解三角形练习题.doc
完整版)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有以下等式：frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值，以及：2）若$\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求三角形ABC的面积S。
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin C+\cos C=1$，求：1）$\sin C$的值；2）若$a+b=4a-8$，求边c的值。
3.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
1）若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$，求角A的值；2）若$\cos A=\frac{3}{c}$，求$\sin C$的值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且$BD=\frac{3}{3}$，$\sin B=\frac{5}{3}$，$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$，求AD。
5.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=-\frac{1}{4}$，求：1）三角形ABC的周长；2）$\cos(A-C)$的值。
6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
1）求a,c的值；2）若角B为锐角，求p的取值范围，其中$p=\frac{1}{5}$，$b=1$。
7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
1）求角A的值；2）求$\sin B+\sin C$的最大值。
8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
三角函数及解三角形测试题(含答案)
三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。
根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。
根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。
根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。
根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。
根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。
2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。
2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。
4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。
5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。
6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。
解直角三角形.doc 例题
解直角三角形经典例题精析类型一、锐角三角函数1．（1）在△ABC中，∠C=90°.若sinA=，则tanA=______.【考点】锐角三角函数的定义与特殊角三角函数值.【解析】设∠A的对边为(也可设为1)，则斜边为2，由勾股定理得邻边为，所以由tanA===(也可由sinA=得∠A=30°，则tan30°=).【答案】.（2）（2010哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）．（A） 7sin35°（B）（C）7cos35°（D）7tan35°【考点】锐角三角函数的定义.【答案】C2．已知：cos=，则锐角的取值范围是( )A.0°＜＜30°B.45°＜＜60°C.30°＜＜45°D.60°＜＜90°【思路点拨】cos60°=，cos45°=，因为＜＜所以45°＜＜60°.【答案】B.3．当45°＜＜90°时，下列各式中正确的是( )A.tan＞cos＞sinB.sin＞cos＞tanC.tan＞sin＞cosD.cos＞sin＞tan 【考点】同一锐角不同三角函数比较大小.【提示】当一锐角在45°～90°范围内，正切值＞1，1＞正弦值＞，＞余弦值＞0.【答案】C.4．Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的,那么锐角A的各个三角函数值( )A.都缩小B.都不变C.都扩大5倍D.无法确定【考点】三角函数值与角的度数有关，与边的比值有关.【思路点拨】因为一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，但各边的比值不变.【答案】B.5．1-cos234°-cos256°=__________.【考点】(1) sin2A+cos2A=1；(2)互余两角的三角函数关系sinA=cos(90°-A)或cosA=sin(90°-A).【解析】1-cos234°-cos256°=1-(sin256°+cos256°)=1-1=0.【答案】0.6．方程有实数根，求锐角的取值范围.【考点】锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值.【解析】∵方程有实数根∴△=≥0，即≤，∴0°＜≤30°.总结升华：应掌握特殊角的三角函数值及各个锐角三角函数之间的联系，注意锐角三角函数概念的理解领会及运用. 举一反三：【变式1】已知为锐角，下列结论正确的有( )(1)(2)如果，那么(3)如果，那么(4)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【思路点拨】利用三角函数的增减性和有界性即可求解.【解析】由于为锐角知(1)不成立当时，有，即(2)正确当时，，即(3)成立又，即正确，即(4)成立.【答案】C.【变式2】A、B、C是△ABC的三个内角，则等于( )A. B. C. D.【考点】互余两角正余弦关系.【思路点拨】===.【答案】A.【变式3】已知△ABC中，∠C=90°，若∠A、∠B的余弦值是关于的方程的两个根.且△ABC的周长为24.试求BC的长度.【考点】锐角三角函数概念的理解和运用.【解析】∵∠A、∠B的余弦值是关于的方程的两个根∴由根与系数的关系得：又∵A＋B=900 ∴①平方并把②代入得：整理得：解得=3，=19当=3时，因=＜1不符题意，故舍去.∴=19此时原方程为：解得=，=又设＞∴设=，那么=，=∵=24 ∴=24 解得=2∴△ABC的斜边BC==10.类型二、解直角三角形7．（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=5，BD=3，则sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，tanB=_____.【考点】解直角三角形，利用已知元素求两锐角的三角函数值.【思路点拨】由∠ACB=90°，CD⊥AB可知，∠A=∠DCB，∵BC=5，BD=3 ∴由勾股定理得CD=4所以sinA=sin∠DCB==， cosA=cos∠DCB==tanA=tan∠DCB==， tanB==【答案】sinA=，cosA=，tanA=，tanB=.（2）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）（A） 2 （B）（C）（D）1【考点】解直角三角形、勾股定理.【思路点拨】过D作DE⊥AB于E，因为∠A=45°，设AE=DE=x, AD =x由tan∠DBA=，得BE=5x, AC=6AB=,即5x+x=,x=,AD =x=2.【答案】A8．如图，在中，AD是BC边上的高，.(1)求证：AC=BD； (2)若，求AD的长.【考点】利用锐角三角函数知识和已知条件解直角三角形.【思路点拨】由于AD是BC边上的高，则有和，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解.【解析】(1)在中，有，中，有(2)由可设由勾股定理求得即.9．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B，取米，.要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是( )A.米B.米C.米D.米【思路点拨】在中可用三角函数求得DE长.【解析】A、C、E成一直线在中，米，米 .【答案】B.总结升华：任何锐角都可以求三角函数值，并非只能在直角三角形中的锐角才可求三角函数值，此处易混淆.解直角三角形的关键是正确地选择公式，为了迅速准确地优选所需公式，应依题意画出图形，便于分析，并尽量利用原始数据，避免积累误差或链式错误.举一反三：【变式1】在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC，垂足为D，AC=2cm，求BC的长.【思路点拨】在Rt△ADC中，利用sinC=，求出AD=1cm，cosC=，求出CD=在Rt△ABD中，利用tan∠BAD=，求出BD=1，所以BC=BD+CD=1+.【答案】(1+)cm.【变式2】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，根据下列条件解直角三角形.(1)∠A=60°，CD⊥AB于D，CD=；(2)a=2，CD⊥AB于D，BD=.【考点】解直角三角形中运用已知元素求未知元素，恰当选用锐角三角函数求值.【解析】(1)∵ CD⊥AB，∠A=60°，CD=∴在Rt△CDA中，AC=∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=30°，AB=2AC=4，BC=ABsinA=4×=2；(2)∵BC=a=2，CD⊥AB于D，BD=，∴cosB=，∴∠B=30°∴在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B=60°，∴AB=， AC=AB=.总结升华：大胆正确应用，虽然方法很多，但要总结最优解法.【变式3】某片绿地形状如图，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，•求AD、BC的长.【思路点拨】设法补成含60°的直角三角形再求解.【解析】延长BC，AD交于E，∠E=30°在Rt△ABE中，在Rt△CDE中，AD=AE-DE=400-100，BC=BE-CE=200-200.类型三、解直角三角形的实际应用10．(1)（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝，那么AB等于（）(A) m·sin米 (B) m·tan米 (C) m·cos米(D) 米【考点】解直角三角形与实际问题.【答案】B(2)已知，如图：AB∥DC，∠D=900，BC=，AB=4，=，求梯形ABCD的面积.【考点】解直角三角形在实际中的应用.【思路点拨】过B作BE⊥CD于E，设BE=，则结合=得CE=3，又BC=，利用勾股定理求，从而可求梯形ABCD的面积.【解析】过B作BE⊥DC于E，∵tanC=，∴设BE=，则EC=在Rt△BEC中，由勾股定理得：，即解得：=1，∴BE=1，EC=3，∴==.11．如图，在湖边高出水面50m的山顶A处看见一架直升机停留在湖面上空某处，观察到飞机底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中之像的俯角为65°，试求飞机距湖面的高度h.(精确到0.01m) tan65°≈2.145【考点】利用三角形函数解实际问题.【思路点拨】通过作点P至湖面的对称点P′，根据方向角平面成像的知识解决问题.【解析】作点P至湖面的对称点P′，连接AP′，设AE=x，在Rt△AEP中∠PAE=45°，则∠P=45°，所以PE=AE=x，由平面成像知识可得OP′=OP=PE+EO=x+50，•在Rt△AP′E中，tan∠EAP′==tan65°，又EP′=OE+OP′=x+100，所以=tan65°≈2.145，解得x≈87.34，所以OP=x+50≈137.34(m)，即飞机距湖面的高度h约为137.34m.12．已知：如图，山顶建有80米高的铁塔BC，为了测量山的高度，测量人员在一个小山坡的P处，测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C的仰角为60°，若小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米，请问，测量人员用这种方法能测量出山的高度吗？如果能，山的高度是多少？(精确到1米，参考数据)【思路点拨】如果能由已知数据计算出山高AB，那么该测量人员的方法可行，另外为计算方法，可将问题抽象成几何计算题【解析】这种方法可以测量出山高，理由如下：如图，作PE⊥AM的延长线于点E，设P点的水平视线与AB交于D点，由已知可得，∠C=30°，∠PBD=45°，BD=DP设BD=x米，则即又答：该测量人员用他的方法能测量出山的高度，其高度约为129米.13．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，看旗杆顶部的仰角为45；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5m，看旗杆顶部的仰角为.两人相距28米且位于旗杆两侧(点在同一条直线上).请求出旗杆的高度.(参考数据：，，结果保留整数)【解析】解法一：过点作于，过点作于，则在中，，设(不设参数也可)， 5分在中，，7分答：旗杆高约为12米.解法二：过点作于，过点作于，则，在中，，设，则在中，，解得答：旗杆高约为12米.总结升华：在运用本单元内容时要运用转化思想将所求问题转化到直角三角形中，利用三角函数建立已知与结论的联系，另外，在实际问题时，要注意分类讨论.举一反三：【变式1】如图所示的燕服槽是一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积.【考点】坡度的概念.【解析】如下图，作DF⊥BC于点F.由条件可得四边形AEFD是矩形，AD=EF=10.AB的坡角为1：1，所以=1，所以BE=10.同理可得CF=10.里口宽BC=BE+EF+FC=30(厘米).截面积为×(10+30)×10=200(平方厘米).【变式2】如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥.经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？(精确到0.1)【考点】方向角的应用.【解析】过点C作CD⊥AB于点D.CD就是连接两岸最短的桥.设CD=x米.在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=x.因为AD+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9(米).【变式3】气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点)的南偏东方向的点生成，测得.台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处.因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西方向继续移动.以为原点建立如图所示的直角坐标系.(1)台风中心生成点的坐标为，台风中心转折点的坐标为；(结果保留根号)(2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市(设为点)位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？【考点】利用三角函数解决实际问题.【解析】解：(1)，；(2)过点作于点，如图，则.在中，，，..，，台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时.相似经典例题精析类型一、图形的相似1．在比例尺1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为__________km.考点：比例性质.思路点拨：地图上的比例尺是一种比例关系，即图上距离与实际距离的比.解析：1：10 000 000=8：80 000 000，即实际距离是80 000 000cm=800km.2．（1）将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A．菱形的各角扩大为原来的2倍B．菱形的边长扩大为原来的2倍C．菱形的对角线扩大为原来的2倍D．菱形的面积扩大为原来的4倍考点：相似图形的定义和性质.解析：从放大看到的菱形和原来的菱形相似，放大镜只能放大边长，而不能放大角.所以B、C正确，A不正确.D 中相似图形的面积比等于相似比的平方，所以D也正确.故选A.（2）（2010山西）在R t△ABC中，∠C＝90º，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变考点：相似图形的性质.答案：D3．（1）在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为6 米，同一时刻她量得身高 1.6米的同学的影长为0.6 米，则可知综合楼高为__________.考点：比例线段的基本性质，同一时刻物高与影长的比相等.解析：，则楼高==16，故填16米.（2）（2010四川内江）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m、与树相距15m，则树的高度为______________m.解析：答案：74．若四边形ABCD∽四边形，且AB：=1：2 ，已知BC=8，则的长是( ) A．4 B．16C．24D．64考点：相似图形的性质，相似四边形对应边的比等于相似比.解析：因为四边形ABCD∽四边形，所以AB：=BC：=1：2即=2BC=2×8=16，故选B.5．下列多边形中，一定相似的是( )A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个平行四边形考点：多边形相似的定义.解析：A中两个矩形只能满足对应角相等，而对应边不一定成比例；B中两个菱形只满足对应边成比例，而对应角不一定相等；D中两个平行四边形对应边不一定成比例，对应角也不一定相等；C中两个正方形满足对应角相等，对应边成比例.故选C.举一反三：【变式1】下列命题中正确的命题是( )A．相似多边形是全等多边形B．不全等的图形不是相似多边形C．全等多边形是相似多边形D．不相似的图形可能是全等图形解析：全等多边形是特殊的相似多边形，相似比为1.故选C.【变式2】证明：正六边形ABCDEF与正六边形相似.考点：边数相同的正多边形相似的判定.证明：∵正六边形的每个内角都等于120°∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，∠E=∠E′，∠F=∠F′又∵AB=BC=CD=DE=EF=FA=====∴=====∴正六边形ABCDEF∽正六边形.总结升华：边数相同的正多边形都相似.【变式3】两地的距离是500 米，而地图上的距离为10 厘米，则这张地图的比例尺为()A．1：50B．1：500 C．1：5000 D．1：50000解析：图上距离与实际距离的比等于比例尺，即比例尺为10：50000=1：5000，故选C.【变式4】如图，在一张长10cm，宽6cm的矩形纸片上，剪下一个矩形，若剩下的矩形(图中阴影部分)和原来的矩形相似，那么剩下的矩形的面积是多少cm2？思路点拨：已知两个矩形相似，则它们的长的比等于宽的比.因此只能是矩形ABCD的长AD对应矩形CDEF的长CD，矩形ABCD的宽CD对应矩形CDEF的宽DE.解析：∵矩形ABCD∽矩形CFED，∴即解得DE=3.6，∴S矩形CDEF=CD×DE=6×3.6=21.6cm2.类型二、相似三角形6．（1）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有( )(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对考点：本题考查三角形相似的基本定理与判定定理的运用.思路点拨：有两角对应相等的两个三角形相似.解析：△ADE∽△ABC，△ACD∽△ABC，△ADE∽△ACD，△DCE∽△CBD，故选D.（2）（2010北京）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC 等于( )A．3 B．4 C．6 D．8解析：△ADE∽△ABC答案：D7．下列判断中，正确的是()(A)各有一个角是67°的两个等腰三角形相似(B)邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似(C)各有一个角是45°的两个等腰三角形相似(D)邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似考点：本题要求运用相似三角形的判定定理.思路点拨：设计出反例淘汰错误的选项.解析：A不成立的原因是当底角为67°时，顶角为46°，另一个三角形的顶角为67°时，底角为66.5°，这两个等腰三角形不相似.B两个等腰三角形的邻边之比都为2：1，结合三角形三边关系可知，这两邻边只能是腰和底的比为2：1，每个三角形三边之比均为腰：腰：底=2：2：1.C不成立的原因也是顶角不等.D不成立的原因是当一个等腰三角形的腰与底的比是2：3时，另一个等腰三角形的腰与底的比为3：2，它们三边之比分别为2：2：3与3：3：2.故选B.8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对思路点拨：利用两组角对应相等的两个三角形相似判定.解析：考虑Rt△ABC与Rt△ACD和Rt△CBD相似情况.除直角外，∠A为Rt△ABC和Rt△ACD的公共角，故Rt△ABC∽Rt△ACD，又∠B为Rt△ABC和Rt△CBD的公共角，故Rt△ABC∽Rt△CBD，可得Rt△ACD∽Rt△CBD，故选C.9．如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为( )A．4：5B．16：25C．196：225 D．256：625考点：相似三角形的性质.思路点拨：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，所以相似三角形的面积比等于对应角平分线的比的平方.答案：D.10．如图，在边长为1的正方形网格上有P、A、B、C四点.(1)求证：△PAB∽△PCA；(2)求证：∠APB+∠PBA=45°.考点：相似三角形的判定.思路点拨：判定方法：两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，或两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.解析：(1)∵PC=1，PA=，PB=5，∵∠APC=∠BPA，∴△PAB∽△PCA；(2)∵∠B=∠PAC∠ACB=45°，∴∠APB+∠PBA=∠APB+∠PAC=∠ACB=45°.11．如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED.考点：利用相似三角形的性质和判定解决实际问题.思路点拨：过A点作AH⊥ED，构造三角形，并证明△AFG∽△AEH，再利用相似三角形的对应边的比相等求出结论.解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H.由题意，可得：△AFG∽△AEH，∴，即，解得：EH=9.6米.∴ED=9.6+1.6=11.2米.总结升华：判断两个多边形是否相似，必须同时具备对应角相等，对应边成比例.举一反三：【变式1】在△ABC中，DE∥BC，，若，求.考点：比例的基本性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方.思路点拨：由得出，再利用DE∥BC可得△ADE∽△ABC解：∵，∴.∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∴.【变式2】如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由.思路点拨：要加工成一块面积最大的正方形木块，有两种方法，利用相似三角形的判定和性质求出两个正方形的边长，比较大小即可.解：(1)如图1，设正方形CDEF的边长为x，则有，得x=cm；(2)如图2，设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥AB于N交RS于M，而知CN=，同样有得(cm)，x-y=＞0，故x＞y，所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形.【变式3】已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s 的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？思路点拨：用运动的时间t和速度表示线段的长，当△PBQ与△BDC相似时，利用对应边的比相等求出时间.解析：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD= 90°，(1)当∠1=∠2时，有：，即；(2)当∠1=∠3时，有：，即∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD.类型三、位似12．下列图形中不是位似图形的是( )考点：位似图形的定义.解析：A是以圆心为位似中心的图形，B、D根据定义可判断.C是相似但不是位似的图形.故选C.13．（1）（2010广东茂名）如图，已知△与△是相似比为1：2的位似图形，点O为位似中心，若△内一点（x，y）与△内一点是一对对应点，则点的坐标是_________．考点：位似图形的性质.答案：（-2x，-2y）（2）如图，直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0).请在图中画出△ABC的一个以点P (12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧)；考点：位似图形的画法思路点拨：连接位似中心P和△ABC的各顶点，并延长，使PA′=3PA，PB′=3PB，PC′=3PC连接、、，则得到所要画的图形.解：画出，如图所示.14．如图，D，E分别AB，AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？考点：会利用位似图形的定义判定两个图形是位似图形，会利用位似图形的性质解决问题.思路点拨：(1)可先证明△ADE和△ABC相似，对应边在同一直线上或平行，再找出对应顶点的连线交于一点A 可判定是位似图形.(2)利用位似图形的性质，位似图形是相似图形.从而得到对应角相等，可得DE∥BC.解：(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE和=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，∴△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：△ADE和△ABC是位似图形，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC.总结升华：位似图形重点考查学生理解图形变换的意义，利用数形结合的思想解决问题.举一反三：【变式1】如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上.以O为位似中心将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧)；考点：位似图形坐标变换规律.思路点拨：问题关键是确定位似图形各个顶点的坐标：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为2，那么位似图形对应点的坐标的比等于2或-2.由图形可知，A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(-1，2)，要求所画△OA1B1与△OAB 在原点两侧，所以相似比为-2，即A1点坐标为(4，0)，B1点坐标为(2，-4).解：如图，△OA1B1就是△OAB放大后的图象.【变式2】如图，用下面的方法可以画出△AOB的“内接等边三角形”，•阅读后证明相应的问题.画法：(1)在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；(2)连结OE并延长，交AB于点E′，过E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；(3)连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.请判断△C′D′E′是否是等边三角形，并说明理由.考点：重点考查阅读理解能力和知识的迁移能力.思路点拨：由画法可知，△CDE和△C′D′E′是位似图形.答：△C′D′E′是等边三角形.证明：∵C′E′∥CE，∴△OEC∽△OE′C′，∴，∠C′E′D′=∠CED=60°，∴△C′D′E′∽△CDE.∵△CDE为等边三角形，•∴△C′D′E′为等边三角形.。
解三角形 习题含答案
第一章 解三角形1．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形 答案 C2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A >B >C B ．B >A >C C ．C >B >AD ．C >A >B解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C >B >A . 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．43C ．4 6 D.323解析 A ＝45°，由正弦定理，得b ＝a sin B sin A 答案 C4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C等于( ) A.833 B.2393 C.2633 D ．2 3解析 利用正弦定理及比例性质，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝3sin60°＝332＝2 3. 答案 D 5．若三角形三边长之比是1:3:2，则其所对角之比是( )A ．1:2:3B ．1: 3 :2C ．1: 2 : 3 D. 2 : 3 :2 解析 设三边长分别为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cos A ＝a 2＋(3a )2－(2a )22·a ·3a＝0， ∴A ＝90°. 设最小角为B ，则cos B ＝(2a )2＋(3a )2－a 22·2a ·3a＝32， ∴B ＝30°，∴C ＝60°. 因此三角之比为1:2:3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解 D ．解的个数不确定解析 由b sin B ＝a sin A ，得sin B ＝b sin A a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解． 答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B (其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 根据正弦定理，原式可化为2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b )·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b )b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2 ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sin C ＝32.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( )A.85B.58C.53D.35解析 由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案 D10．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析 由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32 km解析 如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋23C ．4－2 3 D.6－ 2解析 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bc cos A ＝b 2－2b (6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22(32－12)＝14(6－2)，∴b 2－2b (6＋2)cos75°＝b 2－2b (6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝b sin C sin B ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)． 答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________. 解析 由B ＝A ＋60°，得sin B ＝sin(A ＋60°)＝12sin A ＋32cos A .又由b ＝2a ，知sin B ＝2sin A .∴2sin A ＝12sin A ＋32cos A 即32sin A ＝32cos A .∵cos A ≠0，∴tan A ＝33.∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 答案 30°15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝________，AB ＝________.解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sin B ∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8.答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c ) : (c ＋a ) : (a ＋b )＝8:9:10，则sin A :sin B :sin C＝________.解析 设⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a :b :c ＝11:9:7.∴sin A :sin B :sin C ＝11:9:7. 答案 11:9:717．(10分)在△ABC 中，若a 2b 2＝sin A cos B cos A sin B ，判断△ABC 的形状．解 依据正弦定理，得a 2b 2＝a b ·cos B cos A ，所以a cos A ＝b cos B .再由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，因为2A,2B ∈(0,2π)，故2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π.从而A ＝B ，或A ＋B ＝π2，即△ABC 为等腰三角形，或直角三角形．18．(12分)锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin(A ＋B )－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32.∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×32＝32.19．(12分)如右图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 nmile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 nmile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．分析 (1)要求AD 的长，在△ABD 中，AB ＝126，B ＝45°，可由正弦定理求解；(2)要求CD 的长，在△ACD 中，可由余弦定理求解．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，AB ＝12 6，由正弦定理，得AD ＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24(nmile)． (2)在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos30°.解得CD ＝83(nmile)．∴A 处与D 处的距离为24 nmile ，灯塔C 与D 处的距离为8 3 nmile.20．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解 (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.又由AB →·AC→＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5. 因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1，或b ＝1，c ＝5.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20.∴a ＝2 5.21．(12分)在△ABC 中，已知内角A ＝π3，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y .(1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域；(2)求y 的最大值．解 (1)△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，由A ＝π3，B >0，C >0，得0<B <2π3.应用正弦定理，得AC ＝BC sin A ·sin B ＝23sin π3·sin x ＝4sin x .AB ＝BC sin A sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x . ∵y ＝AB ＋BC ＋CA ，∴y ＝4sin x ＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <2π3. (2)y ＝4(sin x ＋32cos x ＋12sin x )＋2 3 ＝43sin(x ＋π6)＋2 3. ∵π6<x ＋π6<5π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，y 取得最大值6 3.22．(12分)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C . (1)求A ，C ；(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c .解 (1)因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B， 即sin C cos C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B， 所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，得sin(C －A )＝sin(B －C )．所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3，所以B ＋A ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6，或B －A ＝5π6(舍去)．得A ＝π4，B ＝5π12. 所以A ＝π4，C ＝π3.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，又a sin A ＝c sin C ，即a 22＝c 32. 得a ＝22，c ＝2 3.。
解三角形专项练习以及答案
解三角形专项练习以及答案一、选择题1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案D2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，∴tanA=tanB=tanC，∴A=B=C.3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是A.152，+∞B.10，+∞C.0,10D.0，403答案D解析∵csinC=asinA=403，∴c=403sinC.∴04.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案A解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，∴sinB+C=2sin Bcos C，∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，∴sinB-C=0，∴B=C.5.在△ABC中，已知b+c∶c+a∶a+b=4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6答案B解析∵b+c∶c+a∶a+b=4∶5∶6，∴b+c4=c+a5=a+b6.令b+c4=c+a5=a+b6=k k>0，则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.6.已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为A.1B.2C.12D.4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2=π，得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，∴abc=1.二、填空题7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.答案23解析∵cosC=13，∴sinC=223，∴12absinC=43，∴b=23.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=3，b=1，则c=________.答案2解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60°=1sinB，∴sinB=12，故B=30°或150°.由a>b，得A>B，∴B=30°，故C=90°，由勾股定理得c=2.9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.答案7解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2，∴asinA=bsinB=csinC=2R=2，∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.10.在△ABC中，A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.答案12 6解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183，∴sinC=12，∴csinC=asinA=12，∴c=6.三、解答题11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA=sinB+C-sinCcosBsinA+C-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanA⇔a2sinBcosB=b2sinAcosA⇔4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA⇔sinAcosA=sinBcosB⇔sin2A=sin2B⇔2A=2B或2A+2B=π⇔A=B或A+B=π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.能力提升13.在△ABC中，B=60°，最大边与最小边之比为3+1∶2，则最大角为A.45°B.60°C.75°D.90°答案C解析设C为最大角，则A为最小角，则A+C=120°，∴sinCsinA=sin120°-AsinA=sin120°cosA-cos120°sinAsinA=32tanA+12=3+12=32+12，∴tanA=1，A=45°，C=75°.14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=π4， cosB2=255，求△ABC的面积S.解cosB=2cos2B2-1=35，故B为锐角，sinB=45.所以sinA=sinπ-B-C=sin3π4-B=7210.由正弦定理得c=asinCsinA=107，所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.1.在△ABC中，有以下结论：1A+B+C=π;2sinA+B=sin C，cosA+B=-cos C;3A+B2+C2=π2;4sin A+B2=cos C2，cos A+B2=sin C2，tan A+B2=1tan C2.2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
解三角形专项练习(含解答题)
解三角形专练1.在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为2.在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ）A．B ．2 C．．43.边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． 120 B ． 135 C ． 90 D ． 1504.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边C 的值是( ) A ．8 B． C． D．5.在三角形ABC 中，若1tan tan tantan ++=B A B A ，则C cos 的值是B. 22C. 21D. 21-6.在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形7.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若22265b c a bc+-=，则 sin()B C +=( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.358.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形9.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若18=a ，24=b ，︒=45A ,则这样的三角形有（ ）A.0个 B. 两个 C. 一个 D. 至多一个10.已知锐角A 是ABC ∆的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221sin cos 2A A -=,则下列各式正确的是( )A. 2b c a +=B. 2b c a +<C. 2b c a +≤D. 2b c a +≥11.在ABC ∆中,已知30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积是A ．34B ．38 C．34或38D ．312.在ABC ∆中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b -=且sin C B =，则A 等于A ．6πB ．4π C ．3πD ．23π13.若∆ABC 的三角A:B:C=1:2:3，则A 、B 、C 分别所对边a ：b ：c=( ）A.1:2:3B.2 D. 1:2: 14.△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别a ，b ，c ，且a cosC,b cosB,c cosA 成等差数列，则角B 等于( )A 30B ．60C 90 D.12015.在∆ABC 中，三边a ，b,c 与面积S 的关系式为2221()4Sa b c =+-，则角C 为( )A ．30B 45C ．60D ．90 16.△ABC 中，a b sin B ＝2，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个17.设∆ABC 的内角A,B ，C 所对边的长分别为a,b,c ，若b+c= 2a,.3sinA=5sinB ，则角C=( ) A ．3πB ．23πC ．34π D.56π18.若三角形ABC 中，sin(A ＋B)sin(A －B)＝sin 2C ，则此三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形19.已知两座灯塔A 、B 与C 的距离都是a ，灯塔A 在C 的北偏东20°，灯塔B 在C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 ( )A ．a B.2aD20.在△ABC 中，若cos cos A bB a =，则△ABC 的形状（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形21.已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且120c b B ==︒,则ABC ∆的面积等于________.22.在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． 则角B 的大小为_______；23.在△ABC 中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为________． 24.在ABC ∆中.若1b =，c =23C π∠=，则a=___________。
(完整版)初中解直角三角形练习题
解直角三角形练习题一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm=则SinA= cosA= 3、Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=54,AB=10,则BC ＝4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\=5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB=7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=二、选择题1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ）A 、都扩大2倍B 、都扩大4倍C 、没有变化D 、都缩小一半2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ）A 、小于300B 、大于300C 、大于450且小于600D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、A a sin C 、acosA D 、Aa cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、15005、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ）A 、41cmB 、21cmC 、43cmD 、23cm三、求下列各式的值1、sin 2600+cos 26002、sin600－2sin300cos3003. sin300－cos 24504. 2cos450+|32-|5. 0045cos 360sin 2+ 6. 130sin 560cos 300-7. 2sin 2300·tan300+cos600·cot300 8. sin 2450-tan 2300四、解答下列各题1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，，AB ＝13，BC ＝5， 求sinA, cosA, tanA, cotA2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若1312sin =A 求cosA, sinB, cosB3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，b=17, ∠B=450,求a, c 与∠A四、根据下列条件解直角三角形。
(完整版)解三角形练习题(含答案)
一、选择题1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形2、已知中，，，则角等于A． B． C． D．3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，) D．()4、，则△ABC的面积等于A． B． C．或 D．或5、在中，，则角C的大小为A.300B.450C.600D.12006、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（）A． B． C． D．7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，则ab的值为（）A． B． C．1 D．8、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则=A． B． C． D．10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )．A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A． B． C．或 D．或13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（）A． B． C． D．14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、015、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （ A． B． C． D．16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A． B． C． D．18、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则角A= （）A． B． C． D．19、（）A. B. C. D.20、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．421、若△ABC的对边分别为、、C且，，，则b=（）A、5B、25C、 D、22、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能23、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定24、在中，若，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形25、在△ABC中，已知A=，BC=8，AC=，则△ABC的面积为▲A．B．16 C．或16 D．或26、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足c sin A＝a cos C，则sin A＋sin B的最大值是( )A．1 B. C. D．3二、填空题27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=, a=, b=1，则c= .28、已知△ABC的面积 .29、在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，若，则A= 。
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解三角形练习题评卷人得分一、单项选择（注释）1 、在VABC 中，A = 600,a = 3, b =2 ，则角 B = （）A. 450B. 1350C. 450或1350D. 以上答案都不对2 、在 VABC 中，角 A、 B、C 所对的边分别为 a、 b、c ，若a2= b2 - bc + c2，则角A = （）A. 300B. 600C. 1200D. 600或12003 、在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，若 b 2 3，B 120o, C 30o, 则 a （）A．2 B ． 2 C ． 3 D ．14 、在ABC 中，内角 A, B,C 所对应的边分别为a, b, c ，若 c2 (a b)2 6 ，且C ，则ABC 的面积为（）3A．33B．932 2C．3D．3 35、在ABC 中，已知a x,b 2, B 45o，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（）A．2 x 2 2 B ． x 2 2 C ． 2 x 2 D．0 x 26 、在 ABC 中， A 600, AB 2 ，且ABC的面积为3，则 BC 的长为（）2A．3 B．3 C．7 D ． 77 、已知船 A 在灯塔 C北偏东85 且到 C的距离为2km，船 B 在灯塔 C 西偏北25且到 C的距离为3km ，则A，B两船的距离为（）A．2 3km B ． 3 2km C. 15km D ． 13km8 、在△ ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若（ a2+c 2-b 2)tanB= 3 ac, 则角 B 的值为（）A. B. C. 或5D. 或26 3 6 6 3 39、在△ ABC中，若 sin 2A＋sin 2B＜ sin 2C，则△ ABC的形状是（）A．锐角三角形B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定10、ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若B 2 A ,a 1,b3 ,则c（）A．2 B．2 3C．2 D．111、在 ABC中， a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且角 A=60°，若S ABC 15 3，4且 5sinB=3sinC ，则 ABC的周长等于（）A ． 8+ 19 B． 14 C． 10+3 5 D ．1812、在锐角ABC 中，AB=3，AC=4，其面积 S ABC 3 3 ，则BC=（）A．5 B．13或37 C．37 D．13评卷人得分二、填空题（注释）13 、已知ABC 的内角A, B,C所对的边为a, b, c，A 60 , b 1, c 4 ，则b c.sin B sin C14 、在ABC 中， tan A 1,cosB310 ，若最长为1，则最短边的长2 10为.15、已知AD为ABC的角平分线 , AC 2, AB 3. A 60 ，则AD .16 、设ABC 的内角A, B,C的对边分别为 a ，b， c ．若a 2， c 2 3 ，cos A3，则 b _____________ 2评卷人得分三、解答题（注释）17、在ABC 中,已知AB2, AC 3, A60o.（1）求BC的长；（2）求sin2C的值 .18、在ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a， b， c，且b sin A3a cos B ．（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若b 3 ，sin C 2sin A ，求a，c 的值．19、如图，海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔A、 B ，灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向。
海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔 A 的北偏西750方向，与A相距3 2海里的 D 处；乙船位于灯塔 B 的北偏西 600方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距离为海里。
20 、已知函数 f (x)3 sin 2 x 3sin 2 x . 2（1）求函数 f ( x)的单调递减区间；（）在ABC 中，角A, B, C的对边分别为a,b, c，若f (A) 3，ABC 的面积2 2为 3 3 ，求 a 的最小值.21 、已知ABC 的面积是3，角A, B, C所对边长分别为a, b, c ，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求 a 的值．22 、在△ ABC中 , 内角 A,B,C 的对边分别为a，b，c，且b sin A 3a cos B .(1)求角 B的大小;(2) 若 b=3, sinC2sinA ,求a,c的值.参考答案一、单项选择1、【答案】 A2、【答案】 B3、【答案】 A4、【答案】 A5、【答案】 A6、【答案】 A7、【答案】 D8、【答案】 D9、【答案】 C 10、【答案】 A 11、【答案】 A 12、【答案】 D二、填空题13、【答案】23935 14、【答案】515、【答案】63516、【答案】 2 或 4三、解答题17、【答案】（ 1） 7；（2）4 3.7试题分析：（ 1）直接利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理求出 C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．试题解析：（1）由余弦定理知，BC2AB 2AC 2 2 ABgAC gcos A 4 9 2 2 317 ,所以 BC7 . 2（ 2）由正弦定理得, ABBC , sin CABgsin A 2sin 60o21,Q AB BC, C 为锐角,则sin C sin A BC 7 7cosC 1 sin 2 C3 2 7sin 2C 2sin C gcosC21 2 7 4 3 1 , 27 7 7 7 7.【考点】（ 1）余弦定理的应用；（ 2）二倍角的正弦 .18、【答案】（ 1）B3；（ 2）a3, c 2 3试题分析：（1）因为b sin A 3a cos B ，有正弦定理可得sin B 3 cos B ，进而得 B ；3 （ 2）因为sin C 2sin A 由正弦定理得c 2a，再由余弦定理得9 a 2 c2 ac ，即可求出 a3, c 2 3 .试题解析：（1）由 bsinA ＝ 3 acosB及正弦定理a＝b，sin sin得 sinB ＝3 cosB.所以 tanB ＝ 3 ，有因为 B 为三角形内角，所以B＝ .a c 3（ 2）由 sinC ＝2sinA 及，得 c＝ 2a.sin Csin由 b＝ 3 及余弦定理 b2＝ a2＋ c2－2accosB，得 9＝ a2＋ c2－ ac.所以 a＝ 3 ，c＝ 2 3 .考点： 1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用.19、【答案】13试题分析：连接AC，∵ AB＝ BC，∠ ABC＝60°，∴ AC＝ 5；在△ ACD中， AD＝ 32，AC＝5，∠ DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13。
考点：运用余弦定理解三角形。
20、【答案】（ 1）[ k , k 5] （k ）；（2）2 3 .3 6试题分析：（1）借助题设条件运用正弦函数的图象和性质求解; （2）借助题设条件运用余弦定理和基本不等式求解.试题解析：（ 1）f ( x) 3 3 cos 2x 3 sin 2x 3 sin(2 x ) 3 ，2 2 2 6 2令 2k2 2x62k 3 ，解得k x k5， k Z ，2 3 6∴ f (x) 的单调递减区间为 [ k , k 5] （k Z ）.3 6（ 2）∵f (A) 3 sin( A6) 3 3 ，2 2∴ sin( A ) 1，∴A3.又∵ 1 6 2bc sin 3 3 ，∴bc 12 ，2 3∵ a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 bc bc 12 ，∴ a 2 3 .（当且仅当 b c 2 3 时取“=”）∴ a 的最小值是 2 3 .考点：正弦函数的图象和性质、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．21、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）先用面积公式用余弦定理求解.试题解析：, 再用向量的数量积公式求解；（Ⅱ）借助题设条件运由，得. 又1bc sin A 30 ，∴2（Ⅰ）（Ⅱ）， a2 b2 c2 2bc cos A=13∴.考点：正弦定理余弦定理的综合运用．22、【答案】（ 1）B ；（ 2）a 3， c 2 3 .3试题分析：（1）由已知利用正弦定理得tan B 3 ,即可求得 B ；（2）由已知3sinC 2sinA 利用正弦定理得 c 2a ，再利用余弦定理解得 a 3 ，从而得 c 2 3 . 试题解析：解：（ 1）∵ bsinA= 3 acosB，由正弦定理可得，即得，.（ 2）∵ sinC=2sinA ，由正弦定理得，由余弦定理，，解得a 3 ，。
考点：正弦定理；余弦定理.。