高中数学专题训练(五)——三个二次问题.doc
三个“二次”之间的关系
x y o 1<>三个二次的关系问题◎复习目标：（1）掌握二次函数的对称性、增减性及其图像与性质的关系 （2）理解二次函数与二次方程、二次不等式之间的内在联系 ◎知识梳理：（1）二次函数的解析式的三种形式：一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ 顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 为二次函数的图像的顶点坐标。
两根式：12()()(0)y a x x x x a =--≠，其中12(,0),(,0)x x 为二次函数的图像与x 轴交点的坐标。
（2）二次函数的图像是一条抛物线，当0a >时，图像开口朝上；当0a <时，图像开口朝下。
图像的对称轴为2b x a=-。
当判别式240b ac ∆=->时，二次函数的图像与x 轴有两个交点，当0∆=时，二次函数的图像与x 轴有且仅有一个交点，当0∆<时，二次函数的图像与x 轴没有交点。
（3）二次函数与一元二次方程、一元二次不等式三者之间有紧密的关联。
一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集就是二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像中在x 轴上方的点的横坐标x的集合，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。
◎例题精讲：例1、设0abc >,二次函数2()f x ax bx c =++的图像可能是（ ）D变式训练：设0b >，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下图所示之一，则a 的值为（ ）BC 15-- D 、A 、1B15-+例2、二次函数2()25f x x bx =++，若p q ≠，使()()f p f q =，则()f p q += 5变式训练：已知函数22()2,()962f x x x a f bx x x =++=-+，其中,,x R a b ∈为常数，则方程()0f ax b +=的解集为 ∅x y o x y o xy o例3、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ．),3()1,3(+∞⋃- B.),2()1,3(+∞⋃- C ． ),3()1,1(+∞⋃- D. )3,1()3,(⋃--∞变式训练1：已知函数2,0()2,0x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是（ ）AA 、[1,1]-B 、[2,2]-C 、[2,1]-D 、[1,2]-变式训练2：函数244,1()43,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图像和函数2()log g x x =的图像的交点个数是 个。
三个二次问题
提升成绩题型训练——三个二次问题（二次函数、不等式、方程）1. 解关于x 的不等式：(1) x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0，(2) 0222>++mx x ．2 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ⊆B ，试求k 的取值范围．3．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围．4．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－21＜x ＜31，解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0．5．若不等式012>++p qx x p的解集为{}42|<<x x ，求实数p 与q 的值．6. 设()()f x ax bx c a =++≠20，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54.7.（经典题型，非常值得训练） 设二次函数()()02>++=a c bx ax x f ，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足ax x 1021<<<. 当()1,0x x ∈时，证明()1x x f x <<.8. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.11.如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.12.二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mr m q m p ++++12=0,其中m >0,求证：(1)pf (1+m m )<0;(2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？15. 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a.且函数()f x 的图像关于直线x x =0对称，证明：x x 012<.16. 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ； （2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.17. 设0232=++++=c b a .c bx ax )x (f 若,00>)(f ，01>)(f ,求证：(Ⅰ) a ＞0且－2＜ba ＜－1；(Ⅱ)方程0=)x (f 在（0，1）内有两个实根.18. 已知二次函数的图象如图所示：（1）试判断及的符号；（2）若|OA|＝|OB|，试证明 。
函数 三个二次”关系与恒成立问题、存在性问题专题
三个二次”关系与恒成立问题、存在性问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)含参的恒成立问题、存在性问题通常以不等式为载体，体现了转化与化归思想.真 题 感 悟1.(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________.解析 由6＋x －x 2≥0得－2≤x ≤3，则D 为[－2，3]. 故所求概率P ＝3－（－2）5－（－4）＝59.答案 592.(2015·江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________. 解析 由2x 2－x<4，知x 2－x <2，解得－1<x <2，所以原不等式的解集为(－1，2).答案 (－1，2)3.(2014·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意的x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________.解析 因为二次函数开口向上，在区间[m ，m ＋1]上始终满足f (x )<0， 所以只需⎩⎨⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0即可，由⎩⎨⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－22<m <22，－32<m <0，故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0考 点 整 合1.“三个二次”的关系解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解. 2.解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：(1)对二次项系数与0的大小进行讨论；(2)在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；(3)当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；(4)讨论根与定义域的关系. 3.四个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＞0，Δ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0.(3)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ，a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . (4)存在f (x )<a 成立⇔a >f (x )min ， 存在f (x )>a 成立⇔a <f (x )max .热点一 含参一元二次不等式的解法【例1】 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.解 当a ＝0时，原不等式可化为x －2<0，所以x <2. 当a ≠0时，原不等式化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a >0，①当a >1时，2a <2，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0，所以x <2a 或x >2.②当a ＝1时，2a＝2，原不等式化为(x －2)2>0，所以x ∈R 且x ≠2.③当0<a <1时，2a >2，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0，则x <2或x >2a .④当a <0时，2a <2，原不等式化为(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a <0，所以2a <x <2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2或x >2a ； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a<x <2. 探究提高 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练1】 (2017·上海十四校联考改编)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(2a ＋1)x ，g (x )＝ax .解关于x 的不等式：f (x )≤g (x ).解 由f (x )≤g (x )得x 2＋(2a ＋1)x ≤ax ， 即x 2＋(a ＋1)x ≤0.当a <－1时，解得0≤x ≤－a －1； 当a ＝－1时，解得x ＝0； 当a >－1时，解得－a －1≤x ≤0.所以，当a <－1时，不等式f (x )≤g (x )的解集为[0，－a －1]； 当a ＝－1时，不等式f (x )≤g (x )的解集为{0}； 当a >－1时，不等式f (x )≤g (x )的解集为[－a －1，0]. 热点二 “三个二次”之间的关系【例2】 (2017·苏州调研测试)已知函数f (x )＝x |x －a |，a ∈R ，g (x )＝x 2－1.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式. 解 (1)由f (x )≥g (x )，当a ＝1时， 即解不等式x |x －1|≥x 2－1. 由x ≥1时，不等式为x 2－x ≥x 2－1， 解得x ≤1，所以x ＝1；当x <1时，不等式为x －x 2≥x 2－1， 解得－12≤x ≤1，所以－12≤x <1.综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.(2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )＝x 2－ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )＝f (2)＝4－2a .当0<a <2时，f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax ，0≤x <a ，x 2－ax ，a ≤x ≤2，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，a 上是减函数，在区间[a ，2]上是增函数，所以F (a )＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，f （2），而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，f (2)＝4－2a ，令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<f (2)，即a 24<4－2a ，解得－4－42<a <－4＋42， 所以当0<a <42－4时，F (a )＝4－2a ；令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≥f (2)，即a 24≥4－2a ，解得a ≤－4－42或a ≥－4＋42， 所以当42－4≤a <2时，F (a )＝a 24.当a ≥2时，f (x )＝－x 2＋ax ，当1≤a2<2，即2≤a <4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，2上是减函数，则F (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；当a2≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0，2]上是增函数， 则F (a )＝f (2)＝2a －4；综上，F (a )＝⎩⎨⎧4－2a ，a <42－4，a24，42－4≤a <4，2a －4，a ≥4.探究提高 “三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0的情况转化为a >0时的情形.【训练2】 (2017·苏北四市一调)已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R.若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是________.解析 因为g (x )＝b (2－x ＋a )，所以f (x )≥g (x )， 即2x －1＋a ≥b2x ＋ab ，即(2x )2－2a (b －1)2x －2b ≥0.由二次不等式与二次方程的根的关系知，关于2x 的方程(2x )2－2a (b －1)2x －2b ＝0的2x 的值分别为4，－b 2.因为2x 取正值，要想2x 最小为4，所以－b2≤0，即b ≥0.又因为4－b 2＝2a (b －1)，所以b ＝4（a ＋2）4a ＋1≥0，解得a ≤－2或a >－14.答案 (－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞热点三 恒成立问题与存在性问题 【例3】 已知函数f (x )＝x 2＋2ax －a ＋2.(1)若对于任意的x ∈R ，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若对于任意的x ∈[－1，1]，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若对于任意的a ∈[－1，1]，x 2＋2ax －a ＋2>0恒成立，求实数x 的取值范围.解 (1)若对于任意的x ∈R ，f (x )≥0恒成立， 需满足Δ＝4a 2－4(－a ＋2)≤0，解得－2≤a ≤1. 故实数a 的取值范围是[－2，1]. (2)由题知对称轴方程为x ＝－a ，当－a <－1，即a >1时，f (x )min ＝f (－1)＝3－3a ≥0， 解得a ≤1，与已知矛盾，舍去；当－a >1，即a <－1时f (x )min ＝f (1)＝3＋a ≥0， 解得－3≤a <－1；当－1≤a ≤1时，f (x )min ＝f (－a )＝－a 2－a ＋2≥0， 解得－1≤a ≤1.综上，实数a 的取值范围是[－3，1].(3)对于任意的a ∈[－1，1]，x 2＋2ax －a ＋2>0恒成立，等价于g (a )＝(2x －1)a ＋x 2＋2>0， 所以⎩⎨⎧g （1）>0，g （－1）>0，即⎩⎨⎧x 2＋2x －1＋2>0，x 2－2x ＋1＋2>0，解得x ≠－1，所以x 的取值范围是{x |x ≠－1}.探究提高 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2017·江苏冲刺卷)若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________.(2)(2017·盐城期中)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，得“任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题.则⎩⎨⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2， 故实数a 的取值范围是(2，＋∞).(2)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. 答案 (1)(2，＋∞) (2)[－1，4]1.在解一元二次不等式时，通常先将二次项的系数化为正数，然后利用“三个二次”的关系进行求解；在求解含参数的不等式时，则要注意对二次项系数及根的大小关系分类讨论，分别写出解集.2.(1)在解决不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.一、填空题1.(2017·苏中四校联考)若“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________.解析 由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0”是假命题，可得其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a >0”是真命题，则Δ＝4－4a <0，解得a >1. 答案 (1，＋∞)2.若对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 设f (x )＝x 2＋ax －3a .因为对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，所以⎩⎨⎧f （－1）＝1－a －3a <0，f （1）＝1＋a －3a <0，解得a >12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞3.(2017·南师附中调研)若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x >－3，所以x ＋3>0，故f (x )≥2（x ＋3）·2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，22－3]. 答案 (－∞，22－3]4.(2017·镇江模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集为________.解析 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，所以当x ≤0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，不等式f (x )>x ⇔⎩⎨⎧x >0，x 2－4x >x 或⎩⎨⎧x ≤0，－x 2－4x >x ，解得x >5或－5<x <0，则不等式f (x )>x 的解集为(－5，0)∪(5，＋∞).答案 (－5，0)∪(5，＋∞)5.当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 答案 (－1，2)6.(2017·苏、锡、常、镇调研)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若f (x )在区间(0，1]上恒为单调函数，则实数a 的取值范围为________.解析 由题意知f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax ，因为f (x )在区间(0，1]上恒为单调函数，所以f ′(x )在区间(0，1]上恒大于等于0或恒小于等于0，所以2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在区间(0，1]上恒成立，即a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )，而函数y ＝－2x 2－2x 在区间(0，1]上的值域为[－4，0)，所以a ≥0或a ≤－4.答案 (－∞，－4]∪[0，＋∞)7.若对任意实数x >1，y >12，不等式p ≤x 22y －1＋4y 2x －1恒成立，则实数p 的最大值为________.解析 令a ＝2y －1，b ＝x －1，则x 22y －1＋4y 2x －1＝（b ＋1）2a ＋（a ＋1）2b，问题转化为求（b ＋1）2a＋（a ＋1）2b (a >0，b >0)的最小值.又（b ＋1）2a＋（a ＋1）2b≥2×（a ＋1）（b ＋1）ab＝2×ab ＋（a ＋b ）＋1ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋a ＋b ab ≥2×(2＋2)＝8，当且仅当a ＝b ＝1，即x ＝2，y ＝1时取等号. 答案 88.(2017·徐州、宿迁、连云港模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________.解析 令f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，则当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4时，f (x )>0在R 上恒成立，符合题意；当Δ≥0，即a ≤1或a ≥4时，函数f (x )的两个零点都在[1，5]上，则⎩⎨⎧a ≤1或a ≥4，1≤a －2≤5，f （1）＝1－2（a －2）＋a ≥0，f （5）＝25－10（a －2）＋a ≥0，解得4≤a ≤5.综上，故实数a 的取值范围是(1，5]. 答案 (1，5] 二、解答题9.(2017·南京、盐城调研)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0). (1)若不等式f (x )>0的解集为(－1，3)，求a ，b 的值； (2)若f (1)＝2，a >0，b >0，求1a ＋4b的最小值.解 (1)由题意得⎩⎨⎧f （－1）＝0，f （3）＝0，即⎩⎨⎧a －b ＋5＝0，9a ＋3b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4.(2)因为f (1)＝2，所以a ＋b ＝1， 所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥9，当且仅当b ＝2a ＝12时取等号.10.已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ，c ∈N *)满足①f (1)＝5；②6<f (2)<11.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若对任意的x ∈[1，2]，都有f (x )－2mx ≥0恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由题知5＝a ＋c ＋2，即c ＝3－a .又6<4a ＋c ＋4<11，所以－13<a <43. 又a ∈N *，所以a ＝1，c ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋2.(2)由已知得2(m －1)≤x ＋2x在x ∈[1，2]上恒成立. 因为当x ∈[1，2]时，x ＋2x∈[22，3]， 所以2(m －1)≤22，即m ≤2＋1，所以实数m 的取值范围为(－∞，2＋1].11.(2015·浙江卷)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R).(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在区间[－1，1]上的最小值g (a )的表达式； (2)已知函数f (x )在区间[－1，1]上存在零点，且0≤b －2a ≤1，求实数b 的取值范围. 解 (1)当b ＝a 24＋1时，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1， 故其图象的对称轴为直线x ＝－a 2. 当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2； 当－2<a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1； 当a >2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2<a ≤2，a 24－a ＋2，a >2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1， 则⎩⎨⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b . 因为0≤b －2a ≤1，所以－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1). 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2， 由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45， 所以－23≤b ≤9－4 5. 当－1≤t <0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2， 由于－2≤－2t 2t ＋2<0和－3≤t －2t 2t ＋2<0， 所以－3≤b <0.故b 的取值范围是[－3，9－45].。
三个“二次”
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管理科 学
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安全培训存在 的问题及建议
刘庆 荣
（ 河 市安 全 生 产 科研 中心 ， 龙 江 黑河 １４ ０ ） 黑 黑 ６ ３ ０
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１ ０ ９・
科 教 文 化
三个 “ 二次 ”
姜 心 宇
（ 黑龙 江省 实验 中学 ， 龙 江 哈 尔滨 １０ ０ ） 黑 ５ ０ ０ 摘 要： 二次函数 ， 元二 次方程 ， 一 一元二 次不等式是 高 中数 学 中的重要 内容 ， 们经常 以它们 为工具去解决 高中数学 中的一些 问 我 题。本 文举例说 明二次函数， 一元二次方程 ， 一元二 次不等式各 自的特点和它们之 间的联 系， 并利用三者之 间的联 系解决相应 问题。 关 键 词 ： 次 函 数 ； 元二 次方 程 ； 二 一 一元 二 次 不 等 式 ； ； 集 根 解
二 ａ
一
Ｊ
，
这时方程 ａ２ｈ＋ ： （≠Ｏ 有两个不相等 ｘ ｘ ｃ０ ａ ） ＋ 的实根 ｘ 这两个实根就是抛物线与 Ｘ Ｉ ＇ 轴交 ９ 一３ｂ ＝一 ａ ＋ｃ ８ ａ ＝－２ 点的横坐标。当我们令二次函数值 ａ ｂ ＋＞ ｘ＋ ｘｃ ０ 舶＼ 由题意可 知 ４ 一 ｂ ｅ 一 解 得 ｂ 一 ａ ２ ＋＝ ８ ：２ 时 ， 图像 上看 就 是要 求 图像 出现 在 Ｘ 上方 ， 从 轴 ４ｔ ＠ ａ －ｌ 此 时符 合 条 件 的 Ｘ的范 围就 是不 等 式 的解 ， 即 ８ ｃ４ ＝ ｛ＸＸ Ｘ ＞ 或 ｘ ｘ 。 当 我 们 令 二 次 函 数 值 ｌ ＜ １ 图１ 所 求二次 函数 为 ｙ ２２２＋ 一 ｘ ｘ４ － ａｚｂ＋ ＜ ｘ ｘ ｃ０时， ＋ 从图像上看就是要求图像出现在 Ｘ 轴下方 ， 此时符合条 方 法二 ： 顶点 式 利用 件的 ｘ 的范 围就是不 等式 的解集 ，Ｈ ｌ＜ ＜ ￣｛ｘ ｘ ｘ。 ｘ。 ｂ图像与 Ｘ ． 轴有 一个交 点 ｘ，）如 图 ２ ， ０ ： ３：（）． 抛物线的对称轴为 ｘ 二 ）ｆ ・ ２ ． ： ： 一 这时方 程 ａ ｂ＋ ＝ （≠０有 一个 实根 Ｘ， ｘ ｘ ｃ Ｏａ ） ＋ 即当 ｍ一 ， 有最大值为 ｎ １时 函数 ＝ 这个实 根 就是抛物 线 与 ｘ 交点 的横 坐标 。 轴 当我 们令 二次 函数值 ａ ｂ＋ ＞ ，从 图像 上看 就 ｘ＋ ｘｃ Ｏ时 设二次函数为 ｙａｘ了 ＋ ＝（＋ ２ １ ÷ 是 要求 图像 出现在 Ｘ 轴上 方 ， 符合 条件 的 Ｘ 此时 Ｕ Ｘｌ ’ 的范围就是不等式的解集 ，［ ｌ ｘ｝当我们令 ｌ｛ｘ ￣ｘ ＃ 。 １ ｆ ）一 ’ ８ａ２— ） ÷ （ ＝ ８． ＝（＋ ２ ． 一 ； ＋ １ 二次函数值 ２ｂ＋ ＜ 时 ，从图像上看就是要 ＋ｘｃ０ 图２ 求 图像 出现在 Ｘ 下方 ， 轴 此时符 合条件 的 ｘ 的范 解得 ａ ２ 一 围就是不 等式 的解集 ， Ｘ 即 无实数 解 。 故二次函数为ｙ－（ ÷ ＝２ｘ １） ＋ ＋ ｝ ‘ ｃ． 图像与 Ｘ 轴无交点 ， 如图 ３ ： 方法三 ： 利用双 根式 这 时 方 程 ａ。 ｘ ｃ０ ａ ） 实 根 ， 我 ｘ＋ ＋ ＝ （≠０ 无 ｂ 当 由已知可知 ｘ＋ ＝ ）８Ｏ的两个根为 ｘ 一 ，＝ １ ３ｘ ２ ＝ ２ 们令二次函数值 ａ２ｂ＋ ＞ ｘ ｘ ｃ０时，从 图像上看就 ＋ 故设 ｘ＋ ＝ （一 ）ｘ ３ ｐ ）ａ ａ一 ａ ８ ）８ ａｘ ２（＋ ）ｇ ｘ： ｘ ｘ ６一 ＋ 是要求图像出现在 Ｘ 轴上方 ， 此时符合条件的 ｘ Ｕ ｘ 的范围就是不等式 的解集，即无论 ｘ 取何值 ， 函 又． 数 最 值 孚 ．ａ６８ａ ． 的 大 为 ．（ａ ）ｚ ． 函 ． －－－ ＝ 丁 ４ 数值都大于 ０ ｘ 。 ∈Ｒ， 当我们令二次函数值时 ， 从 解 得 ａ 一 或 ａ ０舍 ） ＝２ ＝（ 图３ 图像上看就是要求 图像出现在 Ｘ 轴下方 ， 此时符 二次 函数为 ｖ一 ｘ ｘ４ ： ２２２＋ 合条件 的ｘ的范围就是不等式的解， 无实数解。 即ｘ １ 二 次函数 的图像是 一条 抛物线 。 ． ２ 元二次不等式的解法充分运用了 “ 函数与方程”数形结合” “ 及 ａ 定抛物线 的开 口方 向 ： ａＯ时 ， 口向上 ； 决 当 ＞ 开 “ 化归” 的数学思想。 ４ 三个 “ 二次 ” 的关 系 当 ａＯ时， 口向下。对称轴方程为 ｘ ＜ 开 一 。顶｜ 坐标为（— ， 一 在解题时我们可以利用一元二次不等式的解集还 （ 下转 １ ） ３页 １
“三个”二次综合练习
专题训练(三) “三个”二次综合练习1．[锦州中考]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图3－ZT－1所示，ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是()图3－ZT－1A．m≥－2 B．m≥5C．m≥0 D．m＞4[解析] A求方程ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c与常数函数y＝m的图象什么时候有交点，由二次函数的图象可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小值－2，因此，当m≥－2时，二次函数y＝ax2＋bx＋c与常数函数y＝m的图象有交点．2．根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是()A.6<x<6.17 B．6.17<x<6.18C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.20[解析] C从表中可以看出当x＝6.18时，y＝－0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，所以方程的一个解肯定在6.18和6.19之间．3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且a＜0，a－b＋c＞0，则一定有()A．b2－4ac＞0 B．b2－4ac＝0C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≤0[解析] A a＜0，抛物线开口向下，y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，a－b＋c)，因为a－b＋c ＞0，所以(－1，a－b＋c)在第二象限，所以抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0.4．若二次函数y＝x2－2m x＋2m2－2的图象的顶点在x轴上，则m的值是()A．0 B．±1C．±2 D．± 2[解析] D抛物线的顶点在x轴上，表明抛物线与x轴只有一个交点，此时b2－4ac＝0.由题意知b2－4ac＝0，即4m2－8m2＋8＝0，故m＝±2.5．不论m为何实数，抛物线y＝x2－m x＋m－2()A．在x轴上方B．与x轴只有一个交点C．与x轴有两个交点D．在x轴下方[解析] C b2－4ac＝(－m)2－4×1×(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4，所以不论m为何实数都有(m－2)2＋4＞0.所以抛物线与x轴有两个交点．6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图3－ZT－2所示，则下列结论成立的是()图3－ZT－2A．a＞0，bc＞0，b2－4ac＜0B．a＜0，bc＞0，b2－4ac＜0C．a＞0，bc＜0，b2－4ac＜0D．a＜0，bc＜0，b2－4ac＞0[解析] D由图象开口向下，知a＜0，图象与y轴交于正半轴，则c＞0，对称轴在y轴左侧，知－b2a＜0，则b＜0，故bc＜0，图象与x轴有两个交点，故b2－4ac＞0.7．直线y＝3x－3与抛物线y＝x2－x＋1的交点的个数是()A．0 B．1C．2 D．不能确定[解析] B由3x－3＝x2－x＋1，得x2－4x＋4＝0，即(x－2)2＝0，x1＝x2＝2.故直线y＝3x －3与y＝x2－x－1的交点只有一个．8．[日照中考]如图3－ZT－3是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点为B(4，0)，直线y2＝m x＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1.其中正确的是()图3－ZT－3A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤[答案] C9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(1，1)和(－1，0)，下列结论：①a－b＋c＝0；②b 2＞4ac ；③当a ＜0时，抛物线与x 轴必有一个交点在点(1，0)的右侧；④抛物线的对称轴为直线x ＝－14a，其中结论正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[解析] B ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过点(1，1)和(－1，0)，∴a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝0，∴b ＝12，c ＝1－2a 2，∴原抛物线可化为y ＝ax 2＋12x ＋1－2a 2，∴b 2－4ac ＝(12)2－4a ×1－2a 2＝14－2a ＋4a 2＝14(16a 2－8a ＋1)＝14(4a －1)2≥0，∴b 2≥4ac .设抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(x ，0)，令y ＝0，则0＝ax 2＋12x ＋1－2a 2，∵抛物线与x 轴交于(－1，0)，∴－1＋x ＝－12a ，∴x ＝1－12a .∵当a <0时，1－22a ＞1，∴a ＜0时可知抛物线与x 轴必有一个交点在点(1，0)的右侧．∵抛物线可化为y ＝ax 2＋12x ＋1－2a 2，∴对称轴为x ＝12－2×a＝－14a ，综上所述①③④正确．10．[烟台中考] 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象如图3－ZT －4所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：图3－ZT －4①4a ＋b ＝0；②9a ＋c ＞3b ；③8a ＋7b ＋2c ＞0；④当x ＞－1时，y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] B ①由图象知对称轴x ＝－b2a ＝2，得4a ＋b ＝0，故①对．②由图象知当x ＝－3时，9a －3b ＋c <0，9a ＋c <3b ，故②错．③由图象知当x ＝2时，4a ＋2b ＋c >0，8a ＋4b ＋2c >0.因为图象开口向下，所以a <0.又x ＝－b2a＝2，所以b >0，所以3b >0，所以8a ＋7b ＋2c >0.故③对．④由图象知当x >2时，y 随x 的增大而减少，故④错． 综上①③正确．11．二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图3－ZT －5，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是( )图3－ZT －5A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜8[解析] C 二次函数y ＝x 2＋bx 的对称轴为直线x ＝1，∴－b2＝1，b ＝－2.∵x 2＋bx －t ＝0，∴x 2－2x ＝t .∵方程x 2－2x －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，∴令x ＝－1，可求得t ＝(－1)2－2×(－1)＝3，令x ＝4，可求得t ＝42－2×4＝8.而函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴当x ＝1时，二次函数有最小值－1.故－1≤t ＜8.12．图3－ZT －6是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，对称轴是直线x ＝1.①b 2＞4ac ；②4a －2b ＋c ＜0；③不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是x ≥3.5；④若(－2，y 1)，(5，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＜y 2.上述4个判断中，正确的是( )图3－ZT －6A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②③④[解析] B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点，可知b 2－4ac ＞0，∴b 2＞4ac ，∴①正确；根据图象不能判断x ＝－2时y 的正负，∴无法判断②是否正确；由图象可看出ax 2＋bx ＋c ＞0的解集有两种情况，所以③不正确；由抛物线的开口方向向上，可知a ＞0.∵抛物线的对称轴方程x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a .又∵y 1＝4a －2b ＋c ，y 2＝25a ＋5b ＋c ，∴y 2－y 1＝21a ＋7b ＝21a －14a ＝7a ＞0，即y 1＜y 2，所以④正确．13．[牡丹江中考] 已知二次函数y ＝kx 2＋(2k －1)x －1的图象与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②方程kx 2＋(2k －1)x －1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2；③x 2－x 1＝1＋4k 2k.其中正确的结论有__________(只需填写序号即可)．[答案] ①②[解析] ①当x ＝－2时，y ＝4k －2×(2k －1)－1＝4k －4k ＋2－1＝1，故本小题正确；②∵抛物线与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2(x 1＜x 2)，∴方程kx 2＋(2k －1)x －1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，故本小题正确；③∵二次函数y ＝kx 2＋(2k －1)x －1的图象与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2(x 1＜x 2)， ∴x 1＋x 2＝1－2k k ，x 1·x 2＝－1k.∴x 2－x 1＝()x 1＋x 22－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2＋4×1k ＝1＋4k 2k 2＝1＋4k 2||k ， 故本小题错误，故答案为①②.14．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A (－3，0)，B (0，－3)，二次函数y ＝x 2＋m x ＋n 的图象经过点A .图3－ZT －7(1)求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；(2)若二次函数y ＝x 2＋m x ＋n 的图象的顶点在直线AB 上，求m ，n 的值； (3)当－3≤x ≤0时，二次函数y ＝x 2＋m x ＋n 的最小值为－4，求m ，n 的值．解：(1)由题意可设y ＝kx －3，把点A (－3，0)代入，得－3k －3＝0，解得k ＝－1.∴一次函数表达式为y ＝－x －3.(2)∵y ＝x 2＋m x ＋n 的图象经过点A (－3，0)，∴9－3m ＋n ＝0，n ＝3m －9.∴y ＝x 2＋m x ＋3m －9，其顶点坐标为(－m 2，－m 2＋12m －364)．∵该抛物线的顶点在直线AB 上，则－(－m2)－3＝－m 2＋12m －364，化简，得m 2－10m ＋24＝0，解得m 1＝4，m 2＝6.当m 1＝4时，n ＝3m－9＝3；当m 2＝6时，n ＝3m －9＝9.综上，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝9.(3)抛物线y ＝x 2＋m x ＋3m －9的对称轴是直线x ＝－m2.①如图3－ZT －8，当－m2<－3时，即m>6，当x ＝－3时，y m in ＝9－3m ＋3m －9＝0≠－4(不符合题意，舍去)．图3－ZT －8②如图3－ZT －9，当－3≤－m 2≤0时，即0≤m ≤6，当x ＝－m2时，y m in ＝－m 2＋12m －364＝－4，得m 2－12m ＋20＝0，解得m 1＝2，m 2＝10(不符合题意，舍去)．图3－ZT －9③当－m 2>0时，即m<0，当x ＝0时，y m in ＝3m －9＝－4.∴m ＝53>0(不符合题意，舍去)．综上所述，m ＝2符合题意，此时n ＝－3.图3－ZT －1015．[响水模拟] 已知二次函数y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m.图3－ZT －11(1)证明：不论m 取何值，该函数图象与x 轴总有公共点；(2)若该函数的图象与y 轴交于点(0，3)，求出顶点坐标并画出该函数图象； (3)在(2)的条件下，观察图象．①不等式－x 2＋(m －1)x ＋m>3的解集是_______；②若一元二次方程－x 2＋(m －1)x ＋m ＝k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________；③若一元二次方程－x 2＋(m －1)x ＋m －t ＝0在－1<x <4的范围内有实数根，则t 的取值范围是________．解：(1)∵Δ＝b2－4ac＝(m－1)2－4×(－1)×m＝(m＋1)2≥0，∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有公共点．(2)∵该函数的图象与y轴交于点(0，3)，∴把x＝0，y＝3代入表达式，得m＝3，∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4)．列表如下：描点，画图如下：图3－ZT－12(3)①0<x<2②k<4③若一元二次方程－x2＋(m－1)x＋m－t＝0在－1<x<4的范围内有实数根，则t的取值就是函数y＝－x2＋2x＋3在－1<x<4的范围内的函数值，由图象可知在－1<x<4的范围内，－5<y≤4，故－5<t≤4.。
三个二次间的关系与应用
x (2a 1) x a 6 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。
2 2
分析：二次不等式恒成立问题转化为二次函数
记f ( x) x (2a 1) x a 6 最值问题。
2 2
f ( x) 0恒成立 f ( x) 0
min
y y y
-2
O
1 x -2
n] 上恒成立.
b<m 2a
2.方法总结 解决不等式问题时应充分联系不等式与函数，可将不等 式问题转化为函数问题，利用函数图像来解决问题。
等价转换思想，
数形结合思想，
分类讨论思想。
பைடு நூலகம்
思考？
若存在x [-2,1]，使x (2a 1 ）x a 6 0
2 2
成立，求实数a的取值范围。
R
( x1 , x2 )
二次函数的零点就是所对应方程的根也是 所对应的一元二次不等式解区间的端点。
关于x的函数f ( x) x (2a 1) x a 6，当f ( x) 0时，
2 2
问题1
解集为(5,2)，求实数a。
f (5) 0 解： f (2) 0
(2)问题即：g ( x)在[1, 2]上的最小值 f ( x)在(0, 2)上的最小值
1 a ,由(1)得，当x (0,1)时，f ( x)单调递减； 4 当x (1, 2)时，f ( x)单调递增； 1 所以，f ( x)在(0,2)的最小值为f (1) 2
又g ( x) ( x b)2 4 b2 , x [1, 2], 所以 (i)当b 1时，g ( x)min g (1) 5 2b 0
三个二次在高考,竞赛中的应用
“三个二次”在高考题中的应用例1 （2014年浙江诸暨期末）已知关于x 的方程)0,(42>=+-c b c b x x 恰有三个不同的实数根321,,x x x ，则b+c=_________。
练习 1 （2013年浙江文科）已知R c b a ∈,,，函数c bx ax x f ++=2)(，若)1()4()0(f f f >=，则（ ）2,0.02,0.04,0.04,0.=+<=+>=+<=+>b a a D b a a C b a a B b a a A例2 （2015嘉兴高三期末）设⎩⎨⎧<+≥+-=0,430,66)(2x x x x x x f ，存在互不相等的实数321,,x x x 满足)()()(321x f x f x f ==，则321x x x ++的取值范围是___________。
练习 2 （2012福建，15）对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=ba ab b b a ab a b a ,,*22，设)1(*)12()(--=x x x f ，且关于x 的方程m x f =)(，)(R m ∈恰有三个互不相同的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_________。
例 3 （2014浙江金华十校期末）若函数x a x x f ln )()(2+=的值域为),0[+∞，则a =_______。
练习 3 （2012浙江，17）设R a ∈，若x>0时，均有,0)1](1)1[(2≥----ax x x a 则a =_______。
例4（2013辽宁，11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -= （ ）（A ）2216a a -- （B ）2216a a +-（C ）16- （D ）16练习4 （2015浙江绍兴一中上学期回头考）若至少存在一个x>0，使得关于x 的不等式a x x --<22成立，则实数a 的取值范围是_________。
江苏省2019高考数学二轮复习第5讲三个“二次”的问题滚动小练(含答案)259
第5讲三个“二次〞的问题1.一元二次不等式-2x2-x+6≥0的解集为.2.函数f(x)=2sin在[0,π]上的减区间为.3.y=f(x)是R上的奇函数,且x>0时,f(x)=1,那么不等式f(x2-x)<f(0)的解集为.4.向量a,b知足|a|=2,|b|=3,且b⊥(a+b),那么向量a,b的夹角为.5.函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们图象有一个横坐标为的交点,那么φ的值是.6.角α的终边过点(sinθ,cosθ),0<θ<,假定tan=2,那么tanα=.7.如图,在△ABC中,AB=AC=,cos∠BAC=,=2,那么·的值为.8.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,a,b是方程x2-2c=.x+3=0的两个根,且2sin(A+B)-=0,那么9.假定不等式ax2+5x-2>0的解集是.(1)务实数a的值;(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.答案精解精析答案-,分析不等式-2x2-x+6≥0化为2x2+x-6≤0,即(2x-)(x+)≤0,解得-≤x≤,因此原不等式的解集为-,.2.答案,分析由2kπ+≤x+≤kπ+,k∈Z得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,又x∈[0,π],故k=0,故f(x)在[0,π]上的减区间是,.3.答案(0,1)分析由于y=f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,且x>0时,f(x)=1,那么x<0时,f(x)=-1,不等式f(x2-x)<f(0)=0?x2-x<0?0<x<1,故原不等式的解集为(0,1).答案π分析由题意知b·(a+b)=a·b+|b|2=0,那么a·b=-|b|2=-6,那么cos<a,b>=·=-1.又<a,b>∈[0,π],因此<a,b>=π.||||5.答案6分析由题意知图象的一个交点的坐标是,,那么sin=,又0≤φ<π,因此+φ=6,那么φ=6.6.答案3由tan a分析=-a =2,得tanθ=.又0<θ<,那么sinθ=,cosθ=.0 0由题意得tanα=cos s=3. 答案-2分析·=3,=+=+(-)=+,那么·=·(-)=-×9+×9+×=-2.答案分析由a,b是方程x2-2 x+3=0的两个根,得a+b=2 ,ab=3,由2sin(A+B)-=0,得sin(A+B)=sinC=.又△ABC是锐角三角形,故C=,那么c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=12-9=3,那么c=.分析(1)由题意知a<0,且方程ax2+5x-2=0的两个根为,2,因此×=-,解得a=-2.(2)由(1)知原不等式为-2x2-5x+3>0即2x2+5x-3<0,解得-3<x<,即不等式ax2-5x+a2-1>0的解集为-, .。
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高中数学专题训练——三个二次问题（二次函数、不等式、方程）1. 解关于x的不等式： (1) x2－ (a＋ 1)x＋ a＜ 0， (2) 2x2 mx 2 0 ．2 设集合 A={ x|x2＋3k2≥2k(2x－ 1)} ， B={ x|x2－ (2x－ 1)k＋k2≥ 0} ，且 A B，试求 k 的取值范围．3．不等式 (m2－ 2m－ 3)x2－ (m－ 3)x－1＜ 0 的解集为 R，求实数m 的取值范围．4．已知二次函数y＝ x2＋ px＋ q，当 y＜ 0 时，有－1＜x＜1，解关于x的不等式qx2＋px2 3＋1＞ 0．5．若不等式1 x 2qx p 0的解集为x |2 x 4，求实数p与q的值．p6. 设f x ax2bx c a 0 ，若 f 0 1， f 1 1， f － 1 1 ,试证明：对于5任意 1 x 1，有f x.47（. 经典题型，非常值得训练）设二次函数 f x ax 2 bx c a 0 ，方程 f x x 0的两个根 x1 , x2满足 0 x110,x1 时，证明 x f x x1. x2. 当xa8. 已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－ 1， 0)内，另一根在区间(1， 2)内，求 m 的范围 .(2)若方程两根均在区间(0， 1)内，求 m 的范围 .9. 已知二次函数 f(x)=ax 2+bx+c 和一次函数 g(x)=－ bx ，其中 a 、b 、c 满足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ；(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A 1B 1 的长的取值范围 .ty(a>0 且 a ≠ 1)10.已知实数 t 满足关系式 log alog aa 3a 3(1)令 t= a x ,求 y=f(x)的表达式；(2)若 x ∈ (0,2 ] 时， y 有最小值 8，求 a 和 x 的值 .11.如果二次函数 y=mx 2+(m － 3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m的取值范围 .p q r12.二次函数 f(x)=px 2+qx+r 中实数 p 、 q 、 r 满足m 1=0,其中 m>0,求证：m 2m(1)pf(m)<0;m 1(2)方程 f(x)=0 在 (0，1)内恒有解 .13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件 )与售价 P( 元/件 )之间的关系为P=160－ 2x,生产 x 件的成本 R=500+30x 元 .(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300 元(2)当月产量为多少时，可获得最大利润最大利润是多少元14.已知 a、b、c 是实数，函数 f(x) ＝ax2＋bx＋ c，g(x)＝ax＋ b，当－1≤x ≤ 1 时， |f(x)|≤1．(1)证明： |c|≤1；(2)证明：当－ 1≤x ≤1 时， |g(x)|≤2；15. 设二次函数 f x ax2 bx c a 0 ，方程 f x x 0 的两个根x1, x2满足0 x1 x2 1f x 的图像关于直线x x0对称，证明： x0x1 . 且函数.a 216. 已知二次函数 f ( x) ax 2bx 1 (a,b R, a 0) ，设方程 f (x) x 的两个实数根为 x1和 x2.（ 1）如果x 2 x2 4 ，设函数 f ( x) 的对称轴为x x0，求证：x0 1；1（ 2）如果x1 2 ， x2 x1 2 ，求 b 的取值范围.17. 设f ( x ) 3ax2 2bx c.若 a b c 0 ,f ( 0 ) 0，f (1) 0,求证：(Ⅰ ) a＞ 0 且－ 2＜a＜－ 1；b(Ⅱ )方程f ( x ) 0在（ 0，1 ）内有两个实根 .18. 已知二次函数的图象如图所示：（ 1）试判断及的符号；（ 2）若 |OA| ＝ |OB|，试证明。
19.为何值时，关于的方程的两根：（ 1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（ 4）一根大于 2，一根小于2；（ 5）两根在0， 2 之间。
20. 证明关于的不等式与，当为任意实数时，至少有一个桓成立。
21.已知关于的方程两根为，试求的极值。
x28x 2022.若不等式0对一切x恒成立，求实数m的范围.mx2mx 123.设不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 {x|a<x< β }(0<a< β ),求不等式 cx2+bx+a<0的解集 .答案：1.解： (1) 原不等式可化为：( x a)( x 1) 0, 若a＞1时，解为1＜ x＜a，若 a＞1 时，解为 a＜ x＜ 1，若 a=1 时，解为(2)△ = m2 16 ．①当 m 2 16 0即m 4或m 4时，△＞0．方程 2x 2 mx 2 0 有二实数根：x1 m m2 16, x2 m m 2 16 .4 4∴原不等式的解集为x | x m m2 16 或x m m2 16 .4 4①当 m =±4时，△=0，两根为 x1 x2 m .4若 m 4, 则其根为－1，∴原不等式的解集为x | x R, 且x 1 ．若 m 4, 则其根为1，∴原不等式的解集为x | x R,且 x 1 ．②当－ 4＜m 4 时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．2．解：A { x | [ x (3k 1)][ x (k 1)] 0} ，比较3k 1, k 1的大小 , 因为 (3k 1) (k 1) 2( k 1),(1)当 k＞ 1 时， 3k－ 1＞ k＋1， A={ x|x≥ 3k－1 或 x k 1}.(2)当 k=1 时， x R .(3)当 k＜ 1 时， 3k－ 1＜ k＋1， A= x | x k 1或 x 3k 1 .B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式4k 2 4(k 2 k) 4k ，(1)当 k=0 时，0, x R .(2)当 k＞ 0 时，△＜ 0， x R .(3)当 k＜ 0 时，0, x k k或x k k .故：当 k 0 时，由B=R，显然有 A B ，当 k＜0 时，为使 A3k 1 k kk 1 ，于是k 1 时，A B.B ，需要1 k kk综上所述， k 的取值范围是：k 0或 1 k0.3..解： (１ )当 m2－2m－ 3＝ 0，即 m＝ 3 或 m＝－ 1 时，①若 m＝ 3，原不等式解集为R②若 m＝－ 1，原不等式化为4x－ 1＜ 014(２ )若 m2－ 2m－ 3≠0，依题意有m2 2m 3 0 1 m 3(m 3)2 4(m 2 2m即 13 3) 0 m5∴－1＜m＜ 3 5综上，当－1＜m≤ 3 时，不等式 (m2－ 2m－ 3)x2－( m－ 3)x－ 1＜0 的解集为 R .5 1， x2 14..解：由已知得x 1 是方程 x2＋ px＋q=0 的根，＝－＝2 3∴－ p=－1＋1q=－1 12 3 2×3∴ p＝1，q＝－1，∴不等式qx2＋ px＋ 1＞0 6 6即－1x2＋1x＋ 1＞ 0 66∴x2－ x－ 6＜0，∴－ 2＜ x＜ 3.即不等式 qx2＋ px＋ 1＞0 的解集为｛ x｜－ 2＜ x＜ 3｝ . 5.．解：由不等式 1 x2 qx p 0 的解集为x | 2 x 4 ，得p2和 4是方程1x2 qx p 0 的两个实数根，且 1 0．(如图) p p1 yP2 4 pq p 0.o2 4x 2 4 p 2解得 P 2 2 ,q 32. 26. 解：∵ f 1 a b c, f 1 a b c, f 0 c ,∴ a 1( f 1 f 1 2 f 0 ), b1( f (1) f ( 1)), c f 0 , 2 2∴ f x f 1 x2 x f 1 x 2 x f 0 1 x2 .∴当 1 x 0 时，2 2f xf 1x 2 xf 1 x 2x f 01 x 222x 2 xx 2 x 1 x 2x 2 x x 2 x(1 x 2 )2 222x 2 x 1( x 1 ) 2 5 5.2 4 4当 0 x1时， f xf 1x 2 x f 1x 2 2 xf 0 1 x 22x 2 x x 2 x 1 x 2x 2 x x 2 x (1 x 2)2222x2x 1( x 1)2 5 5 .24 47. 证明：由题意可知f ( x) x a(x x 1 )( x x 2 ) .0 x x 1 x 21 ,∴a(x x 1 )( x x 2 ) 0 ,a∴ 当 x 0, x 1 时， f (x) x .又 f ( x)x 1a( x x 1 )( x x 2 ) x x 1 ( x x 1 )(ax ax 2 1) ,x x 1 0, 且ax ax 21 1 ax 20, ∴ f ( x) x 1 ,综上可知，所给问题获证 .8. 解： (1) 条件说明抛物线 f(x)= x 2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间 (－ 1， 0)和 (1， 2)内， 画出示意图，得m 1f ( 0) 2m 1 0,2m R,f ( 1) 2 0,1 ,f (1) 4m 2 0, mf ( 2) 6m 5 025m6∴5 16m.2f ( 0) 0,f (1) 0, (2)据抛物线与x 轴交点落在区间 (0， 1)内，列不等式组0,m 1m 1, 2m1 , (这里 0<－m<1 是因为对称轴 x=－m 应在区间 (0，1)内通过 )2 m1 2或 m 12 ,1 m 0.9. (1) 证明：由 y ax2bxc消去 y 得 ax 2+2 bx+c=0ybx2222［ (a+ c 23 2 ］=4b － 4ac=4(－ a － c)－ 4ac=4( a +ac+c )=4)c2 4∵ a+b+c=0,a>b>c,∴ a>0,c<0 ∴3c 2>0,∴ >0,即两函数的图象交于不同的两点.4(2)解：设方程2的两根为2bc ax +bx+c=0x 和 x ,则 x +x =－,x x = .121212aa|A 1B 1|2=(x 1 －x 2 )2=(x 1+x 2)2－ 4x 1x 2(2b24c4b 2 4ac 4( a c) 2 4ac)aa 2a 2a4[( c)2c1] 4[(c1) 2 3]aaa 24∵ a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0∴ a>－a － c>c,解得 c ∈ (－ 2,－ 1)a 2∵ f ( c) 4[( c) 2c 1] 的对称轴方程是 c 1 .aaa a2c∈ (－ 2,－1)时，为减函数a2∴ |A 1B 1|2∈ (3,12), 故 |A 1B 1 |∈(3,2 3 ).10. .解： (1）由 log a tlog t y 得 log a t － 3=log t y － 3log t aa 3 a 3log a y 3 由 t=a x 知 x=log a t ，代入上式得 x － 3=,x x∴ log a y=x 2－ 3x+3，即 y=a x 2 3x 3 (x ≠ 0).(2)令 u=x 2－ 3x+3=( x － 3)2+ 3(x ≠ 0),则 y=a u2 4①若 0＜ a ＜ 1,要使 y=a u 有最小值 8，则 u=(x － 3) 2+ 3在 (0，2 ] 上应有最大值，但 u 在 (0， 2 ] 上不存在最大值 .2 4②若 a>1,要使 y=a u有最小值 8，则 u=(x － 3)2+3,x ∈ (0,2 ] 应有最小值243时， u mi n33∴当 x== mi n 424 ,y = a3由 a 4=8 得 a=16.∴所求 a=16,x= 3.211.解：∵ f(0)=1>0(1)当 m ＜0 时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧，符合题意.(2）当 m>0 时，则 3 m解得 0＜ m ≤ 1m综上所述， m 的取值范围是 { m|m ≤ 1 且 m ≠ 0}.12.证明： (1) pf (m) p[ p( m ) 2 q( m ) r ]m 1 m 1m 1pm[ pm qr ] pm[pm p ] (m 1) 2 m 1 m ( m 1) 2 m 2m( m 2) (m 1) 2]p 2 m[ ( m 1) 2 ( m 2)pm 21,由于 f(x)是二次函数，故p ≠ 0,又 m>0, 所以， pf( m )＜ 0.( m 1) 2 (m 2)m1(2)由题意，得 f(0)= r ,f(1)= p+q+r①当 p ＜ 0 时，由 (1）知 f(m )＜ 0m 1若 r>0, 则 f(0)>0, 又 f(m)＜ 0,所以 f(x)=0m在(0，)内有解 ;m 1m 1若 r ≤ 0,则 f(1)= p+q+r=p+(m+1)=( －p rp r2 )+r =2 >0,m mmm又 f( m )＜ 0,所以 f(x)=0 在 ( m ,1)内有解 .m 1m1②当 p ＜ 0 时同理可证 .13..解： (1）设该厂的月获利为 y,依题意得y=(160 － 2x)x － (500+30x)=－ 2x 2+130 x －500由 y ≥ 1300 知－ 2x 2+130x － 500≥ 1300∴ x 2－ 65x+900≤ 0，∴ (x －20)( x －45)≤ 0，解得 20≤ x ≤45∴当月产量在 20~45 件之间时，月获利不少于1300 元.(2）由 (1）知 y=－ 2x2+130 x－500= － 2(x－65)2 + 2∵ x 为正整数，∴ x=32 或 33 时， y 取得最大值为1612 元，∴当月产量为 32 件或 33 件时，可获得最大利润1612 元 .14. 解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因为 0∈[－ 1， 1])．所以当－ 1≤x≤1 时，15. 解：由题意 f x x ax 2(b 1) x c .它的对称轴方程为x b 12a由方程 fxx 0 的两个根 x 1 , x 2 满足 0 x 1x 21, 可得b 11 b 1b1 a0 x 1x 2x 1 x 22a, 且2a,a2a∴ b 1x 1x 2 b 1 1 b 1 ，2a2aa2a即b x 1 ，而x 0 ba2a故 x 0x1.216. 解：设 g( x) f (x)x ax 2(b 1) x 1 ，则 g (x) 0 的二根为 x 1 和 x 2 .（ 1） 由 a0 及 x 12 x 24 ，可得g( 2) 0 ，g( 4)即4a 2b 1 0 ，16a 4b 3 03 3b30,2a 4a即b340,24a2a两式相加得b 1 ，所以， x 01 ;2a（ 2）由 (x 1x 2 )2( b 1) 24,可得2a 1(b 1) 21 .1aa又 x 1 x 20 ，所以 x 1 ,x 2 同号 .a∴x 12 ， x 2x 12 等价于0 x 1 2 x 2或x 2 2 x 1 0,2a 1(b 1) 21 2a 1 (b 1) 21g( 2) 0 g ( 2) 0即g(0) 0或 g (0)2a1 (b 1) 212a 1(b 1) 2 1解之得 b1 7或 b.4417. 证明： （I ）因为 f (0) 0, f (1) 0 ，所以 c 0,3a 2b c 0 .由条件 a b c 0 ，消去 b ，得a c 0 ；，消去 c，得由条件 a b c 0a b 0 ，2a b 0 .故 2 b1. a（ II ）抛物线f ( x) 3ax2 2bx c 的顶点坐标为 ( b , 3ac b2 ) ，3a 3a在 2 b11 1 b 2. a的两边乘以，得3a 333又因为 f (0) 0, f (1) 0,而 f ( b ) a2 c2 ac 0,3a 3a所以方程 f ( x) 0 在区间 (0,b) 与 (b,1) 内分别有一实根。