第三章卡尔曼(Kalman)滤波
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波通俗理解
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用来估计系统状态的算法。
它是一种有效的滤波算法，被用于许多模式拟合场合，如智能位置跟踪或自动控制系统。
卡尔曼滤波的核心思想是，通过先验概率分布来估计状态，而这种先验概率分布是基于观察到的测量值，以及我们对变化过程的知识，形成的。
也就是说，卡尔曼滤波给出了一种融合当前观测值和之前观测值的知识技术，用之来估计状态变量，而不仅仅是根据当前观测值来估计。
它的工作原理是，从先前状态估计，然后反馈新观测的量，根据测量值更新估计状态。
这样就可以得到一个更准确的估计。
简而言之，卡尔曼滤波使得我们可以使用当前测量值和先前观测值的组合，以估计一个可能的状态，而不仅仅是根据当前测量值来估计。
这就是卡尔曼滤波的优势所在。
卡尔曼(kalman)滤波算法特点及其应用
Kalman滤波算法的特点：（1）由于Kalman滤波算法将被估计的信号看作在白噪声作用下一个随机线性系统的输出，并且其输入/输出关系是由状态方程和输出方程在时间域内给出的，因此这种滤波方法不仅适用于平稳随机过程的滤波，而且特别适用于非平稳或平稳马尔可夫序列或高斯-马尔可夫序列的滤波，所以其应用范围是十分广泛的。
（2）Kalman滤波算法是一种时间域滤波方法，采用状态空间描述系统。
系统的过程噪声和量测噪声并不是需要滤除的对象，它们的统计特征正是估计过程中需要利用的信息，而被估计量和观测量在不同时刻的一、二阶矩却是不必要知道的。
（3）由于Kalman滤波的基本方程是时间域内的递推形式，其计算过程是一个不断地“预测-修正”的过程，在求解时不要求存储大量数据，并且一旦观测到了新的数据，随即可以算的新的滤波值，因此这种滤波方法非常适合于实时处理、计算机实现。
（4）由于滤波器的增益矩阵与观测无关，因此它可预先离线算出，从而可以减少实时在线计算量。
在求滤波器增益矩阵时，要求一个矩阵的逆，它的阶数只取决于观测方程的维数，而该维数通常很小，这样，求逆运算是比较方便的。
另外，在求解滤波器增益的过程中，随时可以算出滤波器的精度指标P，其对角线上的元素就是滤波误差向量各分量的方差。
Kalman滤波的应用领域一般地，只要跟时间序列和高斯白噪声有关或者能建立类似的模型的系统，都可以利用Kalman滤波来处理噪声问题，都可以用其来预测、滤波。
Kalman滤波主要应用领域有以下几个方面。
（1）导航制导、目标定位和跟踪领域。
（2）通信与信号处理、数字图像处理、语音信号处理。
（3）天气预报、地震预报。
（4）地质勘探、矿物开采。
（5）故障诊断、检测。
（6）证券股票市场预测。
具体事例：（1）Kalman滤波在温度测量中的应用；（2）Kalman滤波在自由落体运动目标跟踪中的应用；（3）Kalman滤波在船舶GPS导航定位系统中的应用；（4）Kalman滤波在石油地震勘探中的应用；（5）Kalman滤波在视频图像目标跟踪中的应用；。
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种用于估计、预测和控制的最优滤波方法，由美国籍匈牙利裔数学家卡尔曼（Rudolf E. Kalman）在1960年提出。
卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，通过对测量数据和系统模型的融合，可以得到更准确、更可靠的估计结果。
在各种应用领域，如导航、机器人、航空航天、金融等，卡尔曼滤波都被广泛应用。
1. 卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波的基本原理是基于状态空间模型，将系统的状态用随机变量来表示。
它假设系统的状态满足线性高斯模型，并通过线性动态方程和线性测量方程描述系统的演化过程和测量过程。
具体而言，卡尔曼滤波算法基于以下两个基本步骤进行：1.1 预测步骤：通过系统的动态方程预测当前时刻的状态，并计算预测的状态协方差矩阵。
预测步骤主要是利用前一时刻的状态和控制输入来预测当前时刻的状态。
1.2 更新步骤：通过系统的测量方程，将预测的状态与实际测量值进行融合，得到最优估计的状态和状态协方差矩阵。
更新步骤主要是利用当前时刻的测量值来修正预测的状态。
通过不断迭代进行预测和更新，可以得到连续时间上的状态估计值，并获得最优的估计结果。
2. 卡尔曼滤波的优势卡尔曼滤波具有以下几个优势：2.1 适用于线性系统与高斯噪声：卡尔曼滤波是一种基于线性高斯模型的滤波方法，对于满足这些条件的系统，卡尔曼滤波能够给出最优的估计结果。
2.2 递归计算：卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，可以在每个时刻根据当前的测量值和先前的估计结果进行迭代计算，不需要保存过多的历史数据。
2.3 最优性：卡尔曼滤波可以通过最小均方误差准则，给出能够最优估计系统状态的解。
2.4 实时性：由于卡尔曼滤波的递归计算特性，它可以实时地处理数据，并及时根据新的测量值进行估计。
3. 卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在多个领域都有广泛的应用，以下是一些典型的应用例子：3.1 导航系统：卡尔曼滤波可以用于导航系统中的位置和速度估计，可以结合地面测量值和惯性测量传感器的数据，提供精确的导航信息。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波(Kalman filtering ) 一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。
由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。
斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerli ng (1958), Kalman (I960) 与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态•由于，它便于计算机编程实现，并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法，在通信，导航，制导与控制等多领域得到了较好的应用•中文名卡尔曼滤波器，Kalman滤波，卡曼滤波外文名KALMAN FILTER表达式X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)提岀者斯坦利施密特提岀时间1958应用学科天文，宇航，气象适用领域范围雷达跟踪去噪声适用领域范围控制、制导、导航、通讯等现代工程斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导—航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)， Kalman (1960)与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
2定义传统的滤波方法，只能是在有用信号与噪声具有不同频带的条件下才能实现. 20世纪40年代，N .维纳和A. H .柯尔莫哥罗夫把信号和噪声的统计性质引进了滤波理论，在假设信号和噪声都是平稳过程的条件下，利用最优化方法对信号真值进行估计，达到滤波目的，从而在概念上与传统的滤波方法联系起来，被称为维纳滤波。
卡尔曼滤波的原理说明(通俗易懂)
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卡尔曼滤波的原理说明在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名RudolfemilKalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《AnewApproachtoLinearFilteringandpredictionproblems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimalrecursivedataprocessingalgorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍（IntroductiontotheKalmanFilter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
但是，他的5条公式是其核心内容。
结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
卡尔曼滤波计算速度
卡尔曼滤波计算速度摘要：1.卡尔曼滤波简介2.卡尔曼滤波的计算速度3.影响卡尔曼滤波计算速度的因素4.如何提高卡尔曼滤波的计算速度5.结论正文：一、卡尔曼滤波简介卡尔曼滤波（Kalman filter）是一种线性最优递归滤波算法，主要用于实时估计动态系统的状态变量。
其主要优点是在观测数据存在噪声的情况下，能够实现对系统状态的精确估计。
卡尔曼滤波在许多领域都有广泛应用，如导航定位、信号处理、机器人控制等。
二、卡尔曼滤波的计算速度卡尔曼滤波的计算速度主要取决于以下几个因素：1.系统的规模：卡尔曼滤波的计算复杂度与系统状态变量的数量成正比。
状态变量越多，需要计算的矩阵乘法和加法运算越多，计算速度相对较慢。
2.观测数据的数量和质量：观测数据越多，卡尔曼滤波的计算速度会相应提高。
同时，如果观测数据的质量较高，即噪声较小，那么卡尔曼滤波的收敛速度也会较快。
3.滤波器的参数：卡尔曼滤波的计算速度还与滤波器的参数选择有关。
例如，选择合适的滤波器增益可以加速收敛速度，但过大的增益可能导致滤波器不稳定。
三、影响卡尔曼滤波计算速度的因素1.系统矩阵的规模：系统矩阵的规模直接影响卡尔曼滤波的计算速度。
如果系统矩阵较大，那么计算复杂度也会相应增加，导致计算速度较慢。
2.观测矩阵的规模：观测矩阵的规模也会影响卡尔曼滤波的计算速度。
观测矩阵越大，需要的矩阵乘法和加法运算越多，计算速度越慢。
3.噪声水平：观测数据的噪声水平会影响卡尔曼滤波的收敛速度。
噪声越大，滤波器需要更多的迭代次数才能达到预定的收敛精度，计算速度相应降低。
四、如何提高卡尔曼滤波的计算速度1.优化系统模型：通过选择合适的系统模型，可以降低系统矩阵的规模，从而提高卡尔曼滤波的计算速度。
2.采用近似计算方法：对于大规模的系统，可以采用近似计算方法，如矩阵分解、Cholesky 分解等，以降低计算复杂度。
3.并行计算：利用现代计算机的多核处理器，可以实现卡尔曼滤波的并行计算，从而提高计算速度。
第三章卡尔曼(Kalman)滤波
(2)设它们之间的差yk 称为新息（innovation):
yk =yk -yˆk'
显然：新息的产生中包含了:动态噪声wk-1
和量测噪声k的信息成分。
因此，可用新息yk
乘以一个修正矩阵H
k
,来代替wk
。
-1
对xk 进行估计：
xˆk Ak xˆk 1 wk -1
yk为新息， yk 为新息过程。再此先介绍新息过程的重要性质。
新息过程的性质
性质1：n时刻的新息 yn 与所有过去的
观测数据y1, y2 , y3, , yn-1正交，即
Eyn yk 0, 1 k n -1
表明：新过程 yk 与原观测过程 yk
的线性空间正交。
性质2 新息过程由彼此正交的随机序列 yn 组成，
m为yk的维数，
n为k的维数，
ck xk是信号真值， 它是状态变量xk 各分量的线性组合。
即： sk ck xk
将式子代入 ： yk＝ck xk＋k＝sk＋k
含义：观察或量测到的信号yk包括信号的真值与噪声。
信号的真值是一个多维矢量， 它是状态变量xk 各分量的线性组合。
在维纳滤波中： 希望得到s(n)的估计值sˆ(n) 与真值s(n)间的均方误差最小。
来估计信号的当前值 以均方误差最小条件下求解 系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(n)
卡尔曼滤波
不需要全部过去的观察数据
只根据前一个估计值 xˆk -1 和最近一个观察数据 yk 来估计信号的当前值 它是用状态空间法描述系统， 即由状态方程和量测方程组成。
解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的
x(1) Ax(0) Be(0) x(2) Ax(1) Be(1) A2x(0) ABe(0) Be(1)
卡尔曼滤波 详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波(Kalman Filter)是一种用于估计系统状态的算法，广泛应用于控制系统、信号处理、机器人导航等领域。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动态模型和测量数据的信息来对系统状态进行估计，同时最小化估计误差的方差。
在实际应用中，卡尔曼滤波能够对系统状态进行高效、准确的估计，并具有良好的鲁棒性和适应性。
卡尔曼滤波的核心思想可以简单概括为“测量并补偿”，即先通过传感器测量得到当前的状态信息，然后利用系统动态模型来预测下一时刻的状态，再将测量值与预测值进行比较，通过加权平均的方式得到最终的估计值。
要实现这个过程，需要建立卡尔曼滤波的基本模型，包括状态转移方程、观测方程、协方差矩阵和初始状态。
卡尔曼滤波的核心步骤包括预测阶段和更新阶段。
预测阶段主要利用系统动态模型对状态进行预测，以及计算预测误差的方差。
预测阶段包括以下几个步骤：1. 状态预测：根据系统动态模型和当前状态估计值，预测下一时刻的状态估计值。
2. 协方差预测：根据系统动态模型和当前状态协方差矩阵，预测下一时刻的协方差矩阵。
3. 估计误差的量化：计算预测值与真实值之间的估计误差，以及预测误差的方差。
更新阶段主要利用测量数据对状态进行修正，以及更新协方差矩阵。
更新阶段包括以下几个步骤：1. 估计增益：根据协方差矩阵和观测噪声方差，计算估计值与观测值之间的加权比例。
2. 状态修正：利用估计增益和测量值对状态进行修正。
3. 协方差修正：利用估计增益对协方差矩阵进行修正。
卡尔曼滤波的应用非常广泛，包括导航系统、车辆控制、信号处理、自动驾驶、机器人导航等领域。
卡尔曼滤波能够对系统状态进行高效、准确的估计，并且具有良好的鲁棒性和适应性，对噪声和误差具有较好的鲁棒性。
此外，卡尔曼滤波具有良好的数学基础和理论支撑，能够直接应用于许多复杂的系统中。
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引入
在讨论维纳滤波时，提出一个基本概念： 任何具有有理功率谱密度的随机信号都可看作 是白色噪声通过一个线性网络所形成。 由此得到维纳滤波器的信号模型
w(n)
s(n)
A(z)
v(n)
w(n)
s(n)
x(n)
A(z)
w(n)
B(z)
x(n)
为了得到卡尔曼过滤的信号模型，必须 首先讨论状态方程和量测方程。
当已知初始状态x(0)、激励e j以及A与B矩阵，
即可求得x(k )。。
如果用k0表示起始点的k值从x(k )开始递推，从而有
k 1
x(k) k,k0x(k0 ) k, j1Be( j) j k0
k0 0：表示从初始状态x(0)开始递推。
k ,k 0：代表从k0状态到k 状态的转移矩阵。
在卡尔曼滤波中： 希望得到xk的估计值xˆk与xk间 最小均方误差。有了xˆk也就得到了sˆk。
提问：sk 和xk的关系？
来估计信号的当前值 以均方误差最小条件下求解 系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(
只根据前一个估计值 xˆk -1 和最近一个观察数据 yk 来估计信号的当前值 它是用状态空间法描述系统， 即由状态方程和量测方程组成。
解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的
第三章 卡尔曼(Kalman)滤波
第一节 引言
卡尔曼生平
卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈 牙利数学家，1930年出生于匈牙利 首都布达佩斯。1953，1954年于麻 省理工学院分别获得电机工程学士 及硕士学位。1957年于哥伦比亚大 学获得博士学位。我们在现代控制 理论中要学习的卡尔曼滤波器，正 是源于他的博士论文和1960年发表 的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》 （线性滤波与预测问题的新方法）。
一、离散状态方程及其解
离散状态方程的基本形式是：
x(k 1) Ax(k) Be(k)
其中x(k)代表一组状态变量组成的多维状态矢量， 而A，B都是矩阵，它们是由系统的拓扑结构、元件 性质和数值所确定的。
e(k) 是激励信号。
状态方程是多维一阶的差分方程。 当已知初始状态x(0)， 可用递推的方法得到它的解 x(k)
1.引言
卡尔曼(Kalman)滤波和维纳(Wiener)滤 波都是以最小均方误差为准则的最佳线 性估计或滤波。
2.适用范围
维纳滤波只适用于平稳随机过程(信号) 卡尔曼滤波没有这个限制，信号可以是
平稳的，也可以是非平稳的。
3.处理方法
维纳滤波器 根据全部过去的和当前的观测数据x(n),x(n-1), …
其算法是递推
且状态空间法采用 在时域内设计滤波器的方法
因而适用于多维随机过程的估计； 离散卡尔曼算法适用计算机处理。
4.信号模型的建立
从信号模型的建立来看： 维纳滤波的信号模型是从信号与噪声的相关函
数得到。 卡尔曼滤波的信号模型则是从状态方程和量测
方程得到。
卡尔曼滤波器的特点是什么？
第二节 卡尔曼滤波器的信号模型 —离散状态方程与量测方程
m为yk的维数，
n为k的维数，
ck xk是信号真值， 它是状态变量xk 各分量的线性组合。
即： sk ck xk
将式子代入 ： yk＝ck xk＋k＝sk＋k
含义：观察或量测到的信号yk包括信号的真值与噪声。
信号的真值是一个多维矢量， 它是状态变量xk 各分量的线性组合。
在维纳滤波中： 希望得到s(n)的估计值sˆ(n) 与真值s(n)间的均方误差最小。
第二项：
k 1
Ak1 j Be( j)：只与激励和系统本身特性有关，
j0
而与初始状态无关，称为零状态响应。
令Ak (k)代入，得：
k 1
x(k) (k)x(0) (k 1 j)Be( j) j0
当ek 0时，x(k) (k)x(0) Ak x(k)
由此可见，通过 k 可将k 0时的状态过渡到 任何k 0的状态。故称 k 为过渡矩阵或转移矩阵。
如果k0 k 1，就得到一步递推公式： x(k ) k,k1x(k 1) (0)Be(k 1) 由于(0) A0 I，代入上式，得：
x(k ) k,k1x(k 1) Be(k 1)
假设激励源为白噪声，即 Be(k 1)＝w(k -1) 称为系统动态噪声， 而系统是时变的，即 k,k1＝A(k ) 其中A(k )为状态变量之间的增益矩阵， 可以随时间发生变化；
总结
状态方程的核心是：设置状态变量， 状态变量是网络内部（最少的）节点变量， 一般设在延迟支路的输出端，状态方程刻 画了状态变量下一时刻的取值与当前时刻的 状态变量和输入之间的关系。
x(k 1) Ax(k) Be(k) 一步递推状态方程： x(k) A(k)x(k 1) w(k -1)
二、离散时间系统的量测方程
x(1) Ax(0) Be(0) x(2) Ax(1) Be(1) A2x(0) ABe(0) Be(1)
k 2
x(k 1) Ak1x(0) Ak2 j Be( j) j0 k 1
x(k ) Ak x(0) Ak1 j Be( j) j0
其中第一项： Ak x(0)：只与系统本身的特性A和初始状态x(0)有关， 与激励信号e( )无关，称为零输入响应；
则： x(k) A(k)x(k 1) w(k -1) 为了书写方便，将变量k放在下标表示， xk Ak xk 1 wk -1
说明： 在k时刻的状态x(k )可以由它前一个时刻 的状态x(k -1)来求得，即：x(k -1)时刻以前 各状态的影响都已记忆在x(k -1)中了。 称为一步递推状态方程。
卡尔曼滤波需要依据观测数据对系统状态进行估计。 因此，除了要建立系统的状态方程， 还需要建立一个量测方程。 假设观测系统是线性的， 对于离散时间系统的量测方程可写成：
yk ck xk k
式中：
yk为观察或量测到的信号矢量序列，
k为观察噪声序列，
ck是观测矩阵(m n)：表示状态变量与输出信号 之间的增益矩阵，可随时间变化；