现代控制理论-稳定性的判定
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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
现代控制理论稳定性的判定优秀详解
现代控制理论稳定性的判定优秀详解现代控制理论是工程控制科学的重要组成部分，它主要研究动态系统的稳定性问题。
在工程实践中，通过判定系统的稳定性，可以评估控制系统的性能和可靠性，为系统设计和运营提供重要依据。
本文将详细介绍现代控制理论中稳定性的判定方法和优点。
一、稳定性判定方法1. 传递函数法传递函数法是现代控制理论中最常用的一种稳定性判定方法。
它通过分析系统的传递函数，确定系统的极点位置，从而判断系统是否稳定。
对于一般系统，只需要确定传递函数的分母多项式的根的位置即可。
如果所有根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个根的实部大于零，则系统是不稳定的。
2. 状态方程法状态方程法是另一种常用的稳定性判定方法。
它将系统的动态行为表示为一组状态方程，通过求解状态方程的特征根来判断系统的稳定性。
如果所有特征根的实部均小于零，则系统是稳定的；如果存在一个或多个特征根的实部大于零，则系统是不稳定的。
3. 极点分布法极点分布法是一种图形法，通过绘制系统的极点在复平面上的分布图，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的；如果存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
此外，如果存在虚轴上的极点，系统可能是临界稳定或者边界稳定。
二、稳定性判定方法的优点1. 灵活性现代控制理论中的稳定性判定方法具有很高的灵活性。
不同方法可以根据具体问题的特点选择使用，如传递函数法适合分析线性时不变系统，而状态方程法适合分析非线性或时变系统。
这样，工程师可以根据实际情况选择最合适的稳定性判定方法，保证判定结果的准确性。
2. 准确性现代控制理论中的稳定性判定方法基于严格的数学推导和分析，具有很高的准确性。
通过这些方法所得到的稳定性判定结果经过验证，在工程实践中得到了广泛应用。
3. 直观性极点分布法是现代控制理论中一种直观的稳定性判定方法。
通过绘制极点的分布图，可以直观地了解系统的稳定性状况。
这种直观性可以帮助工程师更好地理解和分析系统的动态行为，为控制系统的设计和调试提供有价值的参考。
现代控制工程-第3章控制系统稳定性分析
2
第3章 控制系统稳定性分析
3.1 控制系统稳定性定义 3.2 控制系统稳定的条件 3.3 李雅普诺夫稳定判据 3.4 线性系统的李雅普诺夫稳定判据
3
3.1 控制系统稳定性定义
当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内， 系统的响应可能出现下列情况之一： (1)系统的自由响应是有界的； (2)系统的自由响应是无界的； 李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐 近稳定的。 如系统不稳定，则系统响应是无界的，或者进入振荡状态。因 此，系统稳定是系统正常工作的首要条件。 李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。作为预备知 识，下面首先介绍范数的概念。
2 2 2 x x1 x2 xn
A
j 1 i 1
n
m
2 aij
5
3.1.2 平衡状态
•系统没有输入作用时，处于自由运动状态，当系统到 达某一状态，并且维持在此状态而不再发生变化时， 这样的状态称为系统的平衡状态。
f ( x) 平衡状态是满足平衡方程 f ( xe ) 0 的 •连续系统 x 系统状态。离散系统 x(k 1) f ( x(k )) 的平衡状态 x e ，是 对所有的k，都满足平衡方程 xe f ( xe , k ) 的系统状态。
x1 (k ) 1k x1 (0) k1k 1 x2 (0)
x2 (k ) 1k x2 (0)
线性定常离散系统稳定的充分必要条件是： A的所有特征值全部在复平面的单位圆内。
17
3.3 李雅普诺夫稳定判据
李雅普诺夫稳定判据是1892年提出的，它给出了连续非线性系 统渐近稳定的充分条件和连续线性定常系统渐近稳定的充分必 要条件。1958年被推广到离散系统。 很多力学系统是一个能耗系统，其总能量随着时间的变化不断 减少，最后回到它的最小储能状态。因此，能量的度量可以作 为力学系统稳定性的度量。但是，一般系统没有像力学问题那 样有明显的动能和位能的概念。 李雅普诺夫抽象了“能量”的概念，构造了一个类似于“能量” 的正定函数，称为李雅普诺夫函数。通过分析这个表示“能量” 的正定函数是否随着时间的增长而减少，即分析李雅普诺夫函 数的导数是否一个负定的函数，从而可以判别系统的稳定性。
现代控制理论四-控制系统稳定性
则 xe 0 为不稳定的。
例4-5 系统的状态方程为 x1 x2 x2 x1 x2
分析系统平衡状态的稳定性。
解 系统的平衡状态为 xe 0
选取Lyapunov函数：V ( x) x12 x22
显然它是正定的，即满足
V (x) 0 x 0 V (x) 0 x 0
数，并且满足：
1）V ( x)为正定； 2）V ( x) 为半负定；3）除了xe 0 平衡状态外， 还有V( x) 0 的点，但是不会在整条状态轨线上有 V ( x) 0
则 xe 0 为一致渐近稳定的。
如果 x ，V ( x) ，则V ( x) 是大范围一致渐近稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
平衡状态—— 一般地，系统状态方程为 x f (x,t) ，其初始状态
为x(t0 )。系统的状态轨线 x(t)是随时间而变化的。当且仅当 x xe
（当 t≥t0 ）则称 xe 为系统平衡。
xe如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0 ，
数，并且满足：
1）V ( x)为正定； 2）V ( x) 为半负定；
则 xe 0 为一致稳定的。
如果 x ，V ( x) ，则 xe 0是大范围一致稳定的。
（注：本定理只是比定理4-2少了第3个条件，不能保证 渐近稳定，只能保证一致稳定。）
因为 V ( x)≤0
则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 V( x) 0 ，则系
4.4 线性连续系统的稳定性
对线性时变系统，其相应的齐次状态方程为 x A(t)x
由第2章介绍的方法求出其解为 x(t) (t, t0 ) x(t0 )
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
现代控制理论4稳定性
现代控制理论4稳定性4 稳定性分析4．1李氏稳定性分析（1）平衡状态设系统 [],x f x t = x —n 维状态向量。
f —n 维函数向量。
若存在状态向量ex ，对所有的t ，使得 []0ef x t ≡成立，则称ex 为系统的平衡状态。
例如系统1132122x x x x x x =-??=+-?解：有3个平衡点 100e x=，201e x=??-??，301e x=（2）稳定性分析1）李亚普诺夫意义下的稳定对于任选0ε>，都对应存在0(,)0t δε>的实数，当00(,)e x x t δε-≤时其解满足00(,,)x t t εΦ≤ 0t t ≤<∞则称平衡状态ex 为李亚普诺夫意义下的稳定，如果δ与t 无关，则称ex 是一致稳定2）渐近稳定由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t →∞时， 0(,,)0et x t x Φ-=则ex 平衡点是渐近稳定的。
3）大范围稳定如果ex 稳定，而且对于所有的0x ，00(,,)0et x t x Φ-→，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。
4）不稳定由初始状态引起的运动无论0ex x δ-≤，δ多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点ex 是不稳定的。
4．2李氏第一方法（1）线性定常系统的稳定判据：x Ax Bu =+ y Cx =系统稳定的充要条件是0SI A -=的特征根全位于S 左半面，输出稳定的充要条件是B A SI C S W 1)()(--=的极点全位于S 左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。
101-=A ，11B ??=， []10C = 0)1()1(=+?-=-S S A SI 11S =-，21S =状态不全稳定，属于状态不稳系统，而输出为[]1)1)(1(111100101)()(1+=-+-=-+=-=-S S S S S S B A SI C S W 是输出稳定系统。
现代控制理论-07(第4章Lyapunov稳定性理论)
−1 ⎤ 1 + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎥ −1 2 ⎥ + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎦
q ⎤ ⎡ 2e −t − e−2t ⎡ ⎢Ψ ⎥ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ −2e−t + 2e−2t ⎣
e−t − e−2t ⎤ ⎡ q0 ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ −e−t + 2e−2t ⎥ ⎣Ψ 0 ⎦ ⎦
dΨ = −VC = −Cq. dt
dq Ψ = iL = , dt L
电路无外界的能量输入, 同时电路中没有耗能元件, 所以电路总能量W恒定不变.
W = WL + WC = ∫ 0
Ψ
Cq 2 iL (τ1 )dτ1 + ∫ VC (τ 2 )dτ 2 = + ≡ W0 . 0 2L 2
q
Ψ2
从上述式子的最后一个等号看出系统的轨迹是 一个椭圆, 见图4.2.
Ψ2
= 0.
16
Ψ
q
图4.3 例4.2.2状态方程相图
图4.3表明, 从原点很小的领域出发的轨迹能保持在 原点附近, 并能逐渐趋向于原点, 或者说是渐近稳 定的. 17
例4.2.3 图4.1所示的电路中, 设电感是线性的, 电 vC = q3 − q , 阻 R = 0 , 而电容具有非线性的库伏特性 则状态方程是 dq Ψ
dq Ψ = iL = , dt L
此电路中电阻是耗能元件, 所以电路总能量是不断 减少的.为简单起见, 设C=2, R=3, L=1, 再令初始状 态为 (Ψ 0 , q0 ) . dq =Ψ ,
dt
dΨ = −2q − 3 . Ψ dt
14
利用拉普拉斯反变换求解上述方程, 先求预解矩阵
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定义为系统的有界输入 输出稳定或称 BIBO 稳定。
BIBO 稳定的充要条件是
G ( s )的 所 有 极 点 都 在 s 平 面 的 左 半 平 面 。
( 3 )、BIBO 稳定和渐进稳定的关系 由于 G ( s )
N (s) D( s) C ( sI A )
1
det( sI A ) sI A
1 2 Cu
2
[1] 思路 :
电感中储能
1 2
Li
2
[ 2 ] 系统的复杂性和多样性 ，使得一个具体的系统 的能量 函数不好直观的找出。李雅普诺夫定义了一个 正定的标量函数
V ( X ) ，作为虚 构的广义能量函数。 然后，根据 V ( X ) 的符号特征
来判断系统 的稳定性。
V (X )
V (X )
[ 2]、若 A的特征值，至少有一个 具有正实部，则原系统 的平
衡状态 X e是不稳定的。
[ 3 ]、若 A 的特征根至少有一个实 部为零，则原非线性系 统的
平衡状态 X e的稳定性取决于高阶导 数项 （ X ），而不能用
A 的特征值符号确定。
例：系统状态方程为
x1 x1 x1 x 2 x 2 x 2 x1 x 2
当 t t 0后， ( t )的运动轨迹始终在 S ( ) 的范围内，称这种系统 为 X
稳定系统。
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( 2 )、
即 如果存在
X 0 X e ( , t 0 ) 或 S
X (t ) X e
欧几里德范数
1 2
或 S ( )
结论：系统是稳定的。
2
式中； X ( t ) X e x 1 x 1 e ) ( x 2 x 2 e ) ( x x ) 2 ( n ne x2 S( )
李雅普诺夫第一方法（间接法）
1、适用对象
线性系统、非线性不很 严重的系统，将其适当 的线性化。可以
按线性系统的稳定条件 去分析其稳定性。
2、第一方法（间接法） 内容 （1）、对于线性系统；已知
X AX , A 非奇异，则 X e 0
为其平衡点。
( 2 )、内容 [1]、 A 的特征根全部具有负的实部，系统是渐进稳定 的。 [ 2 ]、 A 中有一个实部为正的特 征根，实际系统不稳定 [ 3 ]、线性系统渐进稳定， 则一定是大范围渐进稳 定的。
B
Cadj ( sI A ) B det( sI A )
[1]、 G ( s )为不可约的，即 N ( s )和 D ( s )无公因子
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[ 2 ]、若 sI A 和 Cadj ( sI A ) B 无公因子，有
D ( s ) sI A 。
G 结论： ( s )的极点和系统的 A 特征值完全相同。系统 若 BIBO 稳定，它也是渐进稳定 的。
（3）、 V ( X )沿状态轨迹方向计算的 时间导数
dV ( X ) V (X ) 分别满足下列条件 dt
[1] 若 V ( X )半负定，则平衡状态 X e 为李雅普诺夫意义下的 稳定。 [ 2 ] 若 V ( X ) 负定， 此时 X e是渐进稳定的。
若当 X 时， V ( X ) ，则系统为大范围渐进 稳定的。
参见 自动控制原理 下 吴麒 P.242 现代控制理论 刘豹 P.147
教材 p.505 附录1；5.二次型和向量范数
作业： 判断下面二次型函数的符号性质 V ( x ) x1 3 x 2 11 x 3 2 x1 x2 x 2 x 3 2 x1 x 3
2 2 2
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2
S( )
x0
x1
xe
稳定的 平衡状态及其 状态轨线
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2、一致稳定
实数 和 有关，也和 t 0 有关。若 与 t 0 无关，称平衡状 态 X e 一 致 稳 定
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3、渐进稳定 当t无限增长，若存在 lim X ( t ) X e 0
t
即系统回到原来的平衡 状态 X e 则称系统是 渐进稳定
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例：系统的状态空间表 达式为 试分析系统的状态稳定 性。
解：
1 X 0
0 x 1
1 u , y 1 1
0 X
由A 阵的特征方程 det I A ( 1)( 1) 0
可得特征根
1 1， 2 1。
令
雅克比 Jacobian 矩阵
A
f X
T X Xe
X X X e , 可得线性化的方程
X AX
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( 2 )、第一法（间接法）的 内容
[1]、若 A 的所有特征根都具有负 实部，则原非线性系统 在平
衡状态 X e 是渐进稳定的。且系统的稳定性和 （X ）无关。
系统平衡状态 X e 0
X e 0，在状态空间的原点。
(1) 若由于扰动使系统的平 衡状态遭到破坏。在 t t 0 时刻产生 初始状态 X ( t 0 ) X 0。在 t t 0 后，系统的运动状态 X (t ) 将随时间变化。
如果，对应于无论多么 小的 0 的园域或球域 S ( ), 总存在 一个 0 的园域或球域 S ( ) ，在初始状态 X 0不超过 S ( ) 的条件下
x2
S( )
S( )
x0
xe
x1
渐进稳定的平衡状态及其状态轨线
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4、大范围渐进稳定
若对状态空间所有点， 由这些状态出发的轨迹 都具有 渐进稳定性，称系统 大范围渐进稳定。
讨论： 按照李亚普诺夫稳定性定义
线性系统稳定，一定是大范围渐进稳定的。 非线性系统，若平衡点的不唯一，不可能存在大范围稳定， 若稳定，也只能是小范围渐进稳定。
反之，若 sI A 和 Cadj ( sI A ) B 有公因子，此时，D ( s ) sI A 。
结论： ( s )的极点只是特征值的一 部分，即使是 BIBO 稳定 G
的，它不见的是渐进稳 定的。
可见， BIBO 稳定不包含渐进稳定， 而渐进稳定包含 BIBO 稳定。 渐进稳定比 BIBO 稳定定义要严格，只有 渐进稳定的系统，才能 说 系统是真正稳定的。一 个 BIBO 稳定的系统可能不能正 常工作，因 为其内部状态可能不稳 定。
[ 3 ] V ( X ) 称李雅普诺夫函数
已知系统
X f (X )
若能找到一个正定的 V ( X )
而
V (X )
是负定的，则系统是渐 进稳定的。
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[ 4] 需注意问题 应用李雅普诺夫第二法 的关键问题是 V ( X )的寻找。
任何标量函数只要满足 李雅普诺夫稳定性判断 的假设 , 均可作为李雅普诺夫函 数。
成立，则称 X e 为系统的平衡状态。
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需要说明的是，任意一 个平衡状态 X e ，都可以通过坐标变换
将其变换到坐标原点 X e 0 以下对系统稳定性 的讨论 都在系统的状态空间原 点处。
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二、稳定性的定义 1、稳定
已知系统在自由运动时 齐次状态方程的一般形 式为 X f ( X , t )
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Section 5 P.513 9-4
李雅普诺夫稳定性定义→ 李雅普诺夫第一方法（间接法） → 系统的有界输入输出(BIBO)稳定→ 李亚普诺夫第二法（直接法） → 李亚普诺夫直接法在线性系统中的应用→
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李雅普诺夫稳定性定义
一、系统状态的运动及 平衡状态
1、研究系统的稳定性指 系统处于平衡状态下， 受到扰动后系统 自由运动的性质。系统 稳定性的定义有很多， 最重要的是由俄国
判 断 系 统 的 渐 进 稳 定 性 ， B IB O 稳 定 性 。
2、 非 线 性 系 统
x1 2 x1 2 x1 x 2 x2 x2
2
用李雅普诺夫第一法判 断，系统在平衡点的稳 定性。
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李亚普诺夫第二法（直接法）
1. 概述
能量观点 能量函数 电容中储能
试分析系统在平衡状态 的稳定性。
解：[1]、找出系统的平衡状态
0 Xe 1 0
X e2
1 1
[ 2 ]、在 X e 1处进行讨论，将非线性 方程线性化
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0 Xe 1 0
1 A 0
0 1
其特征值为 1 1， 2 1。
或虽然 V ( X )半负定，但对任意初始 状 态 X ( t 0 ) 0 来说，除去
V X X e 0外，对 X 0， ( X ) 不恒为 0 。此时 X e是渐进稳定的。
@
@ @
李雅普诺夫函数的寻找 主要靠试探。 也有一些定理 , 帮助寻找李雅普诺夫函 数。
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2
李雅普诺夫稳定判据
平衡状态 X e 0
已知 系统的状态方程为 X f ( X )
如果存在一个标量函数 V ( X )
有 f (Xe) 0
满足
（1）、 V ( X )对所有 X 都具有连续的一阶偏导数。 （2）、 V ( X )是正定的，X 0， V ( X ) 0， X 0， V ( X ) 0
学者李雅普诺夫提出的 经典定义。
2、所谓自由运动，是指已知系统的数学模型， 不考虑外加激励， 研究系统的自由运动。设系统的齐次状态 方程；
X f (X ,t)
3、平衡状态 X e
若状态方程的解存在状 态矢量 X e ，使得对所有的 t，都有
X f (Xe ,t) 0
BIBO 稳定的充要条件是
G ( s )的 所 有 极 点 都 在 s 平 面 的 左 半 平 面 。
( 3 )、BIBO 稳定和渐进稳定的关系 由于 G ( s )
N (s) D( s) C ( sI A )
1
det( sI A ) sI A
1 2 Cu
2
[1] 思路 :
电感中储能
1 2
Li
2
[ 2 ] 系统的复杂性和多样性 ，使得一个具体的系统 的能量 函数不好直观的找出。李雅普诺夫定义了一个 正定的标量函数
V ( X ) ，作为虚 构的广义能量函数。 然后，根据 V ( X ) 的符号特征
来判断系统 的稳定性。
V (X )
V (X )
[ 2]、若 A的特征值，至少有一个 具有正实部，则原系统 的平
衡状态 X e是不稳定的。
[ 3 ]、若 A 的特征根至少有一个实 部为零，则原非线性系 统的
平衡状态 X e的稳定性取决于高阶导 数项 （ X ），而不能用
A 的特征值符号确定。
例：系统状态方程为
x1 x1 x1 x 2 x 2 x 2 x1 x 2
当 t t 0后， ( t )的运动轨迹始终在 S ( ) 的范围内，称这种系统 为 X
稳定系统。
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( 2 )、
即 如果存在
X 0 X e ( , t 0 ) 或 S
X (t ) X e
欧几里德范数
1 2
或 S ( )
结论：系统是稳定的。
2
式中； X ( t ) X e x 1 x 1 e ) ( x 2 x 2 e ) ( x x ) 2 ( n ne x2 S( )
李雅普诺夫第一方法（间接法）
1、适用对象
线性系统、非线性不很 严重的系统，将其适当 的线性化。可以
按线性系统的稳定条件 去分析其稳定性。
2、第一方法（间接法） 内容 （1）、对于线性系统；已知
X AX , A 非奇异，则 X e 0
为其平衡点。
( 2 )、内容 [1]、 A 的特征根全部具有负的实部，系统是渐进稳定 的。 [ 2 ]、 A 中有一个实部为正的特 征根，实际系统不稳定 [ 3 ]、线性系统渐进稳定， 则一定是大范围渐进稳 定的。
B
Cadj ( sI A ) B det( sI A )
[1]、 G ( s )为不可约的，即 N ( s )和 D ( s )无公因子
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[ 2 ]、若 sI A 和 Cadj ( sI A ) B 无公因子，有
D ( s ) sI A 。
G 结论： ( s )的极点和系统的 A 特征值完全相同。系统 若 BIBO 稳定，它也是渐进稳定 的。
（3）、 V ( X )沿状态轨迹方向计算的 时间导数
dV ( X ) V (X ) 分别满足下列条件 dt
[1] 若 V ( X )半负定，则平衡状态 X e 为李雅普诺夫意义下的 稳定。 [ 2 ] 若 V ( X ) 负定， 此时 X e是渐进稳定的。
若当 X 时， V ( X ) ，则系统为大范围渐进 稳定的。
参见 自动控制原理 下 吴麒 P.242 现代控制理论 刘豹 P.147
教材 p.505 附录1；5.二次型和向量范数
作业： 判断下面二次型函数的符号性质 V ( x ) x1 3 x 2 11 x 3 2 x1 x2 x 2 x 3 2 x1 x 3
2 2 2
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2
S( )
x0
x1
xe
稳定的 平衡状态及其 状态轨线
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2、一致稳定
实数 和 有关，也和 t 0 有关。若 与 t 0 无关，称平衡状 态 X e 一 致 稳 定
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3、渐进稳定 当t无限增长，若存在 lim X ( t ) X e 0
t
即系统回到原来的平衡 状态 X e 则称系统是 渐进稳定
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例：系统的状态空间表 达式为 试分析系统的状态稳定 性。
解：
1 X 0
0 x 1
1 u , y 1 1
0 X
由A 阵的特征方程 det I A ( 1)( 1) 0
可得特征根
1 1， 2 1。
令
雅克比 Jacobian 矩阵
A
f X
T X Xe
X X X e , 可得线性化的方程
X AX
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( 2 )、第一法（间接法）的 内容
[1]、若 A 的所有特征根都具有负 实部，则原非线性系统 在平
衡状态 X e 是渐进稳定的。且系统的稳定性和 （X ）无关。
系统平衡状态 X e 0
X e 0，在状态空间的原点。
(1) 若由于扰动使系统的平 衡状态遭到破坏。在 t t 0 时刻产生 初始状态 X ( t 0 ) X 0。在 t t 0 后，系统的运动状态 X (t ) 将随时间变化。
如果，对应于无论多么 小的 0 的园域或球域 S ( ), 总存在 一个 0 的园域或球域 S ( ) ，在初始状态 X 0不超过 S ( ) 的条件下
x2
S( )
S( )
x0
xe
x1
渐进稳定的平衡状态及其状态轨线
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4、大范围渐进稳定
若对状态空间所有点， 由这些状态出发的轨迹 都具有 渐进稳定性，称系统 大范围渐进稳定。
讨论： 按照李亚普诺夫稳定性定义
线性系统稳定，一定是大范围渐进稳定的。 非线性系统，若平衡点的不唯一，不可能存在大范围稳定， 若稳定，也只能是小范围渐进稳定。
反之，若 sI A 和 Cadj ( sI A ) B 有公因子，此时，D ( s ) sI A 。
结论： ( s )的极点只是特征值的一 部分，即使是 BIBO 稳定 G
的，它不见的是渐进稳 定的。
可见， BIBO 稳定不包含渐进稳定， 而渐进稳定包含 BIBO 稳定。 渐进稳定比 BIBO 稳定定义要严格，只有 渐进稳定的系统，才能 说 系统是真正稳定的。一 个 BIBO 稳定的系统可能不能正 常工作，因 为其内部状态可能不稳 定。
[ 3 ] V ( X ) 称李雅普诺夫函数
已知系统
X f (X )
若能找到一个正定的 V ( X )
而
V (X )
是负定的，则系统是渐 进稳定的。
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[ 4] 需注意问题 应用李雅普诺夫第二法 的关键问题是 V ( X )的寻找。
任何标量函数只要满足 李雅普诺夫稳定性判断 的假设 , 均可作为李雅普诺夫函 数。
成立，则称 X e 为系统的平衡状态。
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需要说明的是，任意一 个平衡状态 X e ，都可以通过坐标变换
将其变换到坐标原点 X e 0 以下对系统稳定性 的讨论 都在系统的状态空间原 点处。
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二、稳定性的定义 1、稳定
已知系统在自由运动时 齐次状态方程的一般形 式为 X f ( X , t )
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Section 5 P.513 9-4
李雅普诺夫稳定性定义→ 李雅普诺夫第一方法（间接法） → 系统的有界输入输出(BIBO)稳定→ 李亚普诺夫第二法（直接法） → 李亚普诺夫直接法在线性系统中的应用→
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李雅普诺夫稳定性定义
一、系统状态的运动及 平衡状态
1、研究系统的稳定性指 系统处于平衡状态下， 受到扰动后系统 自由运动的性质。系统 稳定性的定义有很多， 最重要的是由俄国
判 断 系 统 的 渐 进 稳 定 性 ， B IB O 稳 定 性 。
2、 非 线 性 系 统
x1 2 x1 2 x1 x 2 x2 x2
2
用李雅普诺夫第一法判 断，系统在平衡点的稳 定性。
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李亚普诺夫第二法（直接法）
1. 概述
能量观点 能量函数 电容中储能
试分析系统在平衡状态 的稳定性。
解：[1]、找出系统的平衡状态
0 Xe 1 0
X e2
1 1
[ 2 ]、在 X e 1处进行讨论，将非线性 方程线性化
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0 Xe 1 0
1 A 0
0 1
其特征值为 1 1， 2 1。
或虽然 V ( X )半负定，但对任意初始 状 态 X ( t 0 ) 0 来说，除去
V X X e 0外，对 X 0， ( X ) 不恒为 0 。此时 X e是渐进稳定的。
@
@ @
李雅普诺夫函数的寻找 主要靠试探。 也有一些定理 , 帮助寻找李雅普诺夫函 数。
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2
李雅普诺夫稳定判据
平衡状态 X e 0
已知 系统的状态方程为 X f ( X )
如果存在一个标量函数 V ( X )
有 f (Xe) 0
满足
（1）、 V ( X )对所有 X 都具有连续的一阶偏导数。 （2）、 V ( X )是正定的，X 0， V ( X ) 0， X 0， V ( X ) 0
学者李雅普诺夫提出的 经典定义。
2、所谓自由运动，是指已知系统的数学模型， 不考虑外加激励， 研究系统的自由运动。设系统的齐次状态 方程；
X f (X ,t)
3、平衡状态 X e
若状态方程的解存在状 态矢量 X e ，使得对所有的 t，都有
X f (Xe ,t) 0