23.三角形中的线段计算,几何证明以及面积计算

DHFEPCBADHFEPCBA线段计算，几何证明1.AD 是⊙O 的直径，且AD=6。

A 、B 、C 、D 、E 、F 为⊙O 的六等分点，P 为劣弧⋂AF 上一动点，连接PA 、PB 、PD 、PE 。

(1)当点P 运动到点F 时，求出PA+PB 的值；（2）当点P 运动到⋂AF 之间时（不与点A 与点F 重合），求出PDPB PEPA ++值.(3)令t= PA+PB+PD+PE ，请直接写出t 的取值范围.2.已知，Rt △ABC 中，∠BAC ＝900，AH ⊥BC 于H ，P 是AB 上一动点，AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，HD 与BE两延长张交于点F 。

（1）当AB ＝AC 时，求∠BFH 的度数。

（2）当∠ABC=30°时，探求BF 与CD 的数量关系，说明理由。

（3）当∠ABC=α时，直接用α的代数式表示CDBF的值。

3.如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，点P 为DC 上一点，且AP=AB ，过点C 作CE ⊥BP 交直线BP 于E .（1）若BC AB =43,求证BP=23CE ；（2）若AB=BC ,①如图2，当点P 与E 重合时，求PCPD 的值：②如图3，设∠DAP 的平分线AF 交直线BP 于F ，当CE=1，PC PD =74时，直接写出线段AF 的长为______．ABC DPE (E )P DC B AFEPDCB A4.已知：如图①，△ABC 中，AI 、BI 分别平分∠BAC 、∠ABC ．CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，交BI 延长线于E ，联结CI ．（1）设∠BAC=2α．如果用α表示∠BIC 和∠E ，那么∠BIC= ，∠E= ；（2）如果AB=1，且△ABC 与△ICE 相似时，求线段AC 的长；（3）如图②，延长AI 交EC 延长线于F ，如果∠α=30°，sin ∠F=，设BC=m ，试用m 的代数式表示BE ．5.已知：正方形ABCD的边长为4，点E为BC的中点，点P为AB上一动点，沿PE翻折△BPE 得到△FPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G，联接EQ．（1）如图，当BP=1.5时，求CQ的长；（2）如图，当点G在射线AD上时，BP=x，DG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）延长EF交直线AD于点H，若△CQE与△FHG相似，求BP的长．6.如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求证：AC=AD；（2）点G为线段CD延长线上一点，将GC绕着点G逆时针旋转β，与射线BD交于点E．①如图1，若β=α，DG=2AD，试判断BC与EG之间的数量关系，并证明你的结论；②若β=2α，DG=kAD，请直接写出的值（用含k的代数式表示）．7.如图△ABC 中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D 是BC 的中点，点P 从B 出发，以a 厘米/秒（a ＞0）的速度沿BA 匀速向点A 运动，点Q 同时以1厘米/秒的速度从D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t 秒．（1）若a=2，△BPQ ∽△BDA ，求t 的值；（2）设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形． ①若a=，求PQ 的长；②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．8.在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，BC 上有一动点P ，作12BPE ACB ∠=∠，PE交BO 于点E ，过B 点作BF ⊥PE ，垂足为F ，且BF 交AC 于点G . （1）（3分）当P 点与C 点重合时（如图1），求证：EP =BG . （2）（3分）若P 点与C 点不重合（如图2），求BFPE的值，并证明. （3）（4分）把正方形ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图3），若∠ACB =α，求BFPE的值（用含α的式子表示并证明）.图1图2图39.已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合），E'为CB延长线上一点，且DE=BE'，连接AE、AE'、EE'.∠的度数；（1）如图1，求AEE'（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作EM∥AD交直线AF于点M，写出线段DE、BF、ME之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE=ME的长.10.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC边上一动点，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交AC、BA或其延长线于F、E两点. (1) 如图1，当BC＝5BD时，求证：EG⊥BC；(2) 如图2，当BD＝CD时，FG＋EG是否发生变化？证明你的结论；(3) 当BD＝CD，FG＝2EF时，DG的值＝_________BFB11.已知：如图①，△ABC 中，AI 、BI 分别平分∠BAC 、∠ABC ．CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，交BI 延长线于E ，联结CI ．（1）设∠BAC=2α．如果用α表示∠BIC 和∠E ，那么∠BIC= ， ∠E= ；（2）如果AB=1，且△A BC 与△ICE 相似时，求线段AC 的长；（3）如图②，延长AI 交EC 延长线于F ，如果∠α=30°，sin ∠F=35，设BC=m ，试用m 的代数式表示BE ．12.如图1，Rt △ABC 中，∠C=90°，tanB=43，点E 、F 、D 分别在三条边上， EF ∥AB ，ED∥AC . （1）求证：;DBADFA CF = （2）如图2，将△FCE 绕点C 逆时针旋转，点P 、G 分别为EF 、AB 的中点，若AF=9，求PG 的长;（3）如图3，将△DEB 绕点B 顺时针旋转，点H 、G 为AB 、DB 的中点，直接写出CEGH的值.（第24题图②）FABCDEI（第24题图①）ABCDEI13.在△ABC 中，∠ACB =90°，经过点B 的直线l (l 不与直线AB 重合)与直线BC 的夹角等于∠ABC ，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E 。

(1)若∠ABC =45°，CD =1(如图1),则AE 的长为__________; (2)写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明； (3)若直线CE 、AB 交于点F ,,4,65==CD EF CF 求BD 的长。

14.如图所示，现有一张正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．(1) （本小题2分+3分=5分）如图24-1，① 求证：APB BPH ∠=∠② 若AB=4，当点P 为边AD 的中点时， 求PH 的长；（2）（本小题2分）如图24-2，点P 为边AD 上一点，若将正方形纸片ABCD 沿BP 折叠，如图，点A 的对应点Q 落在正方形ABCD 的内部，且90DQC ∠=︒,请直接写出PAPD=__________．AB C(E) lQPDCBA (图24-1) (图24-2(3)（本小题3分）如图24-3， 点P 为边AD 上一点，连接CP 并延长交BA 的延长线于点E ，连接ED 、OP ，OP 的延长线交ED 于点F ，若60DEA ∠=︒，求DFOF的值；15.如图1，△ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，DE =DC ，点F 是DE 与AC 的交点，且DF =FE ．（1）图1中是否存在与∠BDE 相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）求证：BE =EC ； （3）若将“点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上”和“点F 是DE 与AC 的交点，且DF =FE ”分别改为“点D 在AB 上，点E 在CB 的延长线上”和“点F 是ED 的延长线与AC 的交点，且EF =kDF ，其他条件不变（如图2）．当AB =1，∠ABC =a 时，BE 的长（用含k 、a 的式子表示）．F EO P D C B A (图24-3)16.已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，点M 为BC 上一点，点E 、N 在AC 上，且EB=EM ，NM=NC ， （1）求证：∠EMN=∠BEC ；（2）探究：AE 、EN 、CN 之间的数量关系，并给出证明；（3）如图2，过点B 作BH ∥EM 交NM 的延长线与H ，当n BM CM 时，求MNHM的值17.在△ABC 中，∠A=90°，点D 在线段BC 上，∠EDB=21∠C ， BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．（1）当AB=AC 时，（如图1）， ①∠EBF=______________②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明； （2）当AB=kAC 时（如图2），直接写出 FDBE的值_______________（用含k 的式子表示）．18.如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC．（1）求证：∠ACF=∠ADB；若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；（3）当⊙P 的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．19.如图，△ABC中，AD⊥BC ，DE⊥AC于E，AF⊥BE于H，交DE于F，（1）求证：△ADF∽△BCE（2）若AB=AC，求证：DF=EF（3）在（2）的条件下，若∠EAF=300，直接写出cos∠EBC的值BB20.如图，在等腰直角△ABC 中，AC=BC ，D 为边BC 上一动点，过B 作BE ⊥AD 于E ，过D 作DF ⊥AB 于F.①当DC ＝DB=1时，BE= ；②当∠CAD=∠BAD 时，分别求出tan∠CFD 与tan ∠EFD 的值；③当D 在边BC 上运动时，AD 与CF 交于M, BD 与EF 交于N,求证：tan ∠BAD=MADN NBDM ⋅⋅。

21.已知矩形ABCD ，M 是AD 边上一点.(1) 如图1，AM =MD ，BM 交AC于F 点，BM 的延长线与CD 的延长线交于点E ，连AE . 求证：EBEMBF MF =； (2) 如图2，AM=MD ，过点D任意作直线与BM ，BC 的延长线分别交于点E ，点P . 连AE . 求证：∠EAD =∠PAD ；(3) 如图3，E 是CD 延长线上一点，P 是BC 延长线上一点，AP 交CD 于Q 点，BE 交AD 于M 点，延长AD 交EP 于N 点，若M 是AN 的中点，且AB =3，BC=4，求△AEP 的面积.22.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝16cm ，DE ＝4cm ．动线段DE(端点D 从点B 开始)沿BC 边以1cm/s 的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF ∥AC 交AB 于点F(当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合)，连接DF ，设运动的时间为t 秒(t ≥0)． (1) 求出线段EF 的长(用含t 的代数式表示)；(2) 在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；(3) 设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．23.如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC =BC ，D 为AC 边上一点， 以BD 为边作正方形BDEF. (1) 求证： AE ⊥AB ；(2) 如图2，P 为正方形BDEF 的对角线的中点，直线CP 分别交BD 、EF 于M 、N 两点. ①求证: △BCM ∽△PFN ； ②若32=AD DC ，则=FNEN. (直接写出结果,不需要过程）BCD EAB (D )CEF图2A D24.如图1，梯形ABCD 中AB ∥CD ，且AB =2CD ，点P 为BD 的中点，直线AP 交BC 于E ，交DC的延长线于F ． （1）求证：DC =CF ；（2）求APPE的值； （3）如图2，连接DE ，若AD ⊥ED ，求证：∠BAE =∠DBE ．25.已知，正方形ABCD 中，AB=6，点P 是射线BC 上的一动点，过点P 作PE ⊥PA 交直线CD 于E ，连AE.(1)如图1，若BP=2，求DE 的长；（2）如图2，若AP 平分∠BAE ，连PD ，求DPE ∠tan 的值； （3）直线PD 、AE 交于点F ，若BC=4PC ，则EFAF=____________. 图1DECP BA图2DECP BAF图3DECP BA26.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，D是BC边上一动点，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交AC、BA或其延长线于F、E两点（1）如图1，当BC=5BD时，求证：EG⊥BC；（2）如图2，当BD=CD时，FG+EG是否发生变化？证明你的结论；（3）当BD=CD，FG=2EF时，DG的值=或．27.在△ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B 出发，在BC边上以相同的速度向C运动，过点D作DE∥BC交AC于点E．运动时间为t秒．（1）若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形；（2）连接AF、CD．若BD＝DE，求证：∠BAF＝∠BCD；（3）AF交DE于点M，在DC上取点N，使MN∥AC，连接FN．①求证：BFCF＝DNCN；②若AB＝5，BC＝6，AC＝4，当MN＝FN时，请直接写出t的值．28.等边⊿ABC 的边长为6，点E 、F 分别是边AC 、BC 上的点，连结AF ，BE 相交于点P . （1）若AE =CF ： ①求∠APB 的度数.②若AE =2，试求的AF AP 值.（2）若AF=BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长．29.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD ∥BC ，CD ⊥AC ，连BD ，交AC 于E .（1）如图（1），若∠BAC =60°，求AEEC的值； （2）如图（2），CF ⊥AB 于F ，交BD 于G ，求证：CG =FG ；（3）若AB =13，tan ∠ABC =32，直接写出EC 的长为 .图(1)E DCBA图(2)GFEDC BA EDCBA备用图。