自适应滤波器介绍及原理

关于自适应滤波的问题：
自适应滤波器有4种基本应用类型：
1) 系统辨识：这时参考信号就是未知系统的输出，当误差最小时，此时自适应滤波器就与未知系统具有相近的特性，自适应滤波器用来提供一个在某种意义上能够最好拟合未知装置的线性模型
2) 逆模型：在这类应用中，自适应滤波器的作用是提供一个逆模型，该模型可在某种意义上最好拟合未知噪声装置。

理想地，在线性系统的情况下，该逆模型具有等于未知装置转移函数倒数的转移函数，使得二者的组合构成一个理想的传输媒介。

该系统输入的延迟构成自适应滤波器的期望响应。

在某些应用中，该系统输入不加延迟地用做期望响应。

3) 预测：在这类应用中，自适应滤波器的作用是对随机信号的当前值提供某种意义上的一个最好预测。

于是，信号的当前值用作自适应滤波器的期望响应。

信号的过去值加到滤波器的输入端。

取决于感兴趣的应用，自适应滤波器的输出或估计误差均可作为系统的输出。

在第一种情况下，系统作为一个预测器；而在后一种情况下，系统作为预测误差滤波器。

4) 干扰消除：在一类应用中，自适应滤波器以某种意义上的最优化方式消除包含在基本信号中的未知干扰。

基本信号用作自适应滤波器的期望响应，参考信号用作滤波器的输入。

参考信号来自定位的某一传感器或一组传感器，并以承载新息的信号是微弱的或基本不可预测的方式，供给基本信号上。

这也就是说，得到期望输出往往不是引入自适应滤波器的目的，引入它的目的是得到未知系统模型、得到未知信道的传递函数的倒数、得到未来信号或误差和得到消除干扰的原信号。

1 关于SANC （自适应消噪）技术的问题
自适应噪声消除是利用winer 自适应滤波器，以输入信号的时延信号作为参考信号来进行滤波的，其自适应消噪的原理说明如下：
信号()x n 可分解为确定性信号分量()D x n 和随机信号分量()R x n ，即：
()()()D R x n x n x n =+ (1.1)
对于旋转机械而言，确定性信号分量()D x n 通常可表示为周期或准周期信号分量()P x n ，即：
()()()P R x n x n x n =+
1.2
对信号()x n 两个分量()P x n 和()R x n ，有两个基本假设： (1) ()P x n 和()R x n 互不相关；
(2) ()P x n 和()R x n 的自相关函数具有下述特性：()0P P x x R m ≈，
N m M ≥；()0R R x x R m ≈，B m M ≥；N B M M ≥。

该特性表示()P x n 的自身相关性比()R x n 的自身相关性强。

首先考虑如下维纳滤波问题以实现信号分量()P x n 和()R x n 的自适应分离：
ˆ()
P x
n ()()P x n x n =
图2.1 有参考信号情况的维纳滤波问题
如上图所示，信号()x n 经滤波器()h n 得到()y n ，其中()y n 是对周期或准周期信号分量()P x n 的估
计。

定义估计误差ˆ()()()P P e n x n x n =-，则满足2
()min E e n ⎡⎤⇒⎣⎦，即满足最小均方误差估计(MMSE:
minimum mean-square error)的最优滤波器系数可由维纳-霍夫方程求得：
1
()()()P N xx opt xx i R m h i R m i -==-∑
1.3
其中()P xx R m 表示输入信号()x n 和参考信号()P x n 的互相关函数，
()xx R m 表示输入信号()x n 的自相关函数。

参考信号对于上述自适应滤波器是不可缺少的。

机械振动较为复杂，利用理论建模无法提供可靠的参考信号，通过实际测量得到参考信号也不现实。

在机械状态监测和故障诊断领域，传感器的安装位置对信号特征具有很大影响。

实际中很难选择合理的传感器位置，使得采集的参考信号中仅包含所需要的信号特征。

在实际数据采集过程中，为了得到某一部件的振动信息，都是尽量把传感器布置在靠近该部件的位置上，而这样也难免受到噪声和其他部件振动情况的干扰。

因此，依靠参考信号的获取实现机械振动信号的自适应滤波是不现实的，面临的实际问题是如何利用单通道采样信号实现信号本身的噪声滤出。

在参考信号未知的情况下，通常选取测量信号的延时信号作为参考信号。

选取信号
{}()(),1,2,..,x n x i i L -∆=-∆=作为输入信号，选取时延信号{}()(),1,2,..,x n x i i L ==作为参考信
号，维纳滤波问题如下图所示：
ˆ()()P R n x n +()()(P R x n x n x ∆∆-=-+
图19 时延信号作为参考信号的维纳滤波问题
选取时延长度∆，使得N B M M >∆>，即()R x n 的自相关函数()0R R x x R m ≈，对所有m >∆，而
()P x n 的自相关函数()P P x x R m 在m >∆时仍有非零项存在。

此时，参考信号()x n 和输入信号()x n -∆的
互相关函数可写为：
{}
{}{}{}{}
()()(()())(()())()()()()()()()()x n x n R P R P R R R P P R P P R E x n x n x n x n E x n x n E x n x n E x n x n E x n x n -∆=+-∆+-∆=-∆+-∆+-∆+-∆g 1.4
根据前面叙述，由于{}()()R R E x n x n -∆和{}()()R P E x n x n -∆均为零，则有下式成立：
{}()()()()()(()())P x n x n x n x n P R P R R E x n x n x n -∆-∆==-∆+-∆
1.5
由上式可知，输入信号与其时延信号的互相关函数可表示为输入信号与其确定性分量的互相关，其实现意义上可认为当以时延信号作为参考信号时，可相当于以其确定性分量为参考信号，这样，通过自适应滤波就可把随即噪声量消除。

当以时延信号()x n 作为参考信号时，满足最小均方误差估计的最优滤波器系数可由如下维纳-霍夫方程求得：
1()()()()0
()()()N x n x n opt x n x n i R m h i R m i --∆-∆-∆==-∑
1.6
可知2.31
()()()()0
()()()N x n x n opt
x n x n i R m h
i R m i --∆-∆-∆==
-∑ 1.6和 2.6一致，此时输出信号
ˆˆ()()P x
n x n =。

这说明选取时延信号作为参考信号可有效实现周期或准周期信号分量()P x n 自适应分离，进而实现自适应离散谱线消除。