中考数学知识点专题复习系列训练题及解析(珍藏版)：23概率与统计真题汇编与预赛典型例题

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编

专题23概率与统计真题汇编与预赛典型例题

1．【2019年全国联赛】在1，2，3…，10中随机选出一个数a，在-1，-2，-3.…，-10中随机选出一个数b，则a2+b被3整除的概率为.

2．【2018年全国联赛】将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则abc+def是偶数的概率为.

3．【2016年全国联赛】袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币．则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为________.

4．【2015年全国联赛】在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为______.

5．【2014年全国联赛】设A、B、C、D为空间四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则点A与B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为_ ______.

6．【2013年全国联赛】从1，2，…，20中任取五个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率是______. 7．【2012年全国联赛】某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用种密码.那么，第七周也使用种密码的概率是______（用最简分数表示）.

8．【2010年全国联赛】两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则，由另一人投掷.则先投掷人的获胜概率是________.

9．【2009年全国联赛】某车站每天早上8：00~9：00、9：00~10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律见表1．一旅客8：20到站．则他候车时间的数学期望为______（精确到分）．

表1

到站时刻8：10~9：108：30~9：308：50~9：50

概率

1．【2016年陕西】从1，2，…，20这20个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为（）.

A．B．C．D．

2．【2016年天津】掷两次色子,用X记两次掷得点数的最大值.则下列各数中,与期望最接近的数为( ) A．4B．C．5D．

3．【2018年江苏】将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数随机填入的方格表中，每个小方格恰填写一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概率是________.

4．【2018年重庆】从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率________．5．【2018年安徽】从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=_________. 6．【2018年甘肃】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是.

（1）求男生闯过四关的概率；

（2）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望.

7．【2016年上海】设n为给定的大于2的整数。有n个外表上没有区别的袋子，第k(k=1,2,··,n)个袋中有k 个红球，n-k个白球。将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球(每次取出不放回)。求第三次取出的为白球的概率。

8．【2016年甘肃】在某电视娱乐节目的游戏活动中，每人需完成A、B、C三个项目.已知选手甲完成A、B、

C三个项目的概率分别为.每个项目之间相互独立.

（1）选手甲对A、B、C三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率.

（2）该活动要求项目A、B 各做两次，项目C做三次.若两次项目A均完成，则进行项目B，并获得积分a；两次项目B均完成，则进行项目C，并获积分3a；三次项目C只要两次成功，则该选手闯关成功并获积分6a（积分不累计），且每个项目之间互相独立.用X表示选手甲所获积分的数值，写出X的分布列并求数学期望.

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编

专题23概率与统计真题汇编与预赛典型例题

1．【2019年全国联赛】在1，2，3…，10中随机选出一个数a，在-1，-2，-3.…，-10中随机选出一个数b，则a2+b被3整除的概率为.

【答案】

【解析】若a∈{1，2，4，5，7，8，10}，.

若.

若a∈{3，6，9}，.

若.

∴a2+b为3的倍数的概率为.

2．【2018年全国联赛】将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则abc+def是偶数的概率为.

【答案】

【解析】先考虑abc+def为奇数的情况，此时abc，def一奇一偶，若abc为奇数，则a，b，c为1，3，5的排列，进而d，e，f为2，4，6的排列，这样有3！×3！=36种情况，由对称性可知，使abc+def为奇数的情况数为36×2=72种.从而abc+def为偶数的概率为.

3．【2016年全国联赛】袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币．则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为________.

【答案】

【解析】

一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而，.故只能从A中取走两张1元纸币，相应的取法数为.

又此时，即从B中取走的两张纸币不能均为1元纸币，相应有种取法．

因此，所求的概率为.

4．【2015年全国联赛】在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为______.

【答案】

【解析】

设正方体为，共12条棱，从中任意取出三条棱的方法有种.

下面考虑使三条棱两两异面的取法数.

由于正方体棱共确定三个互不平行的方向（即的方向），具有相同方向的四条棱两两共面，因此，取出的三条棱必属于三个不同的方向.可先取定方向的棱，这有四种取法.

不妨设取的棱为.则方向只能取棱，共两种可能.当方向取棱时，方向取棱分别只能为.

综上，三条棱两两异面的取法数为8.

故所求概率为.

5．【2014年全国联赛】设A、B、C、D为空间四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则点A与B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为_______.

【答案】

【解析】

每对点之间是否连边有2种可能，共有种情形.考虑其中点A、B可用折线连接的情形数.

（1）有边AB：共种情形.

（2）无边AB，但有边CD：此时，点A、B可用折线连接当且仅当点A与C、D中至少一点相连，且点B与C、D中至少一点相连，这样的情形数为.

（3）无边AB，也无边CD：此时，AC与CB相连有种情形，AD与DB相连也有情形，但其中AC、CB、AD、DB均相连的情形被重复计了一次，故点A与B可用折线连接的情形数为.

综上，情形数的总和为.

故点A与B可用折线连接的概率为.

6．【2013年全国联赛】从1，2，…，20中任取五个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率是______.【答案】

【解析】

设取自1，2， (20)

若互不相邻，则

.

由此知从1，2，…，20中取五个互不相邻的数的选法与从1，2，…，16中取五个不同的数的选法相同，即种.于是，所求的概率为.

7．【2012年全国联赛】某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用种密码.那么，第七周也使用种密码的概率是______（用最简分数表示）.

【答案】.

【解析】

用表示第周用种密码本的概率.则第周末用种密码的概率为.

故

.

8．【2010年全国联赛】两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则，由另一人投掷.则先投掷人的获胜概率是________.

【答案】

【解析】

同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，

从而，先投掷人的获胜概率为.

9．【2009年全国联赛】某车站每天早上8：00~9：00、9：00~10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻

是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律见表1．一旅客8：20到站．则他候车时间的数学期望为______（精确到分）．

表1

到站时刻8：10~9：108：30~9：308：50~9：50

概率

【答案】27

【解析】

旅客候车时间的分布如下表．

候车时间（分）1030507090

概率

候车时间的数学期望为．

1．【2016年陕西】从1，2，…，20这20个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为（）. A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

从这20个数中任取三个数，可构成的数列共有个.

若取出的三个数a、b、c成等差数列，则a+c=2b.

故a与c的奇偶性相同，且a、c确定后，b随之而定.

从而，所求概率为.选D.

2．【2016年天津】掷两次色子,用X记两次掷得点数的最大值.则下列各数中,与期望最接近的数为( ) A．4B．C．5D．

【答案】B

【解析】

易知,,

，

，

，

，

，

故,

与最接近.

3．【2018年江苏】将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数随机填入的方格表中，每个小方格恰填写一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概率是________.

【答案】.

【解析】

要使每行、每列所填数之和都是奇数，必须使每行或每列中要么只有一个奇数，要么三个全为奇数，故满足条件的填法共有种.因此所求的概率为.

故答案为：

4．【2018年重庆】从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率________．【答案】

【解析】

如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：

对于（1），有3种情况；对于（2），有9种情况：对于（3）；有18种情况；故所求概率为

，故答案为：

5．【2018年安徽】从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=_________.【答案】

【解析】

的样本方差，当且仅当是连续的正整数.

故.

故答案为：

6．【2018年甘肃】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是.

（1）求男生闯过四关的概率；

（2）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；

（2）记女生四关都闯过为事件，则的取值可能为0，1，2，3，4，利用相互独立事件的概率公式即可得出.

详解：（1）记男生四关都闯过为事件，则；

（2）记女生四关都闯过为事件，则，

因为

，

，

，

，

所以的分布如下：

.

点睛：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力.

7．【2016年上海】设n为给定的大于2的整数。有n个外表上没有区别的袋子，第k(k=1,2,···,n)个袋中有k 个红球，n-k个白球。将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球(每次取出不放回)。求第三次取出的为白球的概率。

【答案】

【解析】

设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数为n(n-1)(n-2).

第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形:

(白，白，白)取法数为(n-k)(n-k-1)(n-k-2)，

(白，红，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)，

(红，白，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)，

(红，红,白)取法数为k(k-1)(n-k).

从而，第三次取出的是白球的种数为

（n-k）（n-k-1）（n-k-2）+k（n-k）（n-k-1）+k（n-k）（n-k-1）+k（k-1）（n-k）

=（n-1）（n-2）（n-k）.

则在第h个袋子中第三次取出的是白球的概率为

而选到第k个袋子的概率为，故所求的概率为

8．【2016年甘肃】在某电视娱乐节目的游戏活动中，每人需完成A、B、C三个项目.已知选手甲完成A、B、C三个项目的概率分别为.每个项目之间相互独立.

（1）选手甲对A、B、C三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率.

（2）该活动要求项目A、B 各做两次，项目C做三次.若两次项目A均完成，则进行项目B，并获得积分a；两次项目B均完成，则进行项目C，并获积分3a；三次项目C只要两次成功，则该选手闯关成功并获积分6a（积分不累计），且每个项目之间互相独立.用X表示选手甲所获积分的数值，写出X的分布列并求数学期望.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）设选手甲对A、B、C三个项目记为事件A、B、C，且相互独立，至少完成一个项目为事件D.

则.

（2）X的取值分别0、a、3a、6a.则

，

，

，

.

于是，X的分布列如表1.

表1

X0a3a6a

P

故.