高中数学学案：二项式定理

高中数学学案:二项式定理
基础诊断
1. ⎝
⎛
⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第4项为________．
2. 在⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －2x 5中第3项的二项式系数为________；系数为________．
3. 在⎝
⎛⎭
⎪⎫1x ＋
1x 3n
的展开式中,所有奇数项的二项式系数之和等于1 024,则中间项的二项式系数是________．
4. 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7,则a1＋a2＋…＋a7为________．
范例导航
考向
例1在
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
x－
1
2
3
x
10
展开式中,
(1) 求第4项的二项式系数及第4项的系数；
(2) 求展开式中的常数项并说明它是展开式的第几项．
已知数列{a n}是等差数列,且a1,a2,a3是⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1＋
1
2x
m
展开式的前三项的系数．
(1) 求m的值；
(2) 求⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋
1
2x
m
展开式的中间项．
考向
例2已知
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
x＋
1
2
4
x
n
展开式的前三项的系数成等差数列．
(1) 求
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
x＋
1
2
4
x
n
展开式中所有的有理项；
(2) 求⎝ ⎛⎭⎪⎫
x－
2
x2
n
展开式中系数的绝对值最大的项．
设⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －a x 6(a>0)的展开式中x 3的系数为A,常数项为B,若B ＝4A,求展开式中第4项的系
数．
考向
例3 (1) 设a ∈Z ,且0≤a <13,若512 012＋a 能被13整除,则a ＝________；
(2) S ＝C 127＋C 227＋…＋C 27
27除以9的余数为________．
9191除以100的余数是________．
自测反馈
1. 若⎝
⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5
的展开式中x 5的系数为－80,则实数a ＝________．
2. (1－2x)5(2＋x)展开式中含x 3的系数为________．
3. 已知(t 2－4)10＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 20t 20,则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19＝________．
4. 若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋12x 3n
(n ∈N *)的展开式中含有常数项,则n 的最小值为________．
1. 通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r
体现了展开式中的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理
的核心．
2. 二项式系数的性质,主要是“赋值法”的运用,在具体问题中求关于系数和通常转化为二项式中字母的特殊值．
3. 你还有哪些体悟,写下来:
第7课 二项式定理
基础诊断
1. －160x 解析:第四项为C 36·23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x .
2. 10 40 解析:由题意可知第三项为
C 2
5(
x)3
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x 2
,则二项式系数为C 25＝10,系数为C 25·(－2)2
＝40.
3. 462 解析:奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,且都等于所有项二项式系数之和的一半,即1
2×2n ＝1 024,解得n ＝11,所以中间的两项是第6项、第7项,它们的二项式系数都为462.
4. －2 解析:令x ＝0,得a 0＝1；令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1,所以a 1＋a 2＋…＋a 7
＝－2.
范例导航
例1 解析:(1) 因为第4项的二项式系数为C 310＝120,又T 4＝C 3
10·x 10－32·⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－123x 3＝－15x 5
2,所以第4项的系数为－15.
(2) T r ＋1＝C r 10·x 10－r 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r
10·x 30－5r 6,当30－5r 6＝0,即r ＝6时,为常数项⎝ ⎛⎭
⎪⎫－126C 610＝10532,它是展开式的第7项．
解析:(1) 展开式为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m ＝1＋C 1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋C 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋…,依题意a 1＝1,a 2＝12m,a 3＝
m （m －1）
8
,由2a 2＝a 1＋a 3可得m ＝1(舍去)或m ＝8,即m 的值为8. (2) 由(1)可知m ＝8,那么⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m 展开式的中间项是第5项为T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝358x 4. 例2 解析:(1) T 1＝C 0n (x)n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x 0,第一项系数为1,T 2＝C 1n
(x)n －1⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫124x 1
,
第二项系数为12
n,T 3＝C 2n (x)
n －2
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫124x 2
,第三项系数为18n(n －1),若前三项系数成等差数列,则有n ＝1＋n （n －1）8,则n ＝8,因此⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8的展开式中,有理项有T 1＝x 4,T 5＝358x,T 9＝1256x －2. (2) ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x 28展开式的通项为T r ＋1＝C r
8(－2)r ·x4－52r,
再由C r 8·|(－2)r |≥C r －18·|(－2)r －1|及C r 8·|(－2)r |≥C r ＋18·|(－2)
r ＋1|得5≤r ≤6. 因此系数绝对值最大的项为T 6和T 7,T 6＝－1 792x －17
2,T 7＝1 792x －11.
解析:⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·x 6
－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－a)r C r 6·x6－32r. 令6－3
2r ＝3,则r ＝2,所以A ＝15a 2. 令6－3
2r ＝0,则r ＝4,所以B ＝15a 4. 由题意得15a 4＝4×15a 2,又a>0,所以a ＝2, 此时展开式中第4项的系数为(－2)3C 36＝－160.
例3 (1) 12 解析:题中512 012数据较大,无法研究与13的整除问题,考虑到512 012＋a ＝(52
－1)2 012＋a,按二项式定理展开,根据题意可得(52－1)2 012＋a ＝C 02 012522 012＋C 12 012522 011·(－1)1＋C 22 012522 010·(－1)2＋…＋C 2 0112 012521(－1)2 011＋C 2 0122 012(－1)2 012＋a,除最后两项外,其余各项都有13的倍数52,故由题意可得C 2 0122 012(－1)
2 012＋a ＝1＋a 能被13整除,再由0≤a<13,可得a ＝12,故答案为12.
(2) 7 解析:S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98
＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2,
因此S 被9除的余数为7.
91 解析:9191＝(1＋90)91＝1＋C 19190＋C 291902＋…＋C 91919091,因此,9191
除以100的余数就是
1＋C 191×90除以100的余数,为91.
自测反馈
1. －2 解析:由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5
－r ·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1x r ＝a 5－
r
·C r 5·x
10
－2r
·x －r 2＝a 5－r C r 5x10－52r.当10－52
r ＝5时,r ＝2,a 3C 25＝10a 3
＝－80,则a ＝－2. 2. －120 解析:(1－2x)5＝C 05＋C 15(－2x)1＋…＋C 5
5(－2x)5,则(1－2x)5(2＋x)展开式包含x 3
的系数为2·C 35·(－2)3＋C 25·(－2)2
＝－120.
3. 0 解析:因为(t 2－4)10的展开式不包含t 的奇次幂,所以a 1＝a 3＝…＝a 19＝0,则a 1＋a 3＋…＋a 19＝0.
4. 5 解析:该二项式的展开式通项为
T r ＋1＝C r n (3x 2)
n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·3n －r C r n x 2n －2r ·1x 3r ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12r ·3n
－r
C r n x
2n －5r
,展开式含有常数项,则令2n －5r ＝0,得2n ＝5r,所以展开式含有常数项的n 的最小值是5.。