高考数学：名师讲义第1期解析几何中的组合曲线问题
高考数学一轮复习第九章平面解析几何第8节曲线与方程市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
x＝1，
x＝－1，
∴y＝1
或y＝－1.
[答案] C
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3．已知圆(x＋2)2＋y2＝36 的圆心为 M，设 A 为圆上任一
点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P
的轨迹是(
)
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
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[解析] ∵|PA|＝|PN|，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|MA| ＝6>|MN|.故动点 P 的轨迹是椭圆．
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[解] 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半 径为 R.
因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以 |PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|＝2. 由椭圆的定义可知，动圆圆心 P 的轨迹是以 M，N 为左、 右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)， 其方程为x42＋y32＝1(x≠－2)．
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∴xy－ ＝x20y＝ 0，－2x0，
x0＝－x， 即y0＝12y.
∴－x＋y42＝0，即 y2＝4x.
故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x.
[答案] (1)C (2)y2＝4x
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(1)相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动 的，另一个是次动的，如本例中 P 是主动点．
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[拓展探究] 若本例中的“圆 N：(x－1)2＋y2＝9”改为 “圆 N：(x－1)2＋y2＝14”，结果如何？
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[解] 由题意可知，|PM|＝R＋1，|PN|＝R－12，
高考数学一轮总复习第九章解析几何专题研究1曲线与方程课件理
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专题要点
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1．求曲线轨迹方程的方法 (1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点 的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点间距离公式、点到直 线距离公式等)进行整理、化简． (2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程， 再确定其中的基本量．
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所以k是方程(x02－9)x2－2x0y0x＋y02－4＝0(x0≠±3)的一个
根，同理－
1 k
是方程(x02－9)x2－2x0y0x＋y02－4＝0(x0≠±3)的另
一个根．
所以k·－1k＝yx0022－ －49，得x02＋y02＝13，其中x0≠±3. 所以此时点P的轨迹方程为x02＋y02＝13(x0≠±3)． 因为P(±3，±2)满足x02＋y02＝13， 所以综上可知，点P的轨迹方程为x02＋y02＝13. 【答案】 (1)x92＋y42＝1 (2)x02＋y02＝13
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方法二(定义法)：∵∠OPC＝90°， ∴动点P在以M( 12 ，0)为圆心OC为直径的圆上，|OC|＝1，再 利用圆的方程得解．
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★状元笔记★ 定义法求轨迹方程 (1)适用条件 动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、 双曲线、抛物线的定义． (2)关键 定义法求轨迹方程的关键是弄清各种常见曲线的定义．
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2．注意事项 (1)轨迹与轨迹方程的区别：求轨迹方程只求出方程即可， 求轨迹时，首先求出轨迹方程，然后说明轨迹的形状、位置、 大小．若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的全面 性． (2)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对 应关系．检验可以从以下两个方面进行：一是方程的化简是否 是同解变形，二是是否符合题目的实际意义．
高考数学 备考资料 解析几何专题研究课件(1)
① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置 的几何要素． ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线 斜率计算公式． ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． ④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种 形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次 函数的关系． ⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． ⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求 两条平行直线间的距离．
2012
2013 2014
2015
第 20 题 平面向量坐标运算、动点 轨迹、直线与抛物线相切、点线距 离公式 第 20 题 圆的方程、抛物线定义、 直线与抛物线位置关系、点到直线 距离公式、平行直线 第 20 题 圆的方程、 圆与圆的内切、 第 4 题 双曲线离心率、 渐近线等性质 椭圆定义、直线与圆相切、点线距 第 8 题 直线与椭圆相交的中点问题 离公式、直线与椭圆相交及弦长 第 4 题 双曲线焦点到渐近线距离 第 20 题 椭圆方程及几何性质、直 第 10 题 抛物线方程与性质、 向量数乘 线与椭圆相交问题及三角形面积 第 5 题 双曲线方程及焦点坐标、 平面 第 20 题 抛物线的切线、直线与抛 向量数量积坐标运算 物线的位置关系、相交问题的方程 第 14 题 椭圆方程与顶点等性质、圆 组及韦达定理 的标准方程
考试说明 具体要求
直 线 与 方 程
相同
一、2015年全国卷考试大纲与说明
内 容 圆 与 方 程
空 间 直 角 坐 标 系
2015年全国高考考试大纲要求 ① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方 程． ② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关 系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系． ③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． ④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
高考数学复习：“ 排列、组合”高考题讲解名师课件
C
1 4
种，
其余 5 人中选 3 人分别去三个城市有 A53 种,
故共有
C
1 4
A53 =240 种．
6.（05 湖南）4 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学
必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 100 分, 答错得
－100 分；选乙题答对得 90 分,答错得－90 分. 若 4 位同学的总分为
排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ）
Ａ．1440 种
Ｂ．960 种
Ｃ．720 种
Ｄ．480 种
解: 5 名志愿组插入其中，且两位老人有左右顺序, 共有
2 4 A55 =960 种不同的排法，选 B.
3．（06 辽宁卷）C61 C62 C63 C64 C65 的值为（ B ）
f(n)=
.(答案用数字或 n 的解析式表示)
解：n
棱锥共
n+1
个顶点，任两个顶点连一条直线，共有
C2 n1
n(n 1) 2
条；
当 n=4 时表示的是四棱锥，可确定 4×2+2×2=12 对异面直线，即 f (4) 12 ；
而 f (n) n(n 2) n(n 3) (n 2) n(n 1)(n 2) . 因为 n 条侧棱有 n(n 2) 对，
与其他四个做全排列有 A55 种排法,而甲、乙、丙相对顺序固定有
A33 种，故共有
A55 A33
20 种排法.
9.（07 广东理）如果一个凸多面体是 n 棱锥，那么这个
凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这 些直线中共有 f (n) 对异面直线，则 f (4) ________ ；
高中组合问题ppt课件
在数据处理中的应用
数据分组
对数据进行分组时，可以应用组合计数方法来计算分组数。例如，对10个人进行分组， 可以分为C(10,3)组，即从10个人中选择3个人为一组的方法数。
数据排序
在数据处理中，经常需要对数据进行排序。组合计数方法可以用来计算不同排序方法的可 能性数量。例如，对3个数进行排序，可以分为C(3,3)/A(3,3)种不同的排序方法。
高中组合问题ppt课 件
目录
• 组合问题概述 • 组合的基本性质 • 组合问题的解决方法 • 组合问题的实际应用 • 练习与思考
01 组合问题概述
什么是组合
组合是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
组合数公式：C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]
组合与排列的区别
排列与组合的区别在于：排列不考虑 取出元素的顺序，而组合需要考虑取 出元素的顺序。
从排列与组合异同点来看，它们都是 从n个不同元素中取出m个元素，而排 列不考虑取出元素的顺序，组合需要 考虑取出元素的顺序。
组合问题的应用场景
• 组合在日常生活中有着广泛的应用，如彩票、博彩 、概率统计、密码学等领域。在解决实际问题时， 我们需要根据具体问题的要求和条件，灵活运用组 合的知识和方法来寻找最优解。
组合的乘法原理
总结词
组合的乘法原理是指当两个组合数相等且具有相同的元素时，它们可以相乘。
详细描述
设两个集合A和B，它们的元素个数分别为n和m。从A中选取k个元素，从B中选取k个元素进行组合， 得到的组合数为C(n,k)×C(m,k)。这个组合数等于C(n+m,2k)，即从n+m个元素中选出2k个元素的组 合数等于从n个元素中选出k个元素的组合数乘以从m个元素中选出k个元素的组合数。
曲线方程与轨迹问题专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义 (学生版)
目录曲线与轨迹问题 (2)【课前诊断】 (2)【知识点一：求曲线方程】 (4)【典型例题】 (4)考点一：定义法 (4)考点二：直接法 (5)考点三：相关点法 (6)考点四：参数法 (7)【小试牛刀】 (8)【巩固练习——基础篇】 (9)【巩固练习——提高篇】 (9)曲线与轨迹问题【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1． 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定2． 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能3． 直线10xky与圆221x y 的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切4． 设m ＞0，则直线)10l xy m与圆22:O x y m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切5． 直线l 与圆22240(3)x y x y a a 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(2,3)C ，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝06． 与圆22:420C x y x 相切，且在,x y 轴上的截距相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7． 过原点O 作圆2268200x y x y 的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ的长为________．8．已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝81和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切9．两圆222x y r ，222(3)(1)x y r 外切，则正实数r 的值是( )D ．510．圆22616480x y x y 与圆2248440x y x y 的公切线条数为( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条11．圆22460x y x y 和圆2260x y x 交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0【知识点一：求曲线方程】一、求曲线方程的常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）相关点法；（4）参数法；【典型例题】考点一： 定义法例1. 已知ABC Rt ∆中，C ∠为直角，且),0,1(),0,1(B A -求满足条件的C 的轨迹方程。
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
高中数学解析几何曲线系
高中数学解析几何曲线系解析几何是高中数学的重要部分，它以坐标系为工具，通过方程研究图形的形状和性质。
在解析几何中，曲线系是一系列具有相似特征或相互关联的曲线的集合。
本文将详细探讨高中数学中常见的几种曲线系。
一、直线系直线系是由无数条直线组成的集合，这些直线具有某种共同的性质。
常见的直线系有：1.平行直线系：具有相同斜率的直线集合。
2.垂直直线系：具有互为负倒数的斜率的直线集合。
3.同一直线上的直线系：这些直线共享一个或多个点。
二、圆系圆系是由具有相似特征或相互关联的圆组成的集合。
常见的圆系有：1.同心圆系：具有相同圆心的圆的集合。
2.等径圆系：具有相同半径的圆的集合。
3.互切圆系：两两相切的圆的集合。
三、椭圆系椭圆系是由具有相似特征或相互关联的椭圆组成的集合。
常见的椭圆系有：1.同心椭圆系：具有相同焦点的椭圆的集合。
2.等轴椭圆系：具有相同长轴和短轴的椭圆的集合。
3.互相似椭圆系：形状相似、大小不同的椭圆的集合。
四、双曲线系双曲线系是由具有相似特征或相互关联的双曲线组成的集合。
常见的双曲线系有：1.同心双曲线系：具有相同焦点的双曲线的集合。
2.等轴双曲线系：具有相同实轴和虚轴的双曲线的集合。
3.互相似双曲线系：形状相似、大小不同的双曲线的集合。
五、抛物线系抛物线系是由具有相似特征或相互关联的抛物线组成的集合。
常见的抛物线系有：1.同心抛物线系：具有相同焦点的抛物线的集合。
2.等轴抛物线系：具有相同对称轴和顶点的抛物线的集合。
总结：高中数学中的解析几何曲线系主要包括直线系、圆系、椭圆系、双曲线系和抛物线系。
了解这些曲线系的性质和特点，有助于我们更好地理解几何图形，提高解题能力。
高考数学解析几何专题-第01讲 曲线与方程
高考数学解析几何专题第01讲曲线与方程知识与方法解析几何主要研究两方面的内容:一是根据条件求曲线的方程(即轨迹方程)，二是根据曲线方程,研究曲线的性质.1.求轨迹方程求曲线的轨迹方程是高考命题的热点,其一般步骤为:建(坐标系)、设(动点坐标)、限(限制条件,点满足的条件)、代(坐标代入)、化(化简整理),最后检验轨迹的纯粹性与完备性.即:①建系;②设点;③列式;④化简;⑤检验.求轨迹方程的常用方法:已知曲线类型——待定系数法未知曲线类型——①定义法:②直接法:③代入法;④交轨法;⑤参数法.2.研究曲线的性质主要是图形形状、对称性、范围、最值等.典型例题【例1】已知点集{(,)|}M x y xy =，则平面直角坐标系中区域M 的面积是（）A ．1B ．34+πC ．πD ．22+π【例2】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C ;③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.① B.② C.①②D.①②③【例3】在数学中有这样形状的曲线:22||||x y x y +=+.关于这种曲线，有以下结论：①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2;③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5.其中正确的结论有（）A.①③B.②③C.①②D.①②③【例4】（多选题）双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -,2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双扭线C .已知点()00,P x y 是双扭线C 上一点，下列说法中正确的有（）A.双扭线C 关于原点O 中心对称;B.022a ay - ;C.双扭线C 上满足12PF PF =的点P 有两个;D.||PO .【例5】（多选题）在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则（）A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈--C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的最近距离为32【例6】（多选题）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美，对称美，和谐美的结合产物，曲线C ：22322()16x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（）A .曲线C 经过5个整点（即横，纵坐标均为整数的点）B .曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C .曲线C 围成区域的面积大于4πD .方程22322()16(0)x y x y xy +=>表示的曲线C 在第一象限和第三象限【例7】(双空题)曲线C 是平面内到定点0(1)A ，的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是_______；又已知点()1B a ，(a 为常数)，那么PB PA +的最小值()d a =______．【例8】如图所示,直线1l 和2l 相交于点12,M l l ⊥,点1N l ∈,以A B 、端点的曲线段C 上任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若AMN ∆是锐角三角形,3AM AN ==且||6BN =,建立适当的坐标系,求曲线C 的方程.【例9】已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为12,A A ，点1121(,),(,)P x y Q x y -是双曲线上不同的两个动点，求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程.【例10】如图,设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点,已知,OA OB OM AB ⊥⊥,则点M 的轨迹方程为（）A.2220x y px +-=(原点除外)B.2220x y py +-=（原点除外)C.2220x y px ++=(原点除外)D.2220x y py ++=(原点除外)强化训练1.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（）A.B.3C. D.42.由曲线2222x y x y +=+围成的图形面积为（）A.24π+B.28π+C.44π+ D.48π+3.如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（）A ．22(||1)(1)0x y x y --×-+=B 22(1)0x y -+=C ．(||1)0x y --D 0=4．方程1x -=所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆5.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14；③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大为18；④四叶草面积小于4π.其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.①③④D.①②④6.曲线C 为：到两定点)0,2(-M 、)0,2(N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹.以下结论正确的个数为（）(1)曲线C 一定经过原点；(2)曲线C 关于x 轴、y 轴对称；(3)△MPN 的面积不大于8；(4)曲线C 在一个面积为64的矩形范围内.A.1 B.2 C.3 D.47.双曲线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xoy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 的距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C .已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有()①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO .A.①②B.①②④C.②③④D.①③8.已知点(A B ,动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ⋅⋅=,则点P 的轨迹方程为.9.设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=-+=中的一个内切,另一个外切.求C 的圆心轨迹L 的方程.10.已知椭圆22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，Q 是椭圆外的动点，满足1||2F Q a =，点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅= ，2||0TF ≠，求点T 的轨迹C 的方程.11.在平面直角坐标系xO y 中,抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点、 A B 满足A O B O ^(如图所示）,求A O B D 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.参考答案【例1】已知点集{(,)}M x y xy =，则平面直角坐标系中区域M 的面积是（）A ．1B ．34+πC ．πD ．22+π【答案】D【解析】由题意，当0xy ≤时，只需满足21x ≤，21y ≤；当0xy >xy 两侧平方，整理得221x y +≤，综上可得集合M 对应的图象，如图所示，所以其面积为2121121242S =创+创=+ππ．【例2】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:221||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C ;③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.① B.② C.①②D.①②③【答案】C【解析】由221||x y x y +=+得，22||1y x y x -=-，22||3124x x y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，23104x - ，243x ，所以x 可为的整数有0，1-，1，从而曲线C ：221||x y x y +=+恰好经过(0,1)，(0,1)-，(1,0)，(1,1)，(1,0)-，(1,1)-六个整点，结论①正确.由221||x y x y +=+得，222212x y x y +++，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点结论②正确.如图所示，易知(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1,)C ，(0,1)D ，四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.【例3】在数学中有这样形状的曲线:22||||x y x y +=+.关于这种曲线，有以下结论：①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2;③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5.其中正确的结论有（）A.①③B.②③C.①②D.①②③【答案】A 【解析】22222222111,(0,0)222111,(0,0)222111,(0,0)222111,(0,0)22200x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫-+-=>>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪-++=>< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫++-=<>⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+++=<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪==⎪⎪⎩且如图，图象由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点，①曲线C 中，1212,22x ⎡++∈-⎢⎣⎦，1212,22y ⎡+∈-⎢⎣⎦,经过的整点有:(0,0),(1,1),(1,0),(1,1)-,(1,1)-,(1,0)-,(1,1)--,(0,1),(0,1)-共9个，命题①正确;②如图，曲线上任意两点距离范围为(0,4)R ，即两点距离范围为(0,22)，命题②错误;③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为S ，2214(2)4252S R R ππ=⨯+=+>，命题(3)正确.故选：A.【例4】（多选题）双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a -,2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双扭线C .已知点()00,P x y 是双扭线C 上一点，下列说法中正确的有（）A.双扭线C 关于原点O 中心对称;B.022a ay - ;C.双扭线C 上满足12PF PF =的点P 有两个;D.||PO 2a .【答案】ABD【解析】对A ，设动点(,)C x y ，由题意可得C 的轨迹方程为2222()()2x a y x a y a -+++.把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程，显然成立；对B ，因为()00,P x y ，故12121212011sin 22PF S PF PF F PF F F y Γ=⋅⋅∠=⋅△.又212PF PF a ⋅=，所以2120sin 2a F PF a y ∠=⋅，即012sin 22a a y F PF =∠ ，故022a ay -.故B 正确；对C ，若12PF PF =，则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上．故此时00x =，代入2222()()2x a y x a y a -+++，可得00y =，即(0,0)P ，仅有一个，故C 错误；对D ，因为12POF POF ∠+∠=π，故12cos cos 0POF POF ∠+∠=，222222112212||||02||2||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅因为12OF OF a ==，212PF PF a ⋅=，故2222122||2OP a PF PF +=+.即()2221212||22OP a PF PF PF PF +=-+⋅，所以()22122||OP PF PF =-.又12122PF PF F F a -= ，当且仅当P ，1F ，2F 共线时取等号．故()222122||(2)OP PF PF a =- ，即22||2OP a，解得||2OP a ，故D 正确.故选：ABD .【例5】（多选题）在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则（）A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈--+C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的最近距离为32【答案】ACD【解析】当0x >，0y >时，曲线22:4224C x y x y +=++即22(1)1142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，将2214x y +=中心平移到11,2⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限的部分；因为点(,)x y -，(,)x y -，(,)x y --都在曲线C 上，所以曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出图象如图所示:对于选项A ：由图知曲线C 关于原点对称，故选择项A 正确；对于选项B ：令2214x y +=中令0y =得2x =，向右平移一个单位可得横坐标为3，根据对称性可知33x -≤≤，故选项B 不正确；对于选项C ：令2214x y +=中0x =可得1y =，向上平移12个单位可得纵坐标最大值为32，曲线C 39322⨯=，所以曲线C 围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C 正确；对于选项D ：令22(1)1()142x y -+-=中0x =，可得122y =±，所以到点1(0,)2的最近D 正确；综上所述，选ACD .【例6】（多选题）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美，对称美，和谐美的结合产物，曲线C ：22322()16x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（）A .曲线C 经过5个整点（即横，纵坐标均为整数的点）B .曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C .曲线C 围成区域的面积大于4πD .方程22322()16(0)x y x y xy +=>表示的曲线C 在第一象限和第三象限【答案】BD【解析】把2x =，2y =代入曲线C ，可知等号两边成立，所以曲线C 在第一象限过点(2,2)，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M对于A 选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1)1，，(1)2，和(2)1，代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0)0，，即A 错误；对于B 选项，因为222(0,0)x y xy x y +≥>>，所以222x y xy +≤，所以22222322222()()16164()4x y x y x y x y ++=≤⨯=+，所以224x y +≤，即B 正确．对于C 选项，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即C 错误；对于D 选项，因为0xy >，所以x 与y 同号，仅限与第一和三象限，即D 正确．故选：BD ．【例7】(双空题)曲线C 是平面内到定点0(1)A ，的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是_______；又已知点()1B a ，(a 为常数)，那么PB PA +的最小值()d a =______．【答案】(0,3)222, 1.41,4, 1.41,1 <2, 1. a a a a a a a a -+≤-≥+-≤-⎨⎪--<<⎪⎩或【解析】(1)设点P 坐标)为()x y ，，因为动点P 到定点0(1)A ，的距离与到定直线1x =-的距离之和为3222(1)(1)x y x -++，当0x ＝时，代入求得3y =y 轴交点为(0,3).（2）当312x -≤≤-时，曲线C 可以化为21015y x =+当312x -<≤时，曲线C 可以化为223y x =-+，令1y ＝，则10151x ＋＝或231x －＋＝，解得14x ＝－．或1x ＝；①当 1.4a 或1a 时,PB PA BA +≥,所以22()||(1)122d a AB a a a ==-+=-+;②当11a -<<时当直线1y =与232312y x x ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭相交时,交点P 满足PB PA +取得最小值因为抛物线准线方程为2x =,所以直线1y =与准线交点坐标为(2,1),此时()2d a a =-;③当 1.41a -<- 时当直线1y =与23101512y x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭相交时,交点P 满足PB PA +取得最小值此为抛物线准线方程为4x =所以直线1y =与准线交点坐标为(4,1)-,此时()4d a a =+.综上所述, 1.41,()4, 1.41,2,1 1.a a d a a a a a -=+-<≤-⎨⎪--<<⎪⎩或者 【例8】如图所示,直线1l 和2l 相交于点12,M l l ⊥,点1N l ∈,以A B 、端点的曲线段C 上任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若AMN ∆是锐角三角形,3AM AN ==且||6BN =,建立适当的坐标系,求曲线C 的方程.【答案】28(14,0)y x x y = .【解析】解法1:已知曲线类型,-待定系数法1l 为x 轴,线段MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系如图所示,依题意知:曲线段C是以点N 为焦点,2l 为准线的抛物线的一段,其中A B 、分别为C 的端点.设曲线段C 的方程为22(0)(0)A B y px p x x x y =>≤≤>，，其中A x ，B x 分别为A 、B 横坐标，p MN =，∴(0)2p M -，(0)2pN ，，由AM ，=3AN 得：2()2172A A p x px ++= ①2()292A A px px -+= ②解由①、②组成的方程组得4A x p =，代入①并由0p >解得41A p x =⎧⎨=⎩或22Ap x =⎧⎨=⎩，因为AMN △是锐角三角形，∴2A px >，故应舍去22Ap x =⎧⎨=⎩，所以4p =，1A x =.由点B 在曲线段C 上，得42B px BN =-=，综上，得曲线段C 的方程为28(140)y x x y =≤≤>，.解法2：利用抛物线定义求标准方程以1l 为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系如图所示，依题意知：曲线段C 以点N 为焦点，2l 为准线的抛物线的一段，过点A 作1l ，2l 垂线，垂足分别为H 、1A ，由抛物线定义可知13AA AN ==，则1AH A M ====1HN ===，13MH AA ==，所以314MN MH HN =+=+，即4p =，故抛物线的方程为28y x =.由||3,||6AN BN ==，结合抛物线定义，得3,622A B p px x +=+=，所以1,4A B x x ==.综上，得曲线C 的方程为24,08(1)x y y x >=≤≤.【注】求曲线方程时，为了使得最终的结果具有简单的形式，需要建立适当的坐标系，一般要考虑两点:①图形的对称性;②使尽可能多的点落在坐标轴上.【例9】已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为12,A A ，点1121(,),(,)P x y Q x y -是双曲线上不同的两个动点，求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程.【答案】221(02x y x +=≠且x ≠【解析】由题设知112||(x A A >，则有1:A P y x =+①，2:A Q y x =②解法1：联立①②解得交点坐标为11122,x y x x ==，即1122,x y x x ==③，则0,||x x ≠<，而点11(,)P x y 在双曲线上，所以221112x y -=，将③式带入上式，整理得所求轨迹E 的方程为221(02x y x +=≠且x ≠.解法1：设(,)M x y 是直线1A P 与2A Q 交点，①②两式相乘得222121(2)2y y x x -=--（3）而点11(,)P x y 在双曲线上，所以221112x y -=，即221112x y =-，代入（3）式整理得2212x y +=.因为,P Q 是双曲线上不同的两点，所以他们与点12,A A 均不重合，故点12,A A 不在轨迹E 上.过点(0,1)，以及2A 的直线l的防尘为0x +=，解方程组2212x x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩得0x y ==.所以直线l与双曲线只有唯一交点2A ，故轨迹E 不经过点(0,1)，同理轨迹E 也不经过点(0,1)-.综上，轨迹E 的方程为221(02x y x +=≠且x ≠.【注】用交轨法求曲线方程时，要特别注意变量的取值范图.【例10】如图,设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点,已知,OA OB OM AB ⊥⊥,则点M 的轨迹方程为（）A.2220x y px +-=(原点除外)B.2220x y py +-=（原点除外)C.2220x y px ++=(原点除外)D.2220x y py ++=(原点除外)【答案】A【解析】当斜率存在时,设(,)M x y ,直线AB 的方程为y kx b =+,由OM AB ⊥得x k y=-,联立22y px =和y kx b =+,消去y 得222(22)0k x x kb p b +-+=,所以2122b x x k=,所以()()()22121212122pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=,由OA OB ⊥得12120x x y y +=,所以2220b pbk k +=,所以2b kp =-,所以(2)y kx b k x p =+=-,把xk y=-代入得2220(0)x y px y +-=≠,当斜率不存在时,设直线AB 的方程为()()00000,,,,x x A x y B x y =-,由OM AB ⊥得点M 在x 轴上,即()0,0M x ,∵2200,0OA OB x y ⊥∴-=,又点()00,A x y 在抛物线上,故2002y px =,整理得02x p =,故点(2,0)M p ,满足方程2220x y px +-=,综上所述：动点M 的轨迹方程为2220x y px +-=（除原点外)故选：A .强化训练1.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（）A. B.3C. D.4【答案】B【解析】422x y +=的参数方程为：2x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线是关于点(0,0)中心对称的图形，所以曲线422x y +=上点00(,)x y 到原点距离为直径长的一半，d ====当2cos 4θ=时，d 取得最大值为32，所以直径为3.2.由曲线2222x y x y +=+围成的图形面积为（）A.24π+ B.28π+ C.44π+ D.48π+【答案】D【解析】由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当0x ≥，0y ≥时，解析式为22(1)(1)2x y -+-=，故可得此曲线所围成的图形由一个边长为2的半圆组成，所围成的面积是214842ππ+⨯⨯⨯=+，故选D .3.如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（）A ．22(||1)(1)0x y x y --×-+=B22(1)0x y -+=C．(||1)0x y --=D=【答案】C【解析】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A 选项，等价于||10x y --=或2210x y -+=，表示折线||1y x =-的全部和双曲线，故错误；B 选项，等价于22||1010x y x y ì--ïí-+=ïî≥或||10x y --=，又||10x y --=表示折线||1y x =-的全部，故错误；C 选项，等价于22||1010x y x y ì--ïí-+ïî=≥或2210x y -+=，\22||1010x y x y ì--ïí-+ïî=≥表示折线||1y x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，2210x y -+=表示双曲线221x y -=，符合题中的图象，故C 正确；D 选项，等价于22||1010x y x y ì--ïí-+ïî=≥或22||1010x y x y ì--ïí-+ïî≥=，22||1010x y x y ì--ïí-+ïî=≥表示折线||1y x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，和22||1010x y x y ì--ïí-+ïî≥=表示双曲线在x 轴正文的部分，故错误．4.方程1x -=所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆【答案】A【解析】1x -=⇒22(1)(1)x y +--＝１,表示一个圆,选A.5.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14；③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大为18；④四叶草面积小于4π.其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.①③④D.①②④【答案】C 【解析】①当x 变为－x 时，22322()x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称；当y 变为－y 时，22322()x y x y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称；当y 变为x 时，22322()x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y ＝x 轴对称；当y 变为－x 时，22322()x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y ＝－x 轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；②因为22322()x y x y +=，所以22222322()2x y x y x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，所以2214x y +≤，所以2212x y +≤，取等号时2218x y ==，所以最大距离为12，故错误；③设任意一点P （x ，y ），所以围成的矩形面积为xy ，因为22322()x y x y +=，所以222233()(2)x y x y xy =+≥，所以18xy ≤，取等号时42==y x ，所以围成矩形面积的最大值为81，故正确；④由②可知4122≤+y x ，所以四叶草包含在圆4122=+y x 的内部，因为圆的面积为：441ππ=⋅=S ，所以四叶草的面积小于4π，故正确.故选:C.6.曲线C 为：到两定点)0,2(-M 、)0,2(N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹.以下结论正确的个数为（）(1)曲线C 一定经过原点；(2)曲线C 关于x 轴、y 轴对称；(3)△MPN 的面积不大于8；(4)曲线C 在一个面积为64的矩形范围内.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】设点P 的坐标为),(y x ，由题意可得16)2()2(2222=+-⋅++y x y x ，对于命题(1)，将原点坐标代入方程得16422≠=⨯，所以命题(1)错误；对于命题(2)，点P 关于x 轴、y 轴的对称点分别为),(1y x P -，),(2y x P -，∵16)2()2()()2()()2(22222222=+-⋅++=-+-⋅-++y x y x y x y x ∵16)2()2()2()2(22222222=++⋅+-=+--⋅++-y x y x y x y x 则点1P ,2P 都在曲线C 上，所以，曲线C 关于x 轴、y 轴对称，命题(2)正确；对于命题(3)，设a PM =，b PN =，θ=∠MPN ,则16=ab ，由余弦定理得21321623216216cos 2222=-≥-+=-+=ab b a ab b a θ，当且仅当4==b a 时等号成立，则θ为锐角，所以，23cos 1sin 2≤-=θθ，则△MPN 的面积为834231621sin 21<=⨯⨯≤=∆θab S MPN 命题(3)正确；对于命题(4)，4)2()2()2()2(162222222-=-⋅+≥+-⋅++=x x x y x y x ，可得164162≤-≤-x ，得202≤x ，解得5252≤≤-x ，由（3）知，11||||4||22MPN S MN y y ∆=⋅=⨯⨯≤，得||y ≤曲线C 在一个面积为64=<的矩形内，命题（4）正确.因此，正确的命题序号为（2）（3）（4）.故选C.7.双曲线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xoy 中，把到定点1(,0)F a -，2(,0)F a 的距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C .已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有()①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO .A.①②B.①②④C.②③④D.①③【答案】B【解析】对①，设动点(,)C x y ，由题可得C 的轨迹方程2a =，把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程显然成立.故①正确；对②因为00(,)P x y ，故12121212011||||sin ||||.22PF F S PF PF F PF F F y ∆=⋅∠=又212||||PF PF a ⋅=，所以2120sin 2||a F PF a y ∠=,即012||sin 22a ay F PF =∠≤，故022a ay-≤≤，②正确.对③，若12||||PF PF =，则00(,)P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上.故此时00x =，代入2a =，可得00y =,即(0,0)P ,仅有一个.故③错误;对④,因为12POF POF π∠+∠=,故12cos cos 0POF POF ∠+∠=,即222222112212||||02||2||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅，因为21212,OF OF a PF PF a ==⋅=,故2222122||2OP a PF PF +=+.即()22212122||22OP a PF PF PF PF +=-+⋅,所以()22122||OP PF PF =-.又1212|2PF PF F F a -= ,当且仅当12,,P F F 共线时取等号.故()222122||(2)OP PF PF a =- ,即22||2OP a ,解得||OP .故④正确.故①②④正确.故选：B8.已知点(A B ,动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ⋅⋅=,则点P 的轨迹方程为.【答案】2213x y +=【解析】由已知得,1cos ||||12PA PB θ+⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭,即||||||||cos 2PA PB PA PB θ⋅+⋅⋅=由余弦定理得,222||||||2||||cos AB PA PB PA PB θ=+-⋅⋅,即228||||2(2||||)PA PB PA PB =+--⋅整理得2(||||)12,||||PA PB PA PB +=+=,故P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆,其中1a c ==,故所求轨迹方程为2213x y +=.9.设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切,另一个外切.求C 的圆心轨迹L 的方程.【答案】2214x y -=【解析】（1）设(F '，F ，圆C 的半径为r ，则||2)(2)||||||4(CF r CF r +--==<'-，C ∴的圆心轨迹L 是以F '，F 为焦点的双曲线，2a =，c =，1b =，C ∴的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=.10.已知椭圆22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，Q 是椭圆外的动点，满足1||2F Q a =，点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅= ，2||0TF ≠，求点T 的轨迹C 的方程.【答案】222x y a +=【解析】方法一：设点T 的坐标为(,)x y .当||0PT = 时，点(,0)T a 和点(,0)a -在轨迹上，当||0PT ≠ 且2||0TF ≠ 时，由20PT TF ⋅= ，得2PT TF ⊥ .又2||||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点.在12QF F ∆中，11||||2OT F Q a ==，所以有222x y a +=，综上所述，点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=.方法二：设点T 的坐标为(,)x y ，当||0PT = 时，点(,0)T a 和点(,0)a -在轨迹上，当||0PT ≠且2||0TF ≠时，由20PT TF ⋅= ，得2PT TF ⊥ ，又2|||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点.设点Q的坐标为(),x y ⅱ,则22x c x y y ìï¢+ï=ïïíï¢ï=ïïïî,因则22x x c y y ìï¢=-ïíï¢=ïî(1)由12F Q a =uuu r,得()2224x c y a ¢¢++=(2)将(1)代入(2),可得222x y a +=.综上所述,点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=.11.在平面直角坐标系xO y 中,抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点、 A B 满足A O B O ^(如图所示）,求A O B D 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.【答案】2233y x =+.【解析】设A O B D 的重心为()()1122(,),,,,G x y A x y B x y ,则121233x x x y y y ìï+ï=ïïï¼íï+ï=ïïïî(1)∵1O A O B O A O B k k ^\×=-,即12120,.(2)x x y y +=技又点,A B 在抛物线上,有221122,y x y x ==,代入（2）化简得121x x =-∴()()2222212121212111222(3)3333333y y y x x x x x x x x +轾==+=+-=´+=+犏犏臌.。
高考数学一轮复习经典课件——双曲线
32m－9n＝1 则方程组化为 81 25m－ n＝1 16
，
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m＝ 1 16 解得 1 n＝ 9
a ＝16 ，即 2 b ＝9
2 2 2
，
y x 故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 16 9
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•
授人以渔
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解析
∵双曲线焦点在 y 轴上，所以设双曲线的标准
2 2
y x 方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)， a b 将 P1，P2 点的坐标代入方程
(－4 2) －3 ＝1 b a 9 ( ) 25－ 4 ＝1 b a
2 2 2 2 2 2 2
，
1 1 令 m＝ 2，n＝ 2， a b
• (4)根据双曲线的某些几何性质求双曲线 方程，一般用待定系数法转化为解方程 (组)，但要注意焦点的位置，从而正确的 选择方程的形式，要善于利用双曲线的对 称性简化作图步骤和减少运算量，记住口 诀：“巧设方程立好系，待定系数求 a ，b； 结合图形用性质，避免繁锁有定义．”
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2 2
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3．(2010²辽宁卷)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(
• 答案
A. 2 C. 3＋1 2
)
B. 3 D.
D
5＋1 2
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解析
b 直线 FB 的斜率为－ ， 与其垂直的渐近线的斜率 c
双曲线
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→ → → 此时，|OA＋OB|≠|AB|.
→ → → 当 x＝－ 2时，同理可知，|OA＋OB|≠|AB|.
(ii)若直线 l 不垂直于 x 轴，设 l 的方程为 y＝kx＋m， y＝kx＋m， 由 2 y2 得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0. x － 3 ＝1 当 l 与 C1 相交于 A，B 两点时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， m2＋3 2km 则 x1，x2 是上述方程的两个实根，从而 x1＋x2＝ ， x x ＝ . 3－k2 1 2 k2－3 3k2－3m2 于是 y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝ 2 . k －3 y＝kx＋m， 2 2 由y x 得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 因为直线 l 与 C2 只有一个公共点， ＋ ＝ 1 3 2 所以上述方程的判别式 Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0. 化简，得 2k2＝m2－3. m2＋3 3k2－3m2 －k2－3 → → 因此OA·OB＝x1x2＋y1y2＝ 2 ＋ 2 ＝ 2 ≠0， k －3 k －3 k －3 → → → → → → → → → → → → 于是OA2＋OB2＋2OA·OB≠OA2＋OB2－2OA·OB，即|OA＋OB|2≠|OA－OB|2. → → → 故|OA＋OB|≠|AB|. 综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线． x2 y2 例 2．[2014 福建] 已知双曲线 E： 2－ 2＝1(a>0，b>0)的两条 a b 渐近线分别为 l1：y＝2x，l2：y＝－2x. (1)求双曲线 E 的离心率． (2)如图，O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1，l2 于 A，B 两 点(A，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为 8.试探究：是 否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在， 求出双 曲线 E 的方程；若不存在，说明理由． b 解： (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y＝2x， y＝－2x， 所以 ＝ a 2， c2－a2 c 所以 ＝2，故 c＝ 5a，从而双曲线 E 的离心率 e＝ ＝ 5. a a x2 y2 (2)由(1)知，双曲线 E 的方程为 2－ 2＝1.设直线 l 与 x 轴相交于 a 4a 点 C. 当 l⊥x 轴时，若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则|OC| ＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB 的面积为 8，
y＝kx＋m， 2m 2m B(x2，y2)．由 得 y1＝ ，同理得 y2＝ . 2 － k 2 ＋k y＝2x
2m 2m m 1 1 2 － － · 由 S△OAB＝ |OC|·|y1－y2|，得 ＝8，即 m2＝4|4－k |＝4(k2－4)． 2 2 k 2－k 2＋k y＝kx＋m， 2 2 由x y 得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0. － ＝ 1 4 16 因为 4－k2<0，所以 Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)． 又因为 m2＝4(k2－4)，所以 Δ＝0，即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点． x2 y2 因此，存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为 － ＝1. 4 16 方法二：(1)同方法一． x2 y2 (2)由(1)知，双曲线 E 的方程为 2－ 2＝1. a 4a 1 1 设直线 l 的方程为 x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得－ <m< . 2 2
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第1期 解析几何中的组合曲线问题
解析几何是高中数学的重要知识， 解析几何中的思想和方法对提升学生的能力， 培养学 生的数学素养有着不可替代的重要的作用， 也是每年各地高考必考的重点内容。 就是因为每 年都考，各地都考，对于高考命题老师来讲命题难度越来来大，单一就某一曲线设计新的问 题已越来越困难，所以就组合曲线提出新问题来设计高考题，就应运而生，也将是高考命题 的热点。 解析几何中的组合曲线形式一般有两种： 1.多种曲线的直接叠加的组合曲线； 2.多种曲线的分段构成的组合曲线。 解析几何中的组合曲线问题的解决方法， 除了原来解决单一曲线的知识与方法外， 还应 注意不同曲线间的关系，这是解决组合曲线的关键。 一、多种曲线的直接叠加的组合曲线 x2 例 1．[2014 湖南] 如图所示，O 为坐标原点，双曲线 C1： 2－ a1 y2 y2 x2 2 ＝ 1(a1 ＞ 0 ， b1 ＞ 0) 和 椭圆 C2 ： 2 ＋ 2 ＝ 1(a2 ＞ b2 ＞ 0) 均 过点 b1 a2 b2 P 2 3 ，且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形 3 ，1
是面积为 2 的正方形． (1)求 C1，C2 的方程． (2)是否存在直线 l，使得 l 与 C1 交于 A，B 两点，与 C2 只有一 → → → 个公共点，且|OA＋OB|＝|AB| ？证明你的结论. 解： (1)设 C2 的焦距为 2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，从而 a1＝1，c2＝1. 因为点 P 2 y2 2 3 2 3 － 12＝1，故 b2＝3. 2 ，1 在双曲线 x －b2＝1 上，所以 1 3 3 b1 1
2
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1 1 x2 y2 所以 |OC|·|AB|＝8，因此 a·4a＝8，解得 a＝2，此时双曲线 E 的方程为 － ＝1. 2 2 4 16 x2 y2 若存在满足条件的双曲线 E，则 E 的方程只能为 － ＝1. 4 16 x2 y2 以下证明：当直线 l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E： － ＝1 也满足条件． 4 16 m 设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，依题意，得 k>2 或 k<－2，则 C － k ，0.记 A(x1，y1)，
由椭圆的定义知：2a2＝ 于是 a2＝
2 3 ＋（1－1）2＋ 3
2
2 3 ＋（1＋1）2＝2 3. 3
2
2
2 2 3，b2 2＝a2－c2＝2.故
y2 y2 x2 C1，C2 的方程分别为 x － ＝1， ＋ ＝1. 3 3 2
(2)不存在符合题设条件的直线． (i)若直线 l 垂直于 x 轴，因为 l 与 C2 只有一个公共点， 所以直线 l 的方程为 x＝ 2或 x＝－ 2. → → → 当 x＝ 2时，易知 A( 2， 3)，B( 2，－ 3)，所以|OA＋OB|＝2 2，|AB|＝2 3.