现代控制理论-稳定性
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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
现代控制理论稳定性的判定优秀详解
现代控制理论稳定性的判定优秀详解现代控制理论是工程控制科学的重要组成部分，它主要研究动态系统的稳定性问题。
在工程实践中，通过判定系统的稳定性，可以评估控制系统的性能和可靠性，为系统设计和运营提供重要依据。
本文将详细介绍现代控制理论中稳定性的判定方法和优点。
一、稳定性判定方法1. 传递函数法传递函数法是现代控制理论中最常用的一种稳定性判定方法。
它通过分析系统的传递函数，确定系统的极点位置，从而判断系统是否稳定。
对于一般系统，只需要确定传递函数的分母多项式的根的位置即可。
如果所有根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个根的实部大于零，则系统是不稳定的。
2. 状态方程法状态方程法是另一种常用的稳定性判定方法。
它将系统的动态行为表示为一组状态方程，通过求解状态方程的特征根来判断系统的稳定性。
如果所有特征根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个特征根的实部大于零，则系统是不稳定的。
3. 极点分布法极点分布法是一种图形法，通过绘制系统的极点在复平面上的分布图，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的；如果存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
此外，如果存在虚轴上的极点，系统可能是临界稳定或者边界稳定。
二、稳定性判定方法的优点1. 灵活性现代控制理论中的稳定性判定方法具有很高的灵活性。
不同方法可以根据具体问题的特点选择使用，如传递函数法适合分析线性时不变系统，而状态方程法适合分析非线性或时变系统。
这样，工程师可以根据实际情况选择最合适的稳定性判定方法，保证判定结果的准确性。
2. 准确性现代控制理论中的稳定性判定方法基于严格的数学推导和分析，具有很高的准确性。
通过这些方法所得到的稳定性判定结果经过验证，在工程实践中得到了广泛应用。
3. 直观性极点分布法是现代控制理论中一种直观的稳定性判定方法。
通过绘制极点的分布图，可以直观地了解系统的稳定性状况。
这种直观性可以帮助工程师更好地理解和分析系统的动态行为，为控制系统的设计和调试提供有价值的参考。
现代控制理论-稳定性的判定
定义为系统的有界输入 输出稳定或称 BIBO 稳定。
BIBO 稳定的充要条件是
G ( s )的 所 有 极 点 都 在 s 平 面 的 左 半 平 面 。
( 3 )、BIBO 稳定和渐进稳定的关系 由于 G ( s )
N (s) D( s) C ( sI A )
1
det( sI A ) sI A
1 2 Cu
2
[1] 思路 :
电感中储能
1 2
Li
2
[ 2 ] 系统的复杂性和多样性 ，使得一个具体的系统 的能量 函数不好直观的找出。李雅普诺夫定义了一个 正定的标量函数
V ( X ) ，作为虚 构的广义能量函数。 然后，根据 V ( X ) 的符号特征
来判断系统 的稳定性。
V (X )
V (X )
[ 2]、若 A的特征值，至少有一个 具有正实部，则原系统 的平
衡状态 X e是不稳定的。
[ 3 ]、若 A 的特征根至少有一个实 部为零，则原非线性系 统的
平衡状态 X e的稳定性取决于高阶导 数项 （ X ），而不能用
A 的特征值符号确定。
例：系统状态方程为
x1 x1 x1 x 2 x 2 x 2 x1 x 2
当 t t 0后， ( t )的运动轨迹始终在 S ( ) 的范围内，称这种系统 为 X
稳定系统。
电气工程学院
( 2 )、
即 如果存在
X 0 X e ( , t 0 ) 或 S
X (t ) X e
欧几里德范数
1 2
或 S ( )
结论：系统是稳定的。
2
式中； X ( t ) X e x 1 x 1 e ) ( x 2 x 2 e ) ( x x ) 2 ( n ne x2 S( )
BIBO 稳定的充要条件是
G ( s )的 所 有 极 点 都 在 s 平 面 的 左 半 平 面 。
( 3 )、BIBO 稳定和渐进稳定的关系 由于 G ( s )
N (s) D( s) C ( sI A )
1
det( sI A ) sI A
1 2 Cu
2
[1] 思路 :
电感中储能
1 2
Li
2
[ 2 ] 系统的复杂性和多样性 ，使得一个具体的系统 的能量 函数不好直观的找出。李雅普诺夫定义了一个 正定的标量函数
V ( X ) ，作为虚 构的广义能量函数。 然后，根据 V ( X ) 的符号特征
来判断系统 的稳定性。
V (X )
V (X )
[ 2]、若 A的特征值，至少有一个 具有正实部，则原系统 的平
衡状态 X e是不稳定的。
[ 3 ]、若 A 的特征根至少有一个实 部为零，则原非线性系 统的
平衡状态 X e的稳定性取决于高阶导 数项 （ X ），而不能用
A 的特征值符号确定。
例：系统状态方程为
x1 x1 x1 x 2 x 2 x 2 x1 x 2
当 t t 0后， ( t )的运动轨迹始终在 S ( ) 的范围内，称这种系统 为 X
稳定系统。
电气工程学院
( 2 )、
即 如果存在
X 0 X e ( , t 0 ) 或 S
X (t ) X e
欧几里德范数
1 2
或 S ( )
结论：系统是稳定的。
2
式中； X ( t ) X e x 1 x 1 e ) ( x 2 x 2 e ) ( x x ) 2 ( n ne x2 S( )
现代控制理论 第四章 稳定性理论
G (t ) = Φ (t ) B + D δ (t )
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =
现代控制理论(17-21讲：第5章知识点)
V (x) C
0
试分析系统的稳定性。
解：（1）由 x(t ) 0 , 求得 xe = 0 是系统唯一平衡状态；
（2）选择Lyapunov函数为 1
2 2
二次型函数，是正定的； d 2 2 2 （3） V (x) ( x1 x2 ) 2 x1 x1 2 x2 x 2 2 x2 dt 故V(x)的导数是半负定的； （4）由：
(1) V(x)是正定的； (2) V ( x )是负定的；
则在状态空间坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。此时， 如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的。
2 2 例1：设系统的状态方程为: x1 x2 ax1 ( x1 x2 ) 其中：a为非零正常数。试 2 x2 x1 ax2 ( x12 x2 ) 分析系统的稳定性。
(2) V ( x ) 是半负定的； (3) 对于任意初始时刻t0时的任意状态x0≠0, 在t≥t0时，除了在 x=0时,有 V ( x) 0 外，V ( x )不恒等于零，则系统在平衡状 态是渐近稳定的。如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 在应用定理二时，注意以下两种情况： （1）极限环的情况。稳定， 但不是渐近稳定；
(1) V(x)在原点的某一邻域内是正定的； (2) V ( x ) 在同样的邻域内也是正定的；
那么系统在原点处的平衡状态是不稳定的。（注意：此地 V(x)的导数也可半正定，但有V(x)的导数不恒为零。）
例3：设时变系统的状态方程为: x1 x1 sin 2 t x2et x 2 x1et x2 cos 2 t 分析系统的稳定性。 解：（1） 显然 xe = 0 是系统平衡状态; （2）选择V(x)为：
0
试分析系统的稳定性。
解：（1）由 x(t ) 0 , 求得 xe = 0 是系统唯一平衡状态；
（2）选择Lyapunov函数为 1
2 2
二次型函数，是正定的； d 2 2 2 （3） V (x) ( x1 x2 ) 2 x1 x1 2 x2 x 2 2 x2 dt 故V(x)的导数是半负定的； （4）由：
(1) V(x)是正定的； (2) V ( x )是负定的；
则在状态空间坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。此时， 如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的。
2 2 例1：设系统的状态方程为: x1 x2 ax1 ( x1 x2 ) 其中：a为非零正常数。试 2 x2 x1 ax2 ( x12 x2 ) 分析系统的稳定性。
(2) V ( x ) 是半负定的； (3) 对于任意初始时刻t0时的任意状态x0≠0, 在t≥t0时，除了在 x=0时,有 V ( x) 0 外，V ( x )不恒等于零，则系统在平衡状 态是渐近稳定的。如果随着||x||→∞，V(x) →∞，那么在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 在应用定理二时，注意以下两种情况： （1）极限环的情况。稳定， 但不是渐近稳定；
(1) V(x)在原点的某一邻域内是正定的； (2) V ( x ) 在同样的邻域内也是正定的；
那么系统在原点处的平衡状态是不稳定的。（注意：此地 V(x)的导数也可半正定，但有V(x)的导数不恒为零。）
例3：设时变系统的状态方程为: x1 x1 sin 2 t x2et x 2 x1et x2 cos 2 t 分析系统的稳定性。 解：（1） 显然 xe = 0 是系统平衡状态; （2）选择V(x)为：
现代控制理论-08(Lyapunov稳定)
故该函数是系统的一个李雅普诺夫函数。 表明：可以有多个李雅普诺夫函数。
定理4.2.3 设原点是系统 x (t ) = f ( x (t ), t ) 的平衡状态， 若存在标量函数 V ( x , t ) ，满足 （1） V ( x , t ) 在原点附近的某个邻域内是正定的； （2）dV ( x , t ) dt 在同样邻域内也是正定的。 则系统在原点处是不稳定的。 例 分析系统的稳定性
因此，根据定理4.2.2，系统是渐近稳定的。 针对以上例子，对 由于
1 2 V ( x ) = [( x1 + x2 ) 2 + 2 x12 + 2 x2 ] 2
dV ( x ) dt = ( x1 + x2 )( x1 + x2 ) + 2 x1 x1 + 2 x2 x2
2 = −( x12 + x2 ) < 0
2 2 = 2 x1[ x2 − x1 ( x12 + x2 )] + 2 x2 [− x1 − x2 ( x12 + x2 )] 2 = −2( x12 + x2 ) 2
上式是负定的。因此 V (x ) 是系统的李雅普诺夫函数， 且V (x ) 是径向无界的。
几何解释： 由 V (x ) = x + x = C 确定的图形
例4.3.1 应用李雅普诺夫方法分析系统稳定性。
1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ = ⎢ − 1 − 1⎥ ⎣ x 2 ⎦ ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣
解 原点是系统的惟一平衡点。解方程
AT P + PA = − I
系统是二阶的，故
⎡0 − 1⎤ ⎡ p11 ⎢1 − 1⎥ ⎢ p ⎣ ⎦ ⎣ 12
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
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a11 a12 a21 a22
0,, n P 0,
则P为正定，即V(X)
V(X) XT PX 或对称阵P为负定的充要条件是： ②二次型 P的主子行列式满足 i 0 ( i 为奇数)；i 0 ( i 为 偶数) i =1,2,„, 。
返回
§3.2李亚普诺夫意义下的稳定性
必须指出，二次型是一个标量，最 基本的特性就是它的定号性，也就 是V( 时，才有V(X)=0； 对任意非零X，恒有V(X)＞0，则V(X)为正定。 (2)负定性 当且仅当X＝0时．才有V(X)＝0； 对任意非零X，恒有V(X)＜0，则V(X)为负定。 (3)正半定性与负半定性 如果对任意X≠0，恒有V(X)≥0，则V(X)为正半定。 如果对任意X≠0，恒有V(X)≤0，则V(X)为负半定。 (4)不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域,V(X)可为正值也可 为负值．则V(X)为不定。
现代控制理论
Modern Control Theory
第三章 控制系统的李亚普诺夫 稳定性
§3.1 李亚普诺夫第二法概述
§3.2 李亚普诺夫意义下的稳定性
§3.3 李亚普诺夫稳定性定理 §3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析
§3.1 李亚普诺夫第二法的概述
一、物理基础
一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是
1．稳定与一致稳定 设 X e为动力学系统 X f (X, t ) 的一个 孤立平衡状态。如果对球域S( ) 或任 意正实数 ＞0，都可找到另一个正实 数 ( , t0 ) 或球域 S( )，当初始状态 X 0 满足 X 0 X e ( , t0 ) 时，对由此出发的X 的运动轨迹有 lim X X e ，则此系统 t 为李亚普诺夫意义下的稳定。如果 与初始时刻 t 0 无关，则称平衡状态 X e
就可给出系统平衡状态稳定性的信息。 应用李亚普诺夫稳定理论的关键: 能否找到一个合适的李亚普诺夫函数! --尚未有一个简便的、一般性的方法！
* 由于系统的结构日益复杂，对李亚普诺夫稳定 理论的研究和应用受到人们的重视； * 特别是在从典型的数学函数及非线性特性出发 寻求李亚普诺夫函数方面颁有进展。 * 李亚普诺夫函数 V(X,t) 是对前述的不具有直观性 的物理事实的表现，这个“广义能量”概念与 能量概念又不完全相同。 李亚普诺夫函数的选取不是唯一的！
很多情况下李亚普诺夫函数可取为二次型
二次型及其定号性，是该理论的数学基础。
二、数学基础 (二次型及其定号性) 1．二次型 n个变量 1 , 2 ,, n 的二次齐次多项式:
V( 1 , 2 , n ) a111 a12 1 2 a1n 1 n
例3.1
设系统方程为
x1 x2 x1 ( x x ) 2 2 x2 x1 x2 ( x1 x2 )
2 1 2 2
试确定其平衡状态的稳定性。
解: 很明显，原点 (1 0, 2 0) 是给定系统的唯一平 衡状态，选取一个正定的标量函数 V(X ) 为
X f (X , t )
式中， f (0, t ) 0(t t 0 ) 。如果存在一标量函数 V(X,t) ， 它有连续的一阶偏导数，且满足以下条件： V(X,t) 是正定的； t V(X, ) 是负半定的； V[Φ (t , X 0 , t 0 ), t ] 对任意 t 0 和任意 0, 在 t t 0 时不 恒等于零。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有 X 时， X, ) V( t ，则为大范围渐近稳定。式 中 Φ (t , X 0 , t 0 ) 表示 t t 0 时从 0 出发的解轨迹。
由式(3.1)可知，在系统的平衡点，状态变量的 变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇 点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系 统在运动过程中的平衡点。 任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变 换，将其移到坐标原点，这就是经常以坐标原点 作为平衡状态来研究的原因，因此常用的连续系 统的平衡状态表达式为 f (0, t ) 0 对同一问题用不同理论去研究．会得到不同含义 的结果与解释。如非线性系统中的自由振荡，古 典的稳定性理论认为是不稳定的，而李亚普诺夫 稳定性理论则认为是稳定的。
因此，明确李亚普诺夫意义下的稳定定义是重要的。 系统的状态方程为
X f [X(t ), u(t )]
设 u (t ) 0 且系统的平衡状态为 X e , f [X e (t )] 0 。有扰 动使系统在t t 0 时的状态为 X ，产生初始偏 差 X 0 - X e ，则 t t 0后系统的运动状态从 X 0 开始随时 间发生变化。 由数学中数的概念知道，X 0 X e 表示初始偏差 都在以 为半径，以平衡状态 X e 为中心的闭球 域S( )里，其中
表示平衡状态偏差都在以 为半径， Xe 以平衡状态 为中心的闭球域: S( ) 里。式中范数
X X e ( 1 1e ) 2 ( 2 2e ) 2 ( n ne )
1 2 2
为X的分量。
i (i 1,2,.n)
下面用二维空间图3.1来说明李亚普诺夫定 义下的稳定性。
赛尔维斯特准则
①二次型 V(X) X T PX 或对称矩阵P为正定的充要条件是 P的主子行列式均为正，即
a11 a P 21 a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn
如果 正定。
1 a11 0, 2
e
X 0 X e [(X 10 X 1e ) (X 20 X 2e ) (X n0 X ne ) ]
2 2
1 2 2
称为范数， i 0、 ie (i 1,2,, n) 分别为 X 0 与 X e 的分量。
同样
X X e (t t0 )
用矩阵表示二次型较为方便，即
a11 a12 a1n 1 a21 a22 a2n 2 X TPX V (X ) 1 , 2 ,, n an1 an 2 ann n
则
V(X) 2
2 1
2
V(X) 21 1 2 2 2
(X) 2( 2 2 ) 2 V 1 2
将系统方程代人上式得
（V(X)为正定）
又由于 X 时，V(X) ，因此系统在平 衡点(0，0)是大范围渐近稳定的。
定理3.2 设系统的状态方程为
不具有稳定性的系统称为不稳定系统。
稳定性概念
系统的稳定性--系统在受到外界干扰后，系 统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过 渡过程的收敛性，
用数学方法表示就是：
lim x t
t
现代控制理论的优点
线性定常系统稳定性判断—
1.劳斯-赫尔维茨判剧 2.奈奎斯特稳定判剧
现代控制系统—结构复杂，非线性或时变,
上述稳定判剧难以胜任; 通用的方法是李亚普诺夫第二法.
李亚普诺夫稳定性判据
1982年，李亚普诺夫归纳出两种方法
李亚普诺夫第一法:
解系统的微分方程，然后根据解的性质来 判断系统的稳定性。如果特征方程的根全部 具有负实部，则系统在工作点附近是稳定的.
李亚普诺夫第二法（也称直接法）:
不必求解系统的微分方程式，就可以对 系统的稳定性进行分析判断，而且给出的稳 定信息不是近似的。它提供了判别所有系统 稳定性的方法。
一个稳定的系统，即当系统受到外界干扰后，显然
它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有
能力自动地在平衡状态下继续工作，系统的这种性
能，通常叫做稳定性，它是系统的一个动态属性。
举例说明：
1.电压自动调节系统--保持电机电压恒定
2.电机自动调速系统--保持电机转速一定
3.火箭飞行系统--保持航向为一定 具有稳定性的系统称为稳定系统。
在控制工程中．确定大范围内渐近稳定的 范围是很重要的，因为渐近稳定性是个局
部概念，知道渐近稳定的范围，才能明确
这一系统的抗干扰程度、从而可设法抑制
干扰，使它满足系统稳定性的要求。古典
控制理论的稳定性概念，只牵涉到小的扰
动，没有涉及大范围扰动的问题，因此它
是有局限性的。
3．不稳定
如果平衡状态
从
X e 既不是渐近稳定的，
X e 为渐近稳定。如果
与初始时刻 t 0 无关，
则称平衡状态
为X e 一致渐近稳定。渐近稳定性等价
于工程意义上的稳定性。
如果对状态空间中的任意点，不管初
始偏差有多大，都有渐近稳定特性。 即 lim ( i ie ) 0(i 1,2,, n) 对所有点都 t 成立，称平衡状态 X e 为大范围渐近稳 定。可见，这样的系统只能有一个平 衡状态。由于线性定常系统有唯一解， 所以如果线性定常系统是渐近稳定的， 则它一定也是大范围内渐近稳定的。
为一致稳定。
2．渐近稳定和一致渐近稳定
设 X e 为动力学系统 X f (X, t ) 的一个孤立平衡状
态，如果 X e是稳定的，且从充分靠近 X e 的任一初始
状态 X 0 出发的运动轨迹 有 平衡状态
lim X X e 0
t
或
lim ( i ie ) 0(i 1,2,, n), 即收敛于平衡状态 X ，则称 t e
2
a211 2 a22 2 a2 n 2 n
2
an1 1 n an 2 2 n ann n
2
称为二次型。 式中， aik (i, k 1,2,, n) 是二次型的系数。 设 aik aki ，既对称且均为实数。