2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分2 命题及其关系、充分条件与必要条件

开卷速查(二) 命题及其关系、充分条件与必要条
件
A 级 基础巩固练
1．[2015·唐山市一中期中]“a ＝2”是“∀x ∈(0，＋∞)，ax ＋18x
≥1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：若a ＝2，则∀x ∈(0，＋∞)，2x ＋18x ≥22x ×18x ＝1，即
充分性成立；若∀x ∈(0，＋∞)，ax ＋18x ≥1成立，即a ≥1x －18·1x 2＝－18
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －42＋2成立，得a ≥2，即必要性不成立，故选A. 答案：A
2．已知f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )
A ．充要条件 B.充分不必要条件
C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：因为f (x )，g (x )均为偶函数，可推出h (x )为偶函数，反之，则不成立，如f (x )＝x 、g (x )＝－x ，则h (x )＝0.故选B.
答案：B
3．[2015·“江淮十校”联考]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω
＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C ．充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析：若f (x )是奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )，不一定有φ＝π2成立；
反之，若φ＝π2，则f (x )是奇函数，故选B.
答案：B
4．下列选项中正确的是( )
A ．若x ＞0且x ≠1，则ln x ＋1ln x ≥2
B ．在数列{a n }中，“|a n ＋1|＞a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件
C ．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”
D ．若命题p 为真命题，则其否命题为假命题
解析：当0＜x ＜1时，ln x ＜0，此时ln x ＋1ln x ≤－2，A 错；当|a n ＋
1|＞a n 时，{a n }不一定是递增数列，但若{a n }是递增数列，则必有a n ＜a n ＋1≤|a n ＋1|，B 对；全称命题的否定为特称命题，C 错；若命题p 为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D 错，故选B.
答案：B
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，则“A ＜B ”是“cos2A ＞cos2B ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由大边对大角可知，A ＜B ⇔a ＜b .
由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，故a ＜b ⇔sin A ＜sin B .
而cos2A ＝1－2sin 2A ，cos2B ＝1－2sin 2B ，
又sin A＞0，sin B＞0，所以sin A＜sin B⇔cos2A＞cos2B.
所以a＜b⇔cos2A＞cos2B，即“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要条件，故选C.
答案：C
6．命题p：|x＋2|＞2；命题q：1
3－x
＞1，则綈q是綈p的() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：解|x＋2|＞2，即x＋2＜－2或x＋2＞2，得x＜－4或x＞0，
所以p：x＜－4或x＞0，故綈p：－4≤x≤0；解1
3－x
＞1，得2＜x＜3，所以q：2＜x＜3，綈q：x≤2或x≥3.显然{x|－4≤x≤0} {x|x≤2，或x≥3}，所以綈q是綈p的必要不充分条件，故选B.
答案：B
7．在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)等于() A．1B．2C．3D．4
解析：原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从
而否命题也为假命题，故f (p )＝2，故选B.
答案：B
8．已知集合A ＝{x |⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2－x －6＜1}，B ＝{x |log 4(x ＋a )＜1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________．
解析：由⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2－x －6＜1，即x 2－x －6＞0，解得x ＜－2或x ＞3，故A ＝{x |x ＜－2，或x ＞3}；
由log 4(x ＋a )＜1，即0＜x ＋a ＜4，解得－a ＜x ＜4－a ，故B ＝{x |－a ＜x ＜4－a }，由题意，可知B A ，所以4－a ≤－2或－a ≥3，解得a ≥6或a ≤－3.
答案：(－∞，－3]∪[6，＋∞)
9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是
n ＝__________.
解析：∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根，
∴x ＝4±16－4n 2
＝2±4－n . ∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4.
当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3；
当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2.
∴n ＝3或n ＝4.
答案：3或4
10．已知p ：－x 2＋6x ＋16≥0，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m ＞0)．
(1)若p 为真命题，求实数x 的取值范围；
(2)若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由－x 2＋6x ＋16≥0，解得－2≤x ≤8；
所以当p 为真命题时，实数x 的取值范围为－2≤x ≤8.
(2)方法一：若q 为真，可由x 2－4x ＋4－m 2≤0(m ＞0)，解得2－m ≤x ≤2＋m (m ＞0)．
若p 是q 成立的充分不必要条件，则[－2,8]是[2－m ，2＋m ]的真子集，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，2－m ≤－2，2＋m ≥8(两等号不同时成立)，得m ≥6.
所以实数m 的取值范围是m ≥6.
方法二：设f (x )＝x 2－4x ＋4－m 2(m ＞0)，
若p 是q 成立的充分不必要条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，f (－2)≤0，f (8)≤0
(两等号不
同时成立)，解得m ≥6.
所以实数m 的取值范围是m ≥6.
B 级 能力提升练
11．[2014·陕西]原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是
( )
A ．真，假，真 B.假，假，真
C ．真，真，假 D.假，假，假
解析：因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.
答案：B
12．如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，那么“[x ]
＝[y ]”是“|x －y |＜1成立”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：若[x ]＝[y ]，则|x －y |＜1；反之，若|x －y |＜1，如取x ＝1.1，y ＝0.9，则[x ]≠[y ]，即“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1成立”的充分不必要条件．
答案：A
13．[2015·福州三中期中]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0}．
(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；
(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
解析：(1)A ＝{x |2＜x ＜3}．
当a ＝12时，B ＝{x |12＜x ＜94}，
∴∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}．
∴(∁U B )∩A ＝{x |94≤x ＜3}．
(2)由p 是q 的充分条件，知p ⇒q ，则A ⊆B ，
又∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤2，3≤a 2＋2，∴a ≤－1或1≤a ≤2. 故a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2]．。