《平行四边形的判定3》教案新部编本
人教版八年级数学下18.2.3平行四边形的判定三(教案)
5.使学生体会数学在实际生活中的应用，增强数学应用的意识。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索和证明平行四边形的判定定理，提高学生运用数学原理分析、解决问题的能力。
2.发展学生的空间观念，通过观察、操作、思考等活动，增强学生对平行四边形性质和判定方法的理解，提高空间想象力和几何直观。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平行四边形判定的基本概念。平行四边形判定三是基于两直线平行，且被第三条直线所截，截得的对应线段成比例。这个定理在几何学中有着重要的地位，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过实际图形的展示，让学生了解如何应用判定三定理来判断一个四边形是否为平行四边形。
2.教学难点
-理解并内化平行四边形的判定定理，特别是如何从实际图形中抽象出符合定理的条件。
-运用判定定理时，学生可能会在识别对应线段、比例关系等方面遇到困难。
-在解决实际问题时，学生可能难以将问题转化为数学模型，从而应用判定定理。
-举例解释：
a.对于判定定理的理解，教师需要通过直观的图形演示和实际操作，帮助学生理解定理的含义。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握平行四边形的判定定理：两直线平行，且被第三条直线所截，截得的对应线段成比例。
-学会运用判定定理判断一个四边形是否为平行四边形。
-能够将判定定理应用于解决实际问题，如测量、建筑等方面的应用。
-举例：通过具体的几何图形，如梯形、矩形等，让学生学会判断其是否符合平行四边形的判定定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
八年级数学上册平行四边形的判别教案新部编本
精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan八年级数学上册平行四边形的鉴识教课设计●教课目标知识与技术目标1．经历平行四边形鉴识条件的探究过程，发现平行四边形的常用鉴识条件。
2．掌握平行四边形的鉴识条件；对角线相互均分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3．逐渐掌握说理的基本方法。
过程与方法目标1．在探究平行四边形的鉴识条件的过程中，发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯。
2．鼓舞学生用多种方法进行说理。
感情与态度目标1．培育学生探究创新的能力，开辟学生思路，发展学生的思想能力。
2．培育学生合作学习，加强学生的自我谈论意识。
●教材解析教材经过创建“钉制平行四边形框架” 这一情境，便于学生发现和探究平行四边形的常用鉴识方法。
若有条件可要修业生自己准备，由学生自我操作。
也可由教师演示。
教课要点：平行四边形的鉴识方法。
教课难点：利用平行四边形的鉴识方法进行正确的说理。
●学情解析初二学生对平面图形的认识能力正在形成，抽象思想还不够，学习几何知识处于现象描述和说理的过渡期间。
所以，对这部分内容的学习，要指引学生学会正确的说理，理清楚四边形在什么条件下用判判定理，在什么条件下用性质定理。
●教课流程一、创建情境，引入新课精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan 师：请同学们取出课前准备的小木条，帮助小明的爸爸钉制平行四边形的框架。
学生活动：学生按小组进行探究。
探究方法一：如图，将两根相等木条 AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形 ABCD 就是平行四边形。
平行四边形的判定(三)教案
18.1.2 平行四边形的判定（三）一、 教学目标：1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、 重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．三、例题的意图分析例1是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入1． 平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2． 你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）3．创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图） 图中有几个平行四边形？你是如何判断的？五、例习题分析例1. 如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ．分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． （也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．分析：因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC （图（2）），△DAG 中，∵ AH=HD ，CG=GD ，∴ HG ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）． 同理EF ∥AC ，EF=21AC ． ∴ HG ∥EF ，且HG=EF ．∴ 四边形EFGH 是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．六、课堂练习1．（填空）如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M 、N ，如果测得MN=20 m ，那么A 、B 两点的距离是 m ，理由是 ．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm 和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，（1）若EF=5cm ，则AB= cm ；若BC=9cm ，则DE= cm ；（2）中线AF 与DE 中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．七、课后练习1．（填空）一个三角形的周长是135cm ，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm ．2．（填空）已知：△ABC 中，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，如果△DEF 的周长是12cm ，那么△ABC 的周长是 cm ．3．已知：如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．八、课堂小结谈一下你本节课的收获。
平行四边形的判定 教学设计新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校19.1.2平行四边形的判定教学设计七台河市勃利县恒太中学卢亚君教材分析本节内容是在学生学习了平行四边形性质后学习的内容，平行四边形是我们日常生活和生产实践中，应用广泛的又一种基本几何图形，它是在学习平行线、三角形等知识的基础上进一步深化和提高，是今后学习其他几何知识的基础．学情分析该年龄段的学生思维活跃，求知欲、创造欲强，学生虽有参与活动的积极性，但技能和方法有待提高，在教学中学生的猜想假设尤为重要，并在此基础上进一步培养学生的分析，比较，归纳，概括等能力。
教学目标知识与能力：1.掌握平行四边形的判定定理1、2、3，并能与性质定理、定义综合应用。
2.使学生理解判定定理与性质定理的区别与联系。
3.会根据简单的条件画出平行四边形，并说明画图的依据是哪几个定理。
过程与方法：1.通过“探索式试明法”开拓学生思路，发展学生思维能力。
2.通过教学，使学生逐步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，进一步提高学生分析问题，解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情。
教学重点：平行四边形的判定教学难点：1、能寻求多种方法画平行四边形。
2、对已解决的问题加以归纳总结。
教学准备：学生：直尺、圆规，做一个角等于已知角、做已知直线的平行线的做法教学过程设计意图创造情境设计问题，变“教教材”为“用教材”充分调动学生主动参与学习活动，经历和体验平行四边形的生成过程，使学生在课堂活动过程中感悟知识的教师活动一、创设情景，提出问题。
教师先在黑板上画了一个∠ABC问：在这个图的基础上，可用什么方法画出平行四边形ABCD老师不应急着作出评判，而是要引导学生自己通过动脑作出正确的评价。
18.1.2平行四边形的判定(3)说课稿-2022-2023学年八年级数学下册
18.1.2 平行四边形的判定（3）说课稿一、教学内容分析本课是八年级数学下册的第18章第1节内容，主要讲解平行四边形的判定方法之一——对角线互相垂直。
通过本课的学习，学生将能够掌握平行四边形的定义、性质以及判定方法，培养学生的逻辑思维能力和几何解题能力。
二、教学目标1.知识与技能：•掌握平行四边形的定义和性质；•能够判定平行四边形的对角线是否互相垂直。
2.过程与方法：•通过观察、实验等方式引导学生发现规律；•引导学生分析问题、推理论证。
3.情感态度价值观：•培养学生的逻辑思维能力和几何解题能力；•培养学生的观察力和分析问题的能力。
三、教学重点•平行四边形定义和性质的教学；•对角线互相垂直的判定方法的教学。
四、教学难点•对角线互相垂直的判定方法的引导与讲解。
五、教学过程1. 导入新知通过展示一幅有平行四边形的图片，向学生引入本课的主题。
引导学生观察图形，并让学生描述并总结平行四边形的性质。
2. 提出问题在导入中，引导学生发现了平行四边形的性质。
接下来，提出一个问题：“如何判断一个四边形是否为平行四边形？”鼓励学生进行讨论，并激发学生的思考。
3. 引导学生发现规律通过给学生提供一组带平行四边形的图形，并请学生观察对角线的关系。
引导学生发现对角线互相垂直的特点，并总结判断平行四边形对角线垂直的条件。
4. 判定方法解析根据学生总结的条件，引导学生演绎出判定平行四边形对角线垂直的方法，并给出相关的定理和证明过程。
5. 示例演练通过具体的示例，引导学生应用判定方法，判断给定的四边形是否为平行四边形，并解释其原因。
6. 练习巩固提供一些练习题，让学生运用所学知识，判断给定的四边形是否为平行四边形，并进行简要的论证。
7. 拓展延伸为了拓宽学生的思路，提供一些拓展的问题，让学生回顾本课的知识，进行更复杂的应用。
8. 归纳总结对本课所学的知识进行总结，强调平行四边形的定义、性质和判定方法，并帮助学生系统地梳理学科知识。
2022年《《平行四边形的判定2、3》导学案》优秀教案
平行四边形的判定〔2、3〕学习目的：1、掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形〞这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算；2．理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形〞这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算；3．培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；学习重点：理解掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形〞这一判定定理学习难点：判定定理的证明方法及运用导学过程设计：一．【温故互查】：1．用定义法证明一个四边形是平行四边形时，要什么条件？__________________________________________________2．上节课学习的利用边的关系来判定平行四边形的定理2和定理3各是什么？定理1：____________________________________________定理2：____________________________________________3．平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达？___________________________________________________________【自学展示】例3、：如图：在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，OA=OC，OB=OD求证：四边形ABCD是平行四边形小结：由例三可得出平行四边形的判定之方法四：_________________________________________________________ 。
【应用举例：以下练习用定理3〔即判定之方法四〕完成】练习1、如图：延长三角形ABC的中线BD至E，使DE=BD，连结AE、CE，求证：∠BAE=∠BCE练习2、：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。
求证：四边形AECF是平行四边形设问：平行四边形的对角相等的逆命题如何表达？________________________________________________________例4、如图：在四边形ABCD中，∠A =∠C，∠B=∠D求证：四边形ABCD是平行四边形小结：由例四可得出平行四边形的判定之方法五：_________________________________________________________ 。
《平行四边形的判定第3课时》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学下册】
6.2《平行四边形的判定》教学设计第3课时一、教学目标1．通过实例认识“平行线之间的距离”，探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”这一性质．2. 能够综合运用平行四边形的这一性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．二、教学重点及难点重点：认识“平行线之间的距离”，探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”这一性质．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、教学用具多媒体课件四、相关资源生活中的一些图片五、教学过程【情境导入】1．这是小明家的楼梯，扶手是用实木制作的，这些竖直的实木长度相等吗？设计意图：通过创设情境，激发学生的好奇心和求知欲，集中学生的思维兴奋点，为下面学习新知识创设良好的开端．【探究新知】1．在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长?你能说明理由吗？与同伴交流．猜想：平行线之间的距离处处相等．两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．2．你能证明猜想的正确性吗？设计意图：通过生活实例引导学生探究思考，大胆猜想，勇于论证．【典题精讲】例1已知：如图，直线a∥b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D．求证：AC=BD．师生活动：学生思考后，给出证明过程，师板书，并及时引导． 证明：∵AC ⊥b ，BD ⊥b ， ∴AC ∥BD ． ∵AB ∥CD ，∴四边形ACDB 是平行四边形（平行四边形的定义）． ∴AC =BD （平行四边形的对边相等）．师点拨：如图，线段AC 的长是点A 到直线b 的距离；同样，线段BD 的长是点B 到直线b 的距离，且AC =BD ．因此，如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等．这个距离称为平行线之间的距离．“平行线之间的距离”＝“平行线之间的垂线段的长”，即：平行线之间的距离处处相等．想一想：如图，若a ∥b ，c ∥d ，c ，d 与a ，b 分别相交于A ，B ，C ，D 四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC 是平行四边形，AB ＝CD ．也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．设计意图：通过画，量，比，证，让学生经历了平行四边形概念的探究过程，符合学生的认知规律，避免了对概念的机械记忆，发展了探究意识，培养了思维的广阔性．通过例题的讲解，学会综合运用平行四边形的性质及平行四边形的定义进行推理论证的能力．baDC BA d c baABCD想一想如图，已知直线l ∥AB ，点P 1，P 2，P 3都在l 上，△ABP 1，△ABP 2，△ABP 3的面积是否相等？为什么．同底等高，面积相等．设计意图：加深对性质的理解，培养灵活运用能力．例2．已知：如图，在□ABCD 中，点M ，N 分别在AD 和BC 上，点E ，F 在BD 上，且DM=BN ，DF=BE ．求证：四边形MENF 是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC （平行四边形的定义）． ∴∠MDF =∠NBE ． ∵DM=BN ，DF=BE ， ∴△MDF ≌△NBE ． ∴MF=NE ，∠MFD =∠NEB ． ∴∠MFE =∠NEF ． ∴MF ∥NE ．∴四边形MENF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【课堂练习】如图，在□ABCD 中，∠ABC =70°，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，过点D 作BE 的平行线交BC 于点F ，求∠CDF 的度数．MBNDFEA解：在□ABCD 中，∠ABC =70°，∴∠ADC =∠ABC =70°(平行四边形的对角相等)． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠EBF=12∠ABC=12×70°=35°． ∵BE ∥DF ，ED ∥BF ， ∴四边形BFDE 是平行四边形．∴∠EDF=∠EBF =35°(平行四边形的对角相等)． ∵∠CDF ＋∠EDF =∠ADC ，∴∠CDF=∠ADC －∠EDF=70°－35°=35°．【课堂小结】1．掌握平行线之间的距离处处相等．2．掌握两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． 3．综合运用平行四边形的性质进行计算或证明． 4．会根据题目提供的条件计算平行四边形的面积．【板书设计】平行线之间的距离平行线之间的距离处处相等．两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．同底等高，面积相等．ECDFA。
平行四边形的判定教学设计 (3)
19.1.2平行四边形的判定（2）【课题】:平行四边形的判定（2）【教学时间】：40分钟【学情分析】：适合平行班教学【教学目标】：1、掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．2、会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．3、使学生熟练掌握平行四边形判定的五种方法，并通过定理，习题证明提高学生的逻辑思维能力；进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联系。
【教学重点】：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．【教学难点】：几何推理方法的应用。
平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．【教学突破点】：通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．【教法、学法设计】：【课前准备】：【教学过程设计】：教学环节教学内容设计意图创设问题情景平行四边形的性质；平行四边形的判定方法；【探究】取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．生活化引入，引起学生关注新课学习例1（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CD．∵E、F分别是AD、BC的中点，∴DE∥BF，且DE=12AD，BF=12BC．∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．∴BE=DF．此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路．运用例题，让学生感受判定与性质的运用，理解他们之间的区别与联系。
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教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
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xx市实验学校
《平行四边形的判定3》教案
一、教学目的
1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．
二、重点、难点
1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
2．难点：三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法)．
三、例题的意图分析
例1是是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．
建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．
例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入
1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？
2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？
(答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．)
3．创设情境
实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的
三角形，你是如何切割的？(答案如图)
图中有几个平行四边形？你是如何判断的？
五、例习题分析
例1(教材P98例4) 如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中
点，求证：DE ∥BC 且DE =21BC ． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．
方法1：如图(1)，延长DE 到F ，使EF =DE ，连接CF ，由△A
DE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD =FC ，因此有BD ∥FC ，BD =
FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF =BC ，
因为DE =21DF ，所以DE ∥BC 且DE =2
1BC ． (也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同)
方法2：如图(2)，延长DE 到F ，使EF =DE ，连接CF 、CD
和AF ，又AE =EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD
∥FC ，且AD =FC ．因为AD =BD ，所以BD ∥FC ，且BD =FC ．所
以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF =BC ，因
为DE =21DF ，所以DE ∥BC 且DE =2
1BC ． 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【思考】：
(1)想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？
(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
(答：(1)一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． (2)三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．)
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？(让学生口述理由)
例2(补充)已知：如图(1)，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、
H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．
求证：四边形EFGH 是平行四边形．
分析：因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点，可以设
法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系．由
于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．
证明：连结AC (图(2))，△DAG 中，
∵ AH =HD ，CG =GD ，
∴ HG ∥AC ，HG =
21AC (三角形中位线性质)． 同理EF ∥AC ，EF =2
1AC ． ∴ HG ∥EF ，且HG =EF ．
∴ 四边形EFGH 是平行四边形．
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．。