2010年考研数学三真题及答案
2010年考研数学三真题答案解析(pdf)
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题(1)【答案】(C).【解析】()()()000011111lim lim 11lim 1lim x x x x x xx x x x e axe a e e ax e axe x x x x x x →→→→⎛⎫⎛⎫-⎛⎫--=--=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭001lim lim 11xx x x e axe a x x→→-=+=-+=所以2a =.(2)【答案】(A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=,①又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=,②由①②求解得12λμ==,故应选(A)．(3)【答案】(B).【解析】[]{}[]()()()f g x f g x g x '''=⋅,[]{}[]{}[][][]2()()()()()()()f g x f g x g x f g x g x f g x g x '''''''''''=⋅=⋅+⋅由于0()g x a =是()g x 的极值,所以0()0g x '=.所以[]{}[]()0()()()()f g x f g x g x f a g x ''''''''=⋅=⋅由于0()0g x ''<,要使[]{}()0f g x ''<,必须有()0f a '>,故答案为B.(4)【答案】(C).【解析】因为1010()1lim lim lim ()10xxx x x h x e e g x x →+∞→+∞→+∞===+∞,所以,当x 充分大时,()()h x g x >.又因为91091ln ()ln ln limlim lim 1010lim ()1x x x x x f x xxx g x xx→+∞→+∞→+∞→+∞⋅===81ln ln 1109lim1092lim 10!lim 01x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⋅=⋅==⋅== .所以当x 充分大时,()()f x g x <,故当x 充分大,()()()f x g x h x <<.(5)【答案】(A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r sααββ≤≤ 若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα= ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤ ,即r s ≤,选(A).(6)【答案】(D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0.由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即AΛ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭.(7)【答案】(C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】(A).【解析】根据题意知,()221x f x -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题(9)【答案】1-.【解析】220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰,令0x =,得0y =,等式两端对x 求导：2()220(1sin sin x x y dyet dt x x dx-++=+⎰．将0x =,0y =代入上式,得010x dy dx=+=.所以1x dy dx==-.(10)【答案】24π.【解析】根据绕x 轴旋转公式,有()221ln eedx V y dx x x ππ+∞+∞==+⎰⎰()22ln arctan ln 1ln 244e ed xx x ππππππ+∞+∞⎛⎫==⋅=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎰.(11)【答案】()3113P p e-⋅.【解析】由弹性的定义,得31dR pp dp R ⋅=+,所以21dR p dp R p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即21ln ln 3R p p C =++,又()11R =,所以13C =-.故11ln ln 33R p p =+-,因此()3113p R p e -=⋅.(12)【答案】3b =.【解析】函数为321y x ax bx =+++,它的一阶导数为232;y x ax b '=++二阶导数为62y x a ''=+,又因为()1,0-是拐点,所以10x y =-''=,得13a-=-,所以3a =,又因为曲线过点()1,0-,所以将1,0x y =-=代入曲线方程,得3b =.(13)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B BE AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112BB--==,因此11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=.(14)【答案】22σμ+.【解析】()()()22222211111n n i i i i E T E X E X X E X n n nσμ==⎛⎫⎛⎫=====+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.三、解答题(15)【解析】11ln ln 1ln 11ln 11ln lim lim ln ln ln lim 1lim x x x x x x x x e xx xxxx x x ee e→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭其中ln ln ln 12ln(1)(1)1ln limlim1ln xx x xxxx x e eex x x x-→+∞→+∞---=⋅ln ln 1ln 1lim lim (1)1ln ln x xx xx x e x e x xx x→+∞→+∞-=⋅=-=-.故原式1e -=.(16)【解析】积分区域12D D D = ,其中(){1,01,D x y y x =≤≤≤≤(){2,10,D x y y x =-≤≤≤≤()()3322333DDx y dxdy x x y xy y dxdy+=+++⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于x 轴对称,被积函数233x y y +是y 的奇函数,所以()2330Dxy y dxdy +=⎰⎰．()()())11332323232323D D D x y dxdy x xy dxdy x xy dxdy dy x xy dx ⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1422013242x x y dy ⎛=+ ⎝⎰14209114224415y y dy ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭⎰.(17)【解析】令()()222,,,210F x y z xy yz x y z λλ=++++-,用拉格朗日乘数法得22220,220,220,100,x y z F y x F x z y F y z F x y z λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=+=⎪⎪'=++-=⎩求解得六个点：()()2,1,2,A B --()()1,2,1,2,C D --((,.E F -由于在点A 与B点处,u =C 与D处,u =-；在点E 与F 处,0u =．又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以max u =min u =-(18)【解析】(I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(19)【解析】(I)因为22(0)()f f x dx =⎰,又因为()f x 在[]0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点[]0,2η∈,使得()()()220f x dx f η=⋅-⎰即()()202f f η=,所以存在[]0,2η∈,使得()()0f f η=.(Ⅱ)因为()()()2320f f f +=,即()()()2302f f f +=,又因为()f x 在[]2,3上连续,由介值定理知,至少存在一点[]12,3η∈使得()()10f f η=.因为()f x 在[]0,2上连续,在[]0,2上可导,且()()02f f =,所以由罗尔中值定理知,Ｃ存在()10,2ξ∈,有()10f ξ'=.又因为()f x 在[]12,η上连续,在()12,η上可导,且()()()120f f f η==,所以由罗尔中值定理知,存在()212,ξη∈,有()20f ξ=.又因为()f x 在[]12,ξξ上二阶可导,且()()120f f ξξ''==,所以由罗尔中值定理,至少有一点()0,3Ax b =⊂,使得()0f ξ''=.(20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：(I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=-,2a =-.方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.(II )对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得TQ AQ 为对角阵,且Q 的第一2,1)T ,故A 对应于1λ的特征向量为12,1)T ξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1A λ⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎭,即10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E A λλλλλλλ--=-=+--=-,可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A x λ-=,即1234141710414x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A x λ-=,即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-,取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy+∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---=-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】(I)X 的所有可能取值为0,1,Y 的所有可能取值为0,1,2．{}2326310,0155C P X Y C =====,其中0,0X Y ==表示取到的两个球都是黑球；{}112326620,1155C C P X Y C =====,其中0,1X Y ==表示取到的一个是白球,一个是黑球；{}222610,215C P X Y C ====,其中0,2X Y ==表示取到的两个球都是白球；{}111326311,0155C C P X Y C =====,其中1,0X Y ==表示取到的一个是红球,一个是黑球；{}11122621,115C C P X Y C ====,其中1,1X Y ==表示取到的一个是红球,一个是白球；{}261,20P X Y C ====,因此二维离散型随机变量,X Y 的概率分布为(II)(Cov。
历年考研数学三真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222 0() dx x y dy+⎰（B）222 0() dx f x y dy+⎰（C）222 01() dx x y dy+⎰⎰（D）222 01() dx f x y dy++⎰⎰（4）已知级数11(1)ninα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12< α≤1（C）1<α≤32（D）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+PX Y ≤22｛1｝（）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（ ） （A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ（D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim (tan )x xx x π-→（10）设函数0ln1(),(()),21,1xdyxf x y f f xdxx x=⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.（11）函数(,)z f x y=满足1(,)22lim0,xyf x y x y→→-+-=则(0,1)dz=_______.（12）由曲线4yx=和直线y x=及4y x=在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11 (),(),23P AB P C==则CP AB（）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos4limx x xe ex-→-（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy⎰⎰，其中D为由曲线y y==所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y（万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y（万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx++≥+-<< -（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x"'+-=及()()2x f x f x e '+=1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt =-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b=有无穷多解，求a，并求Ax b=的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x xT T=A A的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XYX Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，m in(,),=m ax(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度； （2）()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
2010考研数三真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.)1 1 x ,则a等于( )(1)若limx0 x x a e1(A)0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(2)设y1, y2 是一阶非齐次微分方程y p x y q x的两个特解,若常数，使y1 y2 是该方程的解,y1 y2 是该方程对应的齐次方程的解,则( )1(A),(B) .(C) ,. (D) .【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2).(3)设函数f x , g x具有二阶导数,且g x 0 ,若g x0a 是g x 的极值,则f g x 在x0 取极大值的一个充分条件是( )(A) f a 0. (B) f a 0 . (C) f a 0 . (D)f a 0 .x(4) 设 f xln 10 x g x , x h x ,e 10 ,则当 x 充分大时有( ) (A) g xh xf x. (B) hxg xf x.(C) fx g xh x.(D) g x f x h x .(5) 设向量组 I :1, 2,r 可由向量组II :1,2,s 线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则rs .(B) 若向量组I 线性相关,则r s . (C) 若向量组II 线性无关,则r s . (D) 若向量组II 线性相关,则r s .(6) 设 A 为4阶实对称矩阵,且 A 2A O ,若 A 的秩为3,则 A 相似于 ()1 1(A)1 .(B)1 .1 11 1(C) 1.(D)1.110, x 01(A) 0.(B).(C)e1.(D) 1e1.为1,3上均匀分布(8) 设 f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度, f 2 (x ) 的概率密度,若af x 1( )x 0 f x( )( a 0, b 0)bf 2( )x x 0为概率密度,则a ,b 应满足 ( )(A) 2a3b 4. (B) 3a2b 4. (C) a b 1.(D) ab 2.二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.)x yt 2 x2 确定,则dy. (9) 设可导函数 yy x ( )由方程e dtx sin t dt dxx 01 (10)设位于曲线 y( e x ) 下方, x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕 x轴旋转一周所得空间区域的体积是.(11) 设某商品的收益函数为R (p ),收益弹性为1p 3 ,其中 p 为价格,且R (1) 1 ,则R (p ) =.(7) 设随机变量 X 的分布函数 F x ( ) 2 1e x ,( )0 x 1 ,则 PX1=x1(12) 若曲线 y x 3 ax 2 bx 1有拐点(1,0) ,则b.(13) 设 A ,B 为3阶矩阵,且 A 3, B 2 , A1B 2 ,则A B1.n212(14)设X X 1, 2, ,X n是来自总体N (,) (0) 的简单随机样本,统计量TXi ,n i 1则ET .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分10分)求极限 lim (xx 11)ln 1x .(16) (本题满分10分)计算二重积分(x y dxdy )由曲线 x 1y 2 与直线 x2y 0 及Dx 2y 0围成.(17) (本题满分10分) 求函数uxy2yz 在约束条件x 2y 2z 210 下的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)(I ) 比较1ln tln 1tndt与1t nln t dt n 1,2,的大小,说明理由．1n( II ) 记u nln t ln 1t dt n 1,2,,求极限nli m u n ．(19) (本题满分10分)设 函 数 f (x ) 在0,3上 连 续 , 在0,3内 存 在 二 阶 导 数 , 且22f (0)f x dx ( ) f (2) f (3),( I ) 证明存在(0,2) ,使 f ()f (0); ; ( II ) 证明存在(0,3) ,使 f()0 ．(20)(本题满分11分)11 a设A1 ， b11已知线性方程组Ax b 存在2个不同的解． ( I ) 求,a ;( II ) 求方程组Ax b 的通解. (21)(本题满分11 分) 1 (1,2,1)T,求a ,Q ．(22) (本题满分11分) 设二维随机变量(X Y , ) 的概率密度为2f x y ( , )Ae 2x 2xy y2,x,y ,求常数 A 及条件概率密度 f Y X |(y x | ) ．(23)(本题满分11分) 箱中装有6个球,其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3 个,现从箱中随机取出2个球, 记 X 为取出的红球个数,Y 为取出的白球个数.( I ) 求随机变量 (X Y ,) 的概率分布；0 设A 141 43a ,正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵,若 Q 的第 1 列为 a( II ) 求Cov X Y( , ) .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C). 【解析】limx1 1 a exlim x1 1e x1axlimx11e xaxe xlim x1e x axe xx x xx x x1e x axe x lim lim 1 a 1x 0 x x 0 x所以a 2.(2) 【答案】 (A)．【解析】因y 1 y 2 是 y P x y 0 的解,故y 1 y 2 P xy 1y 20,所以y 1P x y1y 2p x y ( ) 20 ,而由已知 y 1P x y1q x, y 2P x y2q x,所以q x0,①又由于一阶次微分方程 ypx yq x是非齐的,由此可知 qx0 ,所以0．由于y 1y 2 是非齐次微分方程 yPx yq x的解,所以y 1 y 2 P x y 1 y 2q x,整理得y 1P x y1y 2P x y2q x ,即q xq x,由q x 0 可知1,②由①②求解得,故应选(A)．(3)【答案】 (B).【解析】f g x ( ) f g x ( )g x ( ) ,f g x( ) fg x ( )g x ( ) fg x ( )g x ( )2fg x ( )g x( )由于g (x 0 ) a 是g (x ) 的极值,所以g x ( 0)0 .所以f g x ( 0 )f gx ( 0 )g x( 0 )fa gx ( 0 )由于g x ( 0 ) 0,要使f g x( )0,必须有f a ( ) 0 ,故答案为B.(4)【答案】 (C).x【解析】因为 lim ( ) lim e 10 lim 10x 1 ,所以,当 x 充分大时,h x ( )g x ( ) .xg x ( )xxx1091又因为 limf x ( ) lim ln 10 xlim 10 ln x x 10 lim ln 9xxg x ( ) xxx1 xx81ln x10 9lim x 10 92 lim l x 10! lim 10 .x1xxxx 所以当 x 充分大时, f x ( ) g x ( ) ,故当 x 充分大, f x ( ) g x ( )h x ( ) .(5) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组 I 能由向量组 II 线性表示,所以r (I) r (II) ,即r (1, ,r) r (1, , s ) s 若向量组 I 线性无关,则 r (1, ,r) r ,所以 rr (1, ,r )r (1, ,s )s ,即r s ,选(A).(6) 【答案】 (D). 【解析】设为 A 的特征值,由于 A 2A O ,所以20 ,即 (1)0 ,这样 A 的特 征 值 只 能 为 -1 或 0. 由 于 A 为 实 对 称 矩 阵 , 故 A 可 相 似 对 角 化 , 即11A,r A ()r ()3,因此,1,即 A1.11(7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中F (x ) 的形式,得到随机变量 X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即P X 1P X1P X 1 F1 F11 e1e1,故本题选(C).(8) 【答案】 (A).x 21 ,1x 3【解析】根据题意知, f 1x(x),f 2x2 140,其它利用概率密度的性质:f x dx1,故a31 a 3f x dx af 1x dxbf 2 x dx2f 1x dxb4 dx24 b1所以整理得到2a 3b 4,故本题应选(A).二、填空题 (9)【答案】1.x y2x2【解析】e t dtxsin t dt ,令x 0,得 y 0,等式两端对 x 求导：e(x y )2(1dydx ) 0xsin t dt 2x sin x 2 ．dydy将x0, y 0代入上式,得10 .所以1.dxxdx x 02(10)【答案】4【解析】根据绕 x 轴旋转公式, 有2dxVey dxe1ln 2 xe1d ln ln 2x xarctan lnxe2442 .1 33P1.(11)【答案】 pedR p 3dR 1212【解析】由弹性的定义,得1 p ,所以pdp ,即 ln Rln p pC , dp R R p313又R11,所以 C1 .故ln Rln p 1 p 1 ,因此 R p e 3p1.3 33(12)【答案】b3.【解析】函数为 yx 3ax 2bx 1 ,它的一阶导数为 y 3x 2 2ax b ; 二阶导数为ay6x 2a,又因为1,0是拐点,所以 yx10 ,得3过点1,0,所以将x1,y 0 代入曲线方程,得b 3.(13) 【答案】3. A A (1B B )【解析】由于1( E AB B )1B1A ,所以1 1 11B B )A AB B因为 B2 ,所以 B1 B B1321 3 .2(14)【答案】22.1 ( B AA A111 2B,因此1 A BAA【解析】 E T EnXi2 1EnXi21nEX2E X222.n i1n i 1n 三、解答题11ln x1 lnx x 1ln x x1ln e x11lnxlimlim(15)【解析】 lim x x 1lim e ln xe xln xexln xxx其中 ln x xln x x1ln x x ln x xln( e 1) (e 1) e 1ln x e 1ln x ln x1 lim lim limlim e x ( 1)1.xln xx 1xx ln x x x故原式e1.(16)【解析】积分区域 DD 1 D 2 ,1 x y ,0 y1,2y x1y 2D 2x y , 1y 0,2y x1y 2xy3dxdyx 33x y 2 3xy 2y 3 dxdyDD因 为 区 域 D 关 于 x 轴 对 称 , 被 积 函 数 3x 2 y y 3 是 y 的 奇 函 数 ,所以3x 2y y dxdy30．Dx y dxdy3x 3 3xy dxdy 22x 3 3xy dxdy 221DDD 12xln xx211 x 43 x y 22dy2019 4 y 42y 2 1 4 dy 1415 .42(17)【解析】令 F x y z,, ,xy 2yz x 2 y 2 z 2 10,用拉格朗日乘数法得F xy 2x 0,F yx 2z2y0,F z2y 2z 0, F x 2y 2z 2100,又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以u m ax5 ,u m in5 5 ．(18) 【解析】 (I)当0x 1时0 ln(1x )x,故ln(1t )nt n ,所以ln tln(1t )nln t t n ,则01ln t ln(1t )ndt1ln t t dt n n 1,2, .(II)1 ln t t dt n1ln t t dtnn 111ln td tn1n112 ,故由1n1求解 得六个点：152,1, B A1 , , 21CD0,, E F由于在点A 与B 点处,u ；在点C与 D 处, u；在点E 与F 处, 0u ． 1 2 y y0 u n 0 ln n1 2 ,1根据夹逼定理得0 lim u n lim0 ,所以lim u n 0 .n n n1n2(19)【解析】(I) 因为2 f (0) 0 f x dx( ) ,又因为f x 在0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点0,2,使得20 f x dx f 20即2 f 0 2 f ,所以存在0,2,使得f f0 .f 2 f 3(Ⅱ)因为f 2 f 3 2 f 0 ,即 f 0 ,又因为f x 在2,3上连2续,由介值定理知,至少存在一点 1 2,3使得f 1 f 0 .因为f x 在0,2上连续,在0,2上可导,且f 0 f 2 ,所以由罗尔中值定数学(三)试题 第15页 (共4页)微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：451613025理知,Ｃ存在10,2,有f10. 又因为 f x 在2,1上连续,在2,1上可导,且f 2 ff1 ,所以由罗尔中值定理知,存在22,1,有 f20 . 又因为 fx在1,2上二阶可导,且f1f20 ,所以由罗尔中值定理,至少有一点 Ax b 0,3,使得f0 .(20) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：(I)已知Ax b 有2个不同的解,故r A ( ) r A ( ) 3 ,对增广矩阵进行初等行变换,得11 a 1 1 1A1 0 101 01 1 1 11 1a1 111 1 10 10 1 01010112a0 012a 11 1 1 11 111当1时,A0 00 10 01,此时,r A ( ) r A ( ),故Ax b 无解(舍00 0 a00 001 1 1 1微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：451613025当1时, A 0 2 0 1 ,由于r A ( )0 0 0 a 2方法2：已知Axb 有2个不同的解,故r A ()r A () 3 ,因此 A 0,即11A0 10(1) (21)0 ,11知1或-1.当1时,r A () 1 r A () 2 ,此时,Ax b 无解,因此1.由r A () r A ( ) ,得a2.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31121 11211 12A0 201 0 2 010 1 0121 1110 0000 0 003x x3x 1 1232微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ群：451613025x 21x 3 231 21因此Ax b的通解为x k 0 ,其中k为任意常数.10 10 1 4(21)【解析】由于A 1 3 a4 a 01 1微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：45161302513 可知原方程组等价为2 ,写成向量的形式,即x 2x 0 1 .列为(1,2,1)T ,故 A 对应于1 的特征向量为1(1,2,1)T .12,即根据特征值和特征向量的定义,有A116141 3 a 41 1a2 12 ,由此可得a 1,12 .故A10 1 141 31 41.微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：45161302514 由EA1 3 1 (4)( 2)(5) 0 ,41可得 A 的特征值为12,24, 35 . 4 由 (2E A x ) 0,即14特征向量为2(1,0,1)T .17 1 4x 11x 20 ,可解得对应于 24 的线性无关的4x 35 由 (3E A x )0 ,即 143(1,1,1)T .1 2 1 4x 11x 2 0 ,可解得对应于35 的特征向量为5 x 3由于 A 为实对称矩阵,1,2,3 为对应于不同特征值的特征向量,所以1,2,3相互正交,只需单位化：111(1,2,1) ,T2( 1,0,1) ,T3(1,1,1)T ,123163取,则Q T AQQ 1,2,351112微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：451613025(22) 【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度 fx , y 后,要求条件概率密度f x y ( ,)f Y X | (y x | ) ,可以根据条件概率公式 f Y X | (y x | )来进行计算.本题中还有待定参 f X ( )x数, A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.2 22 2 22x f x y dy, A e2x 2xy ydy A e(y x ) xdyf XAexe(y x )dyx 2A e ,x .根据概率密度性质有1f X x dx A ex2dxA,即 A1,1x 2故 f Xx e ,x. 当x时,有条件概率密度f x y ,Ae x 22xy y21x 2 2 21(x y )2 f YXy xf XxAex 2ee ,x ,y.(23)【解析】(I) X 的所有可能取值为 0,1 ,Y 的所有可能取值为 0,1,2 ．C 323 1,其中X 0,Y 0 表示取到的两个球都是黑球；P X0,Y2C 615 5P X 0,Y 1C C 21231 6 2,其中 X 0,Y 1表示取到的一个是白球,一个是C6 15 5黑球；C22 1 ,其中X 0,Y 2 表示取到的两个球都是白球；P X0,Y 22 C6 15P X 1,YC C112313 1,其中X 1,Y 0 表示取到的一个是红球,一个是C6 15 5黑球；P X 1,Y 1C C112212,其中X 1,Y 1表示取到的一个是红球,一个是白球；C6 15 0P X1,Y20 , C6因此二维离散型随机变量X ,Y 的概率分布为2 2 2 1 1E XY 1 1 ,E X0 1 ,I(I),C o v EXYXY EXEY,33 3E Y 012Cov X Y, E XYE X E Y.。
2010年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数 学（一）一．选择题：1 - 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.(1)极限2lim ()()()x x x x a x b ®¥=-+(A)1(B)e(C)a be -(D)b ae -【答】 应选 (C) .【解】 因22ln ln()ln()lim ln()lim()()1/x x x x x x a x b x a x b x®¥®¥---+=-+()()()3222112=lim lim 1x x a b x abx x x a x b a b x x a x b x ®¥®¥---+-+==--+-，所以2lim (()()x a x b x x a x b e ®¥-=-+，故选 (C) .(2)设函数(,)z z x y =由方程(,0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F ¢¹，则z z x y x y ¶¶+=¶¶(A)x (B)z (C)x -(D)z-【答】 应选 (B) .【解】 在方程两边分别对x 和对y 求偏导，得122211()0y z F z F x x x x ¶¢¢-+-=¶，12110z F F x x y¶¢¢+=¶于是有 22()z z x y F zF x y ¶¶¢¢+=¶¶， 即z zx y z x y ¶¶+=¶¶，故选 (B) .(3)设,m n均是正整数，则反常积分ò的收敛性(A)仅与m 的取值有关(B)仅与n 的取值有关(C)与,m n 的取值都有关(D)与,m n 的取值都无关【答】 应选 (D) .【解】 显然该反常积分有且仅有两个瑕点0,1x x ==，于是需分成两个积分加以考察：dx =+ò(1)对于，易见被积函数非负，且只在0x +®时无界，于是当1n >时，由+0lim 0x®=及120ò收敛，知收敛；当1n=时12/1mx-:及212101mdx x-ò收敛，知收敛；(2)对于，易见被积函数非负，且只在1x -®时无界，于是当1m >时，由11lim lim 0x x --®®==及1收敛，知 收敛；当1m =时，由21/211ln (1)lim lim 0(1)x x x x ---®®-==-及212101m dx x -ò收敛，知收敛；由此可见，无论正整数,m n如何取值，0ò都是收敛的，故选 (D) .(4) 2211lim()()n nn i j nn i n j ®¥===++åå (A) 12001(1)(1)x dx dy x y ++òò(B)1001(1)(1)xdx dy x y ++òò(C) 11001(1)(1)dx dyx y ++òò(D) 112001(1)(1)dx dyx y ++òò【答】 应选 (D) .【解】 记21(,)(1)(1)f x y x y =++，(){},y 01,01D x x y =££££，知(,)f x y 在D 上可积. 用直线()0,1,2,,i i x x i n n ===L 与()0,1,2,,j j y y j n n===L 将D 分成2n等份，可见22221111211()()(1)(1)n n n ni j i j n i j n i n j n n n=====×++++åååå是(,)f x y 在D 上的二重积分的一个和式，于是112222001111lim ()()(1)(1)(1)(1)nnn i j Dn dxdy dx dy n i n j x y x y ®¥====++++++ååòòòò.故选 (D) . (5)设A 为m n ´矩阵，B 为n m ´矩阵，E 为m 阶单位矩阵. 若AB E =，则(A)秩()r A m =，秩()r B m =(B)秩()r A m =，秩()r B n =(C)秩()r A n =，秩()r B m =(D)秩()r A n =，秩()r B n=【答】 应选 (A) .【解】 因A 是m n ´矩阵，故()r A m £，又()()()r A r AB r E m ³==，故()r A m =. 同理，可得()r B m =，故选 (A) .(6)设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=. 若A 的秩为3，则A 相似于(A) 1110æöç÷ç÷ç÷ç÷èø(B) 1110æöç÷ç÷ç÷-ç÷èø(C) 1110æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø(D) 1110-æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø【答】 应选 (D) .【解】 设l 为A 的特征值，则由2A A O +=知2+=0l l ，即=0l 或1-. 又因A 是实对 称矩阵，故A 必相似于对角矩阵L ，其中L 的对角线上的元素为特征值1-或0. 再由()3r A =可知()3r L =，故选 (D) .(7)设随机变量X 的分布函数0,0,1(),01,21,1xx F x x e x -<ìïï=£<íï-³ïî则{1}P X ==(A)0 (B)12(C)112e --(D)11e--【答】 应选 (C) .【解】 由分布函数的用途，知{1}(1)(1)P X F F -==-1111122e e --=--=-. (8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度，若12(),0()(0,0)(),0af x x f x a b bf x x £ì=>>í>î为概率密度，则,a b 应满足(A)234a b +=(B)324a b +=(C)1a b +=(D)2a b +=【答】 应选 (C) .【解】 由题意，有221()x f x -=，21/4,(1,3)()0x f x Î-ì=íî，其他，()1f x dx +¥-¥=ò而0120()()()f x dx af x dx bf x dx +¥+¥-¥-¥=+òòò()3201=2a b f x dx +ò13=24a b +，于是有13124a b +=，即234a b +=. 故选 (C) .二、填空题：9:14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设20,ln(1),t tx e y u du -ì=ïí=+ïîò则220t d y dx == .【答】 应填 0.【解】 因2/ln(1)=/t dy dy dt t dx dx dt e -+=-, 22222ln(1+)12=[][ln(1)]/1t td y d t te t dx dt e dx dt t -=++-+， 故2020t d ydx==.(10)2p =ò.【答】 应填 4p -.【解】t =，则2dx tdt =，于是有2220002cos 2sin 4sin 4cos 4cos 4.t tdt t tt tdt t tdt p pppp p p ==-=-=-òòòò(11)已知曲线L 的方程为1||([1,1])y x x =-Î-，起点是(1,0)-，终点为(1,0)，则曲线积分2Lxydx x dy +=ò.【答】 应填 0.【解法一】 补有向线段:0([1,1])L y x =Î-，起点为(1,0)，终点为(1,0)-，设由L 与L 围成的平面区域为D ，则利用格林公式及区域D 关于y 轴的对称性，得222(2)00LDL LLxydx x dy xydx x dy xydx x dy x x dxdy ++=+-+=---=òòòòò【解法二】 记1:1([1,0])L y x x =+Î-，起点是(1,0)-，终点是(0,1)；2:1([0,1])L y x x =-Î， 起点为(0,1)，终点为(1,0)有12222+LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy+=++òòò 012210=[(1)][(1)]x x x dx x x x dx -+++--òò1212=()(02323-++-=.(12)设22{(,,)|1}x y z x y z W =+££，则W 的形心的竖坐标z = .【答】 应填23.【解】 记(){}22,y 1D x x y =+£，有221x y Ddxdydz dxdy dz +W=òòòòòò22=(1)Dx y dxdy --òò212=(1)d r rdr p q -òò=2p，2212122240011[1()]=(1)223x yDD zdxdydz dxdy zdz x y dxdy d r rdr p p q +W==-+-=òòòòòòòòòò， 从而W 的形心的竖坐标为23DDzdxdydzz dxdydz==òòòòòò. (13)设1(1,2,1,0)Ta =-，2(1,1,0,2)Ta =，3(2,1,1,)Ta a =. 若由123,,a a a 生成的向量空间的维数为2，则a = .【答】 应填 6.【解】 因由123,,a a a 生成的向量空间的维数为2，故矩阵()123,,a a a 的秩为2，而()123112112211013,,=101006020000a a a a æöæöç÷ç÷ç÷ç÷®ç÷ç÷--ç÷ç÷èøèø，故6a =.(14)设随机变量X 的概率分布为{},0,1,2,!CP X k k k ===L ，则2EX =.【答】 应填 2.【解】 由概率分布的性质，有{}01k k P X x ¥===å，即01!k Ck ¥==å，亦即1Ce =，1C e -=.由此可见，X 服从参数为1的泊松分布，于是22()112EX DX EX =+=+=.三、解答题（ 15 ～ 23小题，共94分.）(15)（本题满分10分）求微分方程322xy y y xe ¢¢¢-+=的通解.解：对应齐次方程320y y y ¢¢¢-+=的两个特征根为121,2r r ==，其通解为212x x Y C e C e =+.……4分设原方程的特解形式为*()x y x ax b e =+，则*2((2))xy ax a b x b e ¢=+++，*2((4)22)x y ax a b x a b e ¢¢=++++，代入原方程解得1,2a b =-=-，……8分 故所求通解为212(2)x x xy C e C e x x e=+-+ ……10分(16)（本题满分10分）求函数2221()()x t f x x t e dt -=-ò的单调区间与极值.解： ()f x 的定义域为(,)-¥+¥，由于2222211()x x t t f x xe dt te dt --=-òò，2224423311()2222xxt x x t f x x e dt x ex ex e dt ----¢=+-=òò，所以()f x 的驻点为0,1x =± ……3分列表讨论如下：x (,1)-¥-1-(1,0)-0 (0,1) 1 (1,)+¥()f x ¢-0 +0 -0 +()f x ↘极小↗极大↘极小↗……6分因此，()f x 的单调增加区间为(1,0)-及(1,)+¥，单调减少区间为(,1)-¥-及(0,1)；极小值为(1)0f ±=，极大值为21101(0)(1)2t f te dt e --==-ò……10分(17)（本题满分10分） (I)比较1|ln |[ln(1)]nt t dt +ò与1|ln |(1,2,)ntt dt n =òL 的大小，说明理由；(II)记1|ln |[ln(1)](1,2,)n n u t t dt n =+=òL ，求极限lim n n u ®¥.解：（I ）当01t ££时，因为ln(1)t t +£，所以|ln |[ln(1)]|ln |n n t t t t +£，因此11|ln |[ln(1)]|ln |n n t t dt t t dt+£òò ……4分（II ）由 (I) 知，110|ln |[ln(1)]|ln |n n n u t t dt t t dt £=+£òò.因为1112011|ln |ln 1(1)n n n t t dt t tdt t dt n n =-==++òòò，所以1lim|ln |0nn tt dt ®¥=ò ……8分 从而 lim 0n n u ®¥=……10分(18)（本题满分10分） 求幂级数121(1)21n nn x n -¥=--å的收敛域及和函数. 解：记12(1)()21n nn u x x n --=-， 由于221()21lim lim ()21n n n nu x n x x u x n +®¥®¥-==+，所以当21x <，即||1x <时，1()n u x ¥=å绝对收敛，当||1x >时，1()n u x ¥=å发散，因此幂级数的收敛半径1R =……3分当1x =±时，原级数为11(1)21n n n -¥=--å，由莱布尼茨判别法知此级数收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]-……5分设1211(1)()(11)21n n n S x x x n -¥-=-=-££-å，则122211()(1)1n n n S x x x ¥--=¢=-=+å，又(0)0S =，故201()arctan 1xS x dt x t==+óôõ， ……8分 于是121(1)()arctan ,[1,1]21n nn x xS x x x x n -¥=-==Î--å ……10分(19)（本题满分10分）设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=的动点，若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直，求点P 的轨迹C ，并计算曲面积分I S=，其中S 是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.解： 椭球面S 上点(,,)P x y z 处的法向量是{2,2,2}n x y z z y =--r， ……2分点P 处的切平面与xOy 面垂直的充要条件是0({0,0,1})n k k ×==r r r，即20z y -=所以点P 的轨迹C 的方程为222201z y x y z yz -=ìí++-=î，即2220314z y x y -=ìïí+=ïî ……5分取223{(,)|1}4D x y x y =+£，记S 的方程为(,),(,)z z x y x y D =Î，==，所以DI =óóôôôôõõ(D x dxdy =+òò ……8分2Ddxdy p== ……10分(20)（本题满分11分） 设1101011A l l l æöç÷=-ç÷ç÷èø，11a b æöç÷=ç÷ç÷èø. 已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，（I ）求,a l ； （II ）求方程组Ax b =的通解.解：（I ）设12,h h 为Ax b =的2个不同的解，则12h h -是0Ax =的一个非零解， 故2||(1)(1)0l l =-+=A ，于是1l =或1l =- ……4分当1l =时，因为()()r A r A b ¹M ，所以Ax b =无解，舍去. 当1l =-时，对Ax b =的增广矩阵施以初等行变换，有1111013/2()02010101/211110002a A b B a æ-öæ-öç÷ç÷=-=-=ç÷ç÷ç÷ç÷-+èøèøM .因为Ax b =有解，所以2a =- ……8分（II ）当1l =-，2a =-时，1013/20101/20000B æ-öç÷=-ç÷ç÷èø，所以x =A b 的通解为31110201x k æöæöç÷ç÷=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø，其中k 为任意常数. ……11分(21)（本题满分11分） 已知二次型123(,,)Tf x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +，且Q 的第3列为,0,22T. （I ）求矩阵A ；（II ）证明A E +为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵.解：（I ）由题设，A 的特征值为1,1,0,且(1,0,1)T为A 的属于特征值0的一个特征向量.……3分 设123(,,)Tx x x 为A 的属于特征值1的一个特征向量，因为A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以1231(,,)001x x x æöç÷=ç÷ç÷èø，即130x x +=.取,0,22T æö-ç÷ç÷èø，(0,1,0)T 为A 的属于特征值1的两个正交的单位特征向量 ……6分令022010022Q æöç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷-ç÷èø，则有110T Q AQ æöç÷=ç÷ç÷èø，故1101112020101T -æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøA Q Q . ……9分评分说明：求出满足条件的一个矩阵A ，即可给9分.（II ）由（I ）知A 的特征值为1,1,0，于是A E +的特征值为2，2，1，又A E +为实对称矩阵，故A E +为正定矩阵.……11分(22)（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,),,x xy y f x y Ae x y -+-=-¥<<+¥-¥<<+¥，求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x .解：因2222()(,)x xy y X f x f x y dy A edy +¥+¥-+--¥-¥==òò22()y x x A e dy+¥----¥=ò222(),x y x x Aeedy x +¥-----¥==-¥<<+¥ò，……4分所以21()x X f x dx e dx A p +¥+¥--¥-¥===ò，从而 1A p=……7分当(,)x Î-¥+¥时，22222|1(,)(|)1()x xy y Y X x X ef x y f y x f x p-+--==222x xy y -+-=2(),x y y --=-¥<<+¥ ……11分(23)（本题满分11分）设总体X 的概率分布为X 1 2 3p1q-2q q -2q其中参数(0,1)q Î未知.以i N 表示来自总体X 的简单随机样本（样本容量为n ）中等于i 的个数（1,2,3i =）.试求常数123,,a a a ，使31i ii T a N==å为q 的无偏估计量，并求T 的方差.解: 记11p q =-，22p q q =-，23p q =. 由于(,),1,2,3i i N B n p i =:，故i iEN np = ……4分 于是22112233123[(1)()]ET a EN a EN a EN n a a a q q q q =++=-+-+ ……6分为使T 是q 的无偏估计量，必有22123[(1)()]n a a a q q q q q -+-+=，因此12132010a a a n a a =ìïï-=íï-=ïî，……8分由此得 12310,a a a n===……9分由于123N N N n ++=，故123111()()1N T N N n N n n n =+=-=-.注意到1~(,1)N B n q -，故1221(1)(1)n DT DN n n nq q q q --=== ……11分。
【数学二】2010年全国考研研究生入学考试真题及答案答案解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ) (A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==. (3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e.(4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关.(5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z z x y x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211lim n nn i j n n i n j →∞===++∑∑ ( ) (A) ()()1200111x dx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C) ()()1100111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()11200111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I :,,,r ααα可由向量组12II :,,,s βββ线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >.(8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( ) (A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 . (11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y = . (12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分) ( I ) 比较()10ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln n t t dt ⎰()1,2,n =的大小,说明理由；( II ) 记()10ln ln 1n n u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ. (18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3) (19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20u ξη∂=∂∂. (20)(本题满分10分)计算二重积分2 sin D I r θ=⎰⎰,其中(),|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++(22)(本题满分11分) 设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解.(23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得T Q AQ 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .。
考研数学三真题及答案(2003-2013年)
2010年考研数一真题及答案
T
1 1 2 0 2 【答案】 A 0 1 0 。 1 1 0 2 2
数学（二）
【答案】B
【答案】A
【答案】C
【答案】C
【答案】B
【答案】D
【答案】A
【答案】D
【答案】 C1 cos x C 2 sin x C 3 e
2x
【答案】 y 2 x
1 1 T 【答案】 1 ， a 2 。通解： , ,1 k (1,0,1) 。 2 2
T
【答案】 a 1 ， Q
1 6 2 6 1 6
1 3 1 3 1 3
1 2 0 1 2
【答案】
1 7
【答案】 F ( x ) f ( x)
1 3 1 1 x ，对 F ( 0) 和 F ，以及 F 和 F (1) 使用中值定理，联立。 3 2 2
1 1 T 【答案】 1 ， a 2 。通解： , ,1 k (1,0,1) 。 2 2
x
的通解。
【答案】 ( ,1) 减； ( 1,0) 增； (0,1) 减； (1, ) 增。极大值： f (0)
e 1 ；极小值： f ( 1) 0 。 2e
【答案】小于；极限为 0 。
1 1 【答案】 1 ， a 2 。通解： , ,1 k (1,0,1) T 。 2 2
【答案】 ab
2 3 3 4
【答案】 a 2 ， b
2 或相反。 5
【对比】 《2010 年海豚山寨考研数学暑期强化 300 习题与详细解析》续篇——海豚山寨版模拟试题第四套。
（20） （本题满分 10 分）
2010年考研数学三真题及答案
2 f (0) = ∫ f ( x)dx = f (2) + f (3)
0
（1）证明：存在 η ∈ (0,2), 使f (η ) = f (0); （2）证明：存在 ξ ∈ (0,3), 使f ′′(ξ ) = 0 20
1 1 λ a 设A = 0 λ − 1 0 , b = 1 .已知线性方程组Ax = b存在2个不同的解。 1 1 1 λ . 1 （ ）求λ、a. (2)求方程组Ax = b的通解。
ξ2 ∈ （η，ζ），使f ′(ξ1 ) = 0, f ′(ξ 2 ) = 0, 从而存在ξ ∈ （ξ1 , ξ 2 ) ⊂ (0,3), 使得f ′′(ξ ) = 0
20.解：
(1)设η1 ,η 2为Ax = b的2个不同的解，则η1 -η 2是Ax = 0的一个非零解，故 A = (λ - 1) 2 (λ + 1) = 0, 于是λ = 1或λ = -1。 当λ = 1时，因为r ( A) ≠ r ( A, b), 所以Ax = b, 舍去。 当λ = -1时，对Ax = b的增广矩阵施以初等行变换 3 -1 1 1 a 1 0 -1 2 1 （A, b) = 0 - 2 0 1 → 0 1 0 - = B 2 1 0 0 0 1 1 1 a + 2 Ax = b有解， ∴ a = -2. (2)当λ = -1, a = -2时， 3 1 0 -1 2 1 B = 0 1 0 - , 所以Ax = b的通解为x = 2 0 0 0 0
λy1 + µy2 是该方程的解， λy1 − µy2 是该方程对应的齐次方程的解，则
1 1 ,µ = 2 2 2 1 Cλ = ,µ = 3 3
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2010年考研数学三真题 一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 32,32==μλ3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln )(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有 Ag(x)<h(x)<f(x) Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x) Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>s C 若向量组II 线性无关，则s r ≤ D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0111 7.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B 21 C 121--e D 11--e8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy10.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________12.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A14.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。
记统是来自总体n i i X n X X X σσμ 三.解答题15.求极限xxx x ln 11)1(lim -+∞→16.计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 3)(，其中D 由曲线21y x +=与直线围成及0202=-=+y x y x 。
17.求函数u=xy+2yz 在约束条件10222=++z y x 下的最大值和最小值。
18. （1）比较[]⎰⎰⋯=+11),2,1(ln )1ln(ln n dt t t dt t t n n与的大小，说明理由。
（2）记[]⎰⋯=+=1),2,1()1ln(ln n dt t t u nn ,求极限.lim n n u ∞→19.设f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且)3()2()()0(22f f dx x f f +==⎰（1）证明：存在);0()(),2,0(f f =∈ηη使 （2）证明：存在0)(),3,0(=''∈ξξf 使 20.的通解。
求方程组、）求（个不同的解。
存在已知线性方程组设b Ax a b Ax a b A ==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2(.12.11,1101011λλλλ 21.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0431410a a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T 为对角矩阵，若Q 的第一列为T )1,2,1(61，求a 、Q. 22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为+∞<<-∞+∞<<-∞=-+-y x Ae y x f y xy x ,,),(2222求常数A 及条件概率密度).(x y f X Y23.箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个。
现从箱中随机地取出2个球，记X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数。
（1）求随机变量（X,Y ）的概率分布； （2）求Cov （X,Y ）.答案：CABC ADCA9.-1 10.42π 11 )1(313-p pe 12.3 13.3 14.22μσ+三解答题 15.解：1ln 11ln 2ln ln )1(lim 1ln ln 1lim ln 1ln lim ln )1ln(lim,0ln ,,ln 11lim ln )1ln(limln ln -+∞→+∞→+∞→+∞→∞→∞→=-∴-=-=-⋅=-→+∞→-⋅-=-e x xxx x xx e x e xxx x x e xe x e xxx x xx x x x x xx x x xx xx 故而当1514)(3)321(21)3(2)3()33(11210104242232332232=-+-+=+=+=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+y yDDdy y y dy y y dx xy x dy dxdyxy x dxdy y y x xy x 原式 17.解：55-550,55-,;55,).2,0,22(),2,0,22(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(,01002202202)10(2),,,(min max 222222=====--------⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++='=+='=++='=+='-++++=u u u F E u C B u D A F E D C B A z y x F z y F y z x F x y F z y x yz xy z y x F z y x ，所以。
两点处；在两点处在两处因为在最可能的最值点令设λλλλλλ 18.lim ,0ln lim )1(111ln ln .ln )]1[ln(ln 0)1()2(.ln )]1[ln(ln ,ln )]1[ln(ln ,)1ln(,10)1(110210101111==∴+=+=-=≤+=≤≤+≤+∴≤+≤≤∞→∞→⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰n n n n n nnn nn nnn n u dt t t n dt t n tdt t dt t t dt t t dt t t u dt t t dt t t t t t t t t t 从而知由因此，当解：19.)(),3,0(),,0)(,0)(0,30),()()0().0()(),0(2)3()2(.2)3()2()(],3,2[]3,2[)(2)3()2()2().0()(),0(2)()(2)(),(2)(2)0()2(20).0()2()(),20()()()1(212121222=''⊂∈='='∈∈≤<<====++=∈+===='=-∈-=≤≤=⎰⎰⎰⎰ξξξξξξζηξηξζηζηζζζηηηηηf f f f f f f f f f f f f f x f f f f f f dx x f f dx x f f F F F F F dx x f x dt t f x F x 使得（从而存在），使，（），，（根据罗尔定理，存在且由于故由题设知使存在值定理，间，根据连续函数的介上的最小值与最大值之在介于故由题设知即），使，（，存在根据拉格朗日中值定理则设证：为任意常数。
其中的通解为所以时，当有解，（变换的增广矩阵施以初等行时，对当舍去。
所以时，因为当。
或于是的一个非零解，故是个不同的解，则的为设k k x b Ax B a a b Ax Ba ab A b Ax b Ax b A r A r A Ax b Ax ,10101321,021230000101012,1)2(.22212300001010111111020111),1-,),,()(11-1,0)1()1(0-2,)1(22121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-=-=∴==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---====≠====+-===λλλλλλληηηη21为所求矩阵。
故则有令），，（的一个单位特征向量为属于特征值），，（的一个单位特征向量为属于特征值的特征值为所以的特征多项式由于解得的一个特征向量，于是为），，解：由题设，（Q AQ Q Q A A E A a a a A A T TT,452,21316103162213161101214;11-1315.4,5,2),4)(5)(2(.2,1,121121043141012112111T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---+--=-=-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλλλ22..,1111)(),()(),(.1,)(1,,),()(22222222222222)(222)()(22+∞<<-∞====+∞-∞∈====+∞<<-∞=====---+---+-∞+∞--∞+∞--∞+∞----+∞∞----+∞∞--+-+∞∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰y ee ee xf y x f x y f x A A dx e A dx x f x e A dy e Ae dye A dy eA dy y x f x f y x y xy xx y xy xX X Y x X x x y xx x y y xy x X ππππππππ时，当从而所以解：因23.解：（1）随机变量（X ，Y ）的概率分布为： X Y 0 1 2 0 1/5 2/5 1/15 1 1/52/15(2).4543231152)(),(.152)(.3215121581520,151}2{,158}1{,52}0{31311320,31}1{,32}0{-=⨯-=⋅-===⨯+⨯+⨯========⨯+⨯=====EY EX XY E Y X Cov XY E EY Y P Y P Y P EX X P X P 所以又所以，因为。