现代控制理论稳定性的判定
现代控制理论稳定性的判定优秀详解
现代控制理论稳定性的判定优秀详解现代控制理论是工程控制科学的重要组成部分，它主要研究动态系统的稳定性问题。
在工程实践中，通过判定系统的稳定性，可以评估控制系统的性能和可靠性，为系统设计和运营提供重要依据。
本文将详细介绍现代控制理论中稳定性的判定方法和优点。
一、稳定性判定方法1. 传递函数法传递函数法是现代控制理论中最常用的一种稳定性判定方法。
它通过分析系统的传递函数，确定系统的极点位置，从而判断系统是否稳定。
对于一般系统，只需要确定传递函数的分母多项式的根的位置即可。
如果所有根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个根的实部大于零，则系统是不稳定的。
2. 状态方程法状态方程法是另一种常用的稳定性判定方法。
它将系统的动态行为表示为一组状态方程，通过求解状态方程的特征根来判断系统的稳定性。
如果所有特征根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个特征根的实部大于零，则系统是不稳定的。
3. 极点分布法极点分布法是一种图形法，通过绘制系统的极点在复平面上的分布图，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的；如果存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
此外，如果存在虚轴上的极点，系统可能是临界稳定或者边界稳定。
二、稳定性判定方法的优点1. 灵活性现代控制理论中的稳定性判定方法具有很高的灵活性。
不同方法可以根据具体问题的特点选择使用，如传递函数法适合分析线性时不变系统，而状态方程法适合分析非线性或时变系统。
这样，工程师可以根据实际情况选择最合适的稳定性判定方法，保证判定结果的准确性。
2. 准确性现代控制理论中的稳定性判定方法基于严格的数学推导和分析，具有很高的准确性。
通过这些方法所得到的稳定性判定结果经过验证，在工程实践中得到了广泛应用。
3. 直观性极点分布法是现代控制理论中一种直观的稳定性判定方法。
通过绘制极点的分布图，可以直观地了解系统的稳定性状况。
这种直观性可以帮助工程师更好地理解和分析系统的动态行为，为控制系统的设计和调试提供有价值的参考。
现代控制理论四-控制系统稳定性
则 xe 0 为不稳定的。
例4-5 系统的状态方程为 x1 x2 x2 x1 x2
分析系统平衡状态的稳定性。
解 系统的平衡状态为 xe 0
选取Lyapunov函数：V ( x) x12 x22
显然它是正定的，即满足
V (x) 0 x 0 V (x) 0 x 0
数，并且满足：
1）V ( x)为正定； 2）V ( x) 为半负定；3）除了xe 0 平衡状态外， 还有V( x) 0 的点，但是不会在整条状态轨线上有 V ( x) 0
则 xe 0 为一致渐近稳定的。
如果 x ，V ( x) ，则V ( x) 是大范围一致渐近稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
平衡状态—— 一般地，系统状态方程为 x f (x,t) ，其初始状态
为x(t0 )。系统的状态轨线 x(t)是随时间而变化的。当且仅当 x xe
（当 t≥t0 ）则称 xe 为系统平衡。
xe如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0 ，
数，并且满足：
1）V ( x)为正定； 2）V ( x) 为半负定；
则 xe 0 为一致稳定的。
如果 x ，V ( x) ，则 xe 0是大范围一致稳定的。
（注：本定理只是比定理4-2少了第3个条件，不能保证 渐近稳定，只能保证一致稳定。）
因为 V ( x)≤0
则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 V( x) 0 ，则系
4.4 线性连续系统的稳定性
对线性时变系统，其相应的齐次状态方程为 x A(t)x
由第2章介绍的方法求出其解为 x(t) (t, t0 ) x(t0 )
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
现代控制理论基础4控制系统的稳定性分析课件
[解] （1）系统的传递函数为：
G(s) C(sI A)1 B 0
1s1
6
1
2
s 1 1
(s
(s 2)(
2) s
3)
(s
1
3)
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。
（2） 求系统的特征方程：
de
t(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
稳
图解表示：
定
区
内部稳定性判据：
Im S平面 临不 界 稳 Re 稳定 定区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的
根全部位于s平面的左半部。
13
[例4-6]
设系统方程为：
x
0 1
6 1
x
12u,
y 0 1x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
6
二、状态向量范数
符号 称为向量的范数， x xe 为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义 为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定 义式为：
1
x xe (x1 xe1)2 (x2 xe2 )2 (xn xen )2 2
7
三、李雅普诺夫意义下稳定性意义
1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的）
3）对任意初始时刻 t0 时的任意状态 x0 0 ，在 t t0
时，除了在 x 0 时有 V(x) 0 外，V ( x) 不恒等于零。
则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
说明： 恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面 V(x) C 。
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
现代控制理论4稳定性
现代控制理论4稳定性4 稳定性分析4．1李氏稳定性分析（1）平衡状态设系统 [],x f x t = x —n 维状态向量。
f —n 维函数向量。
若存在状态向量ex ，对所有的t ，使得 []0ef x t ≡成立，则称ex 为系统的平衡状态。
例如系统1132122x x x x x x =-??=+-?解：有3个平衡点 100e x=，201e x=??-??，301e x=（2）稳定性分析1）李亚普诺夫意义下的稳定对于任选0ε>，都对应存在0(,)0t δε>的实数，当00(,)e x x t δε-≤时其解满足00(,,)x t t εΦ≤ 0t t ≤<∞则称平衡状态ex 为李亚普诺夫意义下的稳定，如果δ与t 无关，则称ex 是一致稳定2）渐近稳定由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t →∞时， 0(,,)0et x t x Φ-=则ex 平衡点是渐近稳定的。
3）大范围稳定如果ex 稳定，而且对于所有的0x ，00(,,)0et x t x Φ-→，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。
4）不稳定由初始状态引起的运动无论0ex x δ-≤，δ多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点ex 是不稳定的。
4．2李氏第一方法（1）线性定常系统的稳定判据：x Ax Bu =+ y Cx =系统稳定的充要条件是0SI A -=的特征根全位于S 左半面，输出稳定的充要条件是B A SI C S W 1)()(--=的极点全位于S 左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。
101-=A ，11B ??=， []10C = 0)1()1(=+?-=-S S A SI 11S =-，21S =状态不全稳定，属于状态不稳系统，而输出为[]1)1)(1(111100101)()(1+=-+-=-+=-=-S S S S S S B A SI C S W 是输出稳定系统。
现控-第三章稳定性
现代控制理论Model Control Theory第五章连续时间控制系统的稳定性分析1.李亚普诺夫稳定性定义2.李亚普诺夫稳定性判据第一法3.李亚普诺夫稳定性判据第二法4.线性定常连续系统的李亚普诺夫稳定性分析稳定性稳定性：（古典意义下的稳定，等同于李氏下的渐近稳定李氏下的渐近稳定）一研究系统稳定性的方法：研究系统稳定性的方法，思路与经典控制理论一致。
李亚普诺夫第二法，特别适用于难以求解的非线性系统和时变系统。
除了可以对系统进行稳定性分析外，还用于对系统瞬态响应的质量进行评价及参数求解最优化问题。
本章主要是介绍：李亚普诺夫第二法。
4.1 李亚普诺夫关于稳定性的定义1.平衡状态2.李亚普诺夫稳定性定义（4种）稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定、不稳定4.1.1、平衡状态平衡状态平衡状态：对所有时间t，如果满足，称x e 为系统的平衡状态或平衡点。
李氏稳定性针对平衡状态而言。
0)(==e e x f x 3、对任意，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。
一般将平衡状态取为状态空间原点。
说明说明：1、对于线性定常系统：A为非奇异阵时，=0是其唯一的平衡状态。
A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。
0)(===Ax x f x e e 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。
0≠e x ex .11222123.321220000(1)0,0110e e e x x x x x x x x x x x ⎧=−=⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎪−====⎨⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎪=+−=⎩，得到：则，，假定：xe ＝0为系统的平衡状态，若方程的解位于球域内，表明该方程由于初始状态或短暂扰动所引起的自由解是有界的。
李亚普诺夫根据解是否有界，将系统的稳定性分为四种情况。
(,)xf x t ＝4.1.2、李亚普诺夫意义下的稳定（1、稳定与一致稳定：（系统的自由响应是有界的）如果与初始时刻无关，则称平衡状态是一致稳定的。
武汉大学自动化专业 《现代控制理论》第五章稳定性
V (4). V (X)在Xe =0的某一个领域内是正定的； ( X ) 在同样的领域内是正定的，则系统在原点处的平衡状 态是不稳定的 。
12
第四节 线性系统的稳定性分析
1.线性定常系统稳定性判据
设线性定常自治系统为X = AX ,.. X (0) = X 0,..t ≥ 0 ,x e＝0为平衡状态。
d1 ... 0 = X T ... ... ... X 0 ... d n
称D为实对称阵。
③二次标准型：V ( X 1,. ...X n ) = d1 x12 + ...d n X n 2 ④V (X)= X TDX 的符号性质：
a. V (X)或对称阵 D 为正定的充要条件是D 的主子行列式均为正； b. V (X)或对称阵 D 为负定的充要条件是D 的主子行列式满足： i ＜0 (i为奇数 )； i ＞ (i 为偶数 )， i ＝1,2,3,4…
第五章 系统的稳定性
稳定性属于系统的基本结构特性。 BIBO——输入输出稳定性 由状态空间描述的内部稳定性 ——适用于各类系统。
1
第一节 LIAPUNOV稳定性定义
一.系统运动稳定性的实质：自治系统平衡状态的稳定 性——偏离平衡状态的受扰运动能否仅依靠系统内部的结 构因素使之限制在平衡状态的有限领域内或使之最终返回 到平衡状态——系统偏差量过渡过程的收敛性。
三.渐近稳定
1)定义：若①由任一初态X 0∈S (δ) 出发的受扰运动X 0u(t) 相对于 X e =0 对所有 t ∈t 0 均为有界，② X 0u(t) 满足 lim X 0u (t ) = 0 ，则称自治 t →∞ 系统的孤立平衡状态X e＝0 在t 0 为渐近稳定的。 2）说明： ①渐近稳定反映X 0u(t)相对于 X e 随时间变化的渐近性。 ②若定义中δ(ε,t 0)与t 0无关，则X e 称为一致渐近稳定。 ③定常系统中X e 的渐近稳定和一致渐近稳定等价。 ④不管初始偏差X 0有多大， X e 均为渐近稳定的，则X e 必为大范围 渐近稳定的。 ⑤大范围渐近稳定的必要条件是系统在状态空间中不存在其他渐 近稳定的平衡状态。 ⑥若线性系统的X e 为渐近稳定，则必为大范围渐近稳定。 ⑦Liapunov意义下的渐近稳定即为工程意义下的稳定。
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5、不稳定
对于一个无论多么小的 实数 0 ，存在一个 0，由S ( ) 出发的状态轨迹有一个 轨线超越 S( )，则称这种系统 不稳定
x2 S( )
S( )
x0 x1
xe
不稳定的平衡状态及其状态轨线
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三、二次型函数的定号 性和塞尔维斯特（ sylvester ）准则 参见 自动控制原理 下 吴麒 P.242 现代控制理论 刘豹 P.147
f ( X , t )为和 X的同维矢量函数，对 X具有连 续的一阶偏导数。
要讨论系统在 X e处的稳定性，要将非线 性系统线性化。将非
线性函数在
X
的邻域内泰勒级数展开
e
。可得
X
f X T
(X
Xe
)
（X）
而 Xe 0
f X T
f1 f1 x1 x2
f
2
f2
x1 x2
f
n
fn
x1 x2
f1
xn
f2
xn
fn
xn nn
雅克比 Jacobian
矩阵
f A X T X Xe
令 X X X e , 可得线性化的方程 X AX
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(2)、第一法（间接法）的 内容
[1]、若 A的所有特征根都具有负 实部，则原非线性系统 在平
衡状态 X e 是渐进稳定的。且系统的稳定性和 （X）无关。
[2]、若A的特征值，至少有一个具有正实部，则原系统 的平
衡状态
X
是不稳定的。
e
[3]、若 A的特征根至少有一个实 部为零，则原非线性系 统的
平衡状态
X
的稳定性取决于高
A的特征值符号确定。
例：系统状态方程为 x1 x1 x1 x2 试分析系统在平衡状态 的稳定性。 x2 x2 x1 x2
解：[1]、找出系统的平衡状态
0 Xe1 0
X e2
1 1
[
2]、在
X
处进行讨论，将非线性
e1
方程线性化
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Xe 1
0 0
A
1 0
0 1
其特征值为 1 1， 2 1。
结论： 系统在
0 X e1 0
处是不稳定的。
[
3]、在
X
e
处线性化得
2
X e2
1 1
A
0 1
1 0
2、第一方法（间接法） 内容 （1）、对于线性系统；已知 为其平衡点。
X AX , A非奇异，则X e 0
(2)、内容 [1]、A的特征根全部具有负的实部，系统是渐进稳定 的。 [ 2]、 A 中有一个实部为正的特 征根，实际系统不稳定 [3]、线性系统渐进稳定，则一定是大范围渐进稳 定的。
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Section 5 P.513 9-4
➢李雅普诺夫稳定性定义→
➢李雅普诺夫第一方法（间接法） → ➢系统的有界输入输出(BIBO)稳定→ ➢李亚普诺夫第二法（直接法） →
➢李亚普诺夫直接法在线性系统中的应用→
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➢李雅普诺夫稳定性定义
一、系统状态的运动及 平衡状态
1、研究系统的稳定性指 系统处于平衡状态下， 受到扰动后系统 自由运动的性质。系统 稳定性的定义有很多， 最重要的是由俄国 学者李雅普诺夫提出的 经典定义。
例：系统的状态空间表 达式为 试分析系统的状态稳定 性。
X
1 0
0 1
x
1 1
u,
y
1
0X
解： 由A阵的特征方程 detI A ( 1)( 1) 0
可得特征根 1 1， 2 1。
不稳定
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3、非线性系统的稳定性
(1)、系统的状态方程 X f ( X , t ) X e为其平衡状态，
(1) 若由于扰动使系统的平 衡状态遭到破坏。在 t t0时刻产生
初始状态 X (t0 ) X 0。在 t t0 后，系统的运动状态 X (t ) 将随时间变化。
如果，对应于无论多么 小的 0 的园域或球域 S ( ), 总存在
一个
0 的园域或球域
S ( )，在初始状态
X
不超过
0
S
(
)
的条件下
x2 S( )
S( )
x0
xe
x1
渐进稳定的平衡状态及其状态轨线
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4、大范围渐进稳定
若对状态空间所有点， 由这些状态出发的轨迹 都具有 渐进稳定性，称系统 大范围渐进稳定。 讨论：按照李亚普诺夫稳定性定义
线性系统稳定，一定是大范围渐进稳定的。 非线性系统，若平衡点的不唯一，不可能存在大范围稳定， 若稳定，也只能是小范围渐进稳定。
x2 S( )
S( )
x0 x1
xe
稳定的平衡状态及其状态轨线
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2、一致稳定
实数 和 有关，也和 t0有关。若 与t0 无关，称平衡状态X e 一致稳定
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3、渐进稳定
当 t无限增长，若存在 lim t
X (t)
Xe
0
即系统回到原来的平衡 状态 X e 则称系统是 渐进稳定
教材 p.505
附录1；5.二次型和向量范数
作业：
判断下面二次型函数的符号性质 V ( x) x12 3x22 11x32 2 x1 x2 x2 x3 2x1 x3
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➢李雅普诺夫第一方法（间接法）
1、适用对象
线性系统、非线性不很 严重的系统，将其适当 的线性化。可以 按线性系统的稳定条件 去分析其稳定性。
当t t0后，X (t )的运动轨迹始终在 S ( ) 的范围内，称这种系统 为
稳定系统。
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(2)、
即 X 0 X e ( , t0 ) 或 S
如果存在 X (t ) X e
结论：系统是稳定的。
或 S( )
欧几里德范数
1
式中；X (t ) X e ( x1 x1e )2 ( x2 x2e )2 ( xn xne )2 2
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需要说明的是，任意一 个平衡状态 X e ，都可以通过坐标变换 将其变换到坐标原点 X e 0 以下对系统稳定性 的讨论 都在系统的状态空间原 点处。
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二、稳定性的定义
1、稳定
已知系统在自由运动时齐次状态方程的一般形式为 X f ( X , t )
系统平衡状态 X e 0 Xe 0，在状态空间的原点。
2、所谓自由运动，是指已知系统的数学模型， 不考虑外加激励， 研究系统的自由运动。设系统的齐次状态 方程； X f ( X , t ) 其解为 X (t; X 0; t0 )
3、平衡状态 X e 若状态方程的解存在状 态矢量 X e ，使得对所有的 t，都有 X f ( X e , t ) 0 成立，则称 X e 为系统的平衡状态。