平方根课件(公开课)
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《初中数学平方根》课件
非负性质
平方根始终是非负数，它们不会产生负值。
单调性及通项公式
我们将了解平方根的单调性质以及计算通项公式的方法。
平方根的加减乘除法则
1减法规则2来自掌握平方根的减法运算方法。
3
除法规则
4
学会如何对平方根进行除法运算。
加法规则
学习如何对平方根进行加法运算。
乘法规则
了解平方根的乘法运算规则。
平方根的应用
面积
探索平方根在计算不规则形状的面积方面的应用。
勾股定理
发现平方根在计算直角三角形边长方面的作用。
平方根的扩展
1
立方根
了解立方根的概念，并通过例题加深理解。
2
算术平方根
介绍算术平方根的定义和计算方法。
3
几何平方根
学习几何平方根的概念，并解析相关的示例。
总结与练习
知识总结
回顾学习的主要内容，并巩 固你对平方根的理解。
练习题解析
通过解析一些练习题，进一 步巩固你的学习成果。
课程反馈
请给我们提供关于课程的反 馈意见，以帮助我们改进。
谢谢观看！
我们希望这个《初中数学平方根》PPT课件能够帮助你更好地理解和应用平方根的概念。
《初中数学平方根》PPT 课件
# 初中数学平方根PPT课件
数学的平方根是一个非常有趣的概念。在这个课件中，我们将详细介绍平方 根的定义、性质、应用和扩展，以及一些实用的例子和练习题。
什么是平方根？
基本概念介绍
平方根用于求某个数的算术平方根。
求法及计算
我们将学习如何计算一个数的平方根。
平方根的性质
平方根始终是非负数，它们不会产生负值。
单调性及通项公式
我们将了解平方根的单调性质以及计算通项公式的方法。
平方根的加减乘除法则
1减法规则2来自掌握平方根的减法运算方法。
3
除法规则
4
学会如何对平方根进行除法运算。
加法规则
学习如何对平方根进行加法运算。
乘法规则
了解平方根的乘法运算规则。
平方根的应用
面积
探索平方根在计算不规则形状的面积方面的应用。
勾股定理
发现平方根在计算直角三角形边长方面的作用。
平方根的扩展
1
立方根
了解立方根的概念，并通过例题加深理解。
2
算术平方根
介绍算术平方根的定义和计算方法。
3
几何平方根
学习几何平方根的概念，并解析相关的示例。
总结与练习
知识总结
回顾学习的主要内容，并巩 固你对平方根的理解。
练习题解析
通过解析一些练习题，进一 步巩固你的学习成果。
课程反馈
请给我们提供关于课程的反 馈意见，以帮助我们改进。
谢谢观看！
我们希望这个《初中数学平方根》PPT课件能够帮助你更好地理解和应用平方根的概念。
《初中数学平方根》PPT 课件
# 初中数学平方根PPT课件
数学的平方根是一个非常有趣的概念。在这个课件中，我们将详细介绍平方 根的定义、性质、应用和扩展，以及一些实用的例子和练习题。
什么是平方根？
基本概念介绍
平方根用于求某个数的算术平方根。
求法及计算
我们将学习如何计算一个数的平方根。
平方根的性质
人教版七年级下册数学公开课《平方根》PPT课件(精)
二次方程在实际问题中的应用
01
02
03
04
面积问题
通过二次方程可以求解一些与 面积相关的问题，例如求解矩 形、三角形、梯形等的面积。
利润问题
在商业活动中，经常需要计算 利润和成本等问题，这些问题 可以通过建立二次方程进行求 解。
行程问题
在物理和数学问题中，经常涉 及到速度、时间和距离等概念 ，这些问题可以通过建立二次 方程进行求解。
其他问题
除了以上几种类型的问题外， 二次方程还可以应用于其他领 域的问题求解，例如金融、工 程、科学计算等。
06
课程总结与拓展
课程重点与难点回顾
1 2
平方根的定义和性质
回顾平方根的定义，强调正数有两个平方根，它 们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 。
平方根的运算
总结平方根的运算法则，包括平方根与乘除、加 减运算的结合，以及分母有理化的方法。
计算圆的面积
已知圆的半径，利用平方 根和π计算面积。
勾股定理的应用
求解直角三角形
已知直角三角形两条边， 利用勾股定理和平方根求 解第三条边。
计算两点间距离
在平面直角坐标系中，已 知两点坐标，利用勾股定 理和平方根计算两点间距 离。
判断三角形形状
已知三角形三边长度，利 用勾股定理和平方根判断 三角形是否为直角三角形 。
平方根的性质
正实数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数 没有平方根。
平方根在数学中的应用
解方程
平方根在解一元二次方程时起到关键作用，通过开 平方可以求得方程的解。
几何应用
在几何学中，平方根用于计算长度、面积和体积等 ，如勾股定理中的边长计算。
数学建模
平方根PPT精品课件
即：x2 a（x 0）， x叫做a的算术平方根，
记作：x a
特殊：0的算术平方根是0。记作 ：0 0
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2）6449 （3）0.0001
解：（1）因为 102 =100，所以100的算术平方根为10，
即 100 =10。
2
2
（2）因为 7 = 49，所以 49的算术平方根是
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
规律技巧总结
如何分析气压带的成因 (1)由于地面冷热不均，引起大气的膨胀上升， 或收缩下沉，从而导致近地面形成低气压区或高 气压区的原因，称之为热力原因。如赤道低气压 带和极地高气压带。
(1)图甲中字母所表示的纬度，正确的是( B )
A．A为10°N
B．C为30°N
变式训练2：读风带示意图，回答(1)～(2)题。
规律技巧总结
(1)从气压带来看，全球七个气压带是高低 相间分布的，且以赤道为轴南北对称分布。
(2)风带的分布是以赤道为轴南北对称分布 的。
由算术平方根的意义可知
小正方形 的对角线 的长是多 少呢？
x= 2
你知道 2有多大吗?
12 2 22 2 1.41421356
1 2 2
逼 1.42 2 1.52 近 法 1.4 2 1.5
1.412 2 1.422
无限不循环小数
1.41 2 1.42
1.4142 2 1.4152
25
0.81
0
判断： （1）5是25的算术平方根； （2）-6是 36 的算术平方根； （3）0的算术平方根是0； （4）0.01是0.1的算术平方根； （5）-5是-25的算术平方根。
记作：x a
特殊：0的算术平方根是0。记作 ：0 0
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2）6449 （3）0.0001
解：（1）因为 102 =100，所以100的算术平方根为10，
即 100 =10。
2
2
（2）因为 7 = 49，所以 49的算术平方根是
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
规律技巧总结
如何分析气压带的成因 (1)由于地面冷热不均，引起大气的膨胀上升， 或收缩下沉，从而导致近地面形成低气压区或高 气压区的原因，称之为热力原因。如赤道低气压 带和极地高气压带。
(1)图甲中字母所表示的纬度，正确的是( B )
A．A为10°N
B．C为30°N
变式训练2：读风带示意图，回答(1)～(2)题。
规律技巧总结
(1)从气压带来看，全球七个气压带是高低 相间分布的，且以赤道为轴南北对称分布。
(2)风带的分布是以赤道为轴南北对称分布 的。
由算术平方根的意义可知
小正方形 的对角线 的长是多 少呢？
x= 2
你知道 2有多大吗?
12 2 22 2 1.41421356
1 2 2
逼 1.42 2 1.52 近 法 1.4 2 1.5
1.412 2 1.422
无限不循环小数
1.41 2 1.42
1.4142 2 1.4152
25
0.81
0
判断： （1）5是25的算术平方根； （2）-6是 36 的算术平方根； （3）0的算术平方根是0； （4）0.01是0.1的算术平方根； （5）-5是-25的算术平方根。
《平方根》PPT(第1课时)
+2 4
-2
4
+2
-2
+3 9
-3
9
+
-3
底
x2
指数
根号
a
被开
数
a=x2
x a
方数
a为x的平方 x为a的平方根
幂（x的平方）
a的平方根
平方运算与开平方运算互为逆运算.
典例精析
例 小明房间的面积为10.8平方米，房间地面恰由120块相同 的正方形地砖铺成，问每块地砖的边长是多少？
解：设每块地砖的边长为x米，
由题意得：
x2
10.8
0.09, x
120
0.09 0.3.
答：每块的地砖的边长是0.3米.
当堂练习
1.下列个数有平方根吗？如果有，写出它的平方根，如果没 有，说明理由.
（1）64；
（2）6 1 ;
4
（3）0；
（4）
2 3
2
；
（5） 16 .
25
解： （1）有平方根，±8；
（2）有平方根，± 2 ； 5
负数有平方根吗？因为正、负、0的平方都不是负数，所以 负数没有平方根. 如：-81无意义.
平方根的性质 （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0只有两平方根，是0本身； （3）负数没有平方根.
二 开平方运算
开平方 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
平方
开平方
+1 1
-1
1
+1
-1
问题2 根据上面的研究过程填表：
x2
1
16
36
49
4 25
x
1 4 6 7
22_《平方根》ppt课件
）2 =0.0001，
∴ 0.0001的平方根为±0.01.
练习：求下列各数的平方根：
（1） 1.69
15
16
小结 & 归纳
1.本节课引入了新的运算——开方运算，开方和乘方 互为逆运算，从而完备了初等代数中六种基本代数 运算（加、减、乘、除、乘方、开方），这对代数 内容学习有着重要的意义。
2.本节主要学习了: ①平方根的概念 ②平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为
没有，说明为什么 ？ （1）－9的平方根是－3 (
)
3 有没有平方根 ？
∴ 0.
注意：开平方运算的结果往往不是唯一的
当这个数为0时，它有一个平方根0；
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？
判断一个数有没有平方根，只要看这个数的符号。
（1）- 4
（）
当这个数为正数时，它有两个平方根；
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是？
）
× （4）1 的平方根是 1 （
）
√ （5）－1 是 1的平方根 （
）
× （6）7的平方根是±49 (
)
× （7）若X2 = 16, 则X = 4 （
）
11
3 有没有平方根 ？
若有 ，怎样表示？ 当这个数为0时，它有一个平方根0；
一个数的平方根的表示方法：
（6）7的平方根是±49 (
)
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
6
“底数
指数 幂
2
X =a
”
a是x的2次幂 x是a的平方根
7
学以致用 判断下列各数有没有平方根，若有，求其平方 根。若没有，说明为什么。
（1） 0.81 （2） （3）2 （4）（－2 ）2
《平方根》PPT课件
例1 求下列各数的平方根:
（1） 49 （2） 0.64 （3） 3 （4）91
分析 问：解题思想方法是？
答：根据平方根的定义，把求平方根转化为求平方。即求出平方等于49的所有数。
说出下列各式的意义,并计算:
（1）114的平方根是－12与12；
（2）256的平方根是16；
a的算术平方根记为：
读作：
a叫做
“根号a”,
被开方数。
3.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算.
加法与减法互逆；乘法与除法互逆.
乘方有没有逆运算？
1.一个数的平方是9，这个数是什么数？2.一个数的平方是 ，这个数是多少？3.填空：①（ ）2 = 16 ②（ ）2 = ③ ( ) 2 = 0 ④（ ）2 = 0.49
∵ 02 = 0 ∴ 0叫做0的平方根
概念引入
思考一下a的平方根该如何表示呢?表示的意义?
二、平方根的表示方法、读法
根号
被开方数
又叫a的算术平方根
例如：
说一说
各表示什么意义？
表示7的正的平方根（算术平方根）
表示7的负的平方根
表示7的平方根
－
±
平方根的性质
议一议
（1）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？（2）0有几个平方根？（3）一个负数呢？
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开平方
平方
平方与开平方互逆运算.
（1） 49 （2） 0.64 （3） 3 （4）91
分析 问：解题思想方法是？
答：根据平方根的定义，把求平方根转化为求平方。即求出平方等于49的所有数。
说出下列各式的意义,并计算:
（1）114的平方根是－12与12；
（2）256的平方根是16；
a的算术平方根记为：
读作：
a叫做
“根号a”,
被开方数。
3.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算.
加法与减法互逆；乘法与除法互逆.
乘方有没有逆运算？
1.一个数的平方是9，这个数是什么数？2.一个数的平方是 ，这个数是多少？3.填空：①（ ）2 = 16 ②（ ）2 = ③ ( ) 2 = 0 ④（ ）2 = 0.49
∵ 02 = 0 ∴ 0叫做0的平方根
概念引入
思考一下a的平方根该如何表示呢?表示的意义?
二、平方根的表示方法、读法
根号
被开方数
又叫a的算术平方根
例如：
说一说
各表示什么意义？
表示7的正的平方根（算术平方根）
表示7的负的平方根
表示7的平方根
－
±
平方根的性质
议一议
（1）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？（2）0有几个平方根？（3）一个负数呢？
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开平方
平方
平方与开平方互逆运算.
《平方根》ppt课件
一般地，如果一个数x的平方等于a， 那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 a的一个平方根是3，则另一个平方根 9 。 是 -3 ，a= 3a-22和2a-3是m的两个平方根， 试求m的值。
思考：
1.下列各式哪些有意义，哪些没 有意义？ （1）- 4 （2） − 4 2 （3） (−3) （4） ) ( −3
合起来，一个正数a的平方根就用“± a”表示， （读作“正、负根号a”）。
平方根与算术平方根的联系与区别： 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系 具有包含关系:平方根包含算术平方根， （1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术 平方根是平方根的一种。 平方根是平方根的一种。 存在条件相同： （2） 存在条件相同：平方根和算术平方根都具有非 负性 的平方根和算术平方根都是0 （3） 0的平方根和算术平方根都是0。 区别 定义不同： 如果一个数 的平方等于a 一个数X （1） 定义不同： “如果一个数X的平方等于a，那 么这个数X叫做a的平方根” 如果一个正数 么这个数X叫做a的平方根”， “如果一个正数x的平方等 a,即 =a,那么这个正数 叫做a的算术平方根” 于a,即 x2 =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根”。 个数不同：一个正数有两个平方根， 有两个平方根 （2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数 的算术平方根只有一个 只有一个。 的算术平方根只有一个。 表示方法不同：正数a的算术平方根表示为√ （3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为√ a， 而正数a的平方根表示为± 而意义及表示方法。 掌握平方根的意义及表示方法。 2 能够求一个数的平方根。理解开平方运 能够求一个数的平方根。 算与乘方运算之间的互逆关系。 算与乘方运算之间的互逆关系。 3 掌握平方根的性质并能加以运用。 掌握平方根的性质并能加以运用。 4 明确平方根与算术平方根的区别和联系。 明确平方根与算术平方根的区别和联系。 重点：平方根的意义和求数的平方根。 重点：平方根的意义和求数的平方根。 难点：平方根与算术平方根的区别及联系。 难点：平方根与算术平方根的区别及联系。
《平方根》一等奖公开课PPT1
因为术平方根（第二课时）
身高约 2米
身高约
3米
身高约 5米
武大郎
武松
姚明
1.提出问题
能否用两个面积为1的小正方形 拼成一个面积为2的大正方形？
1.提出问题
拼成的这个面积为 2 dm2 的大正方形的边长 应该是多少呢？
解：设大正方形的边长为x dm， 则 x2 2
由算术平方根的定义，
得 x 2．
解：由题意得 a－2＝0，3a＋b－1＝25， 解得 a＝2，b＝20， ∴ b－a2＝ 16＝4
回顾与反思
你能不能得到 的更精确的范围？
21根、我我、扩你对最被大还自开大（有方己的或什数和收缩么扩同获小问大伴）是题（的的…或或规想表…缩律法现小是需感）怎要与到样和它…的老的…呢师算？交术流平?方 所你 因被所因其小能丽其显你解小能丽而∴所因解则所长长拼显的 长利因求被(被 而所你2)以能为开以为算丽否能算示能：丽否能以为：它以方方成示整方用为的开开以能<<将方 大 术 想 裁 用 术 ： 否 设 想 裁 用 大 (的 形 形 的 ： 数形 计 纸 方 方大 将（510)这 数正平用得这平1根大用得这正算的的这1部 的算片数数 正这精．＞依<<.. 个 每方方一出块方据正一出块方术长长个分 长器．的的 方个确4次9，，问 扩形根块来纸根方块来纸形平和和面， 和计小小 形问到按，的题 大的就面，片就形面，片的方宽宽积宽算数数 的题n键．，，，得值-4转 边扩积正裁扩的积正裁边根与与为与，点点 边转1是0说）．化 长大为在出大边为在出长的正正正并每每 长化0234出倍．1为 为发符长发符为小方方方将向向 为为14140d3＞00000m，数愁合为愁合数形形形计右右数600倍倍的是72dddcc学 ．要．要点的的的算学x((mm算 m，的或或多mm，，，d．．．问 小求小求向边边边结问术22所大左左m少而而而为为题 明的明的右长长长果题平，以正))？移移的的吗 见纸见纸之之之填吗(方或方动动？ 了片了片间间间在？正正根左形两两说吗说吗的的的表方方，)的移位位＞：？：？大大大中形形边动,,3““小小小，纸纸长×一别别关关关你片片应7，，，位＝发发系系系发，，该.2愁愁是是是现沿沿是1，，什什什了，着着多一一么么么什比边边少定定？？？么原的的呢能能小小小规正方方？用用丽丽丽律方向向一一能能能？形剪剪块块用用用的出出面面这这这边一一积积块块块长块块大大纸纸纸更面面的的片片片长积积纸纸裁裁裁，为为片片出出出这3300裁裁符符符是00 出出合合合cc不mm一一要要要可22的的块块求求求能长长面面的的的的方方积积纸纸纸．形形小小片片片所纸纸的 的 吗 吗 吗以片片纸纸？？？，，，片片小使使．．丽它它””不的的你你能长长同同用宽宽意意这之之小小块比比明明纸为为的的片33说说裁::22法法出．．吗吗符她她？？合不不小小要知知
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∴ （b+a）a=（－1+2）2=1
∴它的平方根是±1
自我测试：
（1）（-5）2的平方根是 ±5 ，算术平方根 是 5 ；
（2）
16
的平方根是 ±2，算术平方 根是 2`
x
2
（3）若x2=9，则 x= ±3 ，若 x= ±3 ；
=3，则
（4）已知 x 有意义,则x一定是 非正数 .
（5）若一个数的一个平方根为-7，则另一个 平方根为 7 ，这个数是 49 。
（6）若一个正数的两个平方根为2a-6、3a+1， 1 则a= ，这个正数为 ； 16 （7）平方根等于本身的数是 0 ，
算术平方根等于它本身的数是 0、1 ， 算术平方根和平方根相等的数是 0 ；
判断题
1. 2.
16
的平方根是±16. a 一定是正数.
(× ) (× ) （× ） (× )
3.a2的算术平方根是a. 4.若
a
所以,正数a的平方根可表以示为： a 这样求一个正数的平方根，只要求 出它的算术平方根，在前面添上“±”， 就是它的平方根了。 例如： 81 =9，则81的平方根是±9， 即：± 81 =±9。
思考：
已知x2=a,若知x求a,这种运算叫 平方 ; 那么,知a求x,这种运算又叫做什么呢?
求一个数a的平方根的运算，叫开平方。
我们把9称为3或－3的平方，那么我们 把3或－3叫做9的什么呢？
概念：
如果一个数的平方等于a，那么这个 数叫做a的平方根。 即：若x2=a，那么x叫做a平方根。 例如： 32=9；（－3）2=9； 3和－3是9的平方根； 简记为±3是9的平方根。
用符号表示平方根
正数a的算术平方根记作
a
它的另一个平方根记作
归纳：
正数有
它们
两个
个平方根，
； ； ；
互为相反数 0
0的平方根是 负数
没有平方根
例：判断下列各数有没有平方根。
如果有，求出它的平方根；如果没 有，说明理由。
（1）81
81的平方根是±9。 有 （2）－81 没有 ∵负数没有平方根。 0的平方根是0。 （3）0 有 2 （4） 7 ) ( 有 （－7）2的平方根是±7。 2 ∵－72=－49， （5） 7 没有 负数没有平方根。
9
∴0.25的平方根是±0.5 ∴ 16 的平方根是±
4
3
什么数才有平方根？
根据定义x2=a，那么x叫做a平方根。
可知：
a≥0
才有平方根。
只有
非负数
思考：
正数的平方根有什么特点？0的平
方根是多少？负数有平方根吗？
举例：（ ±4）2=16 因为任何一个数的平方都不会是负 正数的平方根有 两个 ； 因为02=0，所以0的平方根是0。 看出:16的平方根有两个,分别是4 数，所以负数没有平方根。 它们 互为相反数 ； 和－4,它们互为相反数。而且，4 就是16的算术平方根。 就是这 其中， 正的平方根 个数的算术平方根。
7 9
巩固提高
1、求下列各式中x的值：
（1）4x2=1 （2）（2x）2=9
2= 1 （3）解：x-2=±2 （2）解：2x=±3 （1）解：x
4
（3）（x-2）2=4
x=± 2 x=± 2
1 x=4或0
3
2、已知∣3a-b-7∣+
2a b 3
=0，
求（b+a）a的平方根。 解：由题意可知： 3a-b-7=0 得： a=2 b=－1 2a+b-3=0
例 求下列各式的值：
（1）
144
解：原式=12
（2）－ 0 . 81 解：原式=－0.9
（3）±
121 196
解：原式= ±
11 14
练习：
1、求下列各数的平方根；
（1）0.04 （2）
81 121
（3） 256
3、计算下列各式的值：
（1） 169 （2）－ （3）±
0 . 49
64 81
（4）± 2
例： ±3的平方等于9，9的平方根是±3。
平方
开平方
所以，平方与开平方互为逆运算。
例4：求下列各数的平方根。 9 （3）0.25 （1）100 （2）
16
解：（1） （3） （2）
3 2)22 100 9 ( 10) ( 5 ) 0 . 25 (0. 4 16 ∴100的平方根是±10
( a )
2
5Biblioteka , 则a=-5.5.
9 3
( ×)
课时小结
1、若x2=a，那么x叫做a平方根。
正数a的平方根可表以示为：
a
2、求一个数a的平方根的运算，叫开平方。 平方与开平方互为逆运算。 3、正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0；负数没有平方根。
课后作业
课本P47 2、3
1、什么叫算术平方根？
若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则称x 为a的算术平方根。
x可以用_____表示 a
只有 非负数 才有算术平方根。 2、计算 （1） 9 =
3
； （2）
16
=
4
；
思考：
如果一个数的平方等于9，这个数是什么？
发现： 32=9
（－3）2=9
因此，如果一个数的平方等 于9，那么这个数是3或－3。