2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册同步学典：(4)平面向量的应用
（4）平面向量的应用1、在中，若，，则 （ ）ABC △AB =3BC =120C ∠=︒AC =A. B. C. D. 12342、已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为12,F F 90︒10N 1F 60︒2F ( )A. B. C. D.5N 10N 3、在中，如果，那么A 等于( )ABC △()()3a b c b c a bc +++-= A. B. C. D.30︒60︒120︒150︒4、在中，已知( )ABC △4,1,AB AC ABC == △3AB AC ⋅= A. B. C.2 D.42±4±5、在中，内角满足，则的形状为( )ABC △,,A B C 2sin cos sin B C A =ABC △A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形6、的内角的对边分别为已知，，则( )ABC △,,A B C ,,,a b c sin sin 4sin a A b B c C -=1cos 4A =-b c =A ．6B ．5C ．4D ．37、已知的内角的对边分别为，若的面积为，，则ABC △,,A B C ,,a b c ABC △2221()4a b c -+-1sin 2B =( )A =A. B. C. D.105︒75︒30︒15︒8、如图，四边形是正方形，延长至点E ，使得.若点P 为线段的中点，且ABCD CD DE CD =CD ，则( )AP mAE nAB =+ m n -=A.1B.C.-1D.1212-9、已知中，的对边分别是，且，则边上的中线的长为( )ABC △,,A B C ,,a b c 3,30b c B ===︒ABB. C. D.34323410、如图所示，隔河可以看到对岸两目标，但不能到达，现在岸边取相距的两点，测得,A B 4km ,C D (在同一平面内)，则两目标间的距离为( )75,45,30,45ACB BCD ADC ADB ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒,,,A B C D ,A BD.5km11、等腰梯形中，，三个顶点的坐标分别为，则点D 的ABCD //,2AB CD DC AB =(1,2),(2,1),(4,2)A B C 坐标为_________.12、在平面四边形中，，则的取值范围是_________.ABCD 75,2A B C BC ∠=∠=∠=︒=AB 13、甲船在A 处观察乙船，发现乙船在它北偏东方向且两船相距a 海里的B 处，乙船正在向北行驶，60︒方向前进，才能尽快追上乙船，此时__________.3θθ=14、已知的内角对的边分别为，则的最小值等于ABC △,,A B C ,,,sin 22sin ,3a b c A B C b +==cos C ___________.15、在静水中某船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航20m /min 10m /min 线到达对岸，求船行进的方向.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：设中，角的对边分别为，则，，，由余弦定理ABC △,,A B C ,,a b c 3a =c =120C ∠=︒得，解得，即.21393b b =++1b =1AC =2答案及解析：答案：A 解析：∵，∴的大小为.故选A.60α=︒2F 3sin 60103(N)F ⋅︒== 合3答案及解析：答案：B解析：由得，即，整理得()()3a b c b c a bc +++-=[][]()()3b c a b c a bc +++-=22()3b c a bc +-=，根据余弦定理得.因为，所以.故选B.222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==(0,180)A ∈︒︒60A =︒4答案及解析：答案：A解析：因为，所以4,1,AB AC ABC == △11sin 41sin 22ABC S AB AC A A =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= △所以.所以，故选sin A =1cos 2A ==±1cos 4122AB AC AB AC A ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯±=± ⎪⎝⎭A.5答案及解析：答案：B解析：∵，2sin cos sin B C A =∴，2cos a b C =∴，22222a b c a b ab+-=⋅∴，∴，22b c =b c =∴的形状是等腰三角形.故选B.ABC △6答案及解析：答案：A解析：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得2224a b c -=，故选A22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=7答案及解析：答案：D解析：∵的内角的对边分别为，的面积为，ABC △,,A B C ,,a b c ABC △2221()4a b c -+-∴，22211sin ()24ABC S ab C a b c ==-+-△12cos 4ab C =-⨯∴.sin cos ,tan 1C C C =-=-∵，∴.0180C ︒<<︒135C =︒∵为锐角，可得，1sin ,2B B =30B =︒∴.18015A B C =︒--=︒故选D.8答案及解析：答案：D解析：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图所示，则，(1,0),(1,1)B E -∴.(1,0),(1,1)AB AE ==- ∵，点P 为的中点，(,)AP mAE nAB n m m =+=- CD∴，∴，1,12AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 121n m m ⎧-=⎪⎨⎪=⎩∴，∴.故选D.132m n =⎧⎪⎨=⎪⎩12m n -=-9答案及解析：答案：C解析：∵，∴由余弦定理得，可得3,33,30b c B ===︒2222cos b a c ac B =+-，整理可得，解得或3.23927233a a =+-⨯⨯29180a a -+=6a =如图，为边上的中线，则CD AB 1332BD c ==在中，由余弦定理得BCD △，可得2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅或，22233333626CD =+-⨯22233333323CD =+-⨯解得边上的中线.AB32CD =3710答案及解析：答案：B解析：由已知，在中，，ACD △30,120CAD ACD ∠=︒∠=︒由正弦定理，，sin sin CD AD CADACD =∠∠所以.sin sin CD ACD AD CAD ⋅∠===∠在中，，BCD △60,45CBD BCD ∠=︒∠=︒由正弦定理，，sin sin CD BD CBD BCD=∠∠所以.sin sin CD BCD BD CBD ⋅∠===∠在中，由余弦定理，ABD △，22232802cos 48233AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯=解得.AB =则两目标.,A B 415故选B.11答案及解析：答案：(2,4)解析：设点D 的坐标为.(,)x y 因为，所以.2DC AB =2DC AB = 因为，(4,2)(,)(4,2)DC x y x y =-=-- ，所以，(2,1)(1,2)(1,1)AB =-=- (4,2)2(1,1)x y --=-即，所以，解得.(4,2)(2,2)x y --=-4222x y -=⎧⎨-=-⎩24x y =⎧⎨=⎩故点D的坐标为.(2,4)12答案及解析：答案：-解析：如图所示，延长交于点E ，过C 作交于F .,BA CD //CF AD AB 因为，75BAD B BCD ∠=∠=∠=︒则.30,75,30E BFC BCF ∠=︒∠=︒∠=︒在中，，BCE △2sin 75sin 30BE =︒︒解得.BE =+在中，，BCF △2sin 30sin 75BF =︒︒所以的取值范围为.AB +13答案及解析：答案：30︒解析：如图所示，，设甲船追上乙船时，乙船行驶的距离为x 海里，则60,120CAB B θ∠=︒-∠=︒海里，海里，在中，根据正弦定理，得，BC x =3AC =ABC △sin sin BC AC CAB B =∠sin(60)x θ=︒-解得.又为锐角，所以，即.1sin(60)2θ︒-=60θ︒-6030θ︒-=︒30θ=︒14答案及解析：解析：已知等式利用正弦定理化简得，2a c +=两边平方得，22()4a c =即，22224a b c ++=∴，2222244432a b c a b +-=+-即222a b c +-=∴222cos 2a b c C ab +-==.132188a b b a ⎛=+-≥- ⎝当且仅当时取等号，32a b b a=则cos C 62-62-15答案及解析：答案：作出示意图如图，设与岸所成夹角为，由图示可知，v 船αv v v +=水船实际结合已知条件，可知四边形为平行四边形.ABCD 在中，，Rt ABC △10m /min DC AB v === 水，所以，20m /min AD v == 船101cos 202CD a AD === 所以，即船行进的方向与水流方向成角.60α=︒120︒。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册同步学典：(9)基本立体图形
（9）基本立体图形1、下列命题正确的是( )A.棱柱的侧面都是长方形B.棱柱的所有面都是四边形C.棱柱的侧棱不一定相等D.一个棱柱至少有五个面2、下列图形所表示的几何体中，不是棱锥的为( )A.B.C.D.3、以下命题中真命题的序号是( )①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台；④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．A. ③④B.①④C. ①②④D. ①4、设集合M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，这些集合间的关系是( )A. Q N M P⊇⊇⊇B. Q M N P⊇⊇⊇C. P M N Q⊇⊇⊇D. P N M Q⊇⊇⊇5、有下面三组定义：①有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．其中正确定义的个数是()A．0 B．1 C．2 D．36、如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( )A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥7、下列结论正确的是( )A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线8、一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )A.B.C.D.9、下列说法中不正确的是( ) A.圆柱的侧面展开图是一个矩形B.直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥C.圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形D.圆台中平行于底面的截面是圆面10、如图，模块①〜⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①〜⑤中选出3个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.下列选择方案中，能够完成任务的为( )A.模块①②⑤B.模块①③⑤C.模块②④⑤D.模块③④⑤11、如图，根据下列条件能推断出这个几何体可能是三棱台的是( )A. 11112,3,3,4A B AB B C BC ====B. 1111111,2, 1.5,3,2,3A B AB B C BC AC AC ======C. 1111111,2, 1.5,3,2,4A B AB B C BC AC AC ======D. 111111,,AB A B BC B C CA C A === 12、给出下列说法:①棱柱的棱都相互平行且相等;②面数最少的多面体一定是三棱锥; ③五面体是三棱柱或三棱台. 其中正确说法的个数是__________. 13、下列四个命题:①棱台的侧棱延长后必交于一点;②上、下底面为相似的正多边形的棱台一定是正棱台; ③用一个平面截棱锥，夹在底面和截面间的几何体是棱台;④棱台的上、下底面边长之比等于棱台的高与截得此棱台的棱锥的高之比. 其中正确的命题是__________(填序号).14、如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， P 为BC 的中点， Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，,P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)①当102CQ <<时， S 为四边形; ②当12CQ =时， S 为等腰梯形; ③当34CQ =时， S 与11C D 的焦点R 满足113C R =;④当314CQ <<时， S 为六边形;⑤当1CQ =时， S 6 15、在正方形ABCD 中， E 、F 分别为AB 、BC 的中点， 现在沿,DE DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、 C 三点重合，重合后的点记为P 问: 1.依据题意知该几何体是什么几何体?2.这个几何体由几个面构成，每个面的三角形是什么三角形?3.若正方形ABCD 的边长为2a ，则所折成的几何体每个面的面积为多少?答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：A 不对，侧面都是平行四边形，不一定都是长方形;B 不对，三棱柱的底面是三角形C 不对，棱柱的侧棱一定相等D 对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共5个面，其他棱柱都多余5个面故选D2答案及解析： 答案：A解析：A 是两个四棱锥的组合.3答案及解析： 答案：D解析：解:①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱;正确，当平面与棱柱的所有平面不平行时，截出的两个几何体不是棱柱.②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台;不正确，不满足棱台的定义.③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台;不正确，当平面与底面平行时，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台.④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.不正确，不满足棱柱的定义.如下图:故选D.4答案及解析： 答案：D解析：正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱拄，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故,,,M N P Q 的关系为P N M Q ⊇⊇⊇，因此选D.5答案及解析：答案：B解析：由棱柱的定义可知只有①正确，②中截面必须平行于底面，③中其余各三角形应有一个公共顶点，所以②③都不正确.故选B.6答案及解析：答案：D解析：正六棱锥的侧棱长大于底面边长，所以其侧面不可能是等边三角形.7答案及解析：答案：D解析：如下图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误;如下图，若△ABC不是直角三角形，则所得几何体不是圆锥.若△ABC是直角三角形，当旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体不是圆锥，故B错误;由几何图形知，若以正六边形为底面，则侧棱长必然要大于底面边长，故C错误;有排除法可知D正确.8答案及解析：答案：B解析：选B.由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为 B9答案及解析： 答案：B解析：由旋转体体的概念可知，以直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故选B.10答案及解析： 答案：A解析：先将模块⑤放到模块⑥上，在把模块①放到模块⑥上，在把模块②放到模块⑥上.11答案及解析： 答案：C 解析：在A 中， 1111A B B C AB BC≠，故A 不符合题意; 在B 中，111111=A B B C AC AB BC AC≠， 所以11A B 平行于AB ，11B C 平行于BC ，11A C 不平行于AC ，故B 不符合题意;在C 中，111111==A B B C ACAB BC AC， 所以11A B 平行于AB ，11B C 平行于BC ，11A C 平行于AC ，故C 符合题意;在D 中，若111111,,AB A B BC B C AC AC ===， 并不一定得到11A B 平行于AB ，11B C 平行于BC ，11A C 平行于AC ，故D 不符合题意.12答案及解析： 答案：1解析：对于①，棱柱的侧棱都相互平行且相等，故①不正确;②显然正确;对于③，五面体也可以是四棱锥，故③不正确. 综上，正确说法的个数为1.13答案及解析： 答案：①解析：根据棱台的定义，知棱台的侧棱延长后必交于一点， 则①正确. 底面相似但侧棱不相等，这样的棱台不是正棱台.故②错误.如果截棱锥的平面与底面不平行，则截得的几何体不是棱台，故③错误.根据平面几何的知识，棱台的上、下底面边长之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比，故④错误. 综上所述，正确的命题只有①.14答案及解析： 答案：①②③⑤解析：设截面与直线1D D 相交于T ，则//AT PQ 且22AT PQ DT CQ =⇒=. 对于①，当102CQ <<时， 01DT <<. 截面S 为四边形，且S 为梯形，所以①正确. 对于②，当12CQ =时， 1DT =，T 与1D 重合， 截面S 为四边形1APQD ，且1AP D Q =.截面S 为等腰梯形.所以②正确.对于③，当34CQ =时， 13122DT DT =⇒=. 利用三角形相似解得113C R =.所以③正确.对于④，当314CQ <<时， 322DT <<.截面S 与线段1111,A D D C 相交，所以四边形S 为五边形.所以④不正确. 对于⑤，当1CQ =时， Q 与1C 重合，截面S 与线段11A D 相交于点1G ， 即为菱形11APC G 23S 的面积为62. 所以⑤正确.综上，填①②③⑤.15答案及解析：答案：1.三棱锥; 2.这个集合体由四个面构成，即面DEF 、面DFP 、面DEP 、面EFP . 由平面几何知识可知,90DE DF DPE EPF DPF =∠=∠=∠=︒， 所以△DEF 为等腰三角形，△DFP 、△EFP 、△DEP 为直角三角形. 3.由2可知5DE DF a ==，2,2EF a DP a ==， EP FP a ==，所以.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2课件：2.3.3-4 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂
跟踪训练 3 如图，A，B，C，D 为空间四点，在△ABC 中， AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形 ADB 以 AB 为轴转动．
(1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时，求 CD； (2)当△ADB 转动时，是否总有 AB⊥CD？证明你的结论．
第三十二页，编辑于星期日：点 十四分。
解析：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 DE，CE.因为△ADB 是等边三角形，所以 DE⊥AB.
当平面 ADB⊥平面 ABC 时， 因为平面 ADB∩平面 ABC＝AB，所以 DE⊥平面 ABC，CE⊂ 平面 ABC 可知 DE⊥CE.由已知可得 DE＝ 3，EC＝1. 在 Rt△DEC 中，CD＝ DE2＋EC2＝2.
第三十三页，编辑于星期日：点 十四分。
(2)当△ADB 以 AB 为轴转动时，总有 AB⊥CD. 证明：①当 D 在平面 ABC 内时， 因为 AC＝BC，AD＝BD， 所以 C，D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)知 AB⊥DE. 又因 AC＝BC，所以 AB⊥CE. 又 DE∩CE＝E，所以 AB⊥平面 CDE. 又 CD⊂平面 CDE，得 AB⊥CD.综上所述，总有 AB⊥CD. (1)由面面垂直的性质得线面垂直，再求 CD 的长． (2)当△ADB 转动时，分 D 在平面 ABC 内和外 2 类．
第十九页，编辑于星期日：点 十四分。
类型二 面面垂直的性质定理的应用 例 2 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂 直，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1， 求证：CF⊥平面 BDE.
第二十页，编辑于星期日：点 十四分。
【证明】 如图，设 AC∩BD＝G，连接 EG，FG.
2019-2020年高中数学平面教案新课标人教版必修2(A)
2019-2020年高中数学平面教案新课标人教版必修2（A）一、教学目标：1、知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板四、教学思想（一）实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。
与此同时，教师对学生的活动给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母a、B、丫等表示，如平面a、平面3等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABCC等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）•B课本P41图2.1-4 说明平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
人教版数学2019-2020 必修二 平面(共22张PPT)
• 一个平面分空间成两部分
2.平面的画法及表示
常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于其 邻边长2倍的平行四边形.
D
C
Aα
B
①平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表示 如平面α、平面β、平面γ；
②用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母 来表示，如平面ABCD或平面AC、平面BD.
3.点、直线与平面的关系
B
A
C
三个公理
公理2：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面.
图形语言
·B
α ·A
·C
符号语言
A.B.C三点不共线 有且只有一个平 面α，使A∈ α，B ∈ α，C ∈ α。 作用
公理2是确定平面的依据。
三个推论
推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。
பைடு நூலகம்
A
l
α
B
C
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
①直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a
与平面α相交。记为：a∩α＝A
②直线a与平面α没有公共点时，称直线a与平面
α平行。记为：a∩α＝φ或a∥α.
a
a
a
A
α
α
α
4. 平面与平面的关系
当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与 平面β重合。
当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公
共点组成集合a，称平面α与平面β相交。
公理3作用 1、判定两个平面相交
方法是：若两个平面有一个公共点，则这 两个平面相交。 2、判定点在直线上。 方法是：点若是两个平面的公共点，则该 点就在这两个平面的交线上。
即利用公理3可以证明三点共线的问题。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：平面
考点
学习目标
核心素养
了解平面的概念，会用图形与字母
平面的概念
直观想象
表示平面
点、线、面的 能用符号语言描述空间中的点、直 直观想象
位置关系 线、平面之间的位置关系
能用图形、文字、符号三种语言描 三个基本事实
述三个基本事实， 及推论
理解三个基本事实的地位与作用
直观想象、 逻辑推理
问题导学 预习教材 P124－P127 的内容，思考以下问题： 1．教材中是如何定义平面的？ 2．平面的表示方法有哪些？ 3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？ 4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？
■名师点拨 (1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进 行度量． (2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
2．点、线、面之间的关系及符号表示
A 是点，l，m 是直线，α，β 是平面．
文字语言
符号语言
A在l上
A___∈____l
A在l外
A___∉____l
A在α内
A___∈____α
(3)平面的表示方法 我们常用希腊字母 α，β，γ 等表示平面，如平面 α、平面 β、平面 γ 等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代 表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文 字母作为这个平面的名称．如图中的平面 α，也可以表示为平面
_A__B_C_D__、平面__A_C____或者平面__B__D___．
三点共线、三线共点问题 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别为 AB、AA1 的中点．求证： CE，D1F，DA 三线交于一点．
【证明】 连接 EF，D1C，A1B， 因为 E 为 AB 的中点， F 为 AA1 的中点，所以 EF═ ∥12A1B.
2019-2020学年高一数学人教A版(2019)必修第二册同步学典_(12)空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版
(12)空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面α与平面,βγ都相交,则这三个平面可能有（）A. 1条或2条交线B. 2条或3条交线C. 仅2条交线D. 1条或2条或3条交线A B C为空间三点,经过这三点（）2、,,A.能确定一个平面B.能确定无数个平面C.能确定一个或无数个平面D.能确定一个平面或不能确定平面3、空间中四点可确定的平面有（）A.1个B.4个C.1个或4个D.1个或4个或无数个4、当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了( ) A．三点确定一平面B．不共线三点确定一平面C．两条相交直线确定一平面D．两条平行直线确定一平面5、给出下列语句:①一个平面长3m,宽2m;②平面内有无数个点,平面可以看成点的集合;③空间图形是由空间的点、线、面所构成的.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.46、下列命题错误的是（）A.不在同一直线上的三点确定一个平面B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C.如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面7、下列命题正确的是( )①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内A.①③B.②③C.②③④D.④8、在空间中,下列说法正确的是( )A.—个点运动形成直线B.直线平移形成平面或曲面C.曲线的平移一定形成曲面D.矩形上各点沿同一方向移动形成长方体9、如图，四棱锥P ABCD -，AC BD O =I ，M 是PC 的中点，直线AM 交平面PBD 于点N ，则下列结论正确的是（ ）A ．,,,O N P M 四点不共面B ． ,,,O N M D 四点共面C ． ,,O N M 三点共线D ． ,,P N O 三点共线10、下列几何图形中，可能不是平面图形的是（ ）A.梯形B.菱形C.平行四边形D.四边形11、设直线a 上有6个点，直线b 上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.12、有以下3个命题:①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;②直线l 在平面α内,可以用"l α∈"表示;③ 若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交, 则α与β相交.其中所有真命题的序号是__________.13、下列说法中正确的是__________(填序号).①立体几何中画出的点,不考虑它们的大小,画出的线,不考虑它们的粗细,画出的平面,不考虑它们的厚度和面积;②任何一个平面图形都是一个平面;③平面的形状是平行四边形; ④因为ABCD 的面积大于A B C D ''''的面积,所以平面ABCD 大于平面A B C D ''''; ⑤用平行四边形表示平面,以平行四边形的四边作为平面的边界.14、有下列命题:① 空间不同三点确定一个平面;② 有三个公共点的两个平面必重合;③ 空间两两相交的三条直线确定一个平面;④ 三角形是平面图形;⑤ 平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;⑥ 垂直于同一直线的两直线平行;⑦ 一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;⑧ 两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是__________(只填序号).15、若空间三个平面两两相交,则它们的交线条数是__________.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：2答案及解析：答案：D解析：由于题设中并没有指明这三点之间的位置关系,所以在应用公理2时要注意条件“不共线的三点。
2019-2020学年高中数学人教版A(2019)必修第二册学案：8.6.3平面与平面垂直 Wor
姓名，年级：时间：8。
6。
3 平面与平面垂直学习目标1. 理解二面角、二面角的平面角的概念.2. 理解两个平面垂直的定义。
3. 理解平面与平面垂直的判定定理.4. 能运用定理证明一些平面与平面垂直的问题.5. 理解平面与平面垂直的性质定理，并能够证明6. 能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.基础梳理1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
棱为AB ，面分别为，的二面角记作二面角-AB —.2. 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角。
二面角的平面角的取值范围是。
3. 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 平面和垂直，记作。
4. 判定两个平面互相垂直的定理:定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直。
5. 平面与平面垂直的性质定理:定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直。
随堂训练1、如图所示，四边形ABCD 中,//AD BC ，,45AD AB BCD =∠=︒，90BAD ∠=︒.将ADB △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -,则在三棱锥A BCD -中,下列结论正确的是（ ）A.平面ABD ⊥平面ABCB.平面ADC ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDC D 。
平面ADC ⊥平面ABC2、已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等, E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ,则( )A. 123θθθ≤≤B. 321θθθ≤≤ C 。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册同步学典：(2)平面向量的运算 Word版
（2）平面向量的运算1、已知3,b a =r r 在b r 方向上的投影是32，则a b ⋅r r 的值为( )A.92B.3C.2D.122、如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则OA OC OE ++=u u u r u u u r u u u r( )A.0rB.0C.AE u u u rD.EA u u u r3、已知向量,a b r r 满足1a =r，1a b ⋅=-r r ，则(2)a a b ⋅-=r r r ( )A.4B.3C.2D.04、设,,a b c r r r是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题:①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r r ；②a b a b -<-r r r r ；③()()b c a c a b ⋅-⋅r r r r r r 不与c r垂直；④22(32)(32)94a b a b a b +⋅-=-r r r r r r . 其中正确的有( ) A.①②B.②③C.③④D.②④5、设向量,a b r r 满足10,6a b a b +=-=r r r r a b ⋅=r r ( )A.1B.2C.3D.56、在边长为1的等边ABC △中，设,,BC a CA b AB c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅r r r r r r等于( )A.32-B.0C.32D.37、如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若1AB =，则AB FE CD ++=u u u r u u u r u u u r( )A.1B.2C.3D.238、若在ABC △中，,AB a BC b ==u u u r r u u u r r ，且1,2a b a b ==+=r r r r，则ABC △的形状是( )A.正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形9、设点,,A B C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10、在ABC △中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r，则()AP PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r等于( )A.49B.43 C.43-D.49-11、在平行四边形ABCD 中，BC DC BA DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r_________.12、已知向量,a b r r 的夹角为60︒，2,1a b ==r r ，则2a b +=r r___________.13、如图，在ABC △中，已知D 是BC 上的点，且2CD BD =.设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，则AD =u u u r_____(用,a b r r 表示).14、已知a r 与b r 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b +r r 与向量ka b -r r垂直，则k =__________.15、设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若,,AB a AD b OD c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，用,,a b c r r r表示,OA OB u u u r u u u r .答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：∵3cos ,,32a a b b ==r r r r ，∴39cos ,322a b a b a b ⋅==⨯=r r r r r r .故选A.2答案及解析： 答案：A解析：∵,OA OC OB OB OE +==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴0OA OC OE OB OE ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，故选A.3答案及解析： 答案：B解析：22(2)22a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅r r r r r r r r r.∵1,1a a b =⋅=-r r r， ∴原式22113=⨯+=.故选B.4答案及解析： 答案：D解析：①错误，因为向量的数量积不满足结合律.③错误，因为()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦r r r r r r r r r r r r r r r，则()()b c a c a b ⋅-⋅r r r r r r 与c r 垂直.②④都是正确的. 故选D.5答案及解析： 答案：A解析：2222()210a b a b a a b b +=+=+⋅+=r r r r r r r r ， 2222()26a b a b a a b b -=-=-⋅+=r r r r r r r r ， 将上面两式左右两边分别相减， 得44a b ⋅=r r ，∴1a b ⋅=r r.故选A.6答案及解析： 答案：A解析：a b BC CA CB CA ⋅=⋅=-⋅r r u u u r u u u r u u u r u u u r 1cos602CB CA =-︒=-u u u r u u u r .同理11,22b c c a ⋅=-⋅=-r r r r ，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-r r r r r r .故选A.7答案及解析： 答案：B解析：2AB FE CD AB BC CD AD ++=++==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选B.8答案及解析： 答案：D解析：因为a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r ，所以1,1,AB BC AC ==u u u r u u u r u u u rABC △为等腰直角三角形. 故选D.9答案及解析： 答案：C解析：因为点,,A B C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r，所以AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r 等价于AB AC AC AB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r，因模为正，故不等号两边平方得22222cos 2cos AB AC AB AC AC AB AC AB θθ++⋅>+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r (θ为AB u u u r与AC u u u r 的夹角)，整理得4cos 0AB AC θ⋅>u u u r u u u r ，故cos 0θ>，即θ为锐角.又以上推理过程可逆，所以“AB u u u r与AC u u u r 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r”的充分必要条件.故选C.10答案及解析： 答案：A解析：∵1AM =，且2AP PM =u u u r u u u u r ，∴23AP =u u u r .如图，2224()239AP PB PC AP PM AP AP AP ⎛⎫⋅+=⋅=⋅=== ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r .故选A.11答案及解析： 答案：0r解析：因为0DC BA +=u u u r u u u r r ，0BC DA +=u u u r u u u r r ，所以0BC DC BA DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r.12答案及解析： 答案：23解析：2222444421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=r r r r r r ，所以21223a b +==r r13答案及解析：答案：2133a b +r r解析：()1133AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()121333a b a a b =+-=+r r r r r.14答案及解析： 答案：1解析：∵a r 与b r是不共线的单位向量，∴1a b ==r r.又ka b -r r 与a b +r r垂直，∴()()0a b ka b +⋅-=r r r r ， 即220ka ka b a b b +⋅-⋅-=r r r r r r .∴10k ka b a b -+⋅-⋅=r r r r ，即1cos cos 0k k θθ-+-=.(θ为a r 与b r的夹角) ∴(1)(1cos )0k θ-+=.又a r 与b r不共线，∴cos 1θ≠-，∴1k =.15答案及解析：答案：,c b a b c --+r r r r r解析：由于OA DA DO =-u u u r u u u r u u u r ，因为,AD b OD c ==u u u r r u u u r r ，所以OA DA DO b c c b =-=-+=-u u u r u u u r u u u r r r r r ，由于OB DB DO =-u u u r u u u r u u u r ，而DB AB AD a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，所以OB a b c =-+u u u r r r r.。
2019-2020学年高一数学人教A版必修2学案：2.3.4平面与平面垂直的性质 Word版含答案
姓名，年级：时间：第二章点、直线、平面之间的位置关系2。
3 直线、平面垂直的判定及其性质2。
3。
4 平面与平面垂直的性质学习目标1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习，培养学生转化的思想。
合作学习一、设计问题，创设情境如图,长方体ABCD—A’B'C’D'中，平面A’ADD'与平面ABCD垂直,直线A’A垂直于其交线AD。
平面A’ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗？二、信息交流,揭示规律问题1：如图，若α⊥β，α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,AB∩CD=B。
讨论直线AB与平面β的位置关系。
问题2：能不能用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明?问题3：平面与平面垂直的性质定理的特点有哪些？四、运用规律，解决问题【例1】如图，已知平面α，β，α⊥β，a⊥β，直线a满足a⊄α，试判断直线a与平面α的位置关系。
【例2】如图，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD。
（1)证明：侧面PAB⊥侧面PBC;（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3)求直线AB与平面PCD的距离。
【例3】如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC。
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC;（2）求二面角CBDA的余弦值.【例4】如图,在矩形ABCD中,AB=33，BC=3,沿对角线BD把△BCD折起,使C移到C’，且C’在平面ABC内的射影O恰好落在AB上.（1）求证:AC'⊥BC’；（2）求AB与平面BC'D所成角的正弦值;(3）求二面角C’BDA的正切值。
五、变式演练，深化提高1。
如图，三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1=1,直线B1C与平面ABC成30°角，求二面角BB1CA的正弦值。
2019-2020年高中数学 2.1.1平面全册精品教案 新人教A版必修2
2019-2020年高中数学 2.1.1平面全册精品教案新人教A版必修2（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法师生共同讨论法（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：（3）公理3作用：判断两个平面是否相交.师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点.生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上.师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3.加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性.典例分析例1 如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.解：在（1）中，，，.在（2）中，，，，，.学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评巩固所学知识随堂练习1．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面学生独立完成答案：1．D2．（1）不共面的四点可确定4个平面.（2）共点的三条直线可确定一个或3个平面.巩固所学知识课后作业2.1第一课时 习案 学生独立完成备选例题例1 已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α． 又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a α． 同理可证b α，c α．∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c α． 同理可证d α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点αb adcG F EA a bcd α H K图1图2C 1、O 、M 共线.分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可. 解答：如图所示A 1A ∥C 1C 确定平面A 1CA 1C 平面A 1C 又O ∈A 1C平面BC 1D ∩直线A 1C = O O ∈平面BC 1DO 在平面A 1C 与平面BC 1D 的交线上. AC ∩BD = MM ∈平面BC 1D 且M ∈平面A 1C平面BC 1D ∩平面A 1C = C 1M O ∈C 1M ，即O 、C 1、M 三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上..O ∈平面A 1CM O B 1C 1D 1A 1DC BA。