例，面积比等于相似比的平方
4. 直角三角形中成比例线段定理（射影定理）
⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅
⋅⋅⇒⎭⎬⎫⊥∠∠BC AC CD AB AB BD BC AB AD AC BD AD CD AB CD R ACB 222＝＝＝＝＝t 5. 三角形内（外）角平分线性质 在△ABC 中 ∠1＝∠2AC AB DC BD =⇔ 6. 若ABCD 四点共圆， AB 、CD 交于P ， 则PA ×PB ＝PC ×PD ＝PT 2 （PT 切圆于T ）
C D E B A B C D B
7. 三角形、平行四边形面积公式（略）
8.正弦定理：在△ABC 中，SinC
c SinB b SinA a == 二．要运用相似三角形证明线段的积、幂，一般应把积、幂先化为比例式，然后由它来找相似三角形。

有时还要用等线段或等比代换。

乙例题
例1． 过四边形ABCD 的对角线交点O 画CD 的平行线，分别与边
BC ，AD 及AB 的延长线交于E ，F ，G 求证：GO 2=GEGF
证明：设DC ，AB 的延长线相交于H ，
∵FG ∥DH ， 从过点B 的线束被平行线截得HD HC GO GE =
从过点A 的线束被平行线截得HD
HC GF GO = ∴GF GO GO GE = 即GO 2＝
GEGF 例2.已知：CD 是Rt △ABC 斜边上的高，角平分线AE 交CD 于F 求证：CE 2＝DF ×BE
分析：要
CE 2＝DF ×BE 成立，应证DF
CE CE BE = 可证CE ＝CF （等角对等边）根据角平分线性质可得 AC AB CE BE =，AD AC DF CF = 只要AC 2＝ABAD 这符合直角三角形中成比例线段定理
证明 （略）
例3.已知：△ABC 中最大角A 是最小角C 的2倍，三边长是连续整数 求：△ABC 的各边长
解：设AC 为x, 则AB 是x-1,BC 为x+1 延长CA 到D 使AD=AB ，连结BD ，BA 则∠D ＝∠1 ∵∠BAC ＝∠1＋∠D ＝2∠D ， ∵∠BAC ＝2∠C ， ∴∠1＝∠D ＝∠C ∴等腰△ABD ∽等腰△BCD
CD BD BC AB ＝，1
111+++=+-x x x x x ，解得x=5, ∴三边长分别为4,5,6 ( 本题也可作∠BAC 的平分线AE ，证明△EAB ∽△ACB)
B
例4. 已知：⊙O 和⊙O 1相交于P ，外公切线AB ，A ，B 是切点，AP 交⊙O 于C ，BP 交⊙O 1于D ，CE 和⊙O 1切于点E
求证：CE ＝CB 证明：过点P 作两圆公切线PQ 交AB 于Q 由切线长定理，得QP ＝QA ＝QB ∴△APB 是Rt △，∠APB ＝Rt ∠ ∴BC 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 根据射影定理，得BC 2＝CP ×CA
∵CE 切⊙O 1于E ，
根据圆幂定理，得CE 2＝CP ×CA
∴CE ＝CB
例5.正方形OPQR 内接于△ABC ，已知△AOR ，△BOP ，△CRQ 面积是 S 1＝1，S 2＝3，S 3＝1。

那么正方形OPQR 的边长是（ ）
（A ）2 （B ）3 (C)2 (D)3 （1991年全国初中数学联赛题） 解：设正方形OPQR 的边长为x ，
∵S 2＝3，S 3＝1 ∴BP ＝x 6，QC ＝x 2， ∵OR ∥BC ，∴△AOR ∽△ABC
∴ ABC AOR S S △△＝22
BC OR 即2x 1311++＋=2
2
)x
2x x 6(x ++ 解得（x 4－16）(x 2+4)=0 ∴x=2 本题也可以求出△ABC 的高为x
2＋x, 用面积公式列方程。

丙练习41
1. 线段a,b 满足等式a 2+ab-b 2=0 则a ：b=＿＿＿＿
2. △ABC 中D ，E 三等分BC ，中线BF 分别交AD ，AE 于M ，N ，那么
BM ∶MN ∶NF ＝＿＿＿
3. △ABC 中，点D 内分BC 为1∶3，点E 内分AD 为1∶2，BE 的延长
线交AC 于F ，则AF ∶FC ＝＿＿＿
4. 求证：有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的
乘积的比
5. 经过平行四边形ABCD 顶点A 画直线，分别交BD ，BC 及DC 的延长
线于E ，F ，G 。

求证：EA 2=EF EG
D
C
P Q
6. 在△ABC 内任取一点G ，分别延长AG ，BG ，CG 交对边于D ，E ，F 求证：1FB
AF EA CE DC BD ＝（西瓦定理） 7. 已知：AD 是△ABC 的中线，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，AM ＝AN 求证：
PM PN AC AB ＝ 8. CD 是Rt △ABC 斜边上的高，O 是CD 的中点，AO 延长线交AC 于E ， EF ⊥AB 于F ，FE 的延长线和AC 的延长线相交于G ，则EF 2＝EC ×EB
9. 已知：平行四边形ABCD 中E ，F 分别在AB ，AD 上且EF ∥BD ，CE ，
CF 分别交BD 于P ，Q 。

求证：BP ＝DQ
10. 已知：正方形ABCD 中，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，交BD 于F 求证：
⑴BE ＝BF ⑵CE ＝2FO
11. 已知：△ABC 中，D ，E 分别在边了BC ，AB 上，∠B ＝∠CAD ＝∠ADE
如果△ABC ，△EBD ，△ADC 的周长为m,m 1,m 2 求证：4521≤+m m m 12. 如图已知：点B 在⊙A 上，⊙A 和⊙B 相交于
C ，
D ，⊙A 的直径C
E 交⊙B 于F
求证：2CB 2＝CE ×CF 13. 选择题 ① △ABC 中，AD 是高，且AD 2＝BD ×DC ，
那么∠BAC 的度数是（ ）
（A ） 小于90，（B ）大于90，（C ）等于90，（D ）不能确定
（1990年全国初中数学联赛题）
②直角梯形ABCD 中，垂腰AB ＝7，两底AD ＝2，BC ＝3，如果AB 一点P 使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，那么适合条件的点P 有几个？（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（1988年全国初中数学联赛题）
③ 已知PA 切△ABC 的外接圆于A ，PA ＝6，BC ＝5，
则AC ∶AC ＝（ ）
（A ）2∶3 （B ）6∶5 （C ）4∶5 (D)3∶2
（1996年福建省达标中学中考题）
E
例14.如图ABCD 为圆内接四边形，过AB 上一点
引MP ，MQ ，MR 分别垂直于BC ，CD ，DA
连结PR 和MQ 相交于N
求证：MA BM NR PN （1983年福建省初中数学联赛题）
15. 如图△PQR 和△P
1Q 1R 1是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF 的边长分记为AB ＝a 1,,BC ＝b 1,CD ＝a 2,DE ＝b 2,EF ＝a 3,FA ＝b 3
求证：a 12+a 22+a 32=b 12+b 22+b 32
（1988年全国初中数学联赛题）
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