综合评价与决策方法
综合评价与决策方法
样的。为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有
同等的表现力，数据分析中常对数据进行标准化处理，
即
bij
aij
sj
aj
，i
1, 2,
,m，j 1,2,
,n， （14.14）
其
中
aj
1 m
m
aij
i 1
， sj
1 m
1
m i 1
(aij
xj
)2
，
j 1,2, ,n。
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见表 14.4（程序略）。
表 14.4 表 14.1 的数据经规范化后的属性值
j 人均专著 x1 生师比 x2 i
1 0.0638
0.597
科研经费 x3
0.3449
逾期毕业 率 x4
0.4546
2 0.1275
0.597
0.4139
0.5417
3 0.2550
0.4975
0.4829
0.6481
4 0.5738
,n.
（14.4）
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数学 建模
（4）计算各方案到正理想解与负理想解的距离
备选方案di 到正理想解的距离为
n
si*
(cij c*j )2 ，i 1,2, , m.
j1
（14.5）
备选方案di 到负理想解的距离为
n
si0
(cij
c
0 j
)2
，i
1, 2,
,m.
j1
（14.6）
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数学 建模
（5）计算各方案的排序指标值（即综合评价指数）
综合评价决策模型方法_数学建模
综合评价决策模型方法_数学建模决策模型方法是一个重要的工具，用于解决复杂的决策问题。
综合评价决策模型方法是一个基于多个指标或因素对决策方案进行评价的方法。
该方法在数学建模中常用于分析多个决策方案的优劣，帮助决策者做出最优决策。
首先，层次分析法是一种定性与定量相结合的分析方法，用来解决多个指标之间的相对重要性问题。
它通过建立层次结构，将问题分解为若干个层次，并对各层次进行权值的确定，从而得到最终的评价结果。
层次分析法主要包括建立层次结构模型、构造判断矩阵、计算权重和一致性检验等步骤。
其优点是结构明确、能够定量地评价各指标之间的重要性，但也存在权重确定的主观性较强的问题。
其次，灰色关联度法是一种基于灰色理论的模型，用于评价多个指标之间的关联程度。
它通过建立灰色关联度模型，将多个指标的值转化为灰色数列，进行关联度计算，从而得到各指标的权重。
灰色关联度法主要包括灰色关联度计算和权重确定两个步骤。
其优点是能够考虑指标之间的关联关系，但也存在对指标值的灵敏度较高的问题。
再次，熵权法是一种基于信息熵的权重确定方法，用于评价多个指标的重要性。
它通过计算各指标的熵值和权重，得到最终的评价结果。
熵权法主要包括计算指标熵值、计算指标熵权和综合计算这三个步骤。
其优点是能够客观地确定指标的权重，但也存在对指标值范围要求较高的问题。
最后，矩阵法是一种定量化的综合评价方法，用于评价多个决策方案的优劣。
它通过构造评价指标矩阵，对各决策方案的各指标进行评分，并计算出加权总分，从而对决策方案进行排序。
矩阵法主要包括构造评价指标矩阵、对矩阵进行归一化和计算加权总分这三个步骤。
其优点是方法简单、易于理解和使用，但也存在在权重确定上存在一定主观性的问题。
总的来说，综合评价决策模型方法在数学建模中起着重要的作用。
不同的方法有不同的优缺点，适用于不同的决策问题。
决策者在选择合适的方法时，需要根据实际情况和需求综合考虑。
007(讲座五-1)综合评价方法(一)
年度
1995 1996 1997
0.592 0.604 0.535
0.577 0.576 0.580
由式（8.7）和式（8.8）得最优方案和最劣方案：
Z （Z 1 , Z 2 , , Z m） { max Z ij j 1,2 , , m }
Z （Z 1 , Z 2 , , Z m） { min Z ij j 1,2 , , m }
S
i
( Z ij Z ) 2 j
j 1
m
i 1,2, , n
那么，某一可行解对于理想解的相对接近度定义为：
S i Ci S i S i
0≤Ci ≤1,i=1，…，n ，
8
S i Ci S i S i
0≤Ci ≤1,i=1，…，n ，
于是，若是理想解，则相应的 Ci =1；若是负理想解， 则相应的C i =0。愈靠近理想解，Ci 愈接近于1；反之， 愈接近负理想解， Ci 愈接近于0。那么，可以对 Ci 进行排队，以求出满意解。 1.3 TOPSIS法计算步骤 第一步： 设某一决策问题，其决策矩阵为A. 由A可以 构成规范化的决策矩阵Z′，其元素为Z'ij，且有
转化后数据见表8.2。
表8.2 转化指标值
年度 床位周 转次数 20.97 21.41 19.13 床位 周转率 （%） 113.81 116.12 102.85 平均 住院 日 5.34 5.44 5.73 出入院 诊断符 合率 （%） 99.42 99.32 99.49 手术前 后诊断 符合率 （%） 99.80 99.14 99.11 三日 确诊率 （%） 97.28 97.00 96.20 危重病 治愈 院内 病死 人抢救 率 好转率 感染率 成功率 （%） （%） （%） （%） 96.08 95.65 96.50 97.43 97.28 97.98 94.53 95.32 96.22 95.40 94.01 95.21
不确定型决策的五种方法
不确定型决策的五种方法不确定型决策在实际生活和工作中经常出现，对于这类决策，我们需要运用一些特殊的方法来应对。
以下是关于不确定型决策的五种方法：一、灰色系统理论灰色系统理论是一种用于处理不确定性信息的数学工具，它可以有效地处理缺乏充分信息的情况。
在进行不确定型决策时，我们通常会遇到信息不完全、数据不确定等问题，此时可以运用灰色系统理论进行分析和预测。
这一方法的优势在于可以有效地处理不确定性信息，提高决策的准确性和可靠性。
二、模糊综合评价方法模糊综合评价方法是一种用于处理模糊信息的常用方法，它可以将模糊的、不确定的信息进行定量分析和综合评价。
在不确定型决策中，我们往往需要面对模糊的信息和多因素的影响，此时可以采用模糊综合评价方法来帮助决策。
通过该方法，可以将不确定性信息转化为可计量的指标，从而有助于进行综合评价和决策选择。
三、蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，它通常应用于不确定型决策的风险分析和决策模拟中。
在不确定性情况下，我们往往需要对不同的决策方案进行风险评估和模拟分析，此时可以采用蒙特卡洛模拟方法。
通过该方法，可以对决策方案进行多次随机抽样，并基于概率分布进行模拟，从而评估不同方案的风险程度和可能性。
四、多目标决策方法不确定型决策通常伴随着多个决策目标和多个决策方案，此时可以运用多目标决策方法进行决策分析和优化选择。
常见的多目标决策方法包括层次分析法、灰色关联分析法、TOPSIS法等。
通过多目标决策方法，可以将不确定情况下的多种目标和因素进行量化分析和综合评价，帮助决策者进行合理的决策选择。
五、决策树分析方法决策树分析方法是一种基于树状结构的决策模型，它可以帮助决策者在不确定型决策中进行多条件的分析和决策选择。
在不确定情况下，我们通常需要考虑多个因素和条件对决策的影响，此时可以利用决策树分析方法进行全面的多条件决策分析。
通过该方法，可以将不确定的决策条件和因素进行系统化的组织和分析，有助于找到最优的决策路径和选择方案。
模糊综合评价
0 . 5 0 . 1 0 . 2 0 . 1 0 . 2 0 . 6 0 . 1 0 . 5 , 0 . 5 0 0 . 2 0 0 . 2 0 . 1 0 . 1 0 . 2
模糊综合评价决策方法
模糊综合评价决策方法
对于方案、人才、成果的评价，人们的考虑不仅要从多 种因素出发，而且这些考虑一般只能用模糊语言来描述。例 如，评价者从考虑问题的诸因素出发，参照有关的数据和情 况，根据他们的判断对复杂问题分别作出“大、中、小”； “高、中、低”；“优、良、可、劣”；“好、较好、一般、 较差、差”等程度的模糊评价。如用经典数学方法来解决综 合评价问题，就显得很困难，通过模糊数学提供的方法进行 运算以后，就能得出定量的综合评价结果，为解决模糊综合 评价问题提供了理论依据，从而找到了一种简便而有效的决
（表中的数字是指赞成此种评价的专家人数与专家总人数 的比值）
模糊综合评价决策方法
三、模糊综合评价决策方法的应用
评价 科技水平 高 中 低 成功概率 经济效益 大 中 小 高 中 低
项目
甲 乙 丙
0.7 0.2 0.1 0.1 0.2 0.7 0.3 0.6 0.1 0.3 0.6 0.1 0.1 0.4 0.5 1 1 0 0 0 0 0.7 0.3 0 0.1 0.3 0.6
加权平均型，主因素突出型。这两种算法总的来说大同小 异，但也各具特色。
12
模糊综合评价决策方法
二、模糊综合评价决策的数学模型
主因素决定型 加权平均型
M( ,)
M(,)
加权平均型算法常用在因素很多的情形，它可以避免信息 丢失；主因素突出型算法常用在所统计的模糊矩阵中的数 据相差很远的情形，它可以防止其中的“干扰”数据。
ahp综合评价方法
ahp综合评价方法AHP（Analytic Hierarchy Process）是一种多属性决策分析方法，其主要用于解决多层次的决策问题，并通过定量化的方法对不同层次的因素进行比较和评估。
AHP方法由美国数学家Thomas Saaty于1970年提出，经过多年的实践和不断发展，已广泛应用于各种领域，包括企业管理、市场营销、工程设计、资源分配等。
本文将介绍AHP方法的基本原理、应用场景以及其优缺点。
AHP方法的基本原理是将一个复杂的决策问题分解为多个层次，每个层次包含若干个因素或者准则，通过对这些因素进行两两比较，构建出一组准则的权重，然后根据准则的权重与各个方案的得分计算出最终的评价结果。
AHP方法的核心是通过专家的主观判断和定量比较来获取准则的权重，使决策结果更加客观和科学。
AHP方法适用于多层次、多目标、多因素的决策问题。
例如，在企业管理中，一个公司要选择一种合适的市场营销策略，可以将其分解为市场需求、产品定位、销售渠道等因素，并通过对这些因素进行比较和评估，选出最适合的市场营销策略。
在工程设计中，可以利用AHP方法选择一种合适的材料或者工艺，通过对各种因素进行比较，选出最优解。
AHP方法的优点在于可以充分考虑专家的主观判断和经验，通过对各种因素进行比较和权重分配，能够得到较为准确的决策结果。
同时，AHP方法的模型结构清晰，易于理解和应用，可以帮助决策者分析问题、评估方案，提高决策的科学性和合理性。
然而，AHP方法也存在一些缺点。
首先，AHP方法的计算过程较为繁琐，需要大量的数据和计算，对决策者的要求较高。
其次，AHP方法对决策问题的结构和分解方式较为敏感，不同的问题可能会得到不同的结果。
另外，AHP方法的权重分配过程依赖于专家的主观判断，可能存在一定的主观性和不确定性。
总结而言，AHP方法是一种有效的决策分析方法，可以帮助决策者合理评估和比较多个因素，并选择最优解。
在实际应用中，决策者可以根据具体情况选择合适的AHP模型和方法，结合专家意见和实际情况进行准确的决策分析。
综合评价理论与方法
综合评价理论与方法
第一讲 综合评价理论与方法.........................................................................................................3 评价 ..................................................................................................................................................3 评价系统的相关问题....................................................................................................................... 3 指标体系与评价方法....................................................................................................................... 3 评价方法分类 ..................................................................................................................................4 评价的基本过程 ..............................................................................................................................5 评价的原则 ......................................................................................................................................5 评价的实施 ......................................................................................................................................5 多指标综合评价 ..............................................................................................................................6 综合评价问题的要素....................................................................................................................... 6 指标体系的建立 ..............................................................................................................................7 指标体系建立原则........................................................................................................................... 7 专家调研法 ......................................................................................................................................7 多目标决策的基本概念................................................................................................................... 8 多目标决策的特点........................................................................................................................... 8 多目标决策的分类........................................................................................................................... 8 属性、目标、目的与准则的定义................................................................................................... 9 多目标决策的求解过程................................................................................................................... 9 多目标决策问题的要素................................................................................................................... 9
环境资源评价的综合决策方法
环境资源评价的综合决策方法随着社会经济的发展和人类文明的进步，环境问题越来越受到人们的关注。
环境资源评价是环境影响评价的一种重要方法，其主要目的是评估某个区域或项目对环境资源的影响和影响程度。
环境资源评价的综合决策方法，是指基于对多种因素的考虑，进行评估和决策的一种方法。
一、综合评价体系环境资源评价的综合决策方法需要建立一个科学的综合评价体系，对不同项目和不同评价对象的资源环境影响进行评价。
综合评价体系包括评价指标系统、评价方法和评价标准等三个方面。
1. 评价指标系统评价指标系统是环境资源评价的基础，其包括了评价对象、评价因素、评价指标和评价数据。
评价对象是指需要进行评价的人、事、物或区域，包括自然环境、人类活动、社会经济等方面；评价因素是衡量环境资源影响的因素，包括污染物排放、物种多样性、土地利用、社会经济等；评价指标是根据评价因素进行选择或定义的量化指标，包括含量、浓度、密度、面积、时限等；评价数据是用于计算评价指标的数据，包括观测数据、采样数据、统计数据、模拟数据等。
2. 评价方法评价方法是通过对评价对象、评价因素、评价指标和评价数据进行选取和分析，揭示环境资源评价问题的科学方法，评价方法主要包括定性、定量和半定量三种方法。
（1）定性方法：通过对评价对象和评价因素进行主观分析、推断和预测，来描述环境资源影响问题的一种方法。
（2）定量方法：通过对评价指标和评价数据进行量化计算和统计分析，来计算环境资源影响问题的影响程度和评价结果的一种方法。
（3）半定量方法：其不是完全定量，也不是完全定性，其主要是为了解决定性和定量方法所存在的问题，中间采用了混合方法，综合考虑定性和定量的特点。
3. 评价标准评价标准是评价指标的界定和划分所依赖的标准，并在这些标准的基础上进行判断和评价，其可分为定量标准和定性标准两种。
（1）定量标准：是根据国家规定的环境标准或学科标准，按照规定的参考指标进行量化划分的标准。
（2）定性标准：它是以专业人员经验和知识为基础，通过专家讨论、评估等方式取得的标准。
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正理想解 Z 是一个方案集 A 中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策 矩阵中该属性的最好值；而负理想解 Z 则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最差值。
在 n 维空间中，将方案集 A 中的各备选方案a i 与正理想解 Z 和负理想解 Z 的距离进行比较，既靠近正理想解又远离负理想解的方案就是方案集 A 中的最佳方 ∑x 设由决策人给定各属性的权重向量为 w = (w 1, w 2 , , w n ) ，则步骤三，确定正理想解 Z 和负理想解 Z 。
设正理想解Z的第 j个属性值为 z j ，负理想解 Z 第 j 个属性值为z j ，则⎧⎪max z ij , 正理想解 z j = ⎨综合评价与决策方法及其计算机软件实现评价方法大体上可分为两类，其主要区别在确定权重的方法上。
一类是主观赋权法，多 数采取综合咨询评分确定权重，如综合指数法、模糊综合评判法、层次分析法、功效系数法 等。
另一类是客观赋权，根据各指标间相关关系或各指标值变异程度来确定权数，如主成分 分析法、因子分析法、理想解法（也称 TOPSIS 法）等。
目前国内外综合评价方法有数十种 之多，其中主要使用的评价方法有主成分分析法、因子分析、TOPSIS 、秩和比法、灰色关 联、熵权法、层次分析法、模糊评价法、灰色理论法、物元分析法、聚类分析法、价值工程 法、神经网络法等。
1．理想解法目前已有许多解决多属性决策的排序法， 如理想点法、简单线性加权法、加权平方和 法、主成分分析法、功效系数法、可能满意度法、交叉增援矩阵法等。
本节介绍多属性决策 问题的理想解法，理想解法亦称为 TOPSIS 法， 是一种有效的多指标评价方法。
这种方法通 过构造评价问题的正理想解和负理想解， 即各指标的最优解和最劣解， 并用靠近正理想解 和远离负理想解的程度， 通过计算每个方案到理想方案的相对贴近度来对方案进行排序， 从而选出最优方案。
1.1 方法和原理设 多 属 性 决 策 方 案 集 为A = {a 1 , a 2 , , a m } ， 衡 量 方 案 优 劣 的 属 性 向 量 为X = {x 1, , x n }，这时方案集 A 中的每个方案 a i （ i = 1, , m ）的 n 个属性值构成的向量 是 X i = (x i 1, , x in ) ，它作为 n 维空间中的一个点，能唯一地表征方案 a i 。
**案；并可以据此排定方案集 A 中各备选方案的优先序。
用理想解法求解多属性决策问题的概念简单，只要在属性空间定义适当的距离测度就能 计算备选方案与理想解。
TOPSIS 法所用的是欧氏距离。
至于既用正理想解又用负理想解是 因为在仅仅使用正理想解时有时会出现某两个备选方案与正理想解的距离相同的情况，为了 区分这两个方案的优劣，引入负理想解并计算这两个方案与负理想解的距离，与正理想解的 距离相同的方案离负理想解远者为优。
1.2 TOPSIS 法的算法步骤TOPSIS 法的具体算法如下。
步骤一，用向量规划化的方法求得规范决策矩阵。
设多属性决策问题的决策矩阵X = (x ij )m ⨯n ，规范化决策矩阵 Y = ( y ij )m ⨯n ，则y ij = x ijm i =12ij ， i = 1,2, , m ， j = 1,2, , n （1） 步骤二，构成加权规范阵Z = (z ij )m ⨯n 。
Tz ij = w j ⋅ x ij ， i = 1,2, , m ， j = 1,2, , n* 0* * 0 0（2）* i ⎪⎩min z ij , j 为效益型属性 j 为成本型属性， j = 1,2, , n（3）⎧⎪max z ij , 负理想解 z 0j = ⎨∑ ( z ∑ ( z 步骤六，按 C 由大到小排列方案的优劣次序。
j ji⎪⎩min z ij ,j 为成本型属性 j 为效益型属性， j = 1,2, , n（4）步骤四，计算各方案到正理想解与负理想解的距离。
备选方案a i 到正理想解的距离为d i * = nj =1ij - z *j )2 ，i = 1,2, , m（5）备选方案a i 到负理想解的距离为d i 0 = nj =1ij- z 0j )2 ， i = 1,2, , m（6）步骤五，计算各方案的排队指标值（即综合评价指数）。
C i * = d i 0 /(d i 0 + d *j ) ， i = 1,2, , m（7）* i1.3 示例例 1 研究生院试评估。
为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的教学质量，国务院学位委员 会办公室组织过一次研究生院的评估。
为了取得经验，先选 5 所研究生院，收集有关数据资 料进行了试评估，表 1 是所给出的部分数据。
表 1 研究生院试评估的部分数据i1 2 3 4 5j人均专著 x 1 （本/人）0.1 0.2 0.4 0.9 1.2生师比 x 25 6 7 10 2科研经费 x 3 （万元/年）5000 6000 7000 10000 400 逾期毕业率 x 4（%） 4.7 5.6 6.7 2.3 1.8解：第一步，数据预处理数据的预处理又称属性值的规范化。
属性值具有多种类型，包括效益型、成本型和区间型等。
这三种属性，效益型属性越大 越好，成本型属性越小越好，区间型属性是在某个区间最佳。
在进行决策时，一般要进行属性值的规范化，主要有如下三个作用：① 属性值有多种 类型，上述三种属性放在同一个表中不便于直接从数值大小判断方案的优劣，因此需要对数 据进行预处理，使得表中任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。
② 非量纲化， 多属性决策与评估的困难之一是属性间的不可公度性，即在属性值表中的每一列数具有不同 的单位（量纲）。
即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。
在用各种 多属性决策方法进行分析评价时，需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响，这就是非 量纲化。
③归一化，属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，为了直观，更为了 便于采用各种多属性决策与评估方法进行评价，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中 数值均变换到[0，1]区间上。
此外，还可在属性规范时用非线形变换或其它办法，来解决或部分解决某些目标的达到 程度与属性值之间的非线性关系，以及目标间的不完全补偿性。
常用的属性规范化方法有以 下几种。
(1)线性变换原始的决策矩阵为X = (x ij ) m ⨯n ，变换后的决策矩阵记为 Y = ( y ij ) m ⨯n ， i = 1, , m ，j = 1, , n 。
设 x max 是决策矩阵第 j 列中的最大值，x min 是决策矩阵第 j 列中的最小值。
若j 为效益型属性，则jj 设给定的最优属性区间为[ x j , x j ] ， x j 为无法容忍下限， x j 为无法容忍上限，则⎪1, 若x j ≤ x ij ≤ x j⎪1 - ( x ij - x j ) /( x j - x j ), 若x j < x ij ≤ x j ⎩0,设研究生院的生师比最佳区间为 [5,6] ， x 2 = 2 ， x 2 = 12 。
表 1 的属性 2 的数据处理y ij = x ij / y max 采用上式进行属性规范化时，经过变换的最差属性值不一定为 0，最佳属性值为 1。
若 j 为成本型属性，则y ij = 1- x ij / x max（8）（9）采用上式进行属性规范时，经过变换的最佳属性值不一定为 1，最差属性值为 0。
（2）标准 0－1 变换为了使每个属性变换后的最优值为 1 且最差值为 0，可以进行标准 0－1 变换。
对效益 型属性 j ，令对成本型属性 j ，令y ij =y ij =x ij - x m j i n x m j a x - x m j i n x m j a x - x ijx m j a x - x m j i n（10）（11）（3）区间型属性的变换有些属性既非效益型又非成本型，如生师比。
显然这种属性不能采用前面介绍的两种 方法处理。
0 * ' "⎧1 - ( x 0j - x ij ) /( x 0j - x 'j ), 若x 'j ≤ x ij < x 0j ⎪ 0 * y ij = ⎨* " * * "⎪其它（12） 变换后的属性值 y ij 与原属性值 x ij 之间的函数图形为一般梯形。
当属性值最优区间的上下限相等时，最优区间退化为一个点时，函数图形退化为三角形。
' "见表 2。
表 2 表 2 的属性 2 的数据处理计算的 function mainqujian=[5,6]; lb=2; ub=12; x=[5 6 7 10 2]';y=guifanhua(qujian,lb,ub,x)function y=guifanhua(qujian,lb,ub,x);y=(1-(qujian(1)-x)./(qujian(1)-lb)).*(x>=lb & x<qujian(1))+(x>=qujian(1) &x<=qujian(2))+(1-(x-qujian(2))./(ub-qujian(2))).*(x>qujian(2) & x<=ub);∑x ∑=i 1 ∑=i 1 1 ( x ij - x j )2 ， j = 1,2, , n 。
（4）向量规范化无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化均用下式进行变换y ij = x ijn i =12 ij（13）这种变换也是线性的，但是它与前面介绍的几种变换不同，从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣。
它的最大特点是，规范化后，各方案的同一属性值的平方和为 1，因此常 用于计算各方案与某种虚拟方案（如理想点或负理想点）的欧氏距离的场合。
（5）标准化处理在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不一样的。
为了消除变量的量纲效应，使每 个变量都具有同等的表现力，数据分析中常对数据进行标准化处理，即y ij = x ij - x js j，i = 1,2, , m ， j = 1,2, , n ，（14）其中 x j = 1 mmx ij ， s j =1 m - m表 1 中的数据经标准化处理后的结果见表 3。
表 3 表 1 数据经标准化的属性值表i1 2 3 4 5j人均专著 x 1（ y 1 ）-0.9741 -0.7623 -0.3388 0.7200 1.3553 生师比 x 2 （ y 2 ）-0.3430 0 0.3430 1.3720 -1.3720 科研经费 x 3（ y 3 ）-0.1946 0.0916 0.3777 1.2362 -1.5109 逾期毕业率 x 4（ y 4 ）0.2274 0.6537 1.1747 -0.9095 -1.1463计算的Matlab 程序如下： x=[0.1 5 5000 4.7 0.2 6 6000 5.6 0.4 7 7000 6.7 0.9 10 10000 2.3 1.2 2 400 1.8]; y=zscore(x)我们首先对表 1 中属性 2 的数据进行最优值为给定区间时的变换。