线段的定比分点与平移
5-4新田中学-线段的定比分点与平移
π π ∴y－2＝sin[(x－4)＋4]－2， 化简，得 y＝sinx. ∴原来函数的解析式为 y＝sinx.
→，当P1Q＝－3P2Q即 λ＝3 时 xQ＝－1＋2λ＝5，yQ＝ → → 3P2 Q 4
1＋λ －5＋4λ 7 5 7 ＝4，∴Q 点坐标为(4，4)． 1＋λ → → 当P1Q＝3P2Q即 λ＝－3 时 －1＋2λ 7 －5＋4λ 17 xQ＝ ＝2，yQ＝ ＝2. 1＋λ 1＋λ 7 17 ∴Q 点坐标为(2， 2 )．
启示：函数与方程思想贯穿于整个中学数学， 则向量模的关系转化为解不等式，再由解不 等式探求不等式成立的条件，再由a·e＝1，
●回归教材 1．已知点 P 分有向线段P→ 2的比为 λ，则下列结论中正 1P 确的是 A．λ 可以是任意实数 B．λ 是不等于零的实数 C．当 λ＜－1 时，点 P 必在P→ 2的延长线上 1P D．当－1＜λ＜0 时，点 P 在P→ 2的延长线上 1P ( )
－5＋4λ1 解析：(1)由已知 1＝ 解得 λ1＝2， 1＋λ1 －1＋2λ1 x＝ ＝1. 1＋λ1 → ＝2PP2得P1P＝2(PP1＋P→ 2)整理得P→ 1 ＝－ 3 → → → (2)由P1P 1P 2P 2 → .∴λ2＝－3. P1P 2
→ → → → → → → (3)由P1Q∥P2Q且|P1Q|＝3|P2Q|知P1Q＝3P2Q或P1Q＝－
则点 P 分P→ 2所成的比是________． 1P → 2的延长线上，则P1P＝3. → 解题思路：如图，P 在P1P
高二数学向量知识点总结
高二数学《向量》知识点总结考点一：向量的概念、向量的大体定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的大体定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的概念、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。
【命题规律】重点考查概念和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。
由于向量应用的普遍性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出此刻解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考常常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主如果向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示。
28、线段的定比分点与平移
线段的定比分点与平移知识点归纳1、线段的定比分点定义：设P 1,P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1,P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使 ，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。
当点P在线段21P P 上时，______0λ；当点P 在线段21P P 或21P P 的延长线上时，λ 0。
2、定比分点的坐标形式: 若点P 分有向线段21P P 所成的比是λ则，____________________x y =⎧⎪⎨⎪=⎩,其中P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2), P (x,y)3、中点坐标公式: 当λ=1时，分点P 为线段21P P 的中点，即有______________x y =⎧⎪⎨⎪=⎩ 4、ABC ∆的重心坐标公式：____________________x y =⎧⎪⎨⎪=⎩5、平移公式: 设点),(y x P 按向量),(k h a =平移后得到点),(y x P '''，则P O '＝+a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x ，曲线)(x f y =按向量),(k h a =平移后所得的曲线的函数解析式为：)(h x f k y -=-一、定比分点坐标公式的应用例1、已知点(0,0),A B C ，设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于 。
例2、已知ABC 的三个顶点为(1,5),(2,4),(6,4)A B C ---,BC 边上有一点M ，使ABM 的面积等于ABC 面积的14，求线段AM 的长度。
例3、已知点)2,5(),4,1(B A --，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P ，点的坐标以及A 、B 分21P P 所成的比λ。
二、平移的应用例1、把点(3,5)A 按向量(4,5)a =平移，平移后对应点'A 的坐标为 。
第 26 讲 线段的定比分点及平移
第 26 讲 线段的定比分点及平移（1课时）线段的定比分点及平移 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧+='+='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⎪⎩⎪⎨⎧化简曲线方程平移公式定比分点坐标公式的确定外分点内分点线段的定比分点k y y h x x y y x x x x λλλλλ112121 重点：1．定比分点的意义以及λ的确定。
2．分点公式的掌握和应用。
3．平移公式的理解和应用。
难点：1．定比分点公式的掌握。
2．利用平移公式化简。
2．掌握平移公式并能熟练运用。
3. 求函数平移后的表达式。
点P 分有向线段21P P 所成的比：设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上异于P 1、 P 2的任一点，则存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，称λ为点P 分21P P 所成的比。
当点P 在线段21P P 内时，称点P 为21P P 的内分点，此时0>λ,并且 =λ 。
特别地，当P 和1P 重合时，0=λ。
当点P 在线段21P P （或12P P ）的延长线上时，称点P 为21P P 的外分点，此时0<λ,并且=λ 。
特别地，当P 和2P 重合时，λ不存在。
注意的含义：比值λ是数量之比，而不是长度之比。
注意定比分点的特定位置：求λ时，21PP P P =λ 或21PP P P -=λ 中，1P 是起点，2P 是终点，P 是分点。
2．线段的定比分点公式设P P 1=λ2PP 点P 1, P, P 2坐标为)(11y x ，、)(y x ， 、)(22y x ，，则有定比分点公式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 。
特别地，当P 是21P P 的中点时，则有中点公式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 。
设△ABC 的三个顶点为A )(11y x ，，B )(22y x ，，C )(33y x ，，则△ABC 的重心G(x , y )的坐标为 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x 。
平面向量及正余弦定理
平面向量【知识结构】平面向量向量 解斜三角形向量的概念 向量的运算 正弦定理 余弦定理零向量 向量的加减法 平面向量的坐标表示 单位向量平行向量 三角形法则 实数与向量的积 线段的定比分点 相等向量 平行四边形法则 平面向量的数量积坐标平面上两点间的距离 平移【基础知识要点】一、向量的基本概念 1.向量既有大小．．又有方向．．的量叫做向量。
物理学中叫做矢量。
如力、速度、加速度、位移就是向量。
⑴向量可以用一条有向线段（带有方向．．的线段）来表示，用有向线段的长度．．表示向量的大小．．，用箭头所指的方向表示向量的方向。
以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB 。
线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作||AB 。
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
⑵向量也可以用一个小写字母,,,a b c …（注意：手写体必须在小写字母上画上方向箭头，如：,,,a b c …）来表示；⑶向量还可以用两个大写字母上加箭头表示（其中前面的字母为起点，后面的字母为终点），如,AB MN 等。
2.向量的长度（或“模”）向量AB （或a ）的大小，也就是向量AB （或a ）的长度（或称“模”），记作||AB ，a 的模为||a 。
注意：向量是既有大小．．又有方向．．的量，不同于数量（只有大小而没有方向）；数量可以直接比较大小，而向量不能直接比较大小，但可以比较向量的模的大小（因为向量的模是正数或0，可以进行大小比较）。
3.零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0。
显然|0|0=，但零向量的方向是不确定的。
4.单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
||AB AB ±表示与AB 同（反）方向的单位向量；||aa ±表示与a 同（反）方向的单位向量。
5.平行向量（或共线向量）ba b +aba b + aABA 方向相同或相反的非零向量．．．．，叫做平行向量。
平行向量也叫做共线向量。
5.4 线段的定比分点与平移
1 ∵ | AP | | AB | ， 3
又A（-1，6），B（3，0），
1 3 1 2 x 1 3 1 1 2 λ = 时， 2 1 6 0 y 2 4 1 1 2
设P（x，y），则由定比分点坐标公式得
1 1 3 7 4 x 1 3 1 1 4 λ = 时, 1 4 6 0 y 4 8 1 1 4
思维启迪
（1）利用向量的夹角公式求解；
（2）先把c·d化简整理成Asin(ωx+φ )+B的形成，再 利用角x的范围求最大值； （3）先化简f(x)=Asin(ωx+φ )，再设m的坐标，按平 移公式理顺关系求解. π 解 （1）∵x= , 4 ∴a= 6 ， 2 ）,b=(0, 2 ), （ 2 2 2 2 1 则a·b= （ 6 ， 2 ） （ 0， ） , · 2 2 2 2 a· b cos〈a，b〉= |a|· |b|
1 , 2 2 2· 2 1 2
［1分］
［3分］
π ∴向量a、b的夹角为 . 3
［4分］
（2）c·d=(sin x,cos x)·(sin x,sin x) =sin2x+sin xcos x
1 cos 2 x sin 2 x 1 1 (sin 2x-cos 2x) 2 2 2 2 π 1 2 = sin(2x) 4 2 2 π π π 3π ∵x∈［0, ］,∴ 2 x . 2 4 4 4 π π 3π 当2x- ,即x= 时， 4 2 8 2 1 c·d取最大值 . 2
λ =1 P为中点 内分点
λ >1 在中点与P2 之间
（2）线段定比分点坐标公式 设点P分有向线段 P P 所成的比为λ ，即 P P PP ， 1 2 1 2 x1 x2 并且P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)，则x= 1 ,y= y1 y2 1 (λ ≠-1)，特别地，当P(x,y)是 P P 的中点时， 1 2 x1 x2 y1 y2 有x= ,y= .2 2
高考数学一轮复习 5.3 线段的定比分点和平移随堂检测
1 【优化方案】2014届高考数学一轮复习 5.3 线段的定比分点和平移随堂检测 理（含解析）人教版1．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)．设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有B C →＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12C ．－3D ．－13解析：选C.由三角形内角平分线定理有AB AC ＝BE EC＝2， ∴E 为BC 的三等分点．又B C →＝λCE →，∴λ<0，得λ＝－3，故选C.2．把函数y ＝e x 的图象按向量a ＝(2,3)平移，得到y ＝f (x )的图象，则f (x )等于( ) A ．e x －3＋2 B ．e x ＋3－2C ．e x －2＋3D ．e x ＋2－3解析：选C.函数y ＝e x 的图象按向量a ＝(2,3)平移，即把y ＝e x 的图象向右平移两个单位，再向上平移3个单位得到f (x )的图象．∴f (x )＝e x －2＋3.故选C.3．若函数y ＝f (x )的图象按向量a 平移后，得到函数y ＝f (x ＋1)－2的图象，则向量a 等于( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1，－2)D ．(－1,2)解析：选C.可知函数y ＝f (x ＋1)－2的图象是由函数y ＝f (x )的图象向左平移了1个单位，向下平移了2个单位，故选C.4．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2F D →，则椭圆C 的离心率为________． 解析：设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，则B F →＝(c ，－b )，F D →＝(x D －c ，y D )，∵B F →＝2FD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x D －c ，－b ＝2y D ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x D ＝3c 2，y D ＝－b 2.∴3c 22a 2＋－b22b 2＝1，即e 2＝13. ∴e ＝33. 答案：33。
线段的定比分点与平移
2
2
2
所以 F 的函数解析式为 y 2x 2 8x 6 。 例 4 是否存在这样的平移，使抛物线： y x 2 平移后过原点，且平移后的抛物线 的顶点和它与 x 轴的两个交点构成的三角形面积为 1 ，若不存在，说明理由；若存 在，求出函数的解析式。 解：假设存在这样的平移 a (h, k ) ， 由平移公式
x2
A(-1,-4)
o
P1
P2
x
1 2 5 9 4 2 2 3 ， y2 0 ，即 P2 (3,0) 1 2 3 1 2
由 P A 1 AP ，得： 1 1 2 由 PB 2 BP ，得： 5 1 2
1 13 1 ，∴ 1 ； 2 1 1
x 1 1 的图象按向量 a (2, 1) 平移，可得 y 的图 x2 x
由平移公式知，由 f ( x) 象，反之，由 y 象，即，将 y
1 x 1 的图象按向量 b a (2,1) 平移，可得到 f ( x) 的图 x2 x
1 的图象先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，便得到 x
××××中学教学设计方案
年 课 题
线段的定比分点与平移
月 章节
日
星期
第
节
第五章 第三节
教 学 目 的
知 识 目 标 能 力 目 标 德 育 目 标
1．掌握线段的定比分点和中点公式，并能熟练运用； 2．掌握平移公式，并能运用它们求平移向量或平移前后解析式。
培养学生基本运算能力、数形结合能力。
激发学生的学习兴趣。
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1º 向量 1P与PP2之间位置上有何关系？ 共线向量 向量P 与 之间位置上有何关系？ 2º 既然是共线向量，它们之间的等量关系是什么？ 既然是共线向量，它们之间的等量关系是什么？ P1P= λ PP2
(一).点P分有向线段 P 1 P 2所成的比 一 点 分有向线段
设
P1, P 2 是直线
L上的两个不同点，点P是 L 上
2
二、平移 （1）图形平移的定义 ） 是坐标平面内的一个图形， 设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移 是坐标平面内的一个图形 动同样长度，得到图形F 我们把这一过程叫做图形的平移。 动同样长度，得到图形 ’，我们把这一过程叫做图形的平移。 （2）平移公式 ） 设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的对应点 ’,y = P’(xpp '’)，且 的坐标为(h,k)， x + h ， 的坐标为 x ，则有 ，
x
(二).有向线段P1 P2 的定比分点坐标公式 二 有向线段
x1 + λx 2 x = 1+ λ y = y1 + λ y 2 1+ λ
(三).有向线段P P2 的中点坐标公式 三 有向线段 1
1
x + x2 x = 1 2 y = y1 + y 2 2
'
' y = y+ k
这个公式叫做点的平移公式， 这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的 新坐标与原坐标间的关系。 新坐标与原坐标间的关系。
双基固化
能力提升
规律总结
不同于点 P 1, P 2 的任意一点,则存在一个实数λ,使 λ
P1 P = λ PP 2 ,λ叫做点P分有向线段
P 1 P 2 所成的比。
λ＞0 ＞ λ＜-1 ＜
· P · P
1
1
·P ·P ·P
2
·P ·P ·P
2
l l l
内分点 外分点
·P
-1<λ<0
1
2
练习一:
1 1 .若 点 p 分 有 向 线 段 A B 所 成 的 比 为 3 （1） 求 点 B 分 有 向 线 段 A P 所 成 的 比 （ 2） 求 点 A 分 有 向 线 段 B P 所 成 的 比
课前热身
一.复习引入 1 . 什么叫共线向量？ 什么叫共线向量？ 2 . 共线向量的充要条件是什么？ 共线向量的充要条件是什么？
P1
· · ·
P
P2
3 . 如图，设P1,P2是直线 上的两点，点P是l 如图， 是直线l上的两点 上的两点， 是
上不同于P1,P2 的任意一点，则： 的任意一点， 上不同于
PP2 = ( x 2 − x , y2 − y )
P·
∵
P P = λ PP2 1
x1 + λx2 1+ λ y1 + λy2 1+ λ
(x ∴ − x1 , y − y1 ) = λ ( x 2 − x , y2 − y )
x = x − x1 = λ ( x 2 − x ) ⇒ ∴ y − y1 = λ ( y2 − y ) y =
A P B
4 (1)λ = − =− 3 BP
(2)λ = − BA AP = −4
AB
探究
P 设 P1 ( x1 , y1 )， 2 ( x2 , y2 ) ，P分 P1 P2 所成的比为 λ ，如何 分
点的坐标呢？ 求P(x,y)点的坐标呢？ 点的坐标呢
∵ P = ( x − x1 , y − y1 ) P1