数理统计 (5) PPT课件
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概率论与数理统计课件完整版.ppt
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质：
性质1. P() 0.
性质2. 若 A1, A2, , An是两两互不相容的事件, 则 P(A1 A2 An)
P(A1) P(A2) P(An). (有限可加性)
性质3. 若A B,则有 P(B A) P(B) P(A);
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 , 两两互不相容, 则
P(Bi | A) P(B i | A).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
A2 , A2 A3 , A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 A3 , A1 A2 A2 A3 A1 A3 .
25
2.概率的性质：
性质1. P() 0.
性质2. 若 A1, A2, , An是两两互不相容的事件, 则 P(A1 A2 An)
P(A1) P(A2) P(An). (有限可加性)
性质3. 若A B,则有 P(B A) P(B) P(A);
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 , 两两互不相容, 则
P(Bi | A) P(B i | A).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
A2 , A2 A3 , A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 A3 , A1 A2 A2 A3 A1 A3 .
概率论与数理统计第五节 条件概率.ppt5(最新版)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一 项用乘法公式
代入数据计算便可得结果， 我们这里略去计算。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例题选讲 例题1 设在10个同一类型的元件中有7个一等品, 从这些元件中不放回地连续取3次,每次取一个元件, 7 ( ) 求: 1) 3次取得一等品的概率 24 119 2) 3次中至少一次取得一等品的概率 （ ）
120
例题2 设P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A | B) 0.6 求P( AB), P( A | A B)的值
解 设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所 求的概率为P ( A1... An1 An1 1... An ) p
则 p P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( An1 | A1 An1 1 ) *P( An1 1 | A1 An ) P( An | A1 An1 An1 1 An-1 )
B
AB A
S
2 定义
P( AB) 设A,B是两个事件且P(A)>0,称 P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
条件概率也符合概率的公理化定义中的三个条件：
1) 非负性 对于每一事件B,有P(B|A)>=0;
2) 规范性 对于必然事件S,有P(S|A)=1;
3) 可列可加性 :
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B A) ：
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一 项用乘法公式
代入数据计算便可得结果， 我们这里略去计算。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例题选讲 例题1 设在10个同一类型的元件中有7个一等品, 从这些元件中不放回地连续取3次,每次取一个元件, 7 ( ) 求: 1) 3次取得一等品的概率 24 119 2) 3次中至少一次取得一等品的概率 （ ）
120
例题2 设P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A | B) 0.6 求P( AB), P( A | A B)的值
解 设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所 求的概率为P ( A1... An1 An1 1... An ) p
则 p P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( An1 | A1 An1 1 ) *P( An1 1 | A1 An ) P( An | A1 An1 An1 1 An-1 )
B
AB A
S
2 定义
P( AB) 设A,B是两个事件且P(A)>0,称 P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
条件概率也符合概率的公理化定义中的三个条件：
1) 非负性 对于每一事件B,有P(B|A)>=0;
2) 规范性 对于必然事件S,有P(S|A)=1;
3) 可列可加性 :
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B A) ：
概率与数理统计 5.3 中心极限定理.ppt
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 有
X ~ N (120, 48) (近似)
问题转化为求 a , 使
P(0 rX a) 99.9%
P(0 rX a) a / r 120 0 120 48 48
a / r 120 (17.32) 48 0
P(Xi k) p1 p k1 , p1/3 k 1,2,
(几何分布)
E( X i )
1 p
p1/ 3
3,
D(Xi )
1
p
p
2
p1/ 3
6
100
X1, X 2,, X100 相互独立, X X k
k 1
E( X ) 300, D( X ) 600
根据第二章知识若 X ~ N(, 2) 则X的标准化 随机变量
Y ( X EX ) / DX ( X ) / ~ N (0,1)
若X1, X2, …Xn为独立同分布的随机变量，
n
X i ~ N (, 2 ) ，则 X i ~ N (n, n 2 ) i 1
其标准化随机变量
X n X n1 Yn (n 1)
其中Xn是第n天该商品的价格.如果今天 的价格为100，求18天后该商品的价格 在 96 与 104 之间的概率.
解 设 X 0 表示今天该商品的价格, X 18为18
天后该商品的价格, 则
18
X18 X17 Y18 X16 Y17 Y18 X 0 Yi
0! 1!
3°用正态分布近似计算
PX 2 1 PX 2 1 PX 1
1 (1 np ) npq
X ~ N (120, 48) (近似)
问题转化为求 a , 使
P(0 rX a) 99.9%
P(0 rX a) a / r 120 0 120 48 48
a / r 120 (17.32) 48 0
P(Xi k) p1 p k1 , p1/3 k 1,2,
(几何分布)
E( X i )
1 p
p1/ 3
3,
D(Xi )
1
p
p
2
p1/ 3
6
100
X1, X 2,, X100 相互独立, X X k
k 1
E( X ) 300, D( X ) 600
根据第二章知识若 X ~ N(, 2) 则X的标准化 随机变量
Y ( X EX ) / DX ( X ) / ~ N (0,1)
若X1, X2, …Xn为独立同分布的随机变量，
n
X i ~ N (, 2 ) ，则 X i ~ N (n, n 2 ) i 1
其标准化随机变量
X n X n1 Yn (n 1)
其中Xn是第n天该商品的价格.如果今天 的价格为100，求18天后该商品的价格 在 96 与 104 之间的概率.
解 设 X 0 表示今天该商品的价格, X 18为18
天后该商品的价格, 则
18
X18 X17 Y18 X16 Y17 Y18 X 0 Yi
0! 1!
3°用正态分布近似计算
PX 2 1 PX 2 1 PX 1
1 (1 np ) npq
概率论与数理统计课件第5章-PPT精品文档
PX Q 0 . 5 2
1
第三四分位数Q3： PX Q 0 . 7 5 3
例1
为对某小麦杂交组合F2代的株高X进行研究，抽
取容量为100的样本，测试的原始数据记录如下(单位： 厘米)，试根据以上数据，画出它的频率直方图，求随
机变量X的分布状况。
87 99 86 87 84 85 96 90 103 88 91 94 94 91 88 109 83 89 111 98 102 92 82 80 91 84 88 91 110 99 86 94 83 80 91 85 73 98 89 102 99 81 80 87 95 70 97 104 88 102 69 94 95 92 92 90 94 75 91 95 102 76 104 98 83 94 90 96 80 80 90 92 105 92 92 90 94 97 86 91 95 94 88 96 80 94 92 91 77 83
样本方差( X X i n 1i 1
几个常用的统计量
设 (X ,X , 1 2 是总体 X 的一个样本， ,X n) 样本均方差或标准差
2 1 n S X i X n 1i 1
它们的观测值用相应的小写字母表示.反映总 体X取值的平均，或反映总体X取值的离散程度。
几个常用的统计量
设 (X ,X , 1 2 是总体 X 的一个样本， ,X n)
子样的K阶（原点）矩
1 n k Ak X i n i 1
子样的K阶中心矩
1 B k X i X n i1
n
k
数据的简单处理
为了研究随机现象，首要的工作是收集原始数据. 一般通过抽样调查或试验得到的数据往往是杂乱无章
医用数理统计方法课件第五章抽样估计
医用数理统计方法课件第五章 抽样估计
简介
抽样估计的基本概念和方法
本章介绍抽样估计的基本概念和方法，包括点估计和区间估计。点估计涵盖 最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计；区间估计包括置信区间和可靠区间的 定义和计算方法。
点估计
最大似然估计
最大似然估计是一种重要的点估计方法，通过寻找使样本观测概率最大的参数值来进行估计。举例说明最大似 然估计在医学研究中的应用。
置信区间是用于估计总体参数范围的一种方法，提供了对估计结果的不确定性的度量。介绍置信区间的概念、 构造方法和在医学研究中的实际应用。
可靠区间
可靠区间是一种用于估计样本大小和统计误差之间关系的方法。讨论可区间的概念、构造方法以及在医学研 究中的应用案例。
总结
本章内容总结，重点强调抽样估计在医学研究中的应用和意义。抽样估计是一种重要的统计推断方法，能够为 研究者提供准确可靠的参数估计，以支持科学研究的发展。
矩估计
矩估计是一种常用的统计推断方法，基于样本矩与总体矩之间的对应关系进行参数估计。详细介绍矩估计的概 念、估计方法和在医学研究中的应用。
贝叶斯估计
贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，结合了先验信息和样本信息进行参数估计。探讨贝叶斯估 计的概念、估计方法和在医学研究中的应用。
区间估计
置信区间
数学数理统计PPT课件
b}P{anpnnpbnp}
npq npq npq
(bnp)(anp)
npq
npq
-25-
例 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间
要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互 独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X~B(n,p), 其 n 2 中 p 0 0 0. n ,0 1 p 5 n 0 ,- , p p ( 3 ) .0 1 .8 设有N 条外线。由题意有 P{XN}0.9
去掉，代之以 （Markov） 大数定律
1
n2
D n k1
Xk
n0
-11-
二 随机变量的收敛性
定义1 设 X1,X2,,Xn, 为一列随机变量，如果
存在常数 a使得对于任意的 0, 有
ln i P m X n a 1
则称 X n 依概率收敛于 a, 记为 Xn Pa
定义2 设 X1, X2, ,为一列随机变量,X是随机变量
准备工作
1) 切比雪夫不等式
设 X为一随机变量, 其数学期望 E( X )和方差 D( X )
都存在，则对于任意 0, 有
PXE(X) 22
2) A.L.Cauchy－Schwarz不等式.
设 r.v (X ,Y) ，满足 EX 2 , EY 2 则有
E(XY)2 EX2EY2
-3-
贝努里（Bernoulli） 大数定律
n i1
Xi
b}P{ani1
Xi n bn
}
n
n
n
(bn)(an)
n
n
-20-
武汉大学数理统计ppt 5回归分析
…,
yn
的总变差为
:
S
2 总
( yi y)2
i 1
y
yi
yˆ 0 1 x
y i yˆ i
aˆ
yˆ
y
o
xi
x
可以证明
n
n
n
S
2 总
( y i y ) 2 ( yˆ i y ) 2 ( y i yˆ i ) 2
i 1
i 1
i 1
n
S
2 回
( yˆ i y ) 2
i 1
n
出检验.
（2）如果方程真有意义，用它预测y时，预测值与
真值的偏差能否估计？
4．线性回归方程的显著性检验
对任意两个变量的一组观察值
(xi , yi)， i=1, 2, …, n 都可以用最小二乘法形式上求得 y 对 x的 回归方程, 如果y 与x 没有线性相关关系, 这种形式的回归方程就没有意义 .
i 1
ˆ 0 y ˆ1 x
x
1 n
n i 1
xi
y
1 n
n i 1
yi
n
n
若记பைடு நூலகம்Lxx ( xi x )2 xi2 nx 2
i 1
i 1
n
n
Lxy ( xi x )( yi y ) xi yi nxy
i 1
i 1
n
n
Lyy ( yi y )2 yi2 ny 2
y x 1
高尔顿对此进行了深入研究.他们将观察值在平 面直角坐标系上绘成散点图,发现趋势近乎一条直线, 计算出的回归直线方程为
yˆ 3 3 .7 3 0 .5 1 6 x
在回归分析中, 当自变量只有两个时, 称 为一元回归分析; 当自变量在两个以上时, 称 为多元回归分析. 变量间成线性关系, 称线性 回归,变量间不具有线性关系, 称非线性回归.
概论论与数理统计讲义 (5)
长度在 10.05 0.12 内为合格品，试求螺栓为合格品 的概率。
解： 根据假设 X～N（10.05,0.062），记 a=10.05-0.12，
b=10.05+0.12,则
P{螺栓为合格品} = P{a X b} (b ) (a )
=Φ(2)-Φ(-2) =2Φ(2)-1
=2×0.9772-1=0.9544
概率密度的性质
特征性质:
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
【注】这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
几何意义:
f(x)
面积为1
x
0
其他性质：
1) 对于任意区间(a, b], 有
b
P{a X b} a f ( x)dx
几何意义:
可计算X落在(a, b] 内的概率
3) 对连续型随机变量X , 有
P(a X b) P(a X b)
b
P(a X b) P(a X b) f (x)dx a
几何意义:
f(x)
b
f (x)dx S
a
x
0a
b
例1：设随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
a
cos
x
0
x
2 其它
求 P(0 X )
4
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F
(
x)
F
(
x0
)
以上三条随机变量的分布函数的特征性质.
离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量 X 的分布律是
P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,…
解： 根据假设 X～N（10.05,0.062），记 a=10.05-0.12，
b=10.05+0.12,则
P{螺栓为合格品} = P{a X b} (b ) (a )
=Φ(2)-Φ(-2) =2Φ(2)-1
=2×0.9772-1=0.9544
概率密度的性质
特征性质:
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
【注】这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
几何意义:
f(x)
面积为1
x
0
其他性质：
1) 对于任意区间(a, b], 有
b
P{a X b} a f ( x)dx
几何意义:
可计算X落在(a, b] 内的概率
3) 对连续型随机变量X , 有
P(a X b) P(a X b)
b
P(a X b) P(a X b) f (x)dx a
几何意义:
f(x)
b
f (x)dx S
a
x
0a
b
例1：设随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
a
cos
x
0
x
2 其它
求 P(0 X )
4
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F
(
x)
F
(
x0
)
以上三条随机变量的分布函数的特征性质.
离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量 X 的分布律是
P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,…