高中数学高考综合复习对称性
高中数学《函数对称性》重要结论—优享文档
高中数学《函数对称性》重要结论二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a ＋x)＝f(a －x) （2）f(2a －x)＝f(x) （3）f(2a ＋x)＝f(－x)性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a ＋x)＝－f(a －x)（2）f(2a －x)＝－f(x)（3）f(2a ＋x)＝－f(－x)易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。
函数的奇偶性、周期性与对称性-高考数学复习
法二
− −1
因为 f （ x ）是偶函数，所以 f （1）－ f （－1）＝ － −
−1
−1
− −1
＝
＝0，所以 a －1＝1，所以 a ＝2.故选D.
−1
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高中总复习·数学
解题技法
利用函数的奇偶性求参数值的解题策略
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高中总复习·数学
考向3 利用奇偶性求解析式及函数值
【例3】 （1）已知偶函数 f （ x ），当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2
π
sin x ，当 x ∈[2，＋∞）时， f （ x ）＝log2 x ，则 f （－ ）＋ f （4）
3
＝（
）
B. 1
D. 3
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高中总复习·数学
解析：∵函数 f （ x ）是偶函数，当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2 sin
所以 f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
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高中总复习·数学
（3） f （ x ）＝
36− 2
｜+3|−3
解：由 f （ x ）＝
；
36− 2
｜+3|−3
，可得
36 − 2 ≥ 0，
−6 ≤ ≤ 6，
⇒ቊ
故函数 f （ x ）的定义域为
൝
｜ + 3| − 3 ≠ 0 ≠ 0且 ≠ −6，
1（符合题意）.故选A.
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高中总复习·数学
2. （多选）下列函数中为非奇非偶函数的是（
）
A. y ＝ x ＋e x
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高中总复习·数学
解析：
记 f （ x ）＝ x ＋e x ，则 f （－1）＝－1＋e－1， f （1）＝
高考数学对称问题知识总结
高考数学对称问题知识总结对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化。
下面店铺给大家带来高考数学对称问题知识，希望对你有帮助。
高考数学对称问题知识一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P(x，y)关于点(a，b)对称点为P′(x′，y′)，x′=2a-x由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x′=x-(Ax+By+C)P′(x′，y′)则y′=y-(AX+BY+C)事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。
(-)=-1(B≠0)特别地，点P(x，y)关于1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)例1光线从A(3，4)发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B(1，5)，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′(5，0)，B关于y轴对称点B′为(-1，5)，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0`C(0，)`直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
1、曲线F(x，y)=0关于点(a，b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=02、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0特别地，曲线F(x，y)=0关于(1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x，-y)和F(-x，y)=0(2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0(3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象;保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。
【高考数学对称问题知识总结】 高考数学知识点总结
【高考数学对称问题知识总结】高考数学知识点总结各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化。
下面小编给大家带来高考数学对称问题知识，希望对你有帮助。
高考数学对称问题知识一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P关于点对称点为P′，x′=2a-x由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P关于直线L：Ax+By+C=O 的对称点为x′=x-P′则y′=y-事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C 解此方程组可得结论。
=-1特别地，点P关于1、x轴和y轴的对称点分别为和2、直线x=a和y=a的对标点分别为和3、直线y=x和y=-x的对称点分别为和例1光线从A发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′，B关于y轴对称点B′为，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0`C`直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F=O上任意一点关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
1、曲线F=0关于点的对称曲线的方程是F=02、曲线F=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F，y-)=0特别地，曲线F=0关于x轴和y轴对称的曲线方程分别是F 和F=0关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F=0和F=0关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F=0和F=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f的图象;保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f|的图象。
高中数学函数对称性和周期性小结
高中数学函数对称性和周期性小结高中数学中，函数对称性和周期性是重要的概念。
它们在数学理论和实际应用中都扮演着重要的角色。
本文将对函数的对称性和周期性进行详细的介绍和总结。
首先，我们来讨论函数的对称性。
对称性是指函数在某种变换下具有保持不变的性质。
在数学中，常见的函数对称性有对称、反对称和轴对称等。
对称函数是一种在镜像变换下保持不变的函数。
对称函数的概念可以延伸到两种情况：关于y轴对称和关于原点对称。
关于y轴对称的函数满足 f(x) = f(-x)，这意味着函数的图像在y轴上对称。
而关于原点对称的函数满足 f(x) = -f(-x)，这意味着函数的图像在原点上对称。
常见的对称函数有偶函数和奇函数。
偶函数是指关于y轴对称的函数，即满足 f(x) = f(-x) 的函数。
这种函数的图像关于y轴对称，例如 y = x^2 就是一个典型的偶函数。
偶函数的特点是在定义域的对称位置的函数值相等。
对偶函数来说，如果f(x)在定义域内有定义，则f(-x)也在定义域内有定义。
偶函数的性质还包括：偶函数相加仍为偶函数，偶函数与任意常数先乘后加仍为偶函数，偶函数乘以奇函数得到奇函数。
奇函数是指关于原点对称的函数，即满足f(x) = -f(-x) 的函数。
这种函数的图像关于原点对称，例如 y = x^3 就是一个典型的奇函数。
奇函数的特点是在定义域的对称位置的函数值互为相反数。
对奇函数来说，如果f(x)在定义域内有定义，则f(-x)也在定义域内有定义。
奇函数的性质还包括：奇函数相加仍为奇函数，奇函数与偶函数相加得到一个新的函数，既不是偶函数也不是奇函数。
反对称函数是指既不关于y轴对称也不关于原点对称的函数，而是在镜像变换下呈现一种特殊的关系。
即满足 f(x) = -f(-x)的函数。
这种函数的图像在关于y轴和原点的对称位置的函数值互为相反数。
例如 y = x 就是一个典型的反对称函数。
其次，我们来讨论函数的周期性。
周期性是指函数在某个特定的区间内，满足一个特定的周期性关系。
高一数学《函数的对称性》知识点总结
高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P'关于点A(a,b)对称，充分性得征。
推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0 定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)定理 3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+f2a－(2b－x)]=2c………………（*）又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c－f2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f2(a－b)+x]=2c－f4(a－b)+x]代入（**）得：f(x)=f4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。
知识点：函数的对称性总结
知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
谈高中函数中的奇偶性和对称性
谈高中函数中的奇偶性和对称性
高中函数中的奇偶性和对称性是基本的概念，它们在数学分析中被广泛使用。
下面我将详细介绍奇偶性和对称性，并给出一些例子：
一、奇偶性
1. 定义：奇偶性指函数图像围绕其中心(原点)对称，若函数关于原点对称，则称其具有奇偶性。
2. 表示方法： $$f(-x)=f(x)\text{ 即成对函数 }$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=-x$
二、对称性
1. 定义：对称性指函数图像沿某条直线对称，若函数关于这一条直线对称，则称其具有对称性。
2. 表示方法： $$f(x)=-f(x-a)\text{ 其中$a$是平移量}$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=sin(x)$。
综上，奇偶性和对称性是高中数学中非常重要的概念，它们可以帮助我们有效地进行数学分析，提高解题速度和效率。
高考数学中的函数图像对称性
高考数学中的函数图像对称性数学是一门需要不断练习和思考的学科，高考数学中的函数图像对称性是其中重要的一个部分。
在数学中，我们常常会遇到各种各样的函数，而图像的对称性对于函数的研究和分析具有非常重要的意义。
一、基础概念首先，我们需要了解的是什么是对称性。
在几何学中，对称性是指一个图形相对于某个线段、点或面的对称变换使得它自身与镜子中的图像重合。
在函数图像中，对称性是指函数图像相对于某个直线对称后会得到一样的图像。
比如，若函数图像相对于直线y=x对称，那么得到的图像也是一样的。
二、函数图像的对称性1. 奇偶性在高中数学中，我们经常会遇到奇函数和偶函数。
奇函数指的是当自变量x取相反数时，函数y取相反数，即f(-x)=-f(x)；偶函数则指当自变量x取相反数时，函数y不变，即f(-x)=f(x)。
从几何上来看，一个函数如果是奇函数，那么它的图像关于原点对称；而如果是偶函数，它的图像关于y轴对称。
因此，对于一个函数f(x)，如果它既不是奇函数也不是偶函数，那么它的图像就不具有对称性。
2. x轴和y轴的对称性当一个函数f(x)满足f(-x)=f(x)时，它就是一个偶函数，这时它的图像关于y轴对称。
这种对称性在数学研究中是非常常见的，比如一些多项式函数和三角函数等。
另外，当一个函数f(x)满足f(x)=0时，它就在x轴上，且图像上下对称。
这是因为，如果将图像沿x轴反转，它会和原来的图像重合。
3. 极轴对称性在极坐标系中，一个点的坐标可以用(r,θ)表示。
若一个点在它的对称点处，则它们到极轴的距离相等，且它们的角度加起来为180度。
在函数图像中，若一个点(x,y)关于极轴对称，则它的对称点为(-x,y)。
因此，如果一个函数图像关于极轴对称，它的图像会在圆心进行对称，即圆心处的点不动。
4. 对称形状在数学图形中，圆、正方形和正多边形等都具有各种不同的对称性，它们的图像所显示的对称性与其形状有关。
比如，当一个正方形图形关于一条对角线对称时，它的图像不变；而当它关于一条边对称时，它的图像会旋转180度。
高中数学对称性求解题技巧
高中数学对称性求解题技巧对称性在高中数学中是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们更好地理解数学问题，还可以提供解题的技巧和方法。
下面将介绍一些常见的高中数学对称性求解题技巧。
1. 图形对称性求解题技巧图形对称性是指图形中存在某种对称的特征。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题。
例如，对于一道求解平面镜反射的问题，我们可以利用镜面对称性。
通过将问题中的图形沿着镜面进行对称，我们可以获得一个与原图形相同但在镜面另一侧的图形。
这样，我们可以利用对称的图形性质，简化问题，将问题转化为求对称图形中某个点的位置或某条线段的长度，从而快速求解问题。
又如，在解决关于几何形状的证明问题时，可以利用图形的对称性来简化证明过程。
通过找到图形中的对称点、对称线或对称中心，我们可以直接得出结论或简化推理过程。
2. 函数对称性求解题技巧函数对称性是指函数中存在某种对称的特征。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题或得到一些特殊的性质。
例如，对于奇函数和偶函数，我们可以利用它们的对称性质进行猜测和求解。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，即对称轴为原点。
当我们需要求解奇函数在某点的函数值时，可以利用函数的对称性，将其转化为对称点的函数值。
这样，可以节约计算时间和精力。
偶函数满足f(-x)=f(x)，即对称轴为y轴。
当我们需要求解偶函数在某点的函数值时，可以直接由已知求得，省去了计算步骤。
另外，对于一些具有周期性的函数，我们也可以利用其对称性来简化问题。
例如，正弦函数和余弦函数有周期为2π，我们可以利用周期性和对称性的特点来求解具体的数值问题。
3. 代数方程对称性求解题技巧代数方程中的对称性指的是方程中的变量或项之间存在某种对称的关系。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化方程，从而求得解或简化计算过程。
例如，对称方程是指方程中某些项之间满足对称关系。
在解这类方程时，我们可以只考虑其中一部分项或利用对称关系得到方程解的特殊性质。
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高中数学高考综合复习专题六函数奇偶性的认知与延伸纵观中学数学的函数体系，函数象一棵长青的大树：函数的概念是“根”，函数的性质是“干”，函数的重要命题以及基本函数则是树干上生出的主要枝杈.其中，奇函数与偶函数作为对偶范畴，它们一方面相互对立，另一方面又相互依存，相互联系和相互贯通。
注意到奇函数与偶函数“本是同根生”亲缘关系，由偶函数性质引出的命题，与由奇函数性质引出的相应的命题，在具有鲜明个性的同时，又会“具有惊人的相似之处”。
认知函数奇偶性的本质，揭示函数图象的对称性与函数之间的联系，审题时便会目光犀利，入骨三分；解题时自然转换灵活，得心应手。
一、关于偶函数性质的认知与延伸1、原型：函数f(χ)为偶函数函数f(χ)的图像关于y轴对称.即对函数f(χ)定义域内每一个χ都有f(–χ) =f(χ)函数y= f(χ)的图象关于直线χ=0对称认知：函数关系式与对称轴方程之间的联系（1）几何角度：数轴上χ与–χ的对应点关于点χ=0对称.（2）代数角度：关系式：f(–χ) =f(χ)，即f(0–χ) =f(0＋χ)对称轴：ｘ=02、延伸（1）延伸之一：函数图象自身关于直线χ=a对称我们由上述对对称轴χ=0展开联想：直线χ=0可视为直线χ=a的特例.此时，以“χ=a”替代“χ=0”，进而分别以a替代上述等式中的0（f(–χ) =f(χ)即f(0–χ) =f(0+χ)），便得出作为原型之引申的结论1.把握住函数关系式与对称轴方程之间的这一联系，如下结论便应运而生.我们不难证明上述结论正确，上述三个函数图象自身关于直线χ=a对称的结论彼此等价，这为我们解决相关问题时灵活转换，巧妙变通提供了理论的支持.（2）延伸二：两个函数图象关于直线χ=λ对称.“一分为二”与“合二为一”是辩证的统一.不论是字面理解还是哲学意义，“一分为二”与“合二为一”都是既相互对立，又相互依存、相互联系和相互贯通的，注意到上述函数关系ƒ(–χ) =ƒ(χ)等均是两个不同函数“合二为一”的产物，于是循着“合二为一” 与“一分为二”的辩证关系，考察各个恒等式两边分别对应的一对函数之间的联系，寻出关于函数图象对称性的另一类结论.（ⅰ）原型：函数y=ƒ(χ)与y=ƒ(–χ)的图象关于直线χ=0对称探究：寻觅上述两个函数与它们图象的对称轴之间的联系，在“合二为一”的形式之下，我们考察的是两式相加，其和与对称轴的联系.循着对立联想的思路，如今在“一分为二”之后，首先想到考察相同位置的两式相减，其差与对称轴之间的联系：（ⅱ）延伸循着延伸之一中结论的顺序，它们各自繁衍出新的不同结论.结论1：结论2：结论3：结论4：例1.设f(χ)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线χ=2对称，已知当χ∈［-2，2］时，f(χ)=－χ２+１，求当χ∈［-６，－2］时的f(χ)的解析式.解：从进一步认知f(χ)的性质切入，由函数f(χ)的图象关于直线χ=2对称知，对任意χ∈Ｒ都有f(-χ)= f(χ+4)（为便于与“f(χ)为偶函数”这一条件建立联系而作出这一选择）又f(χ) 为偶函数f(-χ) =f(χ)∴由以上两式得f(χ+4) =f(χ)①∴f(χ)为周期函数且4是f(χ)的一个周期.而当χ∈［-６，－2］时4+χ∈［-2，2］∴由已知条件得f(4+χ) =-(χ+4)2+1②于是由①，②得f(χ) =-(χ+4)2+1，即当χ∈［-６，－2］时，f(χ)= －χ２-8χ-15例2.设f(χ)是定义在R上的偶函数，且f(χ+3) =1-f(χ)，又当χ∈（0，1]时，f(χ)=2χ，求f(17.5)的值.解：从进一步认知f(χ)的性质切入.∵f(χ+3)=1- f(χ)①∴注意到χ的任意性，在①中以-χ替代χ得f(-χ+3)=1- f(-χ)②又f(χ)为偶函数f(-χ)= f(χ)③∴由①、②、③得f(3-χ)= f(3+χ)f(χ)图象关于直线χ=3对称f(-χ)= f(6+χ)④∴由③、④得f(χ+6)= f(χ)即f(χ)是以6为周期的周期函数.于是有f(17.5)=f(17.5－3×6)=f(－0.5)=f(0.5)⑤再注意到当x(0,1]时，f(x)=2x,∴由⑤得f(17.5)=f(0.5)=2×0.5=1例3.设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a为常数且a R)（1）求f(x);（2）是否存在a[2,6]或a(6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：（1）设点M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x)).∵y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称.∴点N(2-x,f(x))在y=g(x)图象上.由此得f(x)=g(2-x)（利用引申之二的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称）设x[-1,0]，则2-x[2,3].此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3又f(x)为偶函数f(-x)=f(x),x[-1,1].∴当x[0,1]时，f(x)=2ax-4 x3（2）注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在[0,1]上的最大值.(ⅰ)当a(2,6]时，由0x1得a-2x2＞0，f(x)=2x(a-2 x2)= ≤=（当且仅当4=a－2,即x=[0,1]时等号成立）.由题意知,f(x)的最大值为12,令=12得=486>,∴a>6,这与a(2,6]矛盾,故此时满足条件的a不存在.(ⅱ)当a=2且0≤x≤1时,f(x)=4x(1－)同理可证f(x)= (当且仅当2=1-,即x=时等号成立),也与已知矛盾.(ⅲ)当a>6时,设0,则f()-f()=2a(-)-4(-)=2(-)[a-2(++)]由题设0<++<3,a>6∴a-2(++)>0又-<0∴f()-f()<0即f()<f(),∴f(x)在[0,1]上为增函数.∴此时=f(1)=2a-4.令2a-4=12,解得a=8(6,+∞),适合题意.因此,综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)知,存在a=8(6,+∞),使得函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上.二.关于奇函数性质的认知与延伸循着对于偶函数性质的认知与延伸的思路1、原型：函数f(x)为奇函数函数y=f(x)的图象关于原点对称.即对函数定义域内每一个x都有f(x)=f(x)函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称.认知：注意到在函数关系式中,“f ”之下为自变量x的式子,故寻觅函数关系式与对称中心横坐标之间的联系.（1）几何角度:在数轴上,x与-x的对应点关于点x=0对称.（2）代数角度:关系式：f(–χ) = - f(χ)，即f(0–χ) = - f(0＋χ)对称中心：（0，0）2、延伸（1）延伸之一:函数图象自身关于点(a,0)对称点(0,0)可视为点(a,0)的特例,以a-x,a+x分别代替上面函数关系式中的0-x与0+x,便得出作为原型引申的结论1.结论1.把握住函数关系式与对称中心横坐标之间的这一联系,获得以下结论便水到渠成.结论2.结论3.上述三个等价结论,为解决相关问题过程中的灵活选择,适时转换提供理论支撑.（2）延伸之二: 两个函数图象关于点(,0)中心对称循着偶函数的研究思路,再次运用“一分为二”的探索策略,容易引出(ⅰ)原型：函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.(ⅱ)延伸:循着前面偶函数性质的延伸之二中,关于两个函数与它们图象的对称轴之间联系的寻觅与发现,同样可获知前面恒等式两边分别对应的每一对函数与它们图像的对称中心之间的联系.结论1.结论2.结论3.结论4.三.归纳与小结有比较才能有鉴别.鉴别,品悟获真知.比较上述偶函数性质的延伸结论与奇函数性质的延伸结论,不难发现它们的个性与共性.（1）个性:偶函数性质的延伸结论中,有关两函数值相等;函数图象自身或有关两个函数的图象成轴对称;奇函数性质的延伸结论中,有关两函数值互为相反数;函数图象自身或有关两个函数的图象成中心对称.（2）共性:不论是偶函数性质延伸系列,还是奇函数性质延伸系列,面对函数式的“合二为一”形式,均由恒等式两边的函数符号“f”之下的“两式之和”,确定函数图象自身的对称轴或对称中心的横坐标;面对“一分为二”后的两个函数,均由两个函数符号“f”之下的“两式构造的方程”,寻求两个函数图象的对称轴或对称中心的横坐标.例4.设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x[2,3]时f(x)=2x,求当x[1,2]时,f(x)的解析式.解:由函数f(x)的图象关于点(2,0)对称得f(x)=-f(4-x)①又当x[1,2]时,4-x[2,3],∴再由已知条件得f(4-x)=(4-x)-2(4-x)②∴由①②得f(x)=- (x- 4)+2(4-x)∴当x[1,2]时,f(x)=-x+6x-8例5.已知f(x)是定义在R上的函数,f(10+x)=f(10-x),且f(20-x)=f(20+x),试判断f(x)的奇偶性与周期性.解:一方面,f(10+x)=f(10-x) f(x)=f(20-x)①f(-x)=f(20+x)②另一方面,f(20-x)=f(20+x)③(1)由①③得f(x)=f(x+20)④∴由②④得f(x)=f(x)∴f(x)为奇函数.(2) 再由④得f(x+20)=f(x)∴f(x+40)=f(x+20)=f(x)即f(x)是周期函数,且40是它的一个周期,于是由(1)、(2)知,这里的f(x)为奇函数,并且是以40为一个周期的周期函数。
品悟与收获:在例1,例2中,函数f(x)的图象有两条对称轴,相应的函数f(x)恰为周期函数;在例5中,函数f(x)的图象有一条铅直对称轴x=10和一个对称中心(20,0),相应的函数f(x)亦为周期函数,并且4(20-10)是它的一个周期.这些巧合的出现,引发人们关于函数周期性与函数图象对称性之间关系的探索与寻觅.函数的周期性与函数图象对称性之间的奥秘由此初步揭开:（1）若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b(a≠b)都对称,则f(x)为周期函数,并且2是f(x)的一个周期.（2）若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0) (a≠b)都对称,则f(x)为周期函数,并且2是f(x)的一个正周期.（3）若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称,又关于点(b,0) (a≠b)对称,则f(x)为周期函数,并且4是f(x)的一个正周期.例6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且当x(0,1)时,f(x)=,则f()的值为.解法一: (运用认知确定周期)又f(x)定义在R上且满足f(x+2)=f(-x)得函数f(x)的图象关于直线x=1对称.①又f(x)为奇函数f(x)的图象关于点(0,0)对称②∴由①②得f(x)是周期函数且4是f(x)的一个周期.∴f()=f()=f(-)=f()③∵0<<1∴由已知得f()==④∴由③④得f()=解法二(利用定义确定周期):由f(x)为奇函数得f(-x)=-f(x)注意到这里f(-x)=f(x+2)∴f(x+2)=-f(x)据此得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期函数且4是f(x)的一个周期.以下同解法一,从略.四.函数奇偶性延伸理论的应用透视中学函数问题,一类是函数性质的直接应用,另一类则与函数性质延伸理论一脉相承.注意到y=Af(x+)型函数在中学教材的重要位置,我们运用上述理论来研究这类函数图象的对称性. 范例.函数y=Asin(x+)与y=Acos(x+)图象的对称性研究.1、原型：y=sinx为奇函数y=sinx图象关于原点对称;y=cosx为偶函数y=cosx图象关于y轴对称.2、探索与收获注意到原点为正弦曲线与x轴的交点之一,分别考察正弦函数图象与x轴的交点(函数的零点),看它们是否也是图象的对称中心;注意到y轴经过余弦曲线的最高点且垂直于x轴,分别考察经过正弦或余弦函数图象的最高点或最低点(函数的最值点),且垂直于x轴的直线,看它们是否也是图象的对称轴.于是,运用前面的延伸结论,容易获得以下认知成果.结论1.设f(x)=sinx或f(x)=cosx,则函数f(x)的每一个”零点”均为f(x)图象的对称中心;经过f(x)图象的每一个”最值点”且垂直于x轴的直线,均为f(x)图象的对称轴.3、凝练与引申受结论1的启发,又易于猜想并证明如下更具普遍性的结论结论2.设f(x)=Asin(x+)或f(x)=Acos(x+),则（1）f(a)=0(a,0)为f(x)图象的对称中心;（2）当x=a时,f(x)取得最值f(x)图象关于直线x=a对称.4、练习.（1）对于函数f(x)=Asin(x+)(>0,)给出四个论断.①它的图象关于直线x=对称;②它的图象关于点(,0)对称;③它的周期为;④它在区间[－,0]上为单调增函数.以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是.（2）已知函数f(x)=Asin(x+)(>0,)是R上的偶函数,其图象关于点心(,0)对称,且在区间[0, ]上是单调增函数,求和的值.提示与答案:(1)①.、③②、④或②、③①、④(2)由f(x)为偶函数得=，又由f(x)图象关于点M(,0)对称得f()=0由此解得=(2k+1)(k=0,1,2…)于是再由f(x)在区间[0, ]上为单调增函数得=,=或=,=2。