2019年上海高考数学 拓展学习2 数列

2019年高中数学·拓展学习 数列

一、单调性：

1、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n n

S b n =⋅*

()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是

2、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是递增数列；4α：数列{}2

n a 是递增数列．其中真命题的是

3、已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意实数21,x x 都有1212()1()()f x x f x f x +=++，且(1)1f =. (1）设对任意正整数n ，有1

()

n b f n =

．若不等式12226

log (1)35

n n n b b b x +++++>

+对任意不小于2的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围．

二、新定义型：

1、（运算型）已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为

2、（方法型）设1210x x x ，，，为1210，，

，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ）

（A ）512 （B ）256 （C ）255 （D ）64

3、（运算型）已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ） A. (3,8) B. (2,16) C. (4,8)

D.

4、（运算型）对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中11()n n n a a a n N *+∆=-∈．对于正整数k ，规定{}k n a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-∆=∆-∆．若数列{}n a 的通项1

3

n n a -=，则

2122232n

a a a a ∆+∆+∆++∆=

5、（运算型）以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()

2

,0m 间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2

m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以(

)n

m

,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以n

m

为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有

元素和为n a ；则12n a a a ⋅⋅⋅+++=________.

6、（概念型）已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足： ① 不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；

② 在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n n

a

b a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等于

7、（概念型）设)2(log 1+=+n a n n )(*

∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希

望数”的个数为

8、（匹配型）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，6,231==a a ，若自然数,...,...,21k n n n 满足

......321<<<<

9、（定义型）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

1

122n n

a a +≤≤ *()n N ∈，则称{}n a 是“紧密数列”； （1）若11a =，23

2

a =

，3a x =，44a =，求x 的取值范围； （2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”； （3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围；

10、（定义型）由()2m m ≥个不同的数构成的数列12,,

n a a a 中，若1i j n ≤<≤时，j i a a <（即后面的项j a 小于前面

项i a ），则称i a 与j a 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数成为该数列的逆序数，如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因

此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列1，111

,,248--的逆序数为4.

（1）计算数列()

*2191100,n a n n n N =-+≤≤∈的逆序数；

（2）计算数列()*1,31,,1n

n n a n k n N n n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪

⎝⎭=≤≤∈⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数的逆序数；

（3）已知数列12,,n a a a 的逆序数为a ，求11,,

n n a a a -的逆序数.