平方根课件
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平方根ppt课件
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。因此，斜边的平方根 是直角边的长度与另一条直角边的长 度之间的比例中项。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
人教版七年级数学下册《平方根》课件ppt
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即± 1.21=± 1.1 .
三、平方根的数学符号表示 一个非负数的平方根的表示方法：
a 表示a的正的平方根(算术平方根)
a 表示a的负的平方根
记作 a
a﹙a≥0﹚的平方根表示为 a
说一说
7
7
7 各表示什么意义？
表示7的正 的平方根 （即算术平 方根）
121
3. 填空
（1）32= 9 ，（－3）2= 9 ；
（2）
2 3
2
4 9
，
2
2
3
4 9
；
（3）0.82= 0.64 ，（－0.8）2= 0.64 .
思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？
问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
由于 3 2 =9 ，
所以这个数是3或-3.
判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）49的平方根是7； （2）2是4的平方根； （3）-5是25的平方根； （4）64的平方根是±8； （5）-16的平方根是-4．
例1 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4， 则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0， 解得a＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
不正确，是 4. 不正确，是 ±4.
4. 分别求 64，4891 ，6.25的平方根.
解: 64的平方根是8与-8，4891
的平方根是
7 9
与
-
7 9
，6.25的平方根是2.5与-
2.5.
5.求下列各式的值：
（1） 144 （2） 0.81
《平方根》课件
平方根的性质
唯一性
对于给定的非负实数a，其平方根是唯一的。
非负性
对于给定的非负实数a，其平方根是非负的。
反身性
对于任何实数a，有a^2=(√a)^2。
平方根的符号
√
这是平方根的符号，表示求一个数的 平方根。
±
这个符号表示一个数有两个平方根， 一个是正数，一个是负数。例如，对 于-4，其平方根是±2i。
03
平方根的应用
平方根在几何中的应用
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即 $a^2 + b^2 = c^2$，其中 $c$ 是斜边长度。
圆的面积和周长
在圆中，半径的平方等于圆的面积和周长的平方，即 $r^2 = \pi \times r^2$。
平方根在代数中的应用
代数方程
在解代数方程时，平方根可以用来求 解方程的根，例如 $x^2 - 4 = 0$ 的 解为 $x = \pm 2$。
04
平方根的求解方法
直接开平方法
总结词
直接开平方法是求解平方根最常用的方 法之一。
VS
详细描述
通过将被开方数移到等式的右边，然后对 方程进行开平，即可求得平方根。
因式分解法
总结词
因式分解法是利用平方差公式或完全平方公式将被开方数进行因式分解，从而简化求解 过程的方法。
详细描述
首先将被开方数进行因式分解，然后将因式代入到平方根的定义中，即可求得平方根。
平方根的乘法运算
总结词
乘法分配律
详细描述
在平方根的乘法运算中，可以利用乘法分配律进行计算。例如，对于$\sqrt{2} \times \sqrt{2}$，结 果为$2$。
平方根的除法运算
《平方根》实数精品课件
定义描述数学表达式存在的条件030201对于任意实数a，它的平方根√a是非负的，即√a≥0。
非负性平方与开平方互逆乘积的平方根商的平方根对于非负数a，有(√a)²=a；反之，若a≥0，则√a²=a。
对于正实数a和b，有√(ab)=√a·√b。
对于正实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
与其他运算的关系在数学中的应用平方根在实数系中的位置1 2 3非负数有平方根平方与开平方互为逆运算平方根的计算方法平方根的运算规则数学函数计算误差控制最优化算法数值计算中的平方根应用物理学工程学经济学金融学平方根在实际问题中的应用绝对值联系对于任意实数a，其平方根的平方等于a的绝对值，即sqrt(a)^2 = |a|。
这一点揭示了平方根与绝对值之间的紧密关系。
方程中的应用平方根在解一元二次方程时发挥着关键作用。
通过平方根的性质，我们可以求解形如ax^2+bx+c=0的方程，其中涉及到平方根的求解。
平方根与绝对值、方程的联系定义区别运算性质联系平方根与开方、立方的区别与联系平方根的复数定义：在复数系中，任意非零复数z都可以表示为r(cosθ +isinθ)，其平方根可以定义为sqrt(r)(cos(θ/2) + isin(θ/2))。
这一定义将平方根的概念扩展到了复数领域。
多值性问题：在复数系中，由于存在多值性问题，一个给定的复数可能有多个平方根。
这与实数范围内的平方根存在区别，需要特别注意。
通过以上内容，我们可以更深入地理解平方根与其他数学概念之间的联系与区别，以及在复数系中的扩展。
这些知识将有助于我们更好地掌握平方根的概念和应用。
平方根在复数系中的扩展平方根的课堂教学策略利用直观模型激活学生的前知注重实际应用逐步抽象化从具体的数值和实例出发，逐渐引导学生抽象出平方根的一般概念和解题基于实际问题引入讲述古代数学家如何发现和使用平方根的故事，增加学生对这一知识点的兴趣。
数学史话引入案例分析平方根的引入与案例分析学生易错点及注意事项易错点101易错点202注意事项03。
七年级数学下册教学课件《算术平方根》
（2） 9 3； （3） 22 2. 25 5
3. （1）若一个数的算术平方根是 13 ，则这个数 是___1_3___.
4
（2）① 16 =___4__， 16的算术平方根是___2___；
② （ - 5）2 =___5___，（ - 5）2 的算术平方根是 ___5___，（-5）2的算术平方根是____5___.
概念
提取 ( 0 )2 = 0 ，规定：0 的算术平方根是 0.
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，
即 x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平
方根.
(非负数 x )2 = a
非负数 x 是非负数 a 的算术平方根
那么 1，9，16，36，4 的算术平方根是？
25
概念 提取
a 的算术平方根记为 a ，读作“根 号 a”，a 叫做被开方数.
（1）根据计算结果，回答 a2 一定等于 a 吗？你
发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来. （2）利用你总结的规律，计算：（3.14-）2 .
解：（1） a2 不一定等于a， a2 a .
（2）原式 = |3.14－π| = π－3.14 .
课堂总结
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a， 即 x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平
从
100 10
从
大 到
49 7 64 8
大 到
小
小
0.0001 0.1
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
若a b 0，则 a __＞___ b.
对应训练
【选自教材P41练习 第1题】
1. 求下列各数的算术平方根： （1）0.0025；（2）81；（3）32.
3. （1）若一个数的算术平方根是 13 ，则这个数 是___1_3___.
4
（2）① 16 =___4__， 16的算术平方根是___2___；
② （ - 5）2 =___5___，（ - 5）2 的算术平方根是 ___5___，（-5）2的算术平方根是____5___.
概念
提取 ( 0 )2 = 0 ，规定：0 的算术平方根是 0.
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，
即 x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平
方根.
(非负数 x )2 = a
非负数 x 是非负数 a 的算术平方根
那么 1，9，16，36，4 的算术平方根是？
25
概念 提取
a 的算术平方根记为 a ，读作“根 号 a”，a 叫做被开方数.
（1）根据计算结果，回答 a2 一定等于 a 吗？你
发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来. （2）利用你总结的规律，计算：（3.14-）2 .
解：（1） a2 不一定等于a， a2 a .
（2）原式 = |3.14－π| = π－3.14 .
课堂总结
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a， 即 x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平
从
100 10
从
大 到
49 7 64 8
大 到
小
小
0.0001 0.1
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
若a b 0，则 a __＞___ b.
对应训练
【选自教材P41练习 第1题】
1. 求下列各数的算术平方根： （1）0.0025；（2）81；（3）32.
2.算术平方根课件
• 需满足x－2≥0，2－x≥0.只有它们都等
• 于0，这两个式子才都有意义．
知3－讲
(2)已知x，y为有理数，且 x 1＋3(y－2)2＝0，求x－y 的值．
导引：算术平方根和平方都具有非负性，即 a ≥0, a2≥0.
由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为 0，由此可求出x和y的值，进而求得答案． 解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0. 所以x＝1，y＝2. 所以x－y＝1－2＝－1.
2.2 平方根
第二章 实数
第1课时 算术平方根
1 课堂讲授 算术平方根的定义
求算术平方根
算术平方根的非负性（ a ≥0， a≥0） 2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
(1)根据图填空： x2=___2____, y2=___x_2+_1__, z2=___y_2+_1__, w2=__z_2_+_1 __,
0.36 0.6.
•
即 52 =5.
•
(4) 因为 52=52，所以52的算术平方根是5，
知2－讲
解：(5) 因为52＝（-5）2 ，所以 （-5）2的算术平 方根是5，即（- 5）2 =5.
(6) 0算术平方根是 0 . (7) 因为 81 9 ，9的算术平方根是3，所以
81 的算术平方根是3. (8) 7的算术平方根是 7 . (9) -16没有算术平方根.
总结
知2－讲
(1) 求带分数的算术平方根，先将带分数化成假 分数，再求算术平方根.
(2) 求一个数的算术平方根必须明确两点： ①这个数是非负数； ②求出的算术平方根（结果）必须是非负数.
知2－练
1
1 的算术平方根的相反数和倒数分别
6.1.1算术平方根(课件)
根号
a
被开方数
算术平方根
2.根据算术平方根的结构特征总结其性质 （理解记忆）
1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；
2）0的算术平方根为0（规定）；
3）负数没有算术平方根。
由算术平方根的性质可知， a的意义是什么？
≥0
环节2教师讲解
第三步：分层提高
1.求下列各数的算术平方
根：
1）100
2）0.0004
3）64
4）72
49
5）
64
环节1师友训练
解（1）因为102=100，
所以100的算术平方根是10．
即 = = ．
（ 2）因为0.022=0.0004，
所以0.0004的算术平方根是 0.02．
即 . =
.
= .02．
2.求下列各数的算术平方
根：
解：（3）因为82=64，
1） =
2） =
3） =
4）
=
5） . = .
被开方数越大，对应的算术平方根也越大。
升
1．若 + 2 = 0，则 =______.
【详解】
解：∵ + 2 = 0，
∴ + 2 = 0，
∴ = −2，
故答案为：−2.
环节二.教师提
2. 算术平方根的性质？
3.求算术平方根。
∴ −3 2 的算术平方根是3．
故选：．
）
5．已知a是最小正整数，b是 81的算术平方根，则a+b的值是_____.
【详解】
∵a是最小正整数，
∴a=1，
∵ 81=9，b是 81的算术平方根，
平方根ppt课件
81
与 - 79 ，6.25的平方根是2.5与-2.5.
感谢聆听
112=121
122=144
162=256
132=169
172=289
142=196 152=225
182=324 192=361
=
的算术平方根是
=
=3
=
=
=
=
=
=
1
算术平方根——算术平方根的定义
例题1 填空
=
2
①④⑤
1.下列说法正确的是_________
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36
的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0;
⑤64
的算术平方根是8.
B
2.下列说法不正确的是______
A.0的平方根是0
B. 22 的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
？
= −
Cc
负数没有算术平方根
1
算术平方根——算术平方根的定义
有
. = .
有
没有
=
=
有
有
=
有
= =
非平方数的算术平方根
只能用根号表示
笔记区
算术平方根判断：
正数的算术平方根为正数
Cc
0的算术平方根是0
负数没有算术平方根
当堂练习
16
（1）已知4 =16，则_______叫做_______的算术平方根，记做_________________.
4
25的算数平方根
与 - 79 ，6.25的平方根是2.5与-2.5.
感谢聆听
112=121
122=144
162=256
132=169
172=289
142=196 152=225
182=324 192=361
=
的算术平方根是
=
=3
=
=
=
=
=
=
1
算术平方根——算术平方根的定义
例题1 填空
=
2
①④⑤
1.下列说法正确的是_________
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36
的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0;
⑤64
的算术平方根是8.
B
2.下列说法不正确的是______
A.0的平方根是0
B. 22 的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
？
= −
Cc
负数没有算术平方根
1
算术平方根——算术平方根的定义
有
. = .
有
没有
=
=
有
有
=
有
= =
非平方数的算术平方根
只能用根号表示
笔记区
算术平方根判断：
正数的算术平方根为正数
Cc
0的算术平方根是0
负数没有算术平方根
当堂练习
16
（1）已知4 =16，则_______叫做_______的算术平方根，记做_________________.
4
25的算数平方根
14.1 平方根 - 第1课时课件(共20张PPT)
-3
-
-1
0
1
3
...
x2
...
...
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.
平方根的性质：
归纳：
平方根的表示方法：正数a的正的平方根记作： 读作“根号a”.正数a的负的平方根记作： 读作“负根号a”.正数a的两个平方根记作：
2.某正数的两个不同的平方根是2a－1与－a＋2，则这个数是( )A．1 B．3 C．－3 D．93.7的平方根是________．
Dห้องสมุดไป่ตู้
4.求下列各数的平方根:（1）64；（2）1.21；（3）2
拓展提升
1.若一个数的平方等于5，则这个数等于________．2.
C
3.若3x-2和5x+6是一个正数a的平方根，求这个正数a的值.
新知引入
做一做
定义：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
一起探究
1.填写下表：2.观察填写后的表格，探究：（1）正数的平方根有几个，它们之间有什么关系？（2）0有平方根吗？如果有，它是什么数？（3）负数有平方根吗？
x
...
归纳小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
被开方数
读作：正、负根号a
观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
谈一谈
我们把求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
对于正数来说，开平方与平方互为逆运算.
例1 求下列各数的平方根：（1）81；（2）；（3）0.04.
例题解析
随堂练习
-
-1
0
1
3
...
x2
...
...
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.
平方根的性质：
归纳：
平方根的表示方法：正数a的正的平方根记作： 读作“根号a”.正数a的负的平方根记作： 读作“负根号a”.正数a的两个平方根记作：
2.某正数的两个不同的平方根是2a－1与－a＋2，则这个数是( )A．1 B．3 C．－3 D．93.7的平方根是________．
Dห้องสมุดไป่ตู้
4.求下列各数的平方根:（1）64；（2）1.21；（3）2
拓展提升
1.若一个数的平方等于5，则这个数等于________．2.
C
3.若3x-2和5x+6是一个正数a的平方根，求这个正数a的值.
新知引入
做一做
定义：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
一起探究
1.填写下表：2.观察填写后的表格，探究：（1）正数的平方根有几个，它们之间有什么关系？（2）0有平方根吗？如果有，它是什么数？（3）负数有平方根吗？
x
...
归纳小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
被开方数
读作：正、负根号a
观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
谈一谈
我们把求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
对于正数来说，开平方与平方互为逆运算.
例1 求下列各数的平方根：（1）81；（2）；（3）0.04.
例题解析
随堂练习
《算术平方根》课件
06 总结与回顾
本课重点回顾
01
02
03
04
算术平方根的定义：非负实数 的平方根。
平方根的性质：正数有两个平 方根，互为相反数；0的平方 根是0；负数没有实数平方根
。
平方根的表示方法：使用 “√”符号表示，读作“根号
”。
平方根的运算性质：平方根具 有交换律、结合律和分配律。
学习心得分享
掌握了算术平方根的基本概念 和性质，能够正确判断一个数 的平方根。
平方根近似值的实际应用
大数开方
在处理大数时，直接计算其平方 根可能超出计算机的表示范围， 此时需要使用近似值进行计算。
科学计算
在物理、工程、金融等领域中，经 常需要计算平方根，近似值可以满 足实际应用的需求。
数学建模
在数学建模中，平方根的近似值可 以用于解决一些实际问题，如求解 线性方程、优化问题等。
开方运算的性质
开方运算具有非负性，即对于任何实数a，其算术平方根√a都是非负的。此外， 开方运算还具有正值性，即对于任何正实数a，其算术平方根√a都是正的。
开方运算的规则
开方运算的运算法则
在进行开方运算时，需要注意运算法则的运用。首先，对于 任何实数a，都有√(a^2) = |a|。此外，对于任何实数a和b， 都有√(a^2 + b^2) = √(a + b)^2 = |a + b|。
通过实例练习，加深了对平方 根运算的理解和应用。
在学习过程中，遇到了一些困 难，但通过与同学讨论和请教 老师，最终克服了困难。
下一步学习计划
深入学习平方根的性质和应用， 掌握更多关于平方根的运算技巧
。
学习其他与数学相关的内容，如 乘方、开方等，以扩展数学知识
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
16 4 ； 25 5
算术平方根就是正平方根.
（3）0.49
解
由于0.72=0.49，
因此 0.49 0.7 .
结论
由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的 平方根就是0本身.我们把0的平方根也叫作0的算 术平方根，记作 0，即 0 = 0. 由于我们认知范围内，没有两个数的平方等 于一个负数，因此负数没有平方根.
例如，0.6 =0.36，因此0.6是0.36的一个平方根。
2
2
结论
若 r = a，则 r 是 a 的一个平方根. 例如，由于2 =4，因此2是4的一个平方根.
2
2
探究 4的平方根除了2之外，还有别的数吗？
(-2) = 4.因此-2 也是4的 一个平方根.
2
除了2和-2以外，4的平方根还有别的数吗？
课后作业
教材P108 练习题1、2、3题
谢谢大家
解
依题意，得(2m-4)+(3m-1)=0,解之，得m=1. 或2m-4=3m-1. 解之，得m=-3.
故，应选择C.
例：已知 x y 4 x 2y 5 0，求x、y的值。
x y 4 0 解：由题意得 x 2y 5 0 x 3 解方程组得 y 1
比如：- 4是没有意义的
求一个非负数的平方根，叫作开平方.
平方根的性质：
1.正数有2个平方根,它们互为相反数，其 中正的平方根也叫做算术平方根；
2.0的平方根是0，0的算术平方根也是0； 3. 负数没有平方根，或者说负数开平方没 有意义。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 1 4 9 开平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3
2
拓展与提升
若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m为( C ). A.-3
分析
B.1
C.-3或1
D.-1
根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为 相反数，即(2m-4)+(3m-1)=0；而本题隐含一个条件，也就是 说，2m-4与3m-1也可能是其中同一个平方根，即2m-4=3m-1.
例1 分别求出下列各数的平方根： 36，
25， 9
1.21.
（1）36
36 有两个平方根 是正数
2
解
由于6 =36，
因此36的平方根是6与-6.
即： 36 6
（2） 25 有两个平方根 9 2 = 25 ， 解 由于 5 9 3
25 5 25 5 5 即： 因此 9 的平方根是 3 与 3 . 9 3
我们已学习了3种非负数，即绝对值、 偶数次方、算术平方根。几个非负数 的和为零，它们就同时为零，然后转 化为方程（或方程组）来解。
小结：这节课你学到了哪些新知识？
1、平方根的概念； 2、平方根的表示方法与读法；
3、平方根的相关性质；
4、平方于开方的关系 。
课后思考：
1、 81 的平方根是多少？
2、16的算术平方根是多少？
结论
如果r是正数a的一个平方 根，那么a的平方根有且只有
两个： r与-r（互为相反数）
平方根的表示方法、读法
根号
a
（a是非负数）
被开方数
一个正数a的正平方根，用“ a”表示，（读作“根号a”）。
a的正平方根叫作a的算术平方根
a的负平方根，用“ a”表示，（读作“负根号a”）。
合起来，一个正数a的平方根就用“ a”表示，（读作“正、负根号a”）。
练习巩固，理解性质
1、下列各数是否有平方根，请说明理由 ① （—3）2 ② 0 2 ③ —0.01 2、下列说法对不对？为什么？ ①4有一个平方根 ②只有正数有平方根 ③任何数都有平方根 ④若 a≥0，a有两个平方根，它们互为相反数
3、判断： （1 ） 0的平方根是0； （ ） （2）1的平方根是1； （ ） （3） 1 = -1 （ ） （4） 16 =±4； （ ） （5）若x2=16，则x= 16 =4； （ （6） (9) 2 -9 （ ）
（3）1.21
有两个平方根
解
由于1.12=1.21，
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即： 1.21 1.1
例2 分别求出下列各数的算术平方根： 100，
16 ， 25
0.49.
（1）100
算术平方根就是正平方根
2
（2） 16 算术平方根就是正平方根. 25 2 = 16 ， 解 由于 4 25 5 因此
授课教师： 甘 宇
回顾 & 思考 ☞
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互 为逆运算的有哪些？ 答：加法、减法、乘法、除法、乘方 五种运算。 加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、乘方有没有逆运算？
动脑筋
某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m ，刚 好用去正方形的地垫30块.你能算出所用地垫的 边长是多少米吗？
）
4：求下列各式的值
121 （ 1 ）144 ；（2） 0.81 ；（ 3） . 196
解：
（ 1 ）因为 122 144 ，所以 144 12.
（2）因为 0.92 0.81 ，所以 0.81 0.9.
121 11 11 121 （3）因为 ，所以 196 14 14 196
面积:10.8m
2
2
？
边长是
m.
共30块
如何计算正方形地垫的边长呢？
每块正方形地垫的面积是？
面积？
？
面积:10.8m
2
共30块
即：10.8 30= 0.36（m )
2
由于0.6 =0.36 2 因此面积为0.36m 的正方形地砖， 它的边长为0.6m.
2
结论
在实际问题中我们常常遇到，要找一个 数，使它的平方等于给定的数.由此我们抽象 出下述概念： 如果有一个数r，使得r =a，那么 我们把r叫作a的一个平方根或二次方根.
平方与开平方的关系
开平方与平方是互为逆运算
运算 适用 运算结 符号 范围 果名称
性质
开 方 平 方
正 数 与 零
2 2
, 平 正数有 2 个平方根,它们是互为相反数 方 零的平方根是 0 , 没有平方根 . 负数 根
a
任 何 幂 数
正数的平方是 正 数; 零的平方是 0 ; 负数的平方根是 正 数.
算术平方根就是正平方根.
（3）0.49
解
由于0.72=0.49，
因此 0.49 0.7 .
结论
由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的 平方根就是0本身.我们把0的平方根也叫作0的算 术平方根，记作 0，即 0 = 0. 由于我们认知范围内，没有两个数的平方等 于一个负数，因此负数没有平方根.
例如，0.6 =0.36，因此0.6是0.36的一个平方根。
2
2
结论
若 r = a，则 r 是 a 的一个平方根. 例如，由于2 =4，因此2是4的一个平方根.
2
2
探究 4的平方根除了2之外，还有别的数吗？
(-2) = 4.因此-2 也是4的 一个平方根.
2
除了2和-2以外，4的平方根还有别的数吗？
课后作业
教材P108 练习题1、2、3题
谢谢大家
解
依题意，得(2m-4)+(3m-1)=0,解之，得m=1. 或2m-4=3m-1. 解之，得m=-3.
故，应选择C.
例：已知 x y 4 x 2y 5 0，求x、y的值。
x y 4 0 解：由题意得 x 2y 5 0 x 3 解方程组得 y 1
比如：- 4是没有意义的
求一个非负数的平方根，叫作开平方.
平方根的性质：
1.正数有2个平方根,它们互为相反数，其 中正的平方根也叫做算术平方根；
2.0的平方根是0，0的算术平方根也是0； 3. 负数没有平方根，或者说负数开平方没 有意义。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 1 4 9 开平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3
2
拓展与提升
若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m为( C ). A.-3
分析
B.1
C.-3或1
D.-1
根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为 相反数，即(2m-4)+(3m-1)=0；而本题隐含一个条件，也就是 说，2m-4与3m-1也可能是其中同一个平方根，即2m-4=3m-1.
例1 分别求出下列各数的平方根： 36，
25， 9
1.21.
（1）36
36 有两个平方根 是正数
2
解
由于6 =36，
因此36的平方根是6与-6.
即： 36 6
（2） 25 有两个平方根 9 2 = 25 ， 解 由于 5 9 3
25 5 25 5 5 即： 因此 9 的平方根是 3 与 3 . 9 3
我们已学习了3种非负数，即绝对值、 偶数次方、算术平方根。几个非负数 的和为零，它们就同时为零，然后转 化为方程（或方程组）来解。
小结：这节课你学到了哪些新知识？
1、平方根的概念； 2、平方根的表示方法与读法；
3、平方根的相关性质；
4、平方于开方的关系 。
课后思考：
1、 81 的平方根是多少？
2、16的算术平方根是多少？
结论
如果r是正数a的一个平方 根，那么a的平方根有且只有
两个： r与-r（互为相反数）
平方根的表示方法、读法
根号
a
（a是非负数）
被开方数
一个正数a的正平方根，用“ a”表示，（读作“根号a”）。
a的正平方根叫作a的算术平方根
a的负平方根，用“ a”表示，（读作“负根号a”）。
合起来，一个正数a的平方根就用“ a”表示，（读作“正、负根号a”）。
练习巩固，理解性质
1、下列各数是否有平方根，请说明理由 ① （—3）2 ② 0 2 ③ —0.01 2、下列说法对不对？为什么？ ①4有一个平方根 ②只有正数有平方根 ③任何数都有平方根 ④若 a≥0，a有两个平方根，它们互为相反数
3、判断： （1 ） 0的平方根是0； （ ） （2）1的平方根是1； （ ） （3） 1 = -1 （ ） （4） 16 =±4； （ ） （5）若x2=16，则x= 16 =4； （ （6） (9) 2 -9 （ ）
（3）1.21
有两个平方根
解
由于1.12=1.21，
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即： 1.21 1.1
例2 分别求出下列各数的算术平方根： 100，
16 ， 25
0.49.
（1）100
算术平方根就是正平方根
2
（2） 16 算术平方根就是正平方根. 25 2 = 16 ， 解 由于 4 25 5 因此
授课教师： 甘 宇
回顾 & 思考 ☞
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互 为逆运算的有哪些？ 答：加法、减法、乘法、除法、乘方 五种运算。 加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、乘方有没有逆运算？
动脑筋
某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m ，刚 好用去正方形的地垫30块.你能算出所用地垫的 边长是多少米吗？
）
4：求下列各式的值
121 （ 1 ）144 ；（2） 0.81 ；（ 3） . 196
解：
（ 1 ）因为 122 144 ，所以 144 12.
（2）因为 0.92 0.81 ，所以 0.81 0.9.
121 11 11 121 （3）因为 ，所以 196 14 14 196
面积:10.8m
2
2
？
边长是
m.
共30块
如何计算正方形地垫的边长呢？
每块正方形地垫的面积是？
面积？
？
面积:10.8m
2
共30块
即：10.8 30= 0.36（m )
2
由于0.6 =0.36 2 因此面积为0.36m 的正方形地砖， 它的边长为0.6m.
2
结论
在实际问题中我们常常遇到，要找一个 数，使它的平方等于给定的数.由此我们抽象 出下述概念： 如果有一个数r，使得r =a，那么 我们把r叫作a的一个平方根或二次方根.
平方与开平方的关系
开平方与平方是互为逆运算
运算 适用 运算结 符号 范围 果名称
性质
开 方 平 方
正 数 与 零
2 2
, 平 正数有 2 个平方根,它们是互为相反数 方 零的平方根是 0 , 没有平方根 . 负数 根
a
任 何 幂 数
正数的平方是 正 数; 零的平方是 0 ; 负数的平方根是 正 数.