平方根 立方根 优秀课件ppt
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平方根、立方根第2课时PPT课件(沪科版)
(√ )
(3) 如果一个数的立方根是这个数本身，那么
这个数一定是零;
( ×)
(4)一个数的立方根不是正数就是负数; ( × )
(5) 0的平方根和立方根都是0 .
(√ )
2.求下列各式的值
（1）3 64;
（2）3 0.001;
(3) 3 64 . 125
解 : （1） 3 64 4;
（2） 3 0.001 0.1; （3） 3 64 4 .
125 5
3.求下列各式的值： 10
(1) 3 2 27 27
(2) 3 64
(3) 3 - 64 16
3 2 10 3 64 4 27 27 3
3 27 3 27 3
64
64 4
3 - 64 16 4 4 0
(4) 3 (5)3 (5)2 3 5 3 ( 5 ) 2
3 03 _0__
体会：对于任何数a , 3 a3 _a__
探究2 求下列各式的值:
3 8 3 _8__
3
3 27 2__7_
( 3 8)3 _-_8_
3
3 27 -_2_7_
3 0 3 _0__
3
体会：对于任何数a , 3 a _a__
探究3 求下列各式的值: (1) 3 0.008 ； -0.2
∴ x2＋y2 的算术平方根为10.
方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程 思想求出x，y值，再根据算术平方根的定义求解．
三 用计算器求立方根
例3 用计算器求下列各数的立方根：343， -1.331.
解： 依次按键：2ndF
343=
显示：7
所以，3 343=7.
依次按键： 2ndF 显示：-1.1
沪科版数学七下61《平方根立方根》ppt课件
1 2
立方根的定义
一个数$a$的立方根是一个数$x$，满足$x^3 = a$。
立方根的性质
任何实数的立方根只有一个值，可以是正数、负 数或零。例如，$-8$的立方根是$-2$。
3
立方根的运算规则
$(a^3)^n = a^{3n}$；$(a^n)^3 = a^{3n}$。
平方根与立方根的混合运算
混合运算的顺序
注意事项
先进行乘除运算，再进行加减运算。
在进行混合运算时，需要注意运算顺 序和符号的变化，避免出现计算错误。
运算规则
$(a pm b)^3 = a^3 pm 3a^2b + 3ab^2 pm b^3$。
05
实际应用
平方根在日常生活中的应用
计算土地面积
在农业、土地测量等领域，经常 需要计算土地面积，平方根是计
关系，以及平方根的近似值计算方法。
学生对于本节课的评价和建议
03
学生可以提出自己的意见和建议，以便教师更好地改进教学方
法和课件内容，提高教学质量。
THANKS
感谢观看
开方与乘方的关系
开方是乘方的逆运算，即a的平方根是a的1/2次方。
平方根的近似值计算
如何使用四舍五入法或二分法等近似计算平方根的值。
学生自我评价与反馈
学生对本节课内容的掌握程度
01
学生应该能够理解并掌握平方根的基本概念和性质，以及如何
进行简单的平方根运算。
学生对于本节课难点的理解情况
02
学生应该能够理解平方根与算术平方根的区别、开方与乘方的
平方根的表示方法
代数表示法
在代数中，我们通常用符号√来表示平方根，并在数字上方画一条横线或使用斜杠 来表示。例如，√4=2或√4=∣2∣。
平方根与算术平方根立方根无理数PPT课件
根”。
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个
正数的算术平方根只有一个。
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示
第9页/共32页
立方根：
1. 定义:
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a， 那么这个数x就叫做a的立方根．(也叫做三次方 根) 。
2.表示方法：
第10页/共32页
什么叫做开平方？那开立方呢？
无理数： 无限不循环小数
含有 ～ 的数
有规律但不循环的数
第25页/共32页
按性质分类： 实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
负实数
正实数
0
第26页/共32页
你能在数轴上找到表示 的点吗？
2
小结：
有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点 表示.
每一个无理数都能在数轴上表示出来. 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的 点是一一对应的。
第21页/共32页
思考：
2 介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
B 4D
1
2
2C
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52
1.4 ___<_ 2 __<__1.5
1.412 _<___( 2)2 __<__1.42 2
1.41 ___<_ 2 __<__1.42
1.414 2 _<___( 2)2 _<___1.415 2
第28页/共32页
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个
正数的算术平方根只有一个。
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示
第9页/共32页
立方根：
1. 定义:
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a， 那么这个数x就叫做a的立方根．(也叫做三次方 根) 。
2.表示方法：
第10页/共32页
什么叫做开平方？那开立方呢？
无理数： 无限不循环小数
含有 ～ 的数
有规律但不循环的数
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按性质分类： 实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
负实数
正实数
0
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你能在数轴上找到表示 的点吗？
2
小结：
有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点 表示.
每一个无理数都能在数轴上表示出来. 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的 点是一一对应的。
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思考：
2 介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
B 4D
1
2
2C
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52
1.4 ___<_ 2 __<__1.5
1.412 _<___( 2)2 __<__1.42 2
1.41 ___<_ 2 __<__1.42
1.414 2 _<___( 2)2 _<___1.415 2
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算术平方根平方根和立方根PPT课件
9
平方根与算术平方根的联系与区别： 联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，
算术平方根是平方根的一种. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 aa ，
而算术平方根表示为a a .
3 3 64;
43 53 ;
5
3
16
3
.
21
比一比 平方根与立方根（读背5分钟）
1．开平方的定义
1．开立方的定义
求一个数a的平方根的运算， 叫做开平方，其中a叫做被开
方数如： 22＝4，
4＝ 2.
求一个数a的立方根的运算， 叫做开立方，其中a叫做被开
方数如： －23＝－8，
162已知xy满足19的平方根是算术平方根是216的平方根是算术平方根是30的平方根是算术平方根是43的平方根是算术平方根是510的平方根是算术平方根是平方根101016联系
提问：(记到书上）
1、11--20的平方；
2、1--10的立方；
3、 2, ≈1.414
3≈ 1.732
5 ≈ 2.236 1
23
（3）平方根和立方根的区别： 正数有两个平方根，但只有一个立方根， 负数没有平方根，但却有一个立方根；
（4）灵活运用公式： （5）立方与开立方也互为逆运算．我们也可 以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个 数是不是另一个数的立方根．
, 3 a 3 a 3 a3 a, 3 a 3 a
求一个数a的立方根的运算叫开立方
18
例1 求下列各数的立方根:
（1）－27；（2）1285
平方根与算术平方根的联系与区别： 联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，
算术平方根是平方根的一种. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 aa ，
而算术平方根表示为a a .
3 3 64;
43 53 ;
5
3
16
3
.
21
比一比 平方根与立方根（读背5分钟）
1．开平方的定义
1．开立方的定义
求一个数a的平方根的运算， 叫做开平方，其中a叫做被开
方数如： 22＝4，
4＝ 2.
求一个数a的立方根的运算， 叫做开立方，其中a叫做被开
方数如： －23＝－8，
162已知xy满足19的平方根是算术平方根是216的平方根是算术平方根是30的平方根是算术平方根是43的平方根是算术平方根是510的平方根是算术平方根是平方根101016联系
提问：(记到书上）
1、11--20的平方；
2、1--10的立方；
3、 2, ≈1.414
3≈ 1.732
5 ≈ 2.236 1
23
（3）平方根和立方根的区别： 正数有两个平方根，但只有一个立方根， 负数没有平方根，但却有一个立方根；
（4）灵活运用公式： （5）立方与开立方也互为逆运算．我们也可 以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个 数是不是另一个数的立方根．
, 3 a 3 a 3 a3 a, 3 a 3 a
求一个数a的立方根的运算叫开立方
18
例1 求下列各数的立方根:
（1）－27；（2）1285
平方根与立方根课件
平方根的减法运算
平方根的乘法运算
平方根的除法运算
对于任何正实数a和b，有√a √b = √(a-b)。
对于任何正实数a和b，有√a * √b = √(ab)。
对于任何正实数a和b（b≠0） ，有√a / √b = √(a/b)。
02
立方根的定义与性质
立方根的基本定义
80%
立方根的概念
若一个数的三次方等于a，则这 个数称为a的立方根。
开方与加减法的关系
当被开方数的小数点向右移动一位，则其立方根的小数点相应地向右移 动三位；当被开方数的小数点向左移动一位，则其立方根的小数点相应 地向左移动三位。
03
平方根与立方根的应用
在数学中的应用
平方根用于求解非负数平方的问题，例如计算一个数的平方或求 解一元二次方程的实数根。
立方根用于求解一个数的立方的问题，例如计算一个数的立方或 求解一元三次方程的实数根。
详细描述
配方法适用于求解任意实数的平方根。首先，将被开方数进行配方，使其成为一 个完全平方数的形式，然后利用开平方的公式进行计算。例如，求√25的值，可 以先将25写成(5×5)的形式，即√25=√(5×5)=5。
因式分解法
总结词
因式分解法是一种通过因式分解来求解平方根的方法。
详细描述
因式分解法适用于求解一些特殊数的平方根。首先，将被开方数进行因式分解，将其写成两个相同因数的乘积形 式，然后利用开平方的公式进行计算。例如，求√8的值，可以先将8写成(2×2×2)的形式，即 √8=√(2×2×2)=2√2。
运算性质
立方根具有一些运算性质，例 如√[3]a^3=a， √[3](a+b)^3=a+b等。
立方根的运算规则
平方根与立方根PPT课件
如果一个数 x 的平方等于 a, 那么这个数 x 叫做 a 的平方根.
就是说, 当 x2 =a (a≥0) 时, 称 x 是 a 的平方根.
例练1
求下列各数的平方根:
⑴ 100
16 ⑷ 25
⑵ 0.49
1 ⑸24
⑶ 1.69
⑴解：因为102=100, 且(-10)2=100,
所以100的平方根为 ±10.
初二数学
2 x =2
x=
(之一)
如图中, 设面积为25cm2的正方形, 其边长为多少呢？ 根据正方形的面积公式， 应该是, 边长 2 = 25 9 16 a 5 cm2 25 所以, 其边长为 5cm 又：面积为16，则边长为 4 ； 3x 4 3 ； 面积为9，则边长为 5cm 面积为5，则边长为多少呢？ 面积为a，则边长又如何呢？ 这时，可设其边长为 x ，得到 x2 x2=16 2. 64x2=25 3. (x-1)2=9 x=±4 x2=
25 64
x=±
5 8
x-1=±3
x=4 或x= -2
1、平方根的概念: 当x2=a(a≥0) 时, 就称x是a的平方根.
而a称为x的平方数. 即平方根是利用平方数来说的.
2、相关概念:
任何数都有平方数, 且只有一个; 但并不是任何数 都有平方根, 只有非负数才有平方根, 负数没有平方 根, 且正数的平方根是互为相反数的两个数. 通常记作: x=± √a
3、求一个非负数的平方根的运算 叫做开平方.
例练3
1. 下列表述正确的是( C ) A. 9的平方根是-3 B. -7是-49的平方根 C. -15是225的平方根 D. (-4)2的平方根是-4 2. 下列各数中没有平方根的是( D ) A. (-10)2 B. 0 C. -6 D. -(-5)2 √ √ √ √ 3. 下列各数: 0, (-3)2, -(-9), - -4 , 3.14-π , x2+1中, 有平 方根的数的个数是( B ) A. 3个 B. 4个 2 C. 5个 D. 6个 4 ± ±8 4. 平方得 25 的数是______; 64开平方得_____; 5 36 的平方根; (-9)2的平方根是_____. ±9 -6是______
沪科版数学七年级下册平方根、立方根(第2课时立方根)课件
解：
∵
− =
∴ − = =
∴=
∴ =
∴ = =
已知半径为r 的球，其体积 的计 算公式
拓展练习
4 3
为V
．如果甲、乙两球 体积
r
3
的比为1 ：8，则甲、乙两球的半径比为 1 : 2 .
r
甲
R乙ຫໍສະໝຸດ -2(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边
长又该是多少？
一、立方根的定义
一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做
a的三次方根．
根指数
二、立方根的表示
３
3
a
被开方数
a
读作:三次根号 a，其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
三、开立方运算
求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
∴-0.216 的立方根是 − .
即 −. = −.
新知探究
根据立方根的意义填空.
因为 23 =8，所以8的立方根是（ 2 ）
1
1 3
因为( ) =0.125,所以0.125的立方是（ ）
2
2
因为( 0 )3 ＝０，所以０的立方根是（ 0 ）
因为( -2 )3 ＝－8，所以－8的立方根是（ -2 ）
无平方根
零
零
3
∴
3
343
343 = -7 ,
3
343
512 =
∴
3
=
-8
512
3
,
= -7 .
3 343
3 512
= -8
3 512
=
互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系
∵
− =
∴ − = =
∴=
∴ =
∴ = =
已知半径为r 的球，其体积 的计 算公式
拓展练习
4 3
为V
．如果甲、乙两球 体积
r
3
的比为1 ：8，则甲、乙两球的半径比为 1 : 2 .
r
甲
R乙ຫໍສະໝຸດ -2(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边
长又该是多少？
一、立方根的定义
一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做
a的三次方根．
根指数
二、立方根的表示
３
3
a
被开方数
a
读作:三次根号 a，其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
三、开立方运算
求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
∴-0.216 的立方根是 − .
即 −. = −.
新知探究
根据立方根的意义填空.
因为 23 =8，所以8的立方根是（ 2 ）
1
1 3
因为( ) =0.125,所以0.125的立方是（ ）
2
2
因为( 0 )3 ＝０，所以０的立方根是（ 0 ）
因为( -2 )3 ＝－8，所以－8的立方根是（ -2 ）
无平方根
零
零
3
∴
3
343
343 = -7 ,
3
343
512 =
∴
3
=
-8
512
3
,
= -7 .
3 343
3 512
= -8
3 512
=
互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系
平方根、立方根第1课时PPT课件(沪科版)
要点归纳
平方根的性质： 1.正数有两个平方根，两个平方根
互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根.
典例精析
例1 已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4， 则a的值是______．
解析：∵一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4， ∴2a－2＋a－4＝0，解得a＝2.故答案为2.
类似平方根的讨论， 思考：正数、负数、0的算术平方根各有几个？ 正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根 还是0，负数没有算术平方根.
例如：16的平方根是4和-4，其中4是16的算 术平方根.
算术平方根的性质
非负数 a 0
a的算术平方根 a
非负数 a 0
算术平方根具有双重非负性
典例精析
例3 分别求下列各数的算术平方根：
4和-4互为相 反数，会不会
是巧合呢？
想一想：4和-4有什么特征？
合作与交流
x2
1
4
9
...
a2
x
1 ±2 ±3 ...
±a
视察所填的数据，填一填：
1的平方根是 1 ；16的平方根是 4 ，... ; a2 的
平方根是 ±a . 你发现了什么？
一个正数的平方根有两个，并且这两个数是相反数
试一试
1. 144的平方根是什么？ 12
是多少吗？
每块正方形地垫的面积是
10.8÷30=0.36(m2).
？
即 边长×边长=0.36. 由于 0.62=0.36， 因此面积为0.36m2的正方形地垫的边长是0.6m.
一 平方根的概念及其性质
问题引导
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块 面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之 作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
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练一练 1.因为22=4 ，所以4的算术平方根是＿2＿； 2.下列说法正确的是 ① . ①5是25的算术平方根. ② 0.01是0.1的算术平方根.
二、数学符号表示
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？ 平方根号
x2 a (x≥0)
互为 逆运算
x
a
读作：根号a
a的算术平方根
被开方数
（a≥0)
三、算术平方根的性质
(3) 81 的算术平方根为 3 . 81 = 9 (4) 2的算术平方根为___2_.
2.求下列各数的算术平方根: （1）169； (2) 64 ； (3) 0.0001.
49
解：(1)因为132 =169,所以169的算术平方根是13，
即 169 13
(2)因为
8
2
64
,所以
7 49
第六章 实 数
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算 术平方根;（重点）
2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负 性．（重点、难点）
导入新课
历史感悟
毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年) 公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。
4.若｜a-3|+ b 4 0 ，则代数式 (ab)2011 =_-_1_.
到目前为止，表示非负数的式子有：
a≥0, |a|≥0, a2 ≥0, a ≥0,
例5：自由下落物体下落的距离h（米）与下落时间t
（秒）的关系为 h 4.9t 2 ．有一铁球从19.6米高的建
筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
121
3. 填空
（1）32= 9 ，（－3）2= 9 ；
（2） 32
2
4 9
，
2
2
3
4 9
；
（3）0.82= 0.64 ，（－0.8）2= 0.64 .
思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这 个数？
讲授新课
平方根的定义及性质
问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系; 2.会求非负数的平方根．（重点、难点）
导入新课
回顾与思考 1.什么叫做算术平方根？
2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有， 请求出它们的算术平方根. 100；1； 36 ; 0; －0.0025; (-3)2 ; －25；
归纳 估计一个有理数的算术平方根的近似值，必 须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间
典例精析
例2 通过估算比较下列各组数的大小：
(1) 5 与1.9；
(2) 6 1 与1.5. 2
解：(1)因为5>4，所以 5 >2，所以 5 >1.9.
(2)因为6>4，所以
6 > 2，所以
> 6 1 2 1 =1.5.
按键顺序：
a=
二、算术平方根的规律 (1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果 填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
… 0.062 5 0.625 6.25 62.5 625 6 250 62 500 …
… 0.25 0.790 6 2.5 7.906 25 79.06 250 …
典例精析
例1 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100， （2）1265 ， 解:（1）由于102=100，
（3）0.49.
因此 10010 ；
（2）由于
4 5
2=
16 25
，
因此
16 25
4
5
；
（3）由于0.72=0.49，
不难看出：被 开方数越大， 对应的算术平 方根也越大.
合作与交流： 1.一个正数的算术平方根有几个？ 一个正数的算术平方根有1个 2.0的算术平方有几个？ 0的算术平方根有一个，是0. 3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?
负数没有算术平方根.
练一练 判断题：下列各式是否有意义？为什么？
(1) 3 有
(3) (3)2 有
(2) 3 无
(4) 有
解： 1=1， 9 =3， 25 5 22 =2，
32 =3
132 122 =5
4.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间 面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长 是多少？
解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得
240x2 60, x2 1 . 4
x 1 1 0.5 42
因此 0.490.7 .
例2 计算：
（1） 49 2 7 1 ； （2） 4 9 16 .
解：(1)原式=7+3-1=9； (2)原式=2+3-4=1.
例3 填空：
1）16的算术平方根是__4____; 2） 16 的算术平方根是_2_____;
一步运算 两步运算
归纳 注意文字或算术的表述，读清题意，再进行 计算，以防误解.
1.41 2 1.42;
因为1.4142 1.999 396, 1.4152 2.002 225, 1.999 396 2 2.002 225，
1.414 2 1.415; ......
如此下去，可以得到 2 的更精确的近似值.
一、无限不循环小数的概念
事实上，继续重复上述的过程，可以得到
故每块地板砖的边长是0.5 m.
拓展提升
已知：｜x+2y|+ 3x 7 (5y z)2 0
求x-3y+4z的值. 解：由题意得：
3x 7 0, x 2y 0,5y z 0,
解得
x 7 , y 7 , z 35 ,
3
66
x
3y
4z
7 3
二 算术平方根的双重非负性
非负数 a 0
a的算术平方根 a
非负数 a 0
算术平方根具有双重非负性
练一练 下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
5, 3, 3, 32
解： 3 无意义，因为被开方数不是非负数．
注意：被开方数为非负数.
例4 若|m-1| + n 3 =0,求m+n的值. 解: 因为|m-1| ≥0， n 3 ≥0，又|m-1| + n 3 =0,
当堂练习
1.在计算器上按键
果正确的是 （B）
A. 3 B. －3 C. －1 D. 1
2. 估计 17 在
( C)
A. 2～3之间 B. 3～4之间
C. 4～5之间 D. 5～6之间
，下列计算结
3. 设n为正整数，且n< 65<n＋1，则n的值为( D)
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4.与
最接近的整数是 ( C )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5.比较大小： 5 1与0.5 . 2
解：∵ 5＞4，
∴ 5 2， ∴ 5 1 2 11， ∴ 5 1 0.5 ．
2
课堂小结
使用计算器进行开方运算
用计算 器开方
用计算器开方比较数的大小
第六章 实 数
6.1 平方根
第3课时 平方根
导入新课
讲授新课
3.你知道 2 有多大吗? 2的算术平方根是 2 .
视频欣赏
思考：从视频中，你能有哪些感悟？如何用尽可能 少的次数猜出商品的正确价格？
1.先卡定一个大范围，再逐渐地缩小范围。 2.根据高、低提示采用取中间值的方法一步步
缩小范围，直到得到正确价格.
讲授新课
一 算术平方根的估算及大小比较
合作探究
思考： 2 有多大呢？
由于 3 2 =9 ， 3和-3互为相反数，
1
4
0. 25
4 9
表1
思考：你能从表1发现什么共同点吗？
已知一个正数，求这个正数的平方,这是 平方运算.
正方形的面积 1
4
0.36 49
正方形的边长
1
2
0.6
7
表2 思考：你能从表2发现什么共同点吗？
已知一个正数的平方，求这个正数.
表一和表二中的两种运算有什么关系？
一、算术平方根的概念
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a, 那么这个正数x叫做 a的算术平方根.
设长方形的长为3x cm,则宽为2x cm.则有
3x 2x 300 , 长方形的长为3x 3 50 .
x2 50 ,
因为50 49, 50 7,3 50 21.
x 50 . 小丽不能裁出符合要求的纸片.
二 用计算器求算术平方根
在估计有理数的算术平方根的过程 中，为方便计算，可借助计算器求 一个正有理数a的算术平方根(或其 近似数).
导入新课
复习引入 1.什么是算术平方根？ 2.判断下列各数有没有算术平方根？如果有，请求
出它们的算术平方根.
25
-36 , 0.09 , 121 , 0 ,
2,
3 2
.
-只36有没非有负算术数平才方有根算. 术平方根,算术平方根是非负的.
0.09 0.3
25 5 121 11
2
0 0 3 3
2 大于1而小于2
你是怎样判断出 2大于1而小于2的？
因为12 1，22 4 ，
二、数学符号表示
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？ 平方根号
x2 a (x≥0)
互为 逆运算
x
a
读作：根号a
a的算术平方根
被开方数
（a≥0)
三、算术平方根的性质
(3) 81 的算术平方根为 3 . 81 = 9 (4) 2的算术平方根为___2_.
2.求下列各数的算术平方根: （1）169； (2) 64 ； (3) 0.0001.
49
解：(1)因为132 =169,所以169的算术平方根是13，
即 169 13
(2)因为
8
2
64
,所以
7 49
第六章 实 数
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算 术平方根;（重点）
2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负 性．（重点、难点）
导入新课
历史感悟
毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年) 公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。
4.若｜a-3|+ b 4 0 ，则代数式 (ab)2011 =_-_1_.
到目前为止，表示非负数的式子有：
a≥0, |a|≥0, a2 ≥0, a ≥0,
例5：自由下落物体下落的距离h（米）与下落时间t
（秒）的关系为 h 4.9t 2 ．有一铁球从19.6米高的建
筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
121
3. 填空
（1）32= 9 ，（－3）2= 9 ；
（2） 32
2
4 9
，
2
2
3
4 9
；
（3）0.82= 0.64 ，（－0.8）2= 0.64 .
思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这 个数？
讲授新课
平方根的定义及性质
问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系; 2.会求非负数的平方根．（重点、难点）
导入新课
回顾与思考 1.什么叫做算术平方根？
2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有， 请求出它们的算术平方根. 100；1； 36 ; 0; －0.0025; (-3)2 ; －25；
归纳 估计一个有理数的算术平方根的近似值，必 须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间
典例精析
例2 通过估算比较下列各组数的大小：
(1) 5 与1.9；
(2) 6 1 与1.5. 2
解：(1)因为5>4，所以 5 >2，所以 5 >1.9.
(2)因为6>4，所以
6 > 2，所以
> 6 1 2 1 =1.5.
按键顺序：
a=
二、算术平方根的规律 (1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果 填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
… 0.062 5 0.625 6.25 62.5 625 6 250 62 500 …
… 0.25 0.790 6 2.5 7.906 25 79.06 250 …
典例精析
例1 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100， （2）1265 ， 解:（1）由于102=100，
（3）0.49.
因此 10010 ；
（2）由于
4 5
2=
16 25
，
因此
16 25
4
5
；
（3）由于0.72=0.49，
不难看出：被 开方数越大， 对应的算术平 方根也越大.
合作与交流： 1.一个正数的算术平方根有几个？ 一个正数的算术平方根有1个 2.0的算术平方有几个？ 0的算术平方根有一个，是0. 3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?
负数没有算术平方根.
练一练 判断题：下列各式是否有意义？为什么？
(1) 3 有
(3) (3)2 有
(2) 3 无
(4) 有
解： 1=1， 9 =3， 25 5 22 =2，
32 =3
132 122 =5
4.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间 面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长 是多少？
解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得
240x2 60, x2 1 . 4
x 1 1 0.5 42
因此 0.490.7 .
例2 计算：
（1） 49 2 7 1 ； （2） 4 9 16 .
解：(1)原式=7+3-1=9； (2)原式=2+3-4=1.
例3 填空：
1）16的算术平方根是__4____; 2） 16 的算术平方根是_2_____;
一步运算 两步运算
归纳 注意文字或算术的表述，读清题意，再进行 计算，以防误解.
1.41 2 1.42;
因为1.4142 1.999 396, 1.4152 2.002 225, 1.999 396 2 2.002 225，
1.414 2 1.415; ......
如此下去，可以得到 2 的更精确的近似值.
一、无限不循环小数的概念
事实上，继续重复上述的过程，可以得到
故每块地板砖的边长是0.5 m.
拓展提升
已知：｜x+2y|+ 3x 7 (5y z)2 0
求x-3y+4z的值. 解：由题意得：
3x 7 0, x 2y 0,5y z 0,
解得
x 7 , y 7 , z 35 ,
3
66
x
3y
4z
7 3
二 算术平方根的双重非负性
非负数 a 0
a的算术平方根 a
非负数 a 0
算术平方根具有双重非负性
练一练 下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
5, 3, 3, 32
解： 3 无意义，因为被开方数不是非负数．
注意：被开方数为非负数.
例4 若|m-1| + n 3 =0,求m+n的值. 解: 因为|m-1| ≥0， n 3 ≥0，又|m-1| + n 3 =0,
当堂练习
1.在计算器上按键
果正确的是 （B）
A. 3 B. －3 C. －1 D. 1
2. 估计 17 在
( C)
A. 2～3之间 B. 3～4之间
C. 4～5之间 D. 5～6之间
，下列计算结
3. 设n为正整数，且n< 65<n＋1，则n的值为( D)
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4.与
最接近的整数是 ( C )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5.比较大小： 5 1与0.5 . 2
解：∵ 5＞4，
∴ 5 2， ∴ 5 1 2 11， ∴ 5 1 0.5 ．
2
课堂小结
使用计算器进行开方运算
用计算 器开方
用计算器开方比较数的大小
第六章 实 数
6.1 平方根
第3课时 平方根
导入新课
讲授新课
3.你知道 2 有多大吗? 2的算术平方根是 2 .
视频欣赏
思考：从视频中，你能有哪些感悟？如何用尽可能 少的次数猜出商品的正确价格？
1.先卡定一个大范围，再逐渐地缩小范围。 2.根据高、低提示采用取中间值的方法一步步
缩小范围，直到得到正确价格.
讲授新课
一 算术平方根的估算及大小比较
合作探究
思考： 2 有多大呢？
由于 3 2 =9 ， 3和-3互为相反数，
1
4
0. 25
4 9
表1
思考：你能从表1发现什么共同点吗？
已知一个正数，求这个正数的平方,这是 平方运算.
正方形的面积 1
4
0.36 49
正方形的边长
1
2
0.6
7
表2 思考：你能从表2发现什么共同点吗？
已知一个正数的平方，求这个正数.
表一和表二中的两种运算有什么关系？
一、算术平方根的概念
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a, 那么这个正数x叫做 a的算术平方根.
设长方形的长为3x cm,则宽为2x cm.则有
3x 2x 300 , 长方形的长为3x 3 50 .
x2 50 ,
因为50 49, 50 7,3 50 21.
x 50 . 小丽不能裁出符合要求的纸片.
二 用计算器求算术平方根
在估计有理数的算术平方根的过程 中，为方便计算，可借助计算器求 一个正有理数a的算术平方根(或其 近似数).
导入新课
复习引入 1.什么是算术平方根？ 2.判断下列各数有没有算术平方根？如果有，请求
出它们的算术平方根.
25
-36 , 0.09 , 121 , 0 ,
2,
3 2
.
-只36有没非有负算术数平才方有根算. 术平方根,算术平方根是非负的.
0.09 0.3
25 5 121 11
2
0 0 3 3
2 大于1而小于2
你是怎样判断出 2大于1而小于2的？
因为12 1，22 4 ，