2013年高考文科数学全国新课标卷1答案

4
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)· e x .
令 f′(x)＝0 得，x＝－ln 2 或 x＝－2. 从而当 x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0； 当 x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0. 故 f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． －2 当 x＝－2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(－2)＝4(1－e )． 21． 解： 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)， 半径 r1＝1； 圆 N 的圆心为 N(1,0)， 半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外)， 其方程为
所以所求体积为 16＋8π .故选 A. 12． 答案：D 解析：可画出|f(x)|的图象如图所示． 当 a＞0 时，y＝ax 与 y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C； 当 a≤0 时，若 x＞0，则|f(x)|≥ax 恒成立． 2 若 x≤0，则以 y＝ax 与 y＝|－x ＋2x|相切为界限， 由
叶集中在茎 0,1 上，由此可看出 A 药的疗效更好． 19． (1)证明：取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B. 因为 CA＝CB， 所以 OC⊥AB. 由于 AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B 为等边三角形， 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C⊂ 平面 OA1C，故 AB⊥A1C. (2)解：由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形， 所以 OC＝OA1＝ 3 . 又 A1C＝ 6 ，则 A1C ＝OC ＋ OA1 ，
y ax, 2 得 x －(a＋2)x＝0. 2 y x 2 x,
2
∵Δ ＝(a＋2) ＝0，∴a＝－2. ∴a∈[－2,0]．故选 D. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．答案：2 解析：∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1， 〈a，b〉＝60°，∴a·b＝ 11 ∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0， 2 即 ta·b＋(1－t)b ＝0.
＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3，
y＝
＋2.6＋2.7＋3.2) ＝1.6. 由以上计算结果可得 x ＞ y ，因此可看出 A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有
7 7 的叶集中在茎 2,3 上，而 B 药疗效的试验结果有 的 10 10
2
即 C1：x ＋y －8x－10y＋16＝0. 将
x cos , 2 2 2 代入 x ＋y －8x－10y＋16＝0 得 ρ －8ρ cos θ －10ρ sin θ ＋16＝0. y sin
所以 C1 的极坐标方程为 2 ρ －8ρ cos θ －10ρ sin θ ＋16＝0. 2 2 (2)C2 的普通方程为 x ＋y －2y＝0.
x 2 y 2 8 x 10 y 16 0, 由 2 2 x y 2 y 0 x 1, x 0, 解得 或 y 1 y 2.
其中 sin φ ＝ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． 解：(1)设{an}的公差为 d，则 Sn＝ na1 由已知可得
n(n 1) d. 2
3a1 3d 0, 5a1 10d 5,
1 1 1 1 1 ＝ ， a2 n 1a2 n 1 3 2n 1 2n 2 2n 3 2n 1

π
当 x∈(0，π )时，f′(x)＝sin x＋cos x(1－cos x)＝－2cos x＋cos x＋1. 令 f′(x)＝0，得 x 故极值点为 x 10． 答案：D 解析：由 23cos A＋cos 2A＝0，得 cos A＝ ∵A∈ 0,
2 2
2
2
2 π. 3
2 π ，可排除 D，故选 C. 3
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的 第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22． (1)证明：连结 DE，交 BC 于点 G. 由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE. 而∠ABE＝∠CBE， 故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE. 又因为 DB⊥BE， 所以 DE 为直径，∠DCE＝90°， 由勾股定理可得 DB＝DC. (2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故 DG 是 BC 的中垂线， 所以 BG＝
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 I 新课标)
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：A 2 解析：∵B＝{x|x＝n ，n∈A}＝{1,4,9,16}， ∴A∩B＝{1,4}． 2． 答案：B 解析：
2 2
2
故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB＝O，所以 OA1⊥平面 ABC，OA1 为三棱柱 ABC－A1B1C1 的高． 又△ABC 的面积 S△ABC＝ 3 ，故三棱柱 ABC－A1B1C1 的体积 V＝S△ABC×OA1＝3. 20． x 解：(1)f′(x)＝e (ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得 f(0)＝4，f′(0)＝4. 故 b＝4，a＋b＝8. 从而 a＝4，b＝4. x 2 (2)由(1)知，f(x)＝4e (x＋1)－x －4x，

1 2
x2 y 2 =1 (x≠－2)． 4 3
(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2， 所以 R≤2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时，R＝2. 2 2 所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x－2) ＋y ＝4. 若 l 的倾斜角为 90°，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|＝ 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°， 由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴， 设 l 与 x 轴的交点为 Q， 则 4,0)，所以可设 l：y＝k(x＋4)． 由 l 与圆 M 相切得
1 1 2i 1 2i 1 2i i 2 i ＝ 1+ i . 2 2 1 i 2i 2 2
3． 答案：B 解析：由题意知总事件数为 6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件 数是 2，所以所求的概率为 4． 答案：C
解得 a1＝1，d＝－1. 故{an}的通项公式为 an＝2－n. (2)由(1)知 从而数列

1 的前 n 项和为 a2 n 1a2 n 1
3
1 1 1 1 1 1 1 L 2 1 1 1 3 2n 3 2n 1 n ＝ . 1 2n
2
1 1 . 2 2
∴
1 t ＋1－t＝0. 2
∴t＝2. 14．答案：3 解析：画出可行域如图所示． 画出直线 2x－y＝0，并平移，当直线经过点 A(3,3)时，z 取最大 值，且最大值为 z＝2×3－3＝3. 15．答案：
9 π 2
解析：如图， 设球 O 的半径为 R， 则 AH＝
2R ， 3
2 1 an a 1 q a1 an q 3 ＝3－2an，故选 D. 解析： Sn 1 2 1 q 1 q 1 3
n
7． 答案：A 解析：当－1≤t＜1 时，s＝3t，则 s∈[－3,3)． 2 当 1≤t≤3 时，s＝4t－t . ∵该函数的对称轴为 t＝2， ∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴smax＝4，smin＝3. ∴s∈[3,4]． 综上知 s∈[－3,4]．故选 A. 8． 答案：C
＝1，解得 k＝
2 . 4
3 . 2
5
设 DE 的中点为 O，连结 BO，则∠BOG＝60°.
从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 所以 CF⊥BF， 故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 23． 解：(1)将
2
3 . 2
x 4 5cos t , 2 2 消去参数 t，化为普通方程(x－4) ＋(y－5) ＝25， y 5 5sin t
1
解析：利用|PF|＝ xP 2 4 2 ，可得 xP＝ 3 2 . ∴yP＝ 2 6 .∴S△POF＝ 故选 C. 9． 答案：C 解析：由 f(x)＝(1－cos x)sin x 知其为奇函数．可排除 B．当 x∈ 0, 时，f(x)＞0，排除 A. 2
1 |OF|·|yP|＝ 2 3 . 2
OH＝
R . 3
2 2
又∵π ·EH ＝π ，∴EH＝1. ∵在 Rt△OEH 中，R ＝
9 R 2 2 +1 ，∴R ＝ . 8 3
2
9π . 2 2 5 16．答案： 5
∴S 球＝4π R ＝
2
解析：∵f(x)＝sin x－2cos x＝ 5 sin(x－φ )，
2 5 5 ，cos φ ＝ . 5 5 π 当 x－φ ＝2kπ ＋ (k∈Z)时，f(x)取最大值． 2 π π 即 θ －φ ＝2kπ ＋ (k∈Z)，θ ＝2kπ ＋ ＋φ (k∈Z)． 2 2 2 5 π ∴cos θ ＝ cos ＝－sin φ ＝ . 5 2
18． 解：(1)设 A 药观测数据的平均数为 x ，B 药观测数据的平均数为 y . 由观测结果可得